doc - Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Институт прикладной математики
им. М. В. Келдыша РАН
В. А. Сарычев
Равновесные ориентации и устойчивость
осесимметричного спутника-гиростата
на круговой орбите под действием
гравитационного момента
Москва, 2010г.
1
Уравнения движения спутника-гиростата (круговая орбита)
Ap  (C  B)qr  302 (C  B)a32a33  h2r  h3q  0,
Bq  ( A  C )rp  302 ( A  C )a33a31  h3 p  h1r  0,
(1)
Cr  ( B  A) pq  302 ( B  A)a31a32  h1q  h2 p  0;
p  (  0 )a21    p  0a21,
q  (  0 )a22   sin   q  0a22 ,
(2)
r  (  0 )a23   cos   r  0a23.
a11  cos( x, X )  cos cos  ,
a12  cos( y, X )  sin  sin   cos sin  cos  ,
a13  cos( z, X )  sin  cos   cos sin  sin  ,
a21  cos( x,Y )  sin  ,
a22  cos( y,Y )  cos  cos  ,
a23  cos( z,Y )   cos  sin  ,
a31  cos( x, Z )   sin  cos  ,
a32  cos( y, Z )  cos sin   sin  sin  cos  ,
a33  cos( z, Z )  cos cos   sin  sin  sin  .
n
n
n
i 1
i 1
i 1
(3)
Здесь h1   Jiii , h2   Ji ii , h3   Ji ii .
Более удобно использовать параметры
h1  0h1, h2  0h2, h3  0h3.
2
Положения равновесия спутника-гиростата
  0,   0,    0.
Пусть A  B  C . Тогда из (1) – (2) имеем
(C  B)(a22a23  3a32a33)  h2a23  h3a22  0,
( A  C )(a23a21  3a33a31)  h3a21  h1a23  0,
(B  A)(a21a22  3a31a32 )  h1a22  h2a21  0.
(4)
4( Aa21a31  Ba22a32  Ca23a33 )  (h1a31  h2a32  h3a33 )  0,
Aa11a31  Ba12a32  Ca13a33  0,
( Aa11a21  Ba12a22  Ca13a23 )  (h1a11  h2a12  h3a13 )  0.
(5)
2  a 2  a 2  1,
a11
a11a21  a12a22  a13a23  0,
12
13
2  a 2  a 2  1, a a  a a  a a  0,
a21
22
23
11 31
12 32
13 33
2  a 2  a 2  1, a a  a a  a a  0.
a31
21 31
22 32
23 33
32
33
(6)
Прямая задача: заданы параметры A, B, C, h1, h2, h3 . Необходимо
определить 9 направляющих косинусов.
4(C  B)a32a33
4( A  C )a33a31
4(B  A)a31a32
, a12 
, a13 
,
F
F
F
(7)
4( I3  A)a31
4( I3  B)a32
4(I3  C )a33
a21 
,
a22 
,
a23 
.
F
F
F
a11 
2  Ba 2  Ca 2 .
Здесь F  h1a31  h2a32  h3a33, I3  Aa31
32
33
3
2 a 2  (C  A)2 a 2 a 2  ( A  B)2 a 2 a 2 ] 
16[( B  C )2 a32
33
33 31
31 32
 (h1a31  h2a32  h3a33 )2 ,
4( B  C )(C  A)( A  B)a31a32a33 
[h1( B  C )a32a33  h2 (C  A)a33a31  h3( A  B)a31a32 ]
(h1a31  h2a32  h3a33 )  0,
(8)
2  a 2  a 2  1.
a31
32
33
I. Частный случай h1  0, h2  0, h3  0. Тогда из (8) следует
2 a 2  (C  A)2 a 2 a 2  ( A  B)2 a 2 a 2 ]  h 2a 2 ,
16[( B  C )2 a32
33
33 31
31 32
2 32
(C  A)[h22  4(B  A)(B  C )]a31a32a33  0,
(9)
2  a 2  a 2  1.
a31
32
33
Положения равновесия:
a11  1, a22  a11a33, a33  1;
a13  1, a22  a13a31, a31  1;
a11  1, a22   x, a23  a11a32 , a32   1 x 2 , a33   xa11;
a13  1, a21  a13a32 , a22   y, a31  ya13, a32   1 y 2 ;
(10)
a11  4 ya33, a12  a21a33, a21   116 y 2 , a22  4 y, a33  1;
a12  a23a31, a13  4 xa31, a22  4 x, a23   116 x2 , a31  1.
