Обратная задача кондуктивного распространения тепла в

Б.Рысбайулы, д.ф.-м.н.,
Казахстанско-Британский Технический университет
(Казахстан, 050000, Алматы, ул. Толе би, 59
тел.(8-727) 2720489, Е-mail: b.rysbaiuly@mail.ru )
А.Т. Маханбетова, соискатель,
Костанайский госуниверситет
(Казахстан, 110000, Костанай, ул. Байтурсынова, 47
тел.(8-7142) 511193, Е-mail: gulshatb79@mail.ru)
Идентификация коэффициента кондуктивного
распространения тепла
Аннотация. Изучается задача распространения тепла в талой зоне. Предлагается
итерационный метод с помощью, которой определяется коэффициент теплопроводности,
и доказывается сходимость итерационного процесса. Приведены некоторые результаты
численных расчетов
1. Постановка задачи.
Экспериментальное изучение и определение коэффициентов теплопроводности,
влагопроводности и т.д. в промерзающих почвах и тонкодисперсных горных породах –
чрезвычайно сложная задача. Ее решение зависит не только от технических трудностей
экспериментального изучения, сколько от методических, непосредственно
обусловленных сложной физической природой рассматриваемого явления. Недостаток
сведений о физических и физико-химических причинах, вызывающих миграцию влаги
при промерзании, а также процессах, которые ее сопровождают, не позволяет пока
получить надежные методы количественных оценок этого явления. В серии работ /1-5/
были изучены численными методами эти явления. Там же были разработаны методика
решения задачи распространения тепла и влаги в многослойной области. В данной
работе изучается идентификация коэффициента теплопроводности распространения
температуры неоднородной области. Многие предложенные учеными методы решения
коэффициентной обратной задачи математической физики использует вариационные
методы. При этом искомый коэффициент определяется из минимума специальным
образом построенного функционала. Минимум функционала обычно определяется
градиентными методами. Основной проблемой использования градиентного метода
является построение функционала и нахождения ее градиента. Для параболического
уравнения данная проблема решена в работе /6/. Мы в свою очередь используем идею
этой работы в своих исследованиях.
В настоящей работе используется математически модель кондуктивного
распространения тепла в области Q = (0,Н)*(0,Т) /7/:



 ( )
t z
z

 (0, t )  T1 , 
z  Í  (  Tb ) z  Í  0
z
 ( z,0)   0 ( z ) , 0  z  H
Система (1)-(3) описывает процесс распространения тепла от точки z=0
z=H на поверхности земли. Ось 0z направлена вертикально вверх.
 0c
(1)
(2)
(3)
до точки
Условие
 (0, t )  Ò1 означает, что на определенном расстоянии от поверхности земли
температура грунта остается постоянной не зависимо от того зима или лето на
поверхности земли. Второе условие (2) выражает закон сохранения тепла на
поверхности земли. Где Òb  Òb (t ) - температура окружающей среды, в нашем
случае это – воздух. Условие (3) – распределение температуры в начальный
момент времени грунта вдоль оси 0z, от 0 до Н. Кроме этого считаем, что на
поверхности земли задается температура грунта. Т.е.:
 ( Н , t )  1 ( x) , t  (0, T )
(4)
Задача. Используя уравнение (1) и начально-граничных условий (2)-(4)
определить коэффициент теплопроводности грунта. Для однородного грунта
решение обратной задачи изучена в работе /8/.
2. Разностная задача.
Отрезок (0,Н) разбиваем на N равных частей с шагом z 
разбиваем на m равных частей с шагом t 
сеточная область:
H
; а отрезок (0,Т)
N
T
. В итоге разбиения получится
m
QNm  X  iz; i  0,1,..., N ;Y  Jt ; J  0,1,..., m.
В сеточной области Q Nm изучается разностная задача.
 0cYitJ 1  (YizJ 1 ) z
J 1
0
Y
 0,
Y
J 1
N,z
, i=1,2,…,N-1;
  (
J 1
1
Yi   0 ( z i ) ,
z i  ih ;
0
 Tâçä(t j 1 ))  0
J=0,1,…,m-1
J=0,1,…,m-1
i=0,1,…,N
(5)
(6)
(7)
Выбираем начальное приближение  0 . Следующее приближение коэффициента
теплопроводности определяется из минимума функционала
m 1
J ( )   YNJ 1  1 (t J 1 ) t
2
(8)
J 0
3. Сопряженная разностная задача.
Введем обозначения Yi J 1  Y , Yi J  Y . Значение функций при   n обозначим
через Y n , а при   n 1 обозначим через Y n 1 . Задача (5)-(7) справедливо при
  n и   n 1 . Обозначим Y n1  Y n  Y , n1  n   . Тогда
 0 cYt  (n 1 Yz  Yzn ) z
(9)
n YN , z  YNn,z1  0 , Y 0  0
Y0  0 ,
(10)
Из (9)-(10) получится сопряженная задача
 î ñUt  (U z ) z  0
U
m
i
U
0 ,
J
Nz
U
J
0
J 1
N
 2(Y
(11)
0
(12)
 1 (t J 1 ))
(13)
и выводится равенство
2 YN (YNJ 1  1 (t J 1 )) t   Yzn 1U z ht
J
(14)
i, j
4. Функционал.
Из (8) следует равенство
J (n 1 )  J (n )  2 YN  YNJ 1  1 (t J 1 ) t   YN  t
m 1
m 1
J 0
J 0
2
Используем равенство (14). Тогда
m 1
J (n 1 )  J (n )  2 Yzn 1U z ÿt   (YNJ 1 ) 2 t
J 0
i, j
Если   const , то
m 1 N 1
   YzJ 1U zJ ht
j  0 i 1
m 1
А, если    (z ) , то    YzJ 1U zJ t
j 0
Т.е. итерационный процесс вычисления n 1 записываются в виде
m 1 N 1
n 1  n   YzJ 1U zJ ht
j  0 i 1
5. Теоремы
или
m 1
n 1 ( z )  n ( z )   YzJ 1U zJ t
j 0
Доказаны
Теорема-1 Если n  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то для решения
системы (5)-(7) , справедлива оценка
2
2
 N 1 z 
Y J 1   YzJ 1 t  C1 1   
J
i 1 n 

