Расчетно-графическая работа №3

Расчