олимпиадные задания по математике 5

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
5 класс
1. Расшифровать запись:
** · * − * =1 .
Здесь звёздочками обозначены цифры, возможно разные, точкой - умножение.
2. Гусеница ползёт по дереву 6 – метровой высоты. Сначала она за 30 минут
поднимается на 50 см, а затем опускается на 40 см и так она повторяет, пока не
окажется на вершине. Через сколько минут она окажется на вершине?
3. С помощью скобок и знаков действий из шести «5» образовать числа от 1 до 10.
Каждый раз нужно использовать все шесть цифр «5», причём чисел двузначных и
более значных использовать нельзя, т.е. чисел типа 55 использовать нельзя.
4. Разделить квадрат прямыми линиями на 4 равные части тремя способами.
5. Сумма двух чисел равна 497. Одно из них оканчивается двойкой. Если эту
двойку зачеркнуть, то получится второе слагаемое. Найти эти числа.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
6 класс
Задача №1. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число
стало наибольшим.
Задача №2. В записи трёхзначного числа единиц в два раза меньше, чем десятков, а
сотен в два раза больше, чем десятков. Найти это число, если в нём четыре десятка.
Задача №3. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, а разным буквам - разные цифры в обоих примерах.
Задача №4. Имеется двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11
минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов.
Задача №5. Трое учеников пошли на рыбалку, взяв с собой лодку, выдерживающую
нагрузку до 100 кг. Как перебраться ученикам с берега реки на остров, если их
массы равны 40 кг, 50 кг, 70 кг?
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
7 класс
1. Найти как можно больше разных трёхзначных чисел, не содержащих в записи
цифры 9, таких, что при увеличении каждой их цифры на 1 произведение всех цифр
числа увеличивается ровно вдвое и ни одно из этих чисел не получается из другого
перестановкой цифр.
2. Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей надо двигаться,
чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?
3. Сколько различных трёхзначных чисел, делящихся на 6, и не содержащих
одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 4, 5, 6?
4. Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3
четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см, сумма
периметров четырёх треугольников равна 20 см, периметр исходного большого
треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин трёх жирных отрезков. Ответ
обосновать.
5. Вдоль дороги длиной 60 км стоит несколько (больше одного) пеньков. Первый
турист идёт по дороге со скоростью 5 км в час, у каждого пенька он
останавливается и отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет по
той же дороге на велосипеде со скоростью 12 км в час и отдыхает у каждого пенька
в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно.
Сколько пеньков у дороги? Ответ обосновать.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
8 класс
1. Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая —
чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек,
затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В
результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло
получиться?
2. Вычислить число
, если
3. Найти площадь заштрихованной фигуры внутри квадрата на рисунке. Сторона
квадрата равна 4a.
4. Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из двух
враждующих кланов, причём оказалось, что число рыцарей, справа от которых
сидит друг, равно числу рыцарей, справа от которых сидит враг. Доказать, что
общее число рыцарей делится на 4.
5. В правильном треугольнике ABC со стороной а точки M, N, P, Q расположены
так, что MA + AN = PC + CQ = a. Найти величину угла NOQ, где О – точка
пересечения NP и MQ.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
9 класс
1. (7 баллов) При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150.
Разделится ли нацело данное число на 75 и почему?
2. (7
баллов)
Известно,
что
и
OА1  1, А1 А2  1
OА1 А2  90 ;
А2 А3  1, OА2 А3  90 ;
А3 А4  1, OА3 А4  90 ; и т.д. (рис. 1).
Тогда длина отрезка OА2009 равна…
А4
А3
А2
Рис. 1
О
А1
3. (7 баллов) Сравните числа 28  10 3  28  10 3 и 10.
4. (7 баллов) У первого из десяти друзей есть 5 тугриков, у второго – 10
тугриков, у третьего – 15 тугриков, и т.д., у десятого – 50 тугриков. Они сели
на ковёр-самолёт, полёт на котором стоит 5 тугриков с носа. Смогут ли они
честно расплатиться с ковром-самолётом, если тот не дает сдачу и не
разменивает деньги?
5. (7 баллов) Постройте график функции: y 
x2  x
x2
.

x2  1 x  1
6. (7 баллов) При каких значениях параметра р отношение корней уравнения
x 2  2px  1  0 равно 9?
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
10 класс
1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а
затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была
одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?
2.
Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012
х = у2 – 2012 у.
Найдите сумму х и у.
3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное
число кубиков потребуется, чтобы замкнуть
ее?
4. Постройте график функции у 
х 4
х2  4 х
и определите, при каких значениях к
прямая у = кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.
5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С,
продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В1 и С1. Оказалось, что
отрезок В1С1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2014-2015 учебный год
11 класс
1.Решите уравнение: (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=1320;(5б.)
2.Решите уравнение  x  1 x  5  0 . (10б.)
3.Постройте график функции: у = 4 sin 4 x  2 cos 2x  3 + 4 cos 4 x  2 cos 2x  3 (10 б.)

4. Докажите, что число 1    ... 

1
2
1
3
1 
 делится на 2013
2012 
(10 б.)
5. В единичном кубе A…D1 найдите угол между прямыми AE и BF, где Е –
середина ребра A1B1, а F – середина ребра B1C1 (15б);