Реферат на тему: Псевдообратная матрица План: Введение 1 Определение 2 Свойства 3 Особые случаи 4 Происхождение 5 Вычисление 6 Применение Введение Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице A обозначается A + . Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Э. Х. Муром* (Moore) и Роджером Пенроузом *. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Обобщенное обращение (Generalized inverse) включает в себя псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как наилучшую аппроксимацию (по методу наименьших квадратов) решения соответствующей системы линейных уравнений (см. далее в применении). Псевдообращение определено для любых матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью собственного представления матрицы. 1. Определение A + называется псевдообратной матрицей для матрицы A, если она удовлетворяет следующим критериям: 1. AA + A = A; 2. A + AA + = A + (A + является слабым обращением в мультипликативной полугруппе); 3. (AA + ) * = AA + (это означает, что AA + — эрмитова матрица); 4. (A + A) * = A + A (A + A — тоже эрмитова матрица). Здесь M * — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел M * = MT). Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных: (смотрите регуляризация Тихонова). Этот предел существует, даже если (AA * ) − 1 и (A * A) −1 не определены. 2. Свойства Псевдообращение обратимо, более того, эта операция обратна самой себе: (A + ) + = A. Псевдообращение коммутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением: (AT) + = (A + )T, , (A * ) + = (A + ) * . Псевдообратное произведения матрицы A на скаляр α равно соответствующему произведению матрицы A + на обратное число α - 1: (αA) + = α − 1A + , для α ≠ 0. Если псевдообратная матрица для A * A уже известна, она может быть использовано для вычисления A + : A + = (A * A) + A * . Аналогично, если матрица (AA * ) + уже известна: A + = A * (AA * ) + . 3. Особые случаи Если столбцы матрицы A линейно независимы, тогда матрица A * A обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой A + = (A * A) − 1A * . Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с δ. Отсюда следует что A + — левая обратная матрица для A: A + A = I . Если строки матрицы A линейно независимы, тогда матрица AA * обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой A + = A * (AA * ) − 1. Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел убирается слагаемое с δ. Отсюда следует, что A + — правая обратная матрица для A: AA + = I . Если и столбцы и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), псевдообращение равно обращению: A + = A − 1. Если A и B таковы, что произведение AB определено, и o либо A * A = I, o либо BB * = I, o либо столбцы A линейно независимы и строки B линейно независимы, тогда (AB) + = B + A + . Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что их будут считать матрицами. Псевдообратный к скаляру x — ноль, если x — ноль, и обратный к x в противном случае: Псевдообратный для нулевого вектора — транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для иного вектора — сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины: Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных. 4. Происхождение Если (A * A) − 1 существует, то Ax = b, A * Ax = A * b, (A * A) − 1(A * A)x = (A * A) − 1A * b, x = (A * A) − 1A * b, что порождает понятие псевдообращения A + = (A * A) − 1A * . 5. Вычисление Пусть k — ранг матрицы A размера . Тогда A может быть представлена как A = BC, где B — матрица размера и C — матрица размера . Тогда A + = C * (CC * ) − 1(B * B) − 1B * . Если A имеет полнострочный ранг, то есть k = m, тогда в качестве B может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до A + = A * (AA * ) − 1. Аналогично, если A имеет полностолбцовый ранг, то есть, k = n, имеем A + = (A * A) − 1A * . Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использование собственного представления матрицы (СПМ). Если A = UΣV * — собственное представление A, тогда A + = VΣ + U * . Для диагональной матрицы, такой как Σ, псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали. Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц. Если псевдоинверсия известна для некой матрицы и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена с помощью специальных алгоритмов, требующих меньшего количества расчётов. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами. 6. Применение Псевдоинверсия реализирует решение метода наименьших квадратов для системы линейных уравнений (СЛУ) *. При этом для данной системы Ax = b ищется вектор x, который минимизирует невязку , где обозначает евклидову норму. Общее решение неоднородной системы Ax = b представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы Ax = 0. Лемма: Если (AA * ) − 1 существует, тогда решение x всегда представимо как сумма решения псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы: x = A * (AA * ) − 1b + (1 − A * (AA * ) − 1A)y. Доказательство: Здесь вектор y случаен (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица A * (AA * ) − 1. Переписав её в форме A + , приведём выражение к форме: x = A + b + (1 − A + A)y. Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это наилучшее приближение к настоящему решению. Это значит, что корректирующий член имеет минимальную евклидову норму. Следующий член даёт решение однородной системы Ax = 0, потому что (1 − A + A) — оператор проектирования на ядро оператора A, тогда как (A + A) = A * (AA * ) − 1A — оператор проектирования на образ оператора A.