Тема 2. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение вида P( x)dx Q( y )dy 0 (2.1) называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет P( x)dx Q( y)dy C , (2.2) где С – произвольная постоянная. Уравнение вида M ( x) P( y )dx N ( x)Q( y )dy 0 или y (2.3) dy f ( x) g ( y ), dx (2.4) а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям (2.3) или (2.4), называются уравнениями с разделяющимися переменными. Разделение переменных в уравнениях (2.3), (2.4) выполняется следующим образом. Предполагая, что N ( x) 0, P( y ) 0 , обе части уравнения (2.3) делятся на N ( x), P( y ) . Обе части уравнения (2.4) умножаются на dx и делятся на g ( y ) 0 . В результате получают уравнения с разделенными переменными (т.е. уравнение вида (2.1)): M ( x) Q( y ) dx dy 0, N ( x) P( y ) f ( x)dx M ( x) Q( y ) dx dy C , N ( x) P( y ) Пример 2.1. Найти dy 0, которые интегрируются, согласно формуле (2.2): g ( y) f ( x)dx dy C. g ( y) общее уравнение дифференциального уравнения ( xy 2 x)dx ( xy 3 y )dy 0. Данное уравнение можно представить в виде x( y 2)dx y ( x 3)dy 0. Предположим, что x 3 0, y 2 0 и разделим обе части уравнения на ( x 3)( y 2), получим уравнение с разделенными переменными x y dx dy 0. x 3 y2 Интегрируя его, согласно формуле (2.2), последовательно получаем следующее: x y dx dy C , x 3 y2 3 2 1 x 3 dx 1 y 2 dy C, x 3ln | x 3 | y 2 ln | y 2 | ln C , ln e x ln | x 3 |3 ln e y ln | y 2 |2 ln C, ln e x | x 3 |3 e y | y 2 |2 ln C , e x y ( y 2)2 ( x 3)3 C. Последнее равенство является общим интегралом данного уравнения. При его нахождении y 2 0. Однако функции x 3 и y 2 могут были приняты ограничения x 3 0, являться решениями исходного уравнения. Проверим это, подставляя x 3 и y 2 в исходное уравнение. Если x 3 , то выражение (3 y 2 3)d (3) (3 y 3 y )dy 0 переходит в тождество. Аналогично и при подстановке y 2 . Следовательно, x 3 , y 2 - частные решения данного уравнения. Пример 2.2. Найти частное решение уравнения xx t 1, удовлетворяющее начальному условию x(1) 0. Запишем данное уравнение в дифференциальной форме (2.1) xdx (t 1)dt 0. Теперь проинтегрируем последнее уравнение C xdx (t 1)dt 2 , x2 t 2 C t , 2 2 2 x 2 t 2 2t C. – получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной 02 12 2 1 C, C 1. Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид x 2 t 2 2t 1, x 2 (t 2 2t 1) 0, x 2 (t 1) 2 0, т.е. точка (0; 1). Замечание. Уравнение вида y f (ax by c) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены t ax by c. Пример 2.3. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4 x 2 y 1. (2.5) Для того, чтобы исходное уравнение являлось уравнением в разделяющихся переменных, произведем замену t 4 x 2 y 1, Поскольку y по переменной x : (2.6) dy dy dt dy . найдем . Для этого продифференцируем выражение (2.6) dx dt dx dt dt dy 42 , dx dx dy 1 dt 2. dx 2 dx Подставляем замену и выражение для dy в (2.5): dx Приводим последнее выражение к виду (2.1): Теперь интегрируем: dt 2 t 2 dx C. 1 dt 2 t. 2 dx dt 2(2 t )dx 0, dt 2dx 0. 2 t Вычислив интегралы и выполнив обратную замену, получим: x 4 x 2 y 1 2ln | 4 x 2 y 1 2 | C. Задание для работы на семинаре Найти общее или частное решение следующих дифференциальных уравнений. Ответ : arctg y ln | Cx | 1. xy y 2 1. 2. x xy dy y xy dx 0 , y(1)=1. Ответ : y x ln | xy | 0 1 2 Ответ : 5 y arctgx C 4 3. 4( x 2 y y )dy 5 y 2 dx 0. 4. ydx ( xy x )dy 0. Ответ : x y ln C y 5. (1 e x ) y ye x . Ответ : y C (1 e ) 6. e x 3 y dy xdx. Ответ : e 7. y sin x y ln y. x Ответ : ln y Ctg 2 8. y (2 x 1)ctgy. Ответ : ln | cos y | x x x 9. (1 e x ) ydy e y dx 0. 3y 3(C xe x e x ) 2 C ex y Ответ : e ( y 1) ln C x e 1 10. sin y cos xdy cos y sin xdx. cos x Ответ : C cos y yx x C ; y x 2 n, n Z 11. y cos y x . Ответ : ctg 2 Ответ : 2x y 1 Ce 12. y y 2 x 3 . x 13. y 4 x y 3 . Ответ : 4 x y 3 2tg 2 x C 2 Задания для самостоятельной работы 1. 3e x sin ydx (1 e x ) cos ydy 0. 2. 3x 2 y Ответ : sin y C (e 1 2 dy xdx 0 Ответ : 3 y 3 x C ln 3 2 3. y sin x y cos x 2 cos x. 4. y sin( y x). Ответ : y C sin x 2 x 1)3 5. y ' sin( x y) sin( y x). 6. ( xy x3 y) y 1 y 2 . y tg 1 2 cos x C Ответ : ln 2 y tg 1 2 Ответ : Cx (1 x 2 )(1 y 2 ) Cx 1 7. y xy 1 x 2 y. Ответ : y x 1 8. y 2 ln xdx ( y 1) xdy 0. 1 1 2 Ответ : ln y C ln x y 2 9. (1 x3 ) y3dx ( y 2 1) x3dy 0. 1 1 Ответ : ln y 2 C x 2 2y 2x 10. ( xy x) dy y(1 x)dx 0. y2 1 Ответ : 2 y ln | y | ln | x | C 2 x 2 11. стр.11, № 51 – 65, А.Ф. Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям.