определение ускорения свободного падения

СОДЕРЖАНИЕ
1.
Цель работы…………………………………………………..
4
2.
Теоретическая часть…………………………………………
4
3.
Приборы и принадлежности………………………………...
8
4.
Требования по технике безопасности……………………… 10
5.
Порядок выполнения работы……………………………….. 10
5.1. Определение ускорения свободного падения с помощью
математического маятника…………………………………. 10
5.2. Определение ускорения свободного падения с помощью
оборотного маятника………………………………………... 11
6.
Контрольные вопросы………………………………………. 12
7.
Список литературы………………………………………….. 13
3
Лабораторная работа № 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МАЯТНИКОВ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1.Определение ускорения свободного падения с помощью
математического маятника.
2.Определение ускорения свободного падения с помощью
оборотного маятника.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Математическим маятником называют систему, состоящую из
материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити,
способную совершать колебания в поле силы тяжести.
Физическим маятником называется твердое тело, способное
совершать колебания вокруг некоторой оси, не проходящей через его
центр инерции. В положении равновесия центр инерции маятника
(точка С) находится с точкой
подвеса маятника О на одной
вертикали (рис.1). При отклонении
O
l
lпр
маятника от положения равновесия
r
на угол  возникает вращательный


момент
силы
тяжести
M
относительно горизонтальной оси,
проходящей через точку О , равный:
O/



M  r,m g




где
r __ радиус вектор,
проведенный из точки О до точки
приложения силы тяжести, т.е. до
центра инерции тела (точка С ).
4
mg
Рис. 1. Физический маятник
Модуль момента силы тяжести равен:
М=l mg sin  ,
где l – расстояние от точки подвеса до точки приложения силы
тяжести, т.е. до центра инерции тела.
Воспользуемся
уравнением

Z
O
динамики вращательного движения
M
тела:



M I
(1)
где I
момент инерции тела
относительно оси вращения,
 __ угловое ускорение.
Угловое ускорение есть:
l
__
d 2
 2
dt
mg
Рис.2. Математический маятник
Уравнение (1) в проекции на ось Z можно расписать в виде:
d 2
I 2 =-mgl sin 
dt
(2)
d 2 mgl
+
sin  =0
2
I
dt
(3)
Знак минус означает, что направление вектора момента силы
тяжести противоположно направлению вектора углового ускорения
(рис. 2).
Уравнение (2) приведем к виду:
Введем обозначение
02 
mgl
I
При малых углах отклонения sin    . (Маятник совершает
гармонические колебания, если угол отклонения не превышает
примерно 8о). Придем к следующему дифференциальному
уравнению:
d 2 2
+ 0  =0
2
dt
Решение которого имеет вид:
5
 =а cos( 0t +  ).
Величина а, равная максимальному углу отклонения маятника
от положения равновесия, называется амплитудой гармонических
колебаний. Величина  __ начальная фаза,  0 __ циклическая частота.
Период колебания физического маятника равен:
Т=
2
I
=2 
0
mgl
Для математического маятника момент инерции которого равен:
I=ml2,
выражение для периода колебаний математического маятника
будет следующим:
Т=2 
l
g
(4)
Из сопоставления последних двух формул получается, что
математический маятник с длиной
lпр =
I
ml
будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический
маятник. Эту величину называют приведенной длиной физического
маятника.
Точка на прямой, соединяющая точку подвеса с центром
инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси
вращения, называется центром качания физического маятника
(точка О/ на рис. 1)). При переносе точки подвеса в центр качания
период колебания маятника будет прежним. Точка подвеса и центр
качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса
в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром
качания, и период колебаний физического маятника не изменится.
На этом свойстве взаимности основано определение ускорения
свободного падения с помощью так называемого оборотного
маятника. Он представляет собой маятник (рис 3.), у которого
имеются две параллельные друг другу закрепленные вблизи его
концов опорные призмы О1 и О2, за которые он может поочередно
подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться
на нем грузы в виде дисков. Перемещением грузов добиваются того,
6
чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период
колебаний был одинаков.
Рассмотрим произвольный случай, когда упорные призмы
находятся в произвольном положении по обеим сторонам от центра
тяжести.
а1
O1
l
а2
O2
а2
l
а1
O2
mg
mg
O1
Рис. 3. Оборотный маятник
Как видно из рис. 3, периоды колебаний маятника по
отношению к каждой оси качания будут соответственно равны:
Т1=2 
I1
mga1
Т2=2 
I2
,
mga2
(5)
где I1 , I2 – моменты инерции оборотного маятника относительно
осей качания О1 и О2,
а1 и а2 – расстояние от центра тяжести маятника до
соответствующих осей.
По теореме Штейнера момент инерции I тела относительно
произвольной оси равен моменту инерции I0 относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, плюс
произведение массы тела на квадрат расстояния от оси качания до
центра инерции. Используя эту теорему, получим:
I1= I0+m a12
и
I2= I0 +m a22 .
(6)
Тогда с учетом (6):
7
I 0  ma12
Т1=2 
mga1
и
I 0  ma22
Т2=2 
.
mga2
(7)
Если Т1= Т2=Т, то приравнивая подкоренные выражения формул
(7), получим:
I 0  ma12 I 0  ma22
,

mga1
mga2
I 0a2  ma12a2  I 0a1  ma22a1 ,
m(a22 a1  a12 a2 ) ma2 a1 (a2  a1 )
I0 

a2  a1
a2  a1
I0=m а1 а2
(8)
Подставляя I0 в формулу (7) для Т1 получаем
ma1a2  ma12
a  a2
l
 2 1
Т=2 
= 2
mga1
g
g
(9)
В этом случае если О1 –точка подвеса, то О2 __ центр качания и
наоборот, а l есть приведенная длина данного физического маятника.
Ускорение силы тяжести можно найти, зная период колебаний
маятника и приведенную длину, т.к. из (9) следует:
4  2l
g 2
T
(10)
Если Т1  Т2, то из формул (7) для Т1 и Т2, получается
T12 ga1  T22 ga2  42 (a12  a22 ) .
Отсюда
42 (a12  a22 )
g 2
.
T1 a1  T22 a2
(11)
Приборы и принадлежности
Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, включающая
в себя математический маятник, физический маятник, электросекундомер.
8
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Общий вид установки представлен на рис.4.
8
3
9
2
10
7
5
4
1
6
Рис. 4. Лабораторная установка
Установка представлена на рис.4 и включает в себя: основание
1, вертикальную стойку 2, математический и физический (оборотный)
маятники, имеющие узлы подвеса на верхнем кронштейне 3,
кронштейн 4 для установки фотодатчика, фотодатчик 5.
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 6, которые
позволяют произвести выравнивание прибора, и зажимом для
фиксации вертикальной стойки.
Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубы, на
которую нанесена миллиметровая шкала.
Математический маятник 7 имеет бифилярный подвес,
выполненный из нити, на которой подвешен груз в виде
металлического шарика, и устройство 8 для изменения длины подвеса
маятника.
Оборотный маятник имеет жесткий металлический стержень с
рисками через каждые 10 мм для отсчета длины, две призматические
опоры 9, два диска 10 с возможностью перемещения и фиксации по
всей длине стержня.
Узлы подвески математического и физического маятников
расположены на диаметрально противоположных относительно
вертикальной стойки 2 сторонах кронштейна 3.
9
Кронштейн 4 имеет зажим для крепления на вертикальной
стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика.
Установка работает от блока электронного секундомера. Для
подготовки прибора к измерениям нужно включить сетевой шнур
секундомера в питающую сеть, нажать переключатель «ON»,
находящийся на задней панели прибора, проверить, все ли
индикаторы секундомера показывают цифру ноль. Для запуска
секундомера необходимо нажать клавишу «ПУСК», для остановки
клавишу «СТОП», снять показания времени (правое табло) и числа
(левое табло) колебаний маятника. Для подготовки прибора к
следующим измерениям нажать клавишу «СБРОС». По завершению
работы переключатель на задней панели прибора перевести в
положение «OFF», выключить сетевой шнур из сети.
4. Требования по технике безопасности
4.1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с
заданием и описанием лабораторной установки.
4.2. По окончании работы выключите установку, приведите в порядок
свое рабочее место.
5. Порядок выполнения работы
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
1.
2.
Снять физический маятник с верхнего кронштейна. Установить
верхний
кронштейн
таким
образом,
чтобы
шарик
математического маятника оказался в рабочей зоне
фотодатчика. При помощи устройства 8 добиться такого
положения шарика, при котором его центральная риска будет
совпадать по высоте с риской на фотодатчике. По шкале
вертикальной стойки определить длину математического
маятника.
Привести маятник в движение, отклонив его приблизительно на
5о – 8о от положения равновесия. С помощью секундомера
измерить время 10 __ 20 полных колебаний. Опыт повторить 5
раз.
10
3.
t
n
Определить период колебаний математического маятника: Т= .
Рассчитать среднее значение периода, его абсолютную и
относительную погрешность.
4. Определить ускорение свободного падения исходя из
формулы (4).
5. Рассчитать абсолютную и относительную погрешность
измерения ускорения свободного падения.
6. Данные занести в таблицу.
Табл. 1.
Т
№
n
t
Т
l
g
(с)
(с)
(с)
(м)
(м/с)
1
2
3
4
5
ср
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА
Зафиксировать диски на стержне несимметрично таким образом,
чтобы одна из них находилась вблизи конца стержня, а другая –
вблизи его середины.
Призматические опоры маятника закрепить по обеим сторонам
центра тяжести полученной системы таким образом, чтобы они
были обращены друг другу лезвиями. Один из них поместить
вблизи свободного конца стержня, а второй – на половине
расстояния между дисками.
Проверить, соответствуют ли грани лезвий опор нарезкам на
стержне.
Подвесить оборотный маятник на призматической опоре,
находящейся вблизи конца стержня. Повернуть верхний
кронштейн так, чтобы стержень маятника находился в рабочей
зоне фотодатчика.
Привести маятник в движение, отклонив его на 5о – 8о от
положения равновесия.
С помощью секундомера измерить время 10 __ 20 колебаний.
11
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Определить период колебаний Т оборотного маятника.
Снять маятник и закрепить его на второй призматической опоре.
Определить период T1 колебаний оборотного маятника в этом
положении, повторив действия пунктов 5, 6.
Если Т1 > T, то опору переместить в направлении диска,
находящегося в конце стержня. Если же Т1 < T, то в направлении
середины стержня. Расположение диска и первой опоры не
менять.
Повторно измерить период Т1 и сравнить с величиной Т.
Изменять положение второго ножа до тех пор, пока Т1 не станет
равным Т с точностью до 0,5 %. В этом положении опыт
повторить 5 раз.
Определить приведенную длину оборотного маятника, посчитав
количество нарезок на стержне между опорами, которые
нанесены через каждые 10 мм.
Рассчитать ускорение свободного падения, используя формулу:
g
42lпр
T2
.
15. Рассчитать погрешность измерений.
16. Данные занести в таблицу (Таблица 1).
17. Сравнить экспериментальные значения ускорения свободного
падения,
полученные
с
помощью
физического
и
математического маятников, со
значением ускорения
свободного падения для данной местности.
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называется математическим маятником?
Что называется физическим маятником?
Что называется приведенной длиной физического маятника?
Сформулируйте теорему Штейнера.
Что есть «центр качания»?
Какой маятник называется оборотным?
Выведите формулы для периодов колебаний математического и
физического маятников.
12

8.
Как направлены вектор момента силы тяжести M и вектор

углового ускорения  , когда маятник движется к положению
равновесия? От положения равновесия?
7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. __ М.: Наука, 1998. __
336 с.
Трофимова Т.И. Курс физики._ М.: Высшая школа, 1994. __542 с.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа,
2000.__718 с.
13