Здесь x 
h2
h2
, y
.
4(B  C )
4(B  A)
Условия существования положений равновесия.
Достаточные условия устойчивости положений равновесия (10)
4
Интеграл энергии (постоянство Гамильтониана) – функция
Ляпунова
1 ( Ap2  Bq 2  Cr 2 )  3  2[( A  C )a 2  (B  C )a 2 ] 
31
32
2
2 0
(11)
1
2
2
2
2
 0 [( B  A)a21  ( B  C )a23]  0 (h1a21  h2a22  h3a23 )  const.
2
A  C  0, ( B  A)  h2a22  0, 4( B  C )  h2a22  0;
C  A  0, (B  C )  h2a22  0, 4(B  A)  h2a22  0;
A  C  0, C  B  0, h22  4( A  B)(C  B) or
C  A  0, C  B  0, h22  4( A  B)(C  B);
A  C  0, A  B  0, h22  4( A  B)(C  B) or
(12)
C  A  0, A  B  0, h22  4( A  B)(C  B);
A  C  0, A  B  0, h22  4( A  B)(C  B);
C  A  0, C  B  0, h22  4( A  B)(C  B).
II. Частный случай h1  0, h2  0, h3  0.
2 a 2  (C  A)2 a 2 a 2  ( A  B)2 a 2 a 2 ] 
16[(B  C )2 a32
33
33 31
31 32
 (h1a31  h3a33 )2 ,
a32{4(B  C )(C  A)( A  B)a31a33 
(13)
[h1( B  C )a33  h3( A  B)a31](h1a31  h3a33)}  0,
2  a 2  a 2  1.
a31
32
33
5
III. Общий случай: h1  0, h2  0, h3  0.
2 a 2  (C  A)2 a 2 a 2  ( A  B)2 a 2 a 2 ] 
16[( B  C )2 a32
33
33 31
31 32
 (h1a31  h2a32  h3a33 )2 ,
4( B  C )(C  A)( A  B)a31a32a33 
[h1( B  C )a32a33  h2 (C  A)a33a31  h3( A  B)a31a32 ]
(h1a31  h2a32  h3a33 )  0,
(8)
2  a 2  a 2  1.
a31
32
33
I. Случай h1  0, h2  0, h3  0.
R. W. Longman – 1968; R. W. Longman, P. Hagedorn, A. Beck – 1981;
В. А. Сарычев, С. А. Мирер – 2001; В. А. Сарычев, С. А. Мирер,
А. А, Дегтярев – 2005.
II. Случай h1  0, h2  0, h3  0.
R. W. Longman – 1971; В. А. Сарычев, С. А. Мирер, А. А. Дегтярев – 2008.
III. Случай h1  0, h2  0, h3  0.
В. А. Сарычев, С. А. Гутник – 1984.
6
Осесимметричный спутник-гиростат ( A  B  C).
4( A  B)a21a31  h1a31  h2a32  h3a33  0,
( A  B)a11a31  0,
( A  B)a11a21  h1a11  h2a12  h3a13  0,
2  a 2  2  1, a a  a a  a a  0,
a11
12 13
11 21
12 22
13 23
(14)
2  a 2  a 2  1, a a  a a  a a  0,
a21
22
23
11 31
12 32
13 33
2  a 2  a 2  1, a a  a a  a a  0.
a31
32
33
21 31
22 32
23 33
Случай 1
a11  0,
4( A  B)a21a31  h1a11  h2a32  h3a33  0,
h2a12  h3a13  0,
2  a 2  1,
a12
13
2  a 2  a 2  1,
a21
22
23
(15)
2  a 2  a 2  1,
a31
32
33
a12a22  a13a23  0,
a12a32  a13a33  0,
a21a31  a22a32  a23a33  0;
7
Случай 2
a31  0,
h2a32  h3a33  0,
( A  B)a11a21  h1a11  h2a12  h3a13  0,
2  a 2  a 2  1,
a11
12
13
2  a 2  a 2  1,
a21
22
23
(16)
2  a 2  1,
a32
33
a11a21  a12a22  a13a23  0,
a12a32  a13a33  0,
a22a32  a23a33  0.
