теория вероятностей2 - Камышинский технологический
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра «Высшая математика»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть I
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
РПК «Политехник»
Волгоград
2004
УДК 519.2 (07)
Т 33
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ I: Методические указания к практическим занятиям / Сост. С. В. Мягкова, У. А. Бурцева, А. А. Кулеша; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2004. – 66 с.
Адресованы студентам всех специальностей, изучающим курс теории
вероятностей. Содержат теоретический материал, необходимый для решения задач, приводятся примеры решения задач, а также задачи для аудиторных занятий и домашних заданий.
Илл. 6. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент В. Ф. Казак.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.
© Волгоградский
государственный
технический
университет, 2004
Составители: Светлана Васильевна Мягкова,
Ульяна Анатольевна. Бурцева,
Алевтина Алексеевна Кулеша
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЧАСТЬ I
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
Под редакцией авторов
Темплан 2004 г., Поз. № 211.
Подписано в печать 31. 08. 2004 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 4,12. Усл. авт. л. 3,93.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
Отпечатано в типографии «Новый ветер», ПБОЮЛ Выдолоб Л. Ф.
Волгоградская обл., г. Камышин, ул. Ленина, 8/1.
ГЛАВА 1
КЛАССИЧЕСКОЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
Вероятность – мера возможности события. Классическое определение вероятности позволяет подсчитывать вероятность в тех случаях, когда общее число всех возможных исходов опыта конечно, они
взаимоисключают друг друга и эти исходы равновозможны.
m
, где n – общее число исходов опыта, m – число благоприn
ятных исходов, влекущих появление рассматриваемого события A.
Пример 1. Какова вероятность того, что при бросании игрального
кубика выпадет больше четырех очков?
Решение. При одном броске может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.
Благоприятные, то есть влекущие появление рассматриваемого события,
P( A)
исходы 5 и 6. Поэтому n = 6, m = 2, p =
2
1
=
6
.
3
Пример 2. Какова вероятность того, что взяв две карты из прикупа,
получим два туза?
Решение. Будем считать, что в колоде 32 карты. Взять две из них
2
можно C32
способами. Двух тузов можно взять C 42 способами. Поэтому
4!
3
2!2 !
p 2
.
32
!
248
C32
2!30 !
C42
Если общее число всех возможных исходов не конечно, то используют формулу геометрической вероятности
mesd
, где mes D – геометрическая мера всей области, а mes d
mesD
– геометрическая мера благоприятной области.
Пример 3. На отрезке [0; 1] случайным образом выбираются две точки a и
b. Какова вероятность того, что длина отрезка [a; b] окажется меньше 1 ?
P( A)
2
y1
1/2
0
1
1/2
Рис. 1.
Решение. Обозначим координаты точек a и b через x, y. Каждому
выбору точек a, b поставим в соответствие точку на плоскости с координатами (x, y). Множеством всех возможных исходов являются точки квадратoв [0, 1; 0, 1], а множеством благоприятных исходов те точки квадрата,
1
для которых x y . Считая все точки квадрата равновозможными,
2
применим формулу
mes d 3
P( A)
.
mes D 4
Упражнения
1. Найдите среди следующих случайных событий достоверные и
невозможные события:
А1 – появление 10 очков при бросании игральной кости,
А2 – появление 10 очков при бросании трех игральных кос
тей,
А3 – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,
А4 – наугад выбранное двузначное число не больше 100,
А5 – появление двух гербов при бросании двух монет.
2. Являются ли несовместными события А1 и А2:
a) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление
герба, А2 – появление цифры;
b) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление трех очков, А2 – появление нечетного числа очков,
c) испытание – бросание двух монет; события: А1 –появление
герба на одной монете, А2 – появление герба на другой монете?
3. Являются ли равновозможными события А1 и А2:
a) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление пяти очков;
b) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление четного числа очков;
c) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 –промах
при первом выстреле, А2 – промах при втором выстреле?
4. Образуют ли полную группу события:
a) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 – появление цифры;
b) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 – ни од-
ного попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания?
5. Найти сумму событий:
a) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;
b) испытание – бросание игральной кости; события: А – появление одного очка, В – появление двух очков, С – появление
трех очков;
c) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А
– выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.
6. Найти произведение событий:
a) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;
b) испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного числа очков.
Задачи
1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?
2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера
4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?
3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных.
Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:
а) нестандартной;
б) стандартной?
4. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?
5. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С,
О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?
6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой
выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?
7. Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер
наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что
выбраны нужные цифры.
Решить задачу, если забыты три последние цифры.
8. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что
вынутые наугад два шара окажутся черными?
9. Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность
того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?
10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных.
Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
11. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того,
что оба бачка с пластмассовыми поплавками.
12. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
13. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В
ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки окажутся не бракованными.
14. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того,
что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
15. В складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены
Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу
кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.
16. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
17. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность
того, что три определенные книги окажутся рядом.
18. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10
человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.
19. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что
среди купленных билетов окажется:
а) все три выигрышные;
б) ни одного выигрышного;
в) 2 выигрышных;
г) 1 выигрышный.
20. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?
21. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что
все выбранные являются мастерами спорта?
22. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов
окажутся 4 девушки?
23. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли
5 шаров. Какова вероятность того, что два из них белые, а три черные?
24. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются
наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий
2 окажутся бракованными.
25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет
хотя бы один билет.
26. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются
по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров
и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут
ровно r1 шаров, во второй r2 шаров и т. д., в n-й ящик rn шаров.
27. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей,
начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже};
В = {все пассажиры выйдут одновременно на одном и том же этаже};
С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.
28. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся
на разные месяцы года.
29. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L
равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что
точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l .
30. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что
она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.
31. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана
одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной.
Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке
следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
32. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо
в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?
33. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова
вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?
34. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность
того, что среди отобранных окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б)
хотя бы один?
35. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в
другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого
окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?
36. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.
37. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова
вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в)
нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.
38. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты
по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных
подгруппах; б) в одной подгруппе.
39. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается
сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил,
что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б)
не сдаст зачет?
40. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от
друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого
видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно
деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?
41. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в
случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.
42. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить
при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10.
Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.
43. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В
командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов.
Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1
аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать
в командировку?
44. Два лица условились встретиться в определенном месте между
18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в
течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если
приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое
время и моменты прихода независимы.
45. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка
окажется внутри вписанного в него квадрата.
46. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий.
Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность
того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака, будет принята.
Ответы
1
1/3, 1/2
19 б
91/228
33 а
2
1/6, 1/3
19 в
5/38
33 б
3
1/50,
49/50
19 г
35/76
33 в
4
1/6
20
3/10
34 а
5
1/360
21
1/22
34 б
6
1/60
22
0,302
35
7
1/90
23
0,2381
36
8
7/15
24
0,049
37 а
9
1/6
25
10
24/91
26
n r1! rn !
11
2/15
27 а
1/216
38 а
12
0,3
27 б
1/36
38 б
1
Сnk m
Cnk
r!
r
4
С15
0,110
4
С25
4
С10
4
С 25
0,0166
1
3
С15
С10
0,142
4
С25
3
2
С10
С10
0,348
5
С 20
5
С10
1
0,985
5
С30
С31 С 12
С52
0,6
3
2
4 1
5
С20
С10
С20
С10 С20
5
С30
1
5
0,9 А10
0,809
1
0,0000367
27216
37 б
9
0,0001
90000
37 в
55
5
0,0347
90000 144
7
С 12 С14
8
С16
8
0,533
15
8
6
С14
С 22 С14
8
С16
7
0,467
15
С 3294
27 в
14
½
28
15
0,4
29
L
L
40
16
14/55
30
2.
41
Р8 Р3 8!3!
0,067
Р10
10!
17
1/15
31 а
42
а) 0,125; б) 0,5
18
1/5
31 б
43
С53 С32
1
1
0,329
С 3 С 2
8
5
19 а
1/114
32
44
0,4375
45
2
.
12!
39 а
0,00005
39 б
0,901
С 3300
12 12
5/54
2 1
3
С19
С 5 С19
13
1/Р7=1/7!=1/5040=0,0
00198
Р2Р3Р2Р2/Р10=2!3!2!2!
/10! = 1/75600 =
0,0000132
1/Р5=1/5!=1/120=,008
33
46
3
С 24
0,099
С 43 С 22 С 12
6
С10
С 50
95
50
С100
0,038
0,0281
ГЛАВА 2
ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ СОБЫТИЙ И
ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло
другое.
Если события А и В независимые, то
P(AB) = P(A)P(B)
Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,8.
Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Решение. Обозначим события:
А – попадание в цель первым стрелком,
В – попадание в цель вторым стрелком.
Так как события А и В независимы, то
P(AB) = P(A)P(B) = 0,90,8 = 0,72.
2. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.
Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна P(A) =
=
90
= 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испыта-
100
нии (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то P(B) =
89
99
, если
же событие В не произо-
шло, то P(B) =
90
99
=
10
. Следовательно, события А и В – зависимые.
11
3. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В
произошло, называется условной вероятностью события А при условии,
что событие В произошло и обозначается P(A | B).
Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Решение. Обозначим события:
А – первый шар черный; В – второй шар черный.
Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b – 1 шаров, из
них b – 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии,
b 1
что произошло событие А, есть: P( B | A)
.
a b 1
Если события А и В зависимые, то P(AB) = P(A)P(B|A) или P(AB) =
P(B)P(A | B).
Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго
сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется
первого сорта (событие А1), вторая деталь – второго сорта (событие А2) и
третья деталь – третьего сорта (событие А3).
Решение.
7
5
3
P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , P( A3 | A1 A2 ) .
15
14
13
7 5 3
1
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
.
15 14 13 26
Вероятность суммы двух совместных событий:
P(A + B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Если события А и В несовместны, то
P(A+B) = P(A) + P(B).
Вероятность появления хотя бы одного события равна
P(A1A2...An) = 1 - P(Ā1)P(Ā2)...P(Ān),
где вероятность противоположного события равна P(Ā) = 1 - P(A).
Задачи
1. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, вторым 0,8, третьим 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка поразят цель.
2. Экспедиция издательства отправляет газеты в два почтовых отделения. Вероятность доставки газет вовремя в каждое почтовое отделе-
ние равна 0,9. Найти вероятность того, что:
а) оба отделения почты получат газеты вовремя;
б) оба отделения почты получат газеты с опозданием;
в) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.
3. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течении 1
часа станок не потребует внимания рабочего равна для первого станка
0,9, для второго станка 0,8, для третьего станка 0,85. Найти вероятность
того, что в течение некоторого часа ни один станок не потребует внимания рабочего.
4. В двух ящиках находятся детали. В первом 10 деталей, из них
три стандартные, во втором 15 деталей, из них 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того,
что обе детали окажутся стандартными? Обе бракованными? Хотя бы
одна стандартная?
5. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу 2
пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
6. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика
будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
7. 12 служащих военного подразделения имеют профессию слесарей-сантехников, 9 из них имеют наивысший шестой разряд. Для монтажа оборудования на объект надо направить четырех высококвалифицированных слесарей, чтобы закончить работу в срок и качественно. Выбраны первые четверо военнослужащих по алфавитному списку. Какова
вероятность того, что все четверо имеют шестой разряд?
8. В цехе 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад
выбрали 3 человека. Какова вероятность того, что выбраны мужчины?
9. Из двух колод карт наудачу вынули по карте. Какова вероятность того, что обе карты пиковые?
10. Определить надежность двух дублирующих друг друга приборов.
Надежность каждого прибора равна p. При выходе из строя одного из них
происходит мгновенное переключение на второй.
11. Экзаменующему преподавателю подан список группы из 26 человек. Известно, что 8 студентов в группе занимаются на ”хорошо”.
Наудачу из списка вызваны 2 студента. Найти вероятность того, что эти 2
студента хорошисты.
12. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны, а 2
оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего
против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то выстрела
не происходит. Найти: а) вероятность того, что повторив такой опыт два
раза подряд, мы оба раза не выстрелим, б) вероятность того, что оба раза
выстрел произойдет.
13. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно,
что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а
для другого 0,7. Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков
попадет в мишень; б) оба стрелка попадут в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень; г) хотя бы один из стрелков попадет в мишень.
14. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число
будет кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому вместе.
15. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна
0,15, во вторую зону 0,2, в третью 0,3. Найти вероятность промаха.
16. Стрелок выбивает 10 очков с вероятностью 0,1, а 9 очков с вероятностью 0,3. Найти вероятность выбить не менее 9 очков.
17. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностью
0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы
один из них попадет в мишень?
18. Производится огневой налет на склады боеприпасов. Вероятность попадания в первый склад равна 0,05, во второй 0,08, в третий 0,15.
При попадании хотя бы в один из складов происходит взрыв всех трех
складов. Определить вероятность уничтожения всех трех складов.
19. Для оштукатуривания клуба было предложено использовать два
растворонасоса, один из которых имеет 60 % износа, второй 30 %.
Насколько можно быть уверенным, что хотя бы один из насосов всегда
будет в действии?
20. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в мишень.
21. Три электролампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети
превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышении напряжения тока в цепи не будет.
22. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй 0,3, третий 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность
того, что корреспондент услышит вызов радиста.
23. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной
бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него
сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых равны 0,3, 0,4; 0,6; 0,7.
24. На стройке 4 автокрана. Для каждого автокрана вероятность того, что он работает в данный момент равна 0,8. Найти вероятность того,
что в данный момент работает хотя бы один автокран.
25. Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви потребуется обувь 37 размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из четырех
первых покупателей обувь этого размера:
а) ни кому не понадобится;
б) понадобится хотя бы одному.
26. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта.
Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего
сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.
27. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле из первого
орудия, если вероятность поражения цели из второго оружия равна 0,8.
28. Вероятность выигрыша по одному билету равна 1/7. Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем 5 билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету.
29. В урне 5 белых, 7 черных шаров и 3 красных шара. Из этой урны
один за другим вынимают все шары без возвращения и записывают их
цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый шар встретится раньше черного.
30. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные.
Найти вероятность того, что номер набран правильно.
31. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Какова
вероятность того, что из трех наудачу выбранных вопросов студент знает
не менее двух?
32. Предположим, что для одной торпеды вероятность попасть в корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль,
если для его потопления достаточно одного попадания торпеды в цель.
33. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) менее 3
дефектных.
34. В урне 2 белых и 4 черных шара. Два игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный
шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар начинающий игрок.
35. Решить предыдущую задачу в предположении, что шары не возвращаются в урну.
36. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара
окажутся белыми, равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?
37. В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых
шаров, 11 черных и 2 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6. Из
обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность то-
го, что оба шара одного цвета.
38. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того,
что студент ответит на первый и второй вопросы билета, одинакова и
равна 0,9; на третий 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы
на 2 вопроса.
39. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в
первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во
второй 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа,
имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.
40. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение
равна 0,95, во второе 0,9 и в третье 0,8. Найти вероятность следующих
событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы
одно отделение получит газеты с опозданием.
41. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов,
каждый из которых независимо от других может за это время выйти из
строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла
равна 0,9, второго 0,95, третьего 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.
42. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем
справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не немее, чем в двух справочниках.
43. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором 0,8; при третьем 0,9.
Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.
44. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и
0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы
студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
45. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй 0,6, третий 0,25. Найти вероятность того, что
в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.
46. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные – второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу их этой партии трех пальто одно
будет второго сорта.
47. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке
механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 8 часов по крайней мере двое нуждаются в общей чистке механизма.
48. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно берут наудачу 2
лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.
49. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт 7 штук, по 75 Вт 13 штук. Вытянуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что: а) они одинаковой мощности; б) хотя две из
них по 100 Вт?
50. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу
вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных
цветов; б) одного цвета?
51. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4 %, а
вследствие дефекта В 3,5 %. Годная продукция завода составляет 95 %.
Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.
52. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать
доход с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций
различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей
0,96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?
53. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью,
не меньшей Р, можно было бы утверждать, что по крайней мере один раз
произойдет событие, вероятность которого в каждом испытании равна р?
Дать ответ при р = 0,4 и Р = 0,8704.
54. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
55. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти
вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок,
если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
56. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты.
Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефектов понадобится не более трех попыток?
Ответы
1
2а
2б
2в
3
4а
4б
72/125
0,81
0,01
0,99
0,612
3/25
21/50
12 а
12 б
13 а
13 б
13 в
13 г
14
1/21
10/21
0,46
0,42
0,12
0,88
0,6
23
0,95
36
6
48 а
0,282
24
25 а
25 б
26
27
28 а
0,9984
0,36
0,64
0,384
0,7
1/75
37
38
39 а
39 б
40
41
0,347
0,636
0,032
0,316
0,316
0,788
48 б
49 а
49 б
50 а
50 б
51
0,270
0,184
0,137
0,0104
0,625
Не < 5 пакетов
4в
29/50
15
0,204
28 б
(6/7)5
42 а
0,54
52
n
5
6
7
8
9
10
11
0,5
7/9
14/55
7/24
1/16
(1-p)2
28/325
16
17
18
19
20
21
22
0,4
0,994
0,126
0,72
0,88
0,936
0,664
5/12
29
30
31
32
33
34
35
15/16
3/5
2/3
42 б
43 а
43 б
44
45
46
47
0,995
0,46
0,7
0,982
0,421
0,344
0,476
53
54
55
lg 1 P
lg 1 p
0,110;
при р = 0,4,
P = 0.8704, n 4
0,708
0,4
0,992
ГЛАВА 3
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.
ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ, МУАВРА-ЛАПЛАСА
И ПУАССОНА. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО УСПЕХОВ
Если событие А может наступить только при появлении одного из
несовместных событий (гипотез) Н1, Н2 , ... , Нn, то вероятность события
А может быть вычислена по формуле полной вероятности:
p( A)
n
i 1
p(Hi ) p( A | Hi ),
где p(Hi) – вероятность гипотезы Нi, p(A | Hi) – условная вероятность
n
события А при этой гипотезе; p( H i ) 1 .
i 1
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были p( H1 ), p( H 2 ), , p( H n ), а в результате опыта появилось событие А то, с учетом появления этого события, «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
p( H i | A)
n
p( H i ) p( A | H i )
, i 1,2, , n, где р( A) p( H i ) p( A | H i ).
p( A)
i 1
Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.
Пример. В продажу поступили электрические лампочки, причем
партия лампочек в 1000 штук поступила с одного предприятия, а партия в
500 штук – с другого. Известно, что на первом предприятии брак составляет 5 % продукции, а на втором 3 %. Какова вероятность приобрести нестандартную лампочку? Какова вероятность того, что куплена лампочка
из первой партии, если она оказалась стандартной?
Решение. Выдвинем следующие гипотезы: Н1 – купленная лампочка
принадлежит первой партии, Н2 – купленная лампочка принадлежит второй партии. Тогда
2
1
p( H 1 ) , p( H 2 ) , p( A | H 1 ) 0,05; p( A | H 2 ) 0,03 ;
3
3
2
1
0,13
p( A) 0,05 0,03
0,04(3).
3
3
3
Для получения ответа на второй вопрос воспользуемся формулой
Байеса. Вероятность
0,13 2,87
p ( A) 1
,
3
3
2
0,95
190
p ( H 1 | A) 3
.
2,87
287
3
Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и
Пуассона. Наивероятнейшее число успехов
Пусть некоторое испытание повторяется практически в одинаковых
условиях несколько раз, причем вероятность интересующего нас события
в каждом испытании и результаты разных опытов независимы. Подобные
условия опыта называются схемой Бернулли. Обозначим число испытаний через n, вероятность успеха в одном опыте p, а q = 1– p – вероятность
неуспеха. Общее число успехов может быть целым числом от 0 до n. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит
ровно k раз выражается формулой Бернулли
p n (k ) Cnk p k q n k .
Пример. Опыт заключается в трехкратном подбрасывании игральной
кости. Нас интересует появление 6 очков. Вероятность выпадения 6 очков равна
1
и все броски независимы в совокупности. Поэтому примени-
6
ма формула Бернулли. Здесь число опытов n = 3, успехом будем считать
выпадение 6 очков. Вероятность успеха в одном опыте p =
1
6
, вероят-
ность неуспеха q =
5
. Число успехов может быть любым от 0 до 3.
6
1
5
125
P3 (k ) C 3k ( ) k ( ) 3 k . p 3 (0)
,
6
6
126
15
1
p 3 (2)
, p 3 (3)
.
216
216
p 3 (1)
75
,
216
Для проверки желательно убедиться в том, что сумма всех вероятностей равна 1.
Какое из возможных значений успеха имеет самую большую вероятность? В рассмотренном примере это 0 успехов. В общем случае
наибольшая вероятность приходится на значения k, заключенные на отрезке [np - q, np +p]. Длина этого отрезка равна единице, поэтому если np
+ p не является целым числом, то наиболее вероятное k единственно и
равно целой части от np + p. Если же np + p целое, то наивероятнейших
значений два np – q и np + p. В рассмотренном примере np + p равно 4 и
6
его целая часть равна 0.
Схема Бернулли. Приближенные формулы
При больших n формула Бернулли практически не применима из-за
большого объема вычислений. Однако в этом случае существуют сравнительно простые приближенные формулы.
Локальная теорема Муавра–Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно к раз, равна
k np
1
Pn (k )
(
), x x .
npq
npq
где p вероятность появления успеха в каждом испытании,
q = 1 - p, ( x)
1
x2
2
e
.
2
Интегральная теорема Муавра–Лапласа. Вероятность того, что в n
независимых испытаниях число успехов k находится между k1 и k2, равна
k np
k np
P(k1 k k 2 ) ( 2
) ( 1
),
npq
npq
где p – вероятность появления успеха в каждом испытании,
t2
1 x 2
q = 1 - p, а ( x)
dt – функция Лапласа.
e
2 0
Отметим некоторые основные свойства функции Лапласа. (0) 0,
1
() , ( x) ( x). Функция Лапласа монотонно возрастает.
2
Формула Пуассона
В случае, когда n велико, а p мало (обычно p 0,1; npq 9 ) вместо
формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
k e
, при np.
k!
Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким
событиям.
Задачи
1. Имеется 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых
и 1 черный шар, во втором 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают
один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
2. Из урны, в которой находилось N белых и М черных шаров, потерялся один шар неизвестного цвета. Из урны извлечен наудачу один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
3. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки
С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным равна 0,9; 0,8;
0,7 соответственно. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
4. С первого станка-автомата на сборку поступают 40 %, со второго
30 %, а с третьего 20 %, с четвертого 10 % деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком 2 % бракованных, вторым 1 %, третьим 0,5 %,
четвертым 0,2 %. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку
деталь не бракованная.
5. Имеются 2 урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4
белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, 2
шара. После этого из второй урны берут один шар. Какова вероятность
того, что он белый?
6. Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?
7. На некоторой фабрике машина А производит 40 % всей продукции, а машина В 60 %. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции,
произведенной машиной А, оказывается браком, а у машины В брак 2
единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным
образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность
того, что она произведена на машине В?
Pn (k )
8. В первой урне находится один белый и 9 черных шаров, а во второй – один черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили случайным
образом по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью (свободную) урну. Найти вероятность вынуть белый шар из третьей урны.
9. Имеется две партии изделий по 10 и 12 штук, причем в каждой
партии одно бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй
партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из
второй партии.
10. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной
продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные.
11. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй
урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.
12. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого
стрелка 0,8; для второго – 0,4. Найдите вероятность того, что в мишень
попал первый стрелок, если в мишени обнаружена одна пробоина.
13. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит
25 %, вторая 35 % и третья 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет 5, 4 и 2 % соответственно. А) какова вероятность того, что случайно выбранный болт будет дефективным? Б) если болт дефективный,
то какова вероятность того, что он изготовлен первой, второй или третьей машиной?
14. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении
дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?
Рис. 2.
Рис. 3.
15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 с вероятностью 0,7; 4 с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу
выбранный стрелок не попал в цель. К какой группе вероятнее всего при-
надлежал этот стрелок?
16. На трех дочерей – Алису, Марину и Елену в семье возложена
обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40 % всей работы. Остальные 60 % работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить чтолибо равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они
слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду
мыла Алиса? Марина? Елена?
17. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны
наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны
наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.
18. В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6
непосредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для отличного стрелка равна 0,9; для хорошего 0,7; для посредственного 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный
стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.
19. Четыре стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных
стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены 3
пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.
20. Три автомата изготавливают детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность автоматов относятся 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь изготовлена на первом автомате отличного качества, равна 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,7. Найти вероятность того,
что наудачу взятая с конвейера деталь окажется отличного качества.
21. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе мимо бензоколонки относится к числу легковых машин этого же направления как
3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна
0,1; легковая 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти
вероятность того, что это грузовая машина.
22. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте
равна
1
4
, на втором
1
,
3
на третьем
1
. Рыбак забросил удочку, и рыба
2
клюнула. Найти вероятность того, что он удил на первом месте.
23. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте
1
3
, на втором месте
1
, на третьем месте равна
2
1
. Рыбак забросил удочку
4
3 раза, и рыба клюнула 1 раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу
на первом месте.
24. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок.
Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
25. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного
испорченного; б) будут два испорченных.
26. Вероятность получения удачного результата при производстве
сложного химического опыта равна
2
. Найти наивероятнейшее число
3
удачных опытов, если общее их количество равно 7.
27. Батарея дала четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность
попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий
и вероятность этого числа попаданий.
28. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три
партии из четырех или пять из восьми; 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
29. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия
равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее
число попаданий было равно 20?
30. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
31. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех
ламп останется исправной после 1000 часов работы?
32. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий
ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа, б) не менее 3 правильных ответов (предполагается, что ответы учащийся выбирает наудачу).
33. Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых состоит в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите вероятность того,
что ровно в трех испытаниях появилось по два герба.
34. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В
некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них
не больше двух девочек?
35. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы
автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии
не менее 8 автомашин.
36. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий а) ровно 3; б) менее 3; в) более 3.
37. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти
вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б)
менее 2; в) более 2.
38. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того,
что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
39. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в
400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
40. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле p
= 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит
мишень 8 раз.
41. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит
104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
42. Прядильщик обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,004. Найти вероятность
того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.
43. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор,
равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее в течение одной минуты:
позвонят 3 абонента, позвония 4 абонента?
44. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найдите вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 мальчиков; б) 90 мальчиков; в) 110 мальчиков; г) от 90 до 110 мальчиков.
45. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41 размера,
равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 100 покупателей потребует
обувь 41 размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.
46. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течении смены равна 0,8.
Найдите вероятность того, что в течении смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.
47. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора
равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов;
б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.
48. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3
изделия; б) ровно 1 изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.
49. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а)
не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
50. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных
монет число монет, расположенных “гербом” вверх, будет от 45 до 55.
51. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства.
Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти
наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
52. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того,
что каждый из образцов будет признан годным, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которое товаровед признает годными.
53. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,8, а для
второго 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба
стрелка попадут в мишень, если будет проведено 15 залпов.
54. Вероятность появления события в каждом из испытаний равна
0,3. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.
55. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска:
I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди
этих клиентов 50 % первого класса риска, 30 % второго и 20 % третьего.
Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для
первого класса риска равна 0,01, второго 0,03, третьего 0,08. Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
56. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5 : 8 : 7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия
составляют 90 %, второй 85 %, третьей 75 %. Найти вероятность того,
что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
57. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго 0,3. В
мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежала первому стрелку.
58. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем
первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустил нестандартное изделие, равна 0,01, второй 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие
проверялось вторым контролером.
59. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятность 0,96, а в случае изделия с дефектом с вероятностью 0,05. Определить: а) какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия?
б) какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, бракованное?
60. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8
черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и
опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно
вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из
второй урны, белые.
61. Из п экзаменационных билетов студент А подготовил только
т (т < n). В каком случае вероятность вытащить на экзамене «хороший»
для него билет выше: когда он берет наудачу первым или вторым, …, или
k – м (k < n) по счету среди сдающих экзамен?
62. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t
равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за
время t сохраняться: а) два; б) более двух.
63. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей
имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.
64. Производится залп из шести орудий по объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.
65. В среднем по 15 % договора страхования компания выплачивает
сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением
страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.
66. Предполагается, что 10 % открывающихся малых предприятий
прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того,
что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят
свою деятельность?
67. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и
девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее трех мальчиков; б) не более трех мальчиков.
68. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более ве-
роятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? б) не менее 2 партий
из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничья в расчет не принимается).
69. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.
70. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей,
раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет: а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.
71. В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день
рождения студента приходится на определенный день года, равна
1
.
365
Найти а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность такого события; б) вероятность того, что по крайней мере 3 студента имеют один и тот же день рождения.
72. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того,
что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти
вероятность того, что а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.
73. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет одинаковое
количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
74. Известно, что в среднем 60 % всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему
равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?
75. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно,
равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из 200 перфокарт правильно
набитых будет не меньше 180; б) у того же оператора из десяти перфокарт будет неверно набитых не более двух.
76. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно
выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов
работу успешно выполнят: а) 180 студентов, б) не менее 180 студентов.
77. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100
млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
78. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число
годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая
деталь будет бракованной, равна 0,1?
79. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда,
равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
80. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти: а) с
вероятностью 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных
среди проверенных 900 деталей; б) вероятность того, что доля стандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,8 до 0,11.
81. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90 % всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля
взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не
более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?
82. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами,
продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно
было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них
отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
83. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них,
страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания
потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины
всех средств, поступивших от клиентов?
Ответы
1
13/30
14
2
N
N M
15
3
0,83
16
37 а
0,224
48
37 б
0,1992
49 а
0,89
29
37 в
0,5769
49 б
0,89
27
ко
второй
28
24, 25
17
30
38
0,0782
49 в
0,11
5
0,52
18
31
39
0,0498
50
0,68
6
20/21
19
0,088
32 а
0,088
20
0,77
32 б
0,104
0,088
4
7
0,273
51
14
0,0006
52
14, 15
21
3/7
33
42
0,1562
53
7
9
22
3/13
34
43
первое
54
100, 101
10
23
256/715
35
44
8
38/105
40
41
11
12
13
6/17
24
36 а
0,0613
45
25
36 б
0,9197
46
36 в
0,019
47
26
5
ГЛАВА 4
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения называются случайной величиной. Например, время ожидания автобуса
на остановке, число свободных мест в вагоне поезда и т. д. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д.
Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.
Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы:
X
P
Здесь,
x1
x2
x3
...
xn
p1
p2
p3
...
pn
x1 , x 2 , x3 , , x n – все возможные различные значения
случайной величины, а p1, p2 , p3 ,, pn – вероятности, с которой слуn
чайная величина принимает соответствующие значения, Pi 1
i 1
Пример 1. Имеется 10 деталей, 6 из них стандартные. Опыт состоит в
том, что мы случайным образом выбираем две детали. Составить ряд
распределения числа выбранных стандартных деталей.
Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с
дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что
выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.
Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей
2
45 . Число благоприятных вариантов для выбора только неравно C10
стандартных деталей равно C 42 6 Число благоприятных вариантов для
выбора одной исправной детали равно C 14 C 14 24 . число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно C62 15 .
Таким образом,
p0
6
45
2
15
; p1
24
45
8
15
; p2
15
1
.
45
3
Составим ряд распределения
0
Х
1
2
1
3
Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1. p i 1.
8
15
2
15
Р
Не всегда можно задать случайную величину указав вероятность
каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать,
указав ее функцию распределения.
Определение. Функция F(x)=P(X<x) называется интегральной
функцией распределения случайной величины X или просто функцией
распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами.
1. Монотонностью, то есть, если x y, то F x F y .
2.
3.
Для любых
0 F x 1.
lim F ( x) 1,
x справедливо
lim F ( x) 0,
x
x
С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность
попадания случайной величины Х в интервал [a, b].
Pa X b F b F a .
Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее
функция распределения F(x). Заметим, что в этом случае вероятность
каждого значения случайной величины равна нулю. Будем считать, что
существует функция f x такая, что
x
F x f t dt при всех
x.
В этом случае функцию f x назовем плотностью распределения
случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения.
Справедливо равенство f x F x . Вероятность попадания случайной
величины Х в интервал (а, b) можно посчитать по формуле
b
Pa X b f t dt .
a
Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины Х,
заданной рядом распределения. Построить график.
Х
-1
0
2
Р
0,1
0,4
0,5
Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось OX на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если x 1 , то событие
X x невозможно и в этом случае F x 0 . Если 1 x 0, то событие
имеет место тогда и только тогда, когда X 1 , то есть
F x P X x P X 1 0,1.
-1
0
х
2
Если 0 x 2 , то событие может произойти только в том случае, если Х = - 1 или Х = 0, то есть
F x P X x P X 1 X 0 P X 1 P X 0 0,1 0,4 0,5.
И, наконец если x 2 , то событие достоверно и F x 1. На координатной плоскости построим график.
F(x)
1
0,5
-1
0,1
0
2
x
Рис. 4.
Пример 3. Найти функцию плотности непрерывной случайной вели 0, x 0,
чины, заданной функцией распределения f ( x) x 2 , 0 x 1,
1, x 1.
Построить графики функции распределения и плотности распределения. Найти вероятность попадания в интервал 1 ,2 .
3
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения
(функцию плотности):
0,
f x f x 2 x,
0,
x 0,
0 x 1,
x 1.
Построим график функции распределения (рис. 5) и график плотности распределения (рис. 6)
F(x)
1
0
1
x
1
х
Рис. 5
Р(х)
2
1
0
Рис. 6
Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал
1 8
1 1
1
3 ,2.P 3 X 2 f x dx 2 xdx F 2 F 3 1 9 9 .