 z 

YNj 1  C26 1 
 N 
Теорема-2 Если n  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то для решения
системы (11)-(13) , справедлива оценка
3
N

z 

 0c U   U z t  C3 1  
J
i 1 n ( zi ) 

Теорема-3 Если 0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) и   const , то с
2
2
помощью малой величины  0 подбираются константы C4  0, C5  0 такие,
что справедливо неравенство
C4  n 1  C5
Теорема-4 Если n  0, Tb (t ), 1 (t )  C 2 (0, T );  0 ( z )  W21 (0, H ) и    (z ) , то с
помощью малой величины  0 подбираются константы C6  0, C7  0 такие,
что справедливо неравенство
C6  n 1  C7
Теорема 5. Если 0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то схема (5)-(7)
является устойчивой по  0 ( x) и Tв (t ) .
Теорема 6. Если 0  0, Tb (t ), 1 (t )  C 1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) ,
то разностная
схема (11)-(13) является устойчивой по  0 ( x), Tâ (t ), 1 (t )
6. Численный эксперимент. Для проверки достоверности полученных
теоретических результатов проведены численные эксперименты. Изучается
  0.657;
однослойный
грунт
с
коэффициентом
теплопроводности
коэффициентом теплоемкости C  2.01; удельным весом  0  1700 . Температура
окружающей среды Tb  210 , толщина грунта 5 метр; шаг по времени 0.5 час; шаг
по пространственной переменной 0.001 м.
Значение коэффициента
Коэффициент теплопроводности
1
0,8
0,6
Ряд1
0,4
Ряд2
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Количе ство ите ра ций
Рис. 1. Динамика приближение коэффициента теплопроводности. Начальное
приближение коэффициента теплопроводности
0  0.9 . Первый ряд
приближенное значение, второй ряд точное значение.
Значение коэффициента
Коэффициент теплопроводности грунта
0,7
0,6
0,5
0,4
Ряд1
0,3
Ряд2
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Количество итераций
Рис. 2. Динамика приближение коэффициента теплопроводности. Начальное
приближение коэффициента теплопроводности 0  0.4 . Верхний график точное
значение, нижний график приближенное значение.
Значение функционала
Функционал
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Ряд1
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
Количество отераций
Рис. 3. Динамика изменение функционала.
коэффициента теплопроводности 0  1.0
Начальное
приближение
Список литературы
1.
Адамов А.А. Процессы протаивания грунта // Доклады НАН РК. -2007. -№1. - С. 16-19.
2.
Жумагулов Б.Т., Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Сходимость разностной схемы для
обобщенной задачи Стефана конвективного распространения влаги // Вестник НАН РК.
2007. - №5. - С. 30-41.
3.
Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследование изменений теплоемкости фазовой зоны в
многослойном грунте // Доклады НАН РК. 2007. -№4. - С. 14-17.
4.
Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследование теплопроводности фазовой зоны в
многослойном грунте // Вестник НАН РК. 2007. -№4. - С. 30-33.
5.
Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Зависимость влаги от толщины слоя при промерзаний
многослойного грунта // Известия НАН РК. Серия физика, математика. 2007. -№5. - С. 1518.
6.
Кабахихин С.И., Бектемисов М.А., Нурсейтова А.Т. Итерационные методы решения
обратных некорректных задач с данными на части границы.- Алматы-Новосибирск:
Типография «TST-company»,426 с.
7.
Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы
геокрилогии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. Н.А. Цытович. гл. VI стр. 153-192.
8.
Рысбайулы Б., Маханбетова Г.И. Разностная схема для обратной задачи кондуктивного
распространения тепла в однородной среде. ДАН РК, 2008, №1, ст. 15-18.