Построение графика функции 𝑦 = 𝑓 (𝑘𝑥 ) Покажем, как, зная график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), построить график 1. функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), где 𝑘 ∈ ℝ и 𝑘 ≠ 0. При этом нам достаточно рассмотреть только положительные значения 𝑘 > 0, поскольку, для построения, например, графика функции 𝑦 = 𝑓(−2𝑥), достаточно построить график функции 𝑦 = 𝑓(2𝑥), а затем симметрично отразить его относительно оси ординат. Построим график функции 𝑦 = √2𝑥 путем преобразования графика функции 𝑦 = √𝑥. При x = 6 функция 𝑦 = √𝑥. принимает значение √6. То же самое значение √6 функция 𝑦 = √2𝑥 принимает при x = 3. Значение 1 функция 1 𝑦 = √𝑥. принимает при x = 1, а функция 𝑦 = √2𝑥 - при x = . 2 Оба раза оказалось, что то же значение, что и 𝑦 = √𝑥, функция 𝑦 = √2𝑥 принимает при в два раза меньшем значении аргумента. Это верно и в общем случае: то значение, которое функция 𝑦 = √𝑥 принимает при x = 𝑥0 , то есть √𝑥0 , функция 𝑦 = √2𝑥 принимает при x = при x = 𝑥0 2 значение функции √2𝑥 равно √2 𝑥0 2 𝑥0 2 (рис. 1). Действительно, = √𝑥0 . Рисунок 2 Рисунок 1 Это означает что, если на графике функции 𝑦 = √𝑥 выбрана точка 𝑥 𝐹(𝑥0 ; √𝑥0 ), то тогда точка плоскости 𝐹 ′ ( 0 ; √𝑥0 ) принадлежит графику 𝑦 = 2 √2𝑥 (рис. 2). Эта точка имеет такую же ординату, что и точка 𝐹, а абсциссу в два раза меньшую. Точку 𝐹′ можно получить, взяв середину перпендикуляра, опущенного из точки 𝐹 на ось ординат. Такой переход от точки 𝐹 к точке 𝐹 ′ называют сжатием вдоль оси Ox с коэффициентом 2. Проделав аналогичное преобразование со всеми точками графика функции 𝑦 = √𝑥, получаем точки графика функции 𝑦 = √2𝑥 (рис.2). Следует убедиться, что таким способом мы получим все точки этого графика. Возьмем точку графика функции 𝑦 = √2𝑥 с абсциссой с, то есть точку (с; √2с). Эта точка получается из точки (2с; √2с), принадлежащей графику функции 𝑦 = √𝑥, в результате сжатия вдоль оси с Ox коэффициентом 2точки. 1 1 2 2 Возьмем теперь 𝑘 = , то есть построим график функции 𝑦 = √ 𝑥. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят Рисунок 3 к выводу, что Рисунок 4 то значение, которое функция 𝑦 = √𝑥 принимает при x = 𝑥0 , то есть 1 √𝑥0 , функция 𝑦 = √2 𝑥 принимает при x = 2𝑥0 . Таким образом, график 1 функции 𝑦 = √ 𝑥 получается из графика функции 𝑦 = √𝑥 растяжением 2 вдоль оси Ox с коэффициентом 2. 2. В общем случае при построении графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) на основе графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) применимы те же рассуждения, что и в предыдущем примере. Пусть 𝐹 точка графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) с абсциссой 𝑥0 , тогда ее ордината равна 𝑓(𝑥0) (рис.4). Точка плоскости 1 𝐹 ′ ( 𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) 𝑘 принадлежит графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), так как 1 𝑓 (𝑘 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 ). Точка 𝐹 ′ имеет такую же ординату, что и точка 𝐹, а 𝑘 1 абсциссу равную 𝑥0 . Это значит, что из каждой точки графика функции 𝑦 = 𝑘 𝑓(𝑥) «получается» точка графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), причем таким образом можно построить все точки графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥)(п.1). Отметим, что, если коэффициент 𝑘 > 1, то точка 𝐹 ′ лежит ближе к оси 𝑂𝑦 в сравнение с точкой 𝐹, а если 0 < 𝑘 < 1, то – дальше (рис.4). Поэтому в первом случае говорят о сжатии графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), а во втором – о его растяжении. Таким образом, правило построения графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) из графика функции y = f(x) формулируется следующим образом: 𝒇(𝒌𝒙) 𝒇(𝒙) График функции 𝒚 = 𝒇(𝒌𝒙),где 𝒌 > 𝟎, получается сжатием графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) вдоль оси абсцисс Ox в 𝒌 раз Если 𝟎 < 𝐤 < 𝟏, то вместо выражения «сжатие графика в 𝐤 раз » предпочтительнее 𝟏 употребить выражение «растяжение графика в 𝒌 раз» Множество значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) совпадает с множеством значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) 1 составляет множество чисел 𝑐, где 𝑐 ∈ 𝐷(𝑓) (рис.5). 𝑘 Рисунок 5 3. Пример. Дан график функции y = 𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥) = x 2 − 2x − 1. С помощью преобразования графиков построить график функции y = 𝑓(2𝑥 + 1). Формулу функции представим в виде y = 𝑓(2(𝑥 + 0,5)), тогда последовательность преобразований графиков будет выглядеть следующим образом: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑓(2𝑥) ⟹ y = 𝑓(2(𝑥 + 0,5)). Первое преобразования представляет собой сжатия в два раза вдоль оси абсцисс, а второе – сдвиг полученного графика вправо на 0,5 единиц тоже вдоль оси абсцисс (рис.6). Рис. 6 Упражнения 1. Уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет корни 1; −2; 5. Решите уравнение 𝑓(2𝑥) = 0; 𝑓(0,3𝑥) = 0. 2. Постройте график функции. a) 𝑦 = (2𝑥)3 b) 𝑦 = |3𝑥 + 1| 𝑥 2, x < 1 c) 𝑦 = 𝑓(−0,5𝑥), где 𝑓(𝑥) = { 2𝑥, x ≥ 1 d) 𝑦 = |−2𝑥 + 1| 3. На рисунке изображен график функции y = f(x). Постройте график функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), где 𝑘 = 2; −2; 0,5, −0,5. Сравните области определения и множество значений функций. b) a) Постройте график функции y = f(2x − 4); y = f(−0,5x + 2). 4. Найдите область определения функции 𝑦 = f(kx), если известна область определения функции 𝑦 = f(x). D(f) a) (1; 2] c) (−∞; 0] e) (−∞; −2) ∪ (2; ∞) k 2 -2 0,5 D(f) b) (−∞; ∞) d) [−6; 2] f) [−2; −1] K 3 -0,2 -3 5. Пусть функция 𝑦 = f(x) – периодическая с периодом 𝑇. Докажите, что 1 функция 𝑦 = f(𝑘x) также является периодической с периодом 𝑇. 𝑘 6. Будет ли обратимой функция 𝑦 = f(𝑘x), если функция 𝑦 = f(x) обратима?