1
1
2
1
3
3
Задачи
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
Р
2
0,3
4
0,1
5
Р3
6
0,4
Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).
2. Дан ряд распределения случайной величины
Х
Р
-2
Р1
-1
0,2
0
0,2
1
0,4
2
0,1
Требуется: а) построить многоугольник распределения;
б) построить F(x);
в) найти P1 X 1.
3. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная
величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения
и функцию распределения F(x).
4. Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность
отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
5. Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и
функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».
6. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x)
числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность
попадания равна 0,4.
7. В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных,
выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.
8. Случайная величина Е задана функцией распределения
F (x)
0,
x 2 2 ,
1,
x 2,
2 x 3,
x 3.
Найти: а) f(x); б) P1 E 2,5 ; в) P2,5 E 3,5 .
0,
9. Дано: f (x) 1,
0,
x 1,
1 x 2,
x 2.
Построить F (x ) и начертить ее график.
10. Дано: f (x)
0,
x 0,
1
0
x ,
sin x,
2
x .
0,
б) Найти: P 0 x .
а) Построить F (x ) ;
0,
2
0,
11. Дано: f (x) x 1 ,
4
x 1,
1 x 2,
x 2.
Найти и построить ее график F (x) .
x 1,
0,
12. Дано: F (x) 1 x 1, 1 x 1,
2
x 1.
1,
Найти: f x , построить графики F (x ) и f (x ) .
x 0,
0,
13. Дано: F (x) x , 0 x 1,
1,
x 1.
Найти: f x , построить графики F x и f x .
14. Дано: F x
1
x
,
2
0,
2 x 2 3 x 1, 1 x 3 ,
2
2
1,
3
x .
2
Найти: f (x ), построить графики F x и f x .
0,
2
15. Дано: F x x x ,
2 2
1,
x 1,
1 x 2,
x 2.
Найти: f x , построить графики F x и f x .
0,
16. Дано: F (x) cos 2 x,
1,
x
3
4
3
,
4
x ,
x
Найти: f (x ), построить графики F (x ) и f (x ).
1
x ,
0,
2
2
17. Дано: F (x) 2 x 3 x 1, 1
3
x ,
2
2
1
,
x
3
.
2
Найти: f (x ), построить графики F (x ) и f (x ).
0, x 0
18. Дано:
F ( x) sin 2 x, 0 x .
4
1, x 4
Найти: f (x ), построить графики F (x ) и f (x ).
x 0,
0,
19. Дано: f (x) 2 x, 0 x 1,
0,
x 1.
1
P x 1.
2
Найти:
1
x
,
2
0,
20. Дано: f (x) 4 x 3, 1 x 3 ,
2
2
0,
3
x
.
2
Найти: P1 x 3 .
2
0,
0,
x 0,
21. Дано: f (x) cos x,
0x ,
x
2
.
2
Найти: P 0 x .
2
0,
x 1,
22. Дано: f (x) x 1 , 1 x 2,
2
x 2.
0,
Найти: P1 x 1 1 .
2
x ,
0,
6
23. Дано: f (x) 3 sin x,
x ,
6
3
0,
x
.
3
Найти: P x .
6
3
24. Дано: f (x)
Найти: P 3 x 2 .
2
0,
3
2x ,
2
0,
x 0,
0 x 2,
x 2.
0,
x 0,
Найти: C.
25. Дано: f x C sin 2 x,
0x ,
2
0,
x
.
2
2C
26. Дано: f x
. Найти: C.
1 x 2
Ответы:
0,
0,3,
1.
F x 0,4,
0,6,
1,
4.
Х
0
Р
0
,729
x 2,
2 x 4,
2. в) 0,8.
4 x 5,
5 x 6,
x 6.
1
0
,243
2
0
,027
3
0
,001
5. а)
Х
0
1
2
0,
5
3. F x ,
6
1,
3
Р
x 0,
0,
1
8 , 0 x 1,
4
б)
f ( x) , 1 x 2,
8
7 , 2 x 3,
8
x 3.
1,
6.
Х 0
1
2
3
Р 0
0
0
0
,729
,243
,027
,001
7.
Х 0
1
2
x 0,
0 x 1,
x 1.
Р 0
0
0
,36
,48
,16
x 2,
0,
8. а) f ( x) 2 x 2 , 2 x 3, б) 0,25; в) 0,75.
0,
x 3.
0,
x 1,
0,
x 0,
1 cos x
9. f ( x) x 1, 1 x 2, 10. f ( x)
, 0 x ,
1,
2
x 2.
x .
1,
0,
x 1
x 2 x
11. f ( x)
, 1 x 2
2
x2
1,
1
c
.
2
12.
3
; 20. 1; 26. с = 1; 27.
4
ГЛАВА 5
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной
величины на соответствующие вероятности. Обозначается математичеn
ское ожидание через М(Х). М(Х) xi pi . Математическое ожидание
i1
характеризует среднее значение случайной величины.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины,
заданной рядом распределения:
Х
-2
1
3
Р
0,3
0,5
0,2
М(Х) = -20,3 + 10,5 + 30,2 = 0,5
Свойства математического ожидания:
1)
2)
3)
4)
М(С) = С, где С – константа;
М(СХ) = С М(Х);
М(Х У) = М(Х) М(У);
М (ХУ) = М(Х) М(У), если Х и У независимые случайные величины.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического
ожидания и обозначается D(X).
n
D( X ) ( xi M ( X )) 2 pi.
i 1
Дисперсия характеризует разброс случайной величины, её отклонение от среднего значения. Для практических целей более удобно пользоваться следующей формулой:
D( X ) M ( X 2 ) M ( X ) 2 .
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины, заданной в примере 1.
Решение.
1 способ. Пользуясь определением, найдём D(X).
D(X) = (- 2 – 0,5)2 0,3 + (1 – 0,5)2 0,5 + (3 – 0,5)2 0,2 = 6,25 0,3 +
0,25 0,5 + 6,25 0,2 = 3,25.
2 способ. Составим ряд распределения для случайной величины Х2.
Х2
Р
4
0,3
1
0,5
9
0,2
М(Х2) = 40,3 + 10,5 + 90,2 = 3,5.
М2(Х) = 0,25.
D(X) = 3.5 – 0.25 =3.25.
Свойства дисперсии:
1) D(C) = 0, где С – константа;
2) D(CX) = C2D(X);
3) D (X У) = D(X) + D (У), если Х и У независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение (стандарт) случайной величины – это D( X ).
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание
и дисперсия вычисляются по формулам:
M ( X ) x f ( x)dx; D( X ) ( x M ( X )) 2 f ( x)dx.
Обычно дисперсию вычисляют по формуле:
D( X ) M ( X 2 ) M 2 ( X ); здесь M ( X 2 ) x 2 f ( x)dx.
0, x 0,
Пример 3. Пусть F ( x) x 2 , 0 x 1,
1, x 1.
Найти математическое ожидание, дисперсию.
0, x 0,
Так как f ( x) 2 x, 0 x 1, то найдём математическое ожидание.
0, x 1.
M (X )
x
f ( x)dx
0
x
1
f ( x)dx x
0
1
0
f ( x)dx x
1
M ( X 2 ) x 2 f ( x)dx x 2 2 xdx
x4
2
2 x3
f ( x)dx
3
1
0
2
.
3
1
0
1
.
2
2
D( X ) M ( X 2 ) M 2 ( X )
1 2
1
.
2 3
18
Задачи
1. Производится беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей, из
которых 1 выигрыш на 100 рублей, 5 на 20 рублей, 10 на 5 рублей, 184 на
2 рубля. Определить справедливую цену билета (сумма выигрышей равна
сумме проигрышей).
Ответ: М(Х) = 3,09 рубля
2. Строительная площадка имеет форму квадрата. Данные теодолитной съёмки измерений занесены в таблицу:
Х
335
340
345
350
355
360
365
Р
0,05
0,08
0,16
0,42
0,16
0,08
0,05
Х – сторона квадрата. Найти М(Х).
Ответ: М(Х) = 350
3. Случайная величина задана законом распределения:
Х
1
2
3
4
Р
0,1
0,1
0,3
0,5
Найти М(Х), D(Х), σ(Х).
Ответ: М(Х) = 3,2; D(Х) = 0,96; σ(Х) = 0,979
4. Найти математической ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом
распределения F(Х):
а)
х
-3
-2
1
5
Р
0,1
0,2
Р3
0,3
Ответ: Р3 = 0,4; М(Х) = 1,2; D(Х) = 8,16; σ(Х) = 2,86.
б)
Х
-4
6
10
Р
0,2
0,3
0,5
Ответ: М(Х) = 6; D(Х) = 25,12; σ(Х) = 5,09.
в)
Х
1
3
4
6
Р
Р1
0,3
0,2
0,1
Ответ: Р1 = 0,4; М(Х) = 2,7; D(Х) = 2,61; σ(Х) 1,6.
г)
Х
0
1
2
3
Р
0,064
0,096
0,240
0,600
Ответ: М(Х) = 2,376; D(Х) 0,892; σ(Х) 0,94.
д)
Х
1
3
5
Р
0,3
0,4
0,3
Ответ: М(Х) = 3; D(Х) = 2,4; σ(Х) = 1,55.
е)
Х
-2
4
7
Р
0,5
Р2
0,3
Ответ: М(Х) = 1,9; D(Х) = 16,29; σ(Х) 4,04.
ж)
Х
-2,1
1,2
Р
0,7
0,3
Ответ: М(Х) = -1,11; D(Х) = 2,2869; σ(Х) 1,51.
з)
Х
1
2
5
Р
0,3
0,5
0,2
Ответ: М(Х) = 2,3; D(Х) = 2,01; σ(Х) 1,41.
и)
Х
-2
0
1
3
Р
0,1
Р2
0,3
0,2
Ответ: М(Х) = 0,7; D(Х) = 2,01; σ(Х) 1,41.
к)
Х
-1,2
2,1
Р
0,7
0,3
Ответ: М(Х) = 0,21; D(Х) = 2,287; σ(Х) 1,13.
5. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных
значения Х1 = 4 с Р1 = 0,5, Х2 = 7 с вероятностью Р2 = 0,3 и Х3 с вероятностью Р3. М(Х) = 8,3. Найти: Х3 и Р3.
Ответ: Х3 = 21; Р3 = 0,2.
6. Дано Х – дискретная случайная величина:
Х
2
5
Р
Р1
Р2
М(Х) = 4,1
Найти: Р1 и Р2
Ответ: Р1 = 0,3; Р2 = 0,7.
7. Дано:
0, если x 0,
1
f ( x) x, если 0 x 2,
2
0, если x 2.
Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)
Ответ: M ( X )
4
2
2
, D( X ) , ( X )
.
3
9
3
8. Дано:
0, если x 0,
f ( x) 2 x, если 0 x 1,
0, если x 1.
Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)
Ответ: M ( X )
2
1
2
, D( X ) , ( X )
.
3
18
6
9. Дано:
0, если x 2,
f ( x) 1, если 2 x 3,
0, если x 3.
Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)
Ответ: M ( X )
5
1
3
, D( X ) , ( X )
0.29 .
2
12
6
10. Дано:
1
0, при x 2 ,
1
3
f ( x) 4 x 3, при x ,
2
2
3
0, при x 2
Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)
Ответ: M ( X )
4
, D( X ) 15,7, ( X ) 15,7 .
3
11. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично,
наугад извлекли 3 работы. Найдите закон распределения числа отличных
работ в выборке, математическое ожидание и дисперсию.
12. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии
наугад взято 2 детали. Найдите закон распределения числа стандартных
деталей в выборке, математическое ожидание и дисперсию.
13. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего,
равна для первого станка 0,7; для второго 0,75; для третьего 0,8; для четвёртого 0,9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего.
14. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х
равны соответственно 2 и 9. Найти математическое ожидание и дисперсию величины: а) Х + 3, б) 2Х – 5, в) –3Х + 9. Чему равно математическое
ожидание величины Х2 – Х?
15. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайных
величин X, У, Z = 2X + У, U = XУ.
Х
1
3
5
У
-2
0
Р
0,3
0,3
0,4
Р
0,4
0,6
Ответ: М ( X ) 3,2; М (У ) 0,8; М (2 Х У ) 5,6;
М ( Х У ) 2,56
16. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.
17. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при
каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения
числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.
18. В рекламных целях фирма вкладывает в каждую десятую единицу
товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения
случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
19. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа
возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое
ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение этой случайной величины.
20. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос
приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
21. В среднем по 10 % договоров страховая компания выплачивает
страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить
закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных
четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
22. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой
задачи равна 0,9, второй 0,8, третей 0,7. Составить закон распределения
числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
23. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8, и
уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения
числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение этой
случайной величины.
24. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в
мишень первым стрелком равна 0,8, вторым 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание,
дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу).
Х=
1
2
0
,
0,06 0,38 0,56
М(Х) = 1,5;
D(Х) = 0,37;
Ответ:
F ( x ) 0, при х 0; 0,06 , при 0 х 1; 0,44 , при 1 x 2;
1, при х 2
25. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, построить
функцию распределения.
1
2
3
0
,
Ответ: Х =
0,06 0,29 0,44 0,21
М(Х) = 1,8;
D(Х) = 0,7;
26. Дан ряд распределения случайной величины
Х:
хi
pi
2
4
h1
p2
Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.
Ответ:
F ( x) 0, при х 2; 0,3, при 2 х 4;
1, при х 4
27. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и
найти функцию распределения случайной величины, выражающей число
белых гвоздик среди двух одновременно взятых.
1 2
0
,
Ответ: Х =
0,3 0,6 0,1
F ( x) 0, при х 0; 0,3, при 0 х 1; 0,9, при 1 x 2; 1, при х 2 .
28. Их 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони».
Наудачу для осмотра были выбраны 3. Составить закон распределения
числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.
0
Х
0,17
Ответ:
1
0,5
2
0,3
3
0,03
29. Среди 15 отобранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной
смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в
дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа.
0
Ответ: Х =
0,04196
1
0,25175
2
0,41958
3
0,23976
4
0,04496
5
0,00200
30. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора.
Составить закон распределения случайной величины – числа импортных
телевизоров из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию
распределения этой случайной величины и построить ее график.
Ответ:
0
Х= 1
14
1 2 3
3 3 1
7 7 14
1
1
13
F ( x) 0, при х 0; , при 0 х 1; , при 1 x 2; , при 2 х 3; 1при x 3
14
2
14
31. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга
свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетил студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2
3
4
1
,
Ответ: Х =
0,3 0,21 0,147 0,343
М(Х) = 2,533;
D(Х) = 1,5349;
32. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы.
2
Вероятность правильно ответа на один вопрос равна . Составить закон
3
распределения числа заданных студенту вопросов.
Ответ:
1
Х 1
3 9 27 27
2
2
3
4
4
8
33. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ,
равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров,
которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.
Ответ:
2
3
4
5
1
Х
, M ( X ) 2,3056 ; D( X ) 1,9626 ;
0
,
4
0
,
24
0
,
144
0
,
0864
0
,
1296
34. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего –
0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной
сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов,
сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание
этой случайной величины.
Ответ:
1
Х
0,10
2
0,18
3
,
0,72
M ( X ) 2,62
35. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания
при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается
на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов,
израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Ответ:
2
3
4
1
, б ) M ( X ) 1,72; D( X ) 1,0816 ;
а ) Х
0,6 0,2 0,08 0,12
36. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке
механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая
найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и,
найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон
распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Ответ:
1
Х 7
2
7
3
7
4
1 , M ( X ) 1,375 ; D( X ) 0,401;
10 30 120 120
37. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
этой случайной величины.
Ответ:
2
3
4
1
, M ( X ) 2,5; D( X ) 1,25; ( Х ) 1,12
Х
0,25 0,25 0,25 0,25
38. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона,
однако помнит, что она была нечетная. Составить закон распределения
числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный
номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру
в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию
распределения этой случайной величины.
2
3
4
5
1
;
M ( X ) 3;
Ответ: X
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
F ( x) 0, при х 1; 0,2, при 1 х 2; 0,4, при 21 x 3; 0,6, при 3 х 4;
0,8 при 4 x 5; 1 при x 5
39. Дана функция распределения случайной величины Х:
x 1,
0,
0,3, 1 x 2,
F x
0,7, 2 x 3,
1,
x 3.
Найти: а) ряд распределения; б) М(Х), D(Х); в) построить многоугольник распределения и график F(х).
1 2 3
, б ) M ( X ) 2; D( X ) 0,6;
а) Х
0,3 0,4 0,3
Ответ:
40. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Х:
xi
0
pi
0,2
1
3
0,5
?
и Y:
yi
2
3
pi
0,4
?
Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины 3X –
2Y и проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсий: M(3X – 2Y) = 3M(X) – 2M(Y), D(3X – 2Y) = 9D(X) + 4D(Y).