Из (15)–случай 1-получаем после достаточно простых вычислений
a11  0, a12  
h3
h22  h32
, a13 
a22  a13a31, a23  a12a31,
a32  a13a21, a33  a12a21,
h2
h22  h32
,
(17)
4( A  B)a21a31  h1a31 a21 h22  h32  0,
2  a 2  1.
a21
31
Рассмотрим последние два уравнения системы (17), переписав их в
виде
4a21a31  ma31 na21  0,
2  a 2  1,
a21
31
(18)
h22  h32
h1
где m 
, n
.
A B
A B
Систему (18) можно переписать несколько иначе:
2  8ma3  (m2  n2 16)a 2  8ma  m2  0,
16a21
21
21
21
a31 
na21
.
4a21  m
(19)
8
На рис. 1, 2, 3 представлены три различных варианта взаимного
расположения ветвей гипербол и окружности.
Рис.1. Взаимное расположение окружности
и ветвей гиперболы ( m  n 1)
Рис.2. Взаимное расположение окружности
и ветвей гиперболы ( m  n  2 )
9
Рис.3. Взаимное расположение окружности
и ветвей гиперболы ( m  n 1.6 )
Таким образом, система (18), а, следовательно, и система (17) имеет
либо восемь, либо четыре решения.
Определим границы в плоскости параметров m, n , разделяющие
области с различным числом решений системы (18).
Бифуркационными точками являются точки плоскости m, n ,
принадлежащие одновременно ветвям гипербол, не проходящих
через начало координат, и окружности; в бифуркационных точках
касательные к гиперболе и окружности совпадают. Опуская
достаточно простые выкладки, приходим к уравнению астроиды
m2 / 3  n2 / 3  42 / 3.
(20)
В области m2 / 3  n2 / 3  42 / 3 существуют восемь решений, в
области m2 / 3  n2 / 3  42 / 3 существуют четыре решения.
Случай 2 может быть рассмотрен аналогично. Применив
использованный в случае 1 подход, можно показать, что и в случае
2 границей, отделяющей область существования восьми решений
10
от области существования четырех решений, также является
астроида
m2 / 3  n2 / 3 1
(21)
На рис.4 представлены астроиды (20) и (21), выделяющие в
плоскости m, n три области с различным числом положений
равновесия осесимметричного спутника-гиростата. В области
m2 / 3  n2 / 3 1 существуют 16 решений, в области m2 / 3  n2 / 3 1,
m2 / 3  n2 / 3  42 / 3 существуют 12 решений, в области
m2 / 3  n2 / 3  42 / 3 существуют 8 решений.
Рис.4. Области существования 16, 12 и 8 положений равновесия
11
Достаточные условия устойчивости положений равновесия
Интеграл (11) для осесимметричного спутника-гиростата ( B  C )
принимает вид
1
1
2  a2 ) 
[ Ap 2  B(q 2  r 2 )  ( A  B)(3a31
21
2
2
(h1a21  h2a22  h3a23 )  const.
(22)
Представим
   0   ,   0   ,    0  
.
Тогда интеграл энергии может быть записан следующим образом:
1
1
2  a 2 ) 2 
[ Ap 2  B(q 2  r 2 )  {3( B  A)(a31
11
2
2
[( B  A)(3sin 2 0 1)cos20  h1a21  h2a22  h3a23] 2 
(23)
2a21(h2 sin  0  h3 cos  0 )  (h2a22  h3a23) 2}   const.
В случае 1 (B  A  0) достаточные условия устойчивости
выполняются в областях
0  sin 0 1,
m  4sin 0  0
(24.1)
и
1 sin 0  0,
m  4sin 0  0.
(24.2)
12
В случае 2 (B  A  0) достаточные условия устойчивости
выполняются в областях
0  sin 0 1,
m  sin3 
0
0
(25.1)
и
1 sin 0 1,
m  sin3 0  0.
(25.2)
Космические исследования, 2010, №2.
Численный счет.
Осесимметричный спутник под действием гравитационного и
аэродинамического моментов
Препринт ИПМ, 2010.
13