Ответ:
3
5
6 4 3 1
,
Z 3 X 2Y
0
,
12
0
,
08
0
,
30
0
,
20
0
,
18
0
,
12
M ( X ) 1,4;
M (Y ) 2,6; M ( Z ) 1,0; D( X ) 1,24; D (Y ) 0,24; D( Z ) 12 ,12
41. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий производимых в течение смены на каждом из них:
а) для первого
Х:
б) для второго
xi
0
1
2
pi
0,1
0,6
0,3
Y:
yi
0
2
pi
0,5
0,5
Необходимо составить закон распределения числа производимых в
течение смены бракованных изделий обоими станками; б) проверить
свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Ответ:
1
2
3
4
0
,
а ) Z Х Y
0
.
05
0
,
30
0
,
20
0
,
30
0
,
15
б ) M ( X ) 1,2; M (Y ) 1,0; M ( Z ) 2,2
42. Одна из случайных величин задана законом распределения:
xi
-1
0
1
pi
0,1
0,8
0,1
а другая имеет биноминальное распределение с параметрами п = 2, р
= 0,6. Составить закон распределения их суммы и найти математическое
ожидание этой случайной величины.
Ответ:
0
1
2
3
1
, M ( Z ) 1,2
0,016 0,176 0,436 0,336 0,036
Z X Y
43. Случайные величины Х и Y независимы и имеют один и
тот же закон распределения:
Значение
Вероятность
1
2
4
0,2
0,3
0,5
Составить закон распределения случайных величин 2Х и Х + Y.
Убедиться в том, что 2Х Х + Y, но М(2Х) = М(Х + Y).
Ответ:
2 4 8
Z 2 X
0,2 0,3 0,5
3
4
5
6
8
2
; U X Y
0,04 0,12 0,09 0,20 0,30 0,25
M ( X ) M (Y ) 2,8; M ( Z ) M (2 X ) 5,6; M (U ) M ( X Y ) 5,6
44. По данным примера 43 убедиться в том, что Х2 XY. Проверить
равенство М(XY) = [М(X)]2.
Ответ:
4 16
2
4
8
16
1
1
; U X Y
Z X 2
0,2 0,3 0,5
0,04 0,12 0,29 0,30 0,25
M ( X ) M (Y ) 2,8; M (U ) M ( X Y ) 7,84 2,8 2
45. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. Необходимо: а) составить закон распределения общего числа попаданий; б)
найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
1
2
3
4
0
а ) Z
0
,
0144
0
,
1104
0
,
3124
0
,
3864
0
,
1764
Ответ:
б ) M ( Z ) np1 np2 2,6; D ( Z ) np1q1 np2 q 2 0,9
46. Пусть X, Y, Z – случайные величины: Х – выручка фирмы, Y– ее
затраты, Z=X–Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:
Х:
xi
3
4
5
pi
1/3
1/3
1/3
Ответ:
1
Z
1 6
Y:
2
1 3
yi
1
2
pi
1/2
1/2
4
1 6
3
1 3
47. Пусть Х – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z = XY в пересчете по курсу доллара Y, если выручка не
зависит от курса Y, а распределение X и Y имеют вид:
Х:
xi
1000
2000
pi
0,7
0,3
Y:
yi
25
27
pi
0,4
0,6
48. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А
и 15 тыс. руб. в компанию В. Компания А обещает 50 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40 % годовых,
но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения
случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от
двух компаний через год, и найти ее математическое ожидание.
49. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения:
Х:
xi
1
2
3
4
5
pi
0,2
0,3
0,3
0,1
0,1
Найти условную вероятность события Х < 5 при условии, что X > 2.
50. Случайные величины Х1 и Х2 независимы и имеют одинаковое
распределение
xi
0
1
2
3
pi
1/4
1/4
1/4
1/4
а) Найти вероятность события Х1 + Х2 > 2.
б) Найти условную вероятность Px1 3 [( X 1 X 2 ) 2].
51. Распределение дискретной случайной величины Х задано формулой р(Х=k)=Сk2, где k = 1, 2, 3, 4, 5.
а) Найти константу С; б) вероятность события Х – 2 1.
52. Распределение дискретной случайной величины Х определяется
формулой
P(X = k) = C/2k, k = 1, 2, 3, …
Найти: а) константу С; б) вероятность Р(X 3).
53. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [– 1;3], задана
1
1
функцией распределения F ( x) x . Найти вероятность попадания
4
4
случайной величины Х в интервал [0; 2]. Построить график функции F(x).
54. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [2; 6], зада1 2
х 4 х 4 . Найти вероятность
на функцией распределения F ( x)
16
того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4; б) меньше
6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.
55. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [1; 4], за-
дана квадратичной функцией F ( x) ах 2 bx c, имеющей максимум
при х = 4. Найти параметры a, b, c и вычислить вероятность попадания
случайной величины Х в интервал [2; 3].
при х 0,
0
( x)
56. Дана функция
Схе х
при х 0.
При каком значении параметра С эта функция является плотностью
распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
57. Случайная величина Х
x0
0,
F x х 2 , 0 x 1
1,
x 1
задана
функцией
распределения
Найти: а) плотность вероятности (х); б) математическое ожидание
в)дисперсию D(X); г) вероятности Р(Х=0,5), P(X<0,5), P(0,5X1); д) построить графики (х) и F(x) и показать на них математическое ожидание
М(Х) и вероятности, найденные в п. г.
М(Х);
58. По данным примера 55 найти а) моду и медиану случайной величины Х;
59. По данным примера 55 найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.
ГЛАВА 6
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормально распределенная случайная величина Х имеет плотность
вероятности:
f ( x)
1
2
e
( x a) 2
2 2
, где M ( X ) a.
Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина Х попадёт в интервал (; ) равна:
t2
1 х 2
a
a
Р( х )
е dt.
, где ( х)
2 0
Задачи
1. Нормально распределённая случайная величина Х задана плотностью распределения: f ( x)
1
( x 3) 2
50
e
5 2
Найти её математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию.
Ответ: М ( Х ) 3; D( X ) 25; ( X ) 5.
2. Нормально распределённая случайная величина Х задана функ-
цией распределения: f ( x)
1
( x 2) 2
18
e
3 2
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.
3. Нормально распределённая случайная величина Х задана диффе
1
ренциальной функцией: f ( x)
( x 5) 2
32
e
4 2
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.
4. Нормально распределённая случайная величина Х задана плотно-
стью распределения: f ( x)
1
( x 1) 2
98
e
7 2
Найти её математическое ожидание и дисперсию.
5. Нормально распределённая случайная величина Х задана функцией распределения: f ( x)
1
x2
8
e
2 2
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.
6. Написать дифференциальную функцию нормально распределённой случайной величины Х, зная, что её математическое ожидание равно
4, а дисперсия равна 25.
7. Написать плотность распределения нормально распределённой
случайной величины Х, зная, что её математическое ожидание равно 8, а
среднее квадратическое отклонение равно 3.
8. Случайная величина нормально распределена. Найти её дифференциальную функцию, если математическое ожидание равно
(- 4), а дисперсия равна 16.
9. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины равно 12, а её дисперсия равна 36. Написать плотность
распределения этой величины.
10. Написать дифференциальную функцию нормально распределённой случайной величины Х, если её математическое ожидание равно 17, а
дисперсия 12.
11. Найти вероятность попадания нормально распределённой случайной величины.
а) в интервале (3; 8), если М(Х) = 3, (Х) = 2.
Ответ: 0,4938
б) в интервале (10; 50), если М(Х) = 30, (Х) = 10.
Ответ: 0,9544
в) в интервале (12; 14), если М(Х) = 10, (Х) = 2.
Ответ: 0,1359
г) в интервале (15; 25), если М(Х) = 20, (Х) = 5.
Ответ: 0,6828
д) в интервале (13; 18), если М(Х) = 3, (Х) = 4.
Ответ:
е) в интервале (0; 4), если М(Х) = 2, (Х) = 1.
Ответ: 0,9544
ж) в интервале (5; 10), если М(Х) = 8, D(Х) = 9.
Ответ: 0,1972
з) в интервале (-1,6; 1,6), если М(Х) = 1,2, (Х) = 0,8.
Ответ: 0,6910
и) винтервале (-10; 10), если М(Х) = -3, D(Х) = 64.
Ответ: 0,757
к) в интервале (0; 4), если М(Х) = 3, (Х) = 1.
Ответ: 0,840
12. Случайная величина Х распределена нормально с математическим
ожиданием 10 и средним квадратическим отклонением = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с
вероятностью 0,9973 попадёт величина Х в результате испытания.
Ответ: (-5; 25).
13. Среднее квадратическое отклонение нормально распределённой
случайной величины Х равно 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью
0,9973 попадёт Х в результате испытания.
Ответ: в = 30 мм.
14. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием равным 8 и средним квадратическим отклонением =
0,8. Найти интервал, в который с вероятностью 0,999 попадёт Х в результате испытания.
Ответ: (5,6; 10,4).
15. Найти интервал, в который с вероятностью 0,998 попадёт нормально распределённая величина Х, если её М(Х) = 10, = 8,7.
Ответ: (11, 19).
16. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9975 попадёт нормально распределённая величина Х, если её М(Х) = 15, = 1.
Ответ: (12, 18).
17. Случайная величина Х распределена нормально с математическим
ожиданием 12 и средним квадратическим отклонением = 5. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадёт Х в результате испытания.
Ответ: (-3; 27).
18. Среднее квадратическое отклонение нормально распределённой
случайной величины равно 12 мм. Найти длину интервала, в который с
вероятностью 0,9975 попадёт в результате испытания величина Х.
Ответ: 6 = 72 мм.
19. Станок автомат изготовляет валики, причём контролируется их
диаметр Х. Считая, что Х нормально распределена с математическим
ожиданием 10 и средним квадратическим отклонением = 0,1. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9981 будут заключены диаметры валиков.
Ответ: (9,7; 10,3)
20. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная
длина), равным 50 мм. Фактическая длина изготовленной детали не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того ,что длина наудачу
взятой детали:
а) больше 55 мм;
б) меньше 40 мм.
Ответ: а) Р(55 < X < 68) = 0,0822; б) Р(32 < X < 40) = 0.026.
21. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
22. По данным примера 21 найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение доли (частоты) выигравших облигаций среди приобретенных.
23. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биноминальный закон распределения с параметрами п и р.
24. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени
t равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших
за время t элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время t
откажет хотя бы один элемент.
25. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба
по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что
для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.
26. В магазине имеются 20 телевизоров, из них 7 имеют дефекты.
Необходимо: а) составить закон распределения числа телевизоров с дефектами среди выбранных наудачу пяти; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность
того, что среди выбранных нет телевизоров с дефектами.
27. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого числа. Полагая, что при
отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону,
найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что
ошибка округления: а)меньше 0,04; б) больше 0,05.
28. Средне время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая,
что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции
распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.
29. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед.
1) Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не
ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. 2) С помощью правила трех
сигм найти границы, в которых будет находится текущая цена акции.
30. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение
последнего года 20 % рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75 %
выше 90 ден. ед. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день
покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед.; в) с
надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной
бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).
31. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя
масса равна 540 г. Известно, что 5 % коробок имеют массу, меньшую 500
г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550
г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?
32. Случайная величина Х имеет следующую функцию распределения: F(x) = 0,5 + 0,5 Ф(х – 1). Из какого интервала (1; 2) или (2; 6) она
примет значение с большей вероятностью?
33. Квантиль уровня 0,15 нормально распределенной случайной величины Х равен 12, а квантиль уровня 0,6 равен 16. Найти математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
34. 20 – ти процентная точка нормально распределенной случайной
величины равна 50, а 40 процентная точка равна 35. Найти вероятность
того, что случайная величина примет значение в интервале (25; 45).
35. Месячный доход семей можно рассматривать как случайную величину, распределенную по логнормальному закону. Полагая, что математическое ожидание этой случайной величины равно 1000 ден. ед., а
среднее квадратическое отклонение 800 ден. ед., найти долю семей, имеющих доход: а) не менее 1000 ден. ед.; б)менее 500 ден. ед.
36. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3 %. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3 %.
37. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день.
Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150.
38. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не
более, чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же
события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
39. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.
40. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взя-
тая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5 см. Уточнить
вероятность того же события, если известно, что длина случайно взятой
детали имеет нормальный закон распределения.
41. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних
квадратических отклонений (по абсолютной величине).
42. В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый
прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других.
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля
надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).
43. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета
равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того,
что доля сдавших в срок все экзамены из 2 000 студентов заключена в
границах от 0,66 до 0,74.
44. Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили.
Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на
заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в
которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.
45. В среднем 10 % работоспособного населения некоторого региона
– безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11 % (включительно).
46. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70 % числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не
меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от
математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
47. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой
случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01
(по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
48. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали
из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность
того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если
известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.
49. Сколько нужно провести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица значений локальной функции Лапласа
( x)
х
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
1
2
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,0540
0,0440
0,0355
e
x2
2
0,01
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,1276
0,1092
0,0925
0,0775
0,0644
0,0529
0,0431
0,0347
0,02
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,1257
0,1074
0,0909
0,0761
0,0632
0,0519
0,0422
0,0339
0,03
0,3988
0,3956
0,3885
0,3778
0,3637
0,3467
0,3271
0,3056
0,2827
0,2589
0,2347
0,2107
0,1872
0,1647
0,1435
0,1238
0,1057
0,0893
0,0748
0,0620
0,0508
0,0413
0,0332
0,04
0,3986
0,3951
0,3876
0,3765
0,3621
0,3448
0,3251
0,3034
0,2803
0,2565
0,2323
0,2083
0,1849
0,1626
0,1415
0,1219
0,1040
0,0878
0,0734
0,0608
0,0498
0,0404
0,0325
0,05
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
0,0488
0,0396
0,0317
0,06
0,3982
0,3939
0,3857
0,3739
0,3589
0,3410
0,3209
0,2989
0,2756
0,2516
0,2275
0,2036
0,1804
0,1582
0,1374
0,1182
0,1006
0,0848
0,0707
0,0584
0,0478
0,0387
0,0310
0,07
0,3980
0,3932
0,3847
0,3725
0,3572
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,1163
0,0989
0,0833
0,0694
0,0573
0,0468
0,0379
0,0303
0,08
0,09
0,3977
0,3925
0,3836
0,3712
0,3555
0,3372
0,3166
0,2943
0,2709
0,2468
0,2227
0,1989
0,1758
0,1539
0,1334
0,1145
0,0973
0,0818
0,0681
0,0562
0,0459
0,0371
0,0297
0,3973
0,3918
0,3825
0,3697
0,3538
0,3352
0,3144
0,2920
0,2685
0,2444
0,2203
0,1965
0,1736
0,1518
0,1315
0,1127
0,0957
0,0804
0,0669
0,0551
0,0449
0,0363
0,0290
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0044
0,0277
0,0219
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0043
0,0270
0,0213
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0042
0,0264
0,0208
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0040
0,0258
0,0203
0,0158
0,0122
0,0093
0,0071
0,0053
0,0039
0,0252
0,0198
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0038
0,0246
0,0194
0,0151
0,0116
0,0088
0,0067
0,0050
0,0037
0,0241
0,0189
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0036
0,0235
0,0184
0,0143
0,0110
0,0084
0,0063
0,0047
0,0035
0,0229
0,0180
0,0139
0,0107
0,0081
0,0061
0,0046
0,0034
Приложение 2
Таблица значений интегральной функции Лапласа
t2
Ф( x )
х
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
1 x 2
dt
e
2 0
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4270
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4839
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,07
0,0279
0,0675
0,01064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,08
0,09
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
2,7
2,8
2,9
3
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
Приложение 3
Таблица значений функции
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
k e
p(k )
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
k!
k\
0
1
2
3
4
5
6
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,2
0,8187
0,1637
0,0164
0,0011
0,0000
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0003
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0000
0,7
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0000
0,8
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,9
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
k\
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0688
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0263
0,0142
0,0071
0,0033
0,0014
0,0006
0,0002
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0573
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
0,0029
0,0014
0,0006
0,0000
0,0005
0,0023
0,0076
0,0189
0,0378
0,0631
0,0901
0,1126
0,1251
0,1251
0,1137
0,0948
0,0729
0,0521
0,0347
0,0217
0,0128
0,0071
0,0037
0,0019
ЛИТЕРАТУРА
1. Агаров Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учебное пособие
для вузов. – М.: Высшая школа, 1994. – с.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистики
– М.: Высшая школа, 1981. – с .
3. Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1979. – с.
4. Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Высшая
школа, 1993. – с.
5. Солодовников А. С. Теория вероятностей – М.: Просвещение,
1983. – с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1
Классическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность………………………............................3
Глава 2
Вероятность произведения и суммы событий и появления хотя
бы одного события………………........................................................11
Глава 3
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение
испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона.
Наивероятнейшее число успехов……………………………………
18
Глава 4
Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд
распределения. Интегральная и дифференциальная функция
распределения…………………………………………………………
30
Глава 5
Числовые характеристики случайных
величин……………………..
Глава 6
Нормальный закон распределения…………………...........................
54
Приложение
………………………………………………………..............................
61
Литература
………………………………………………………..............................
64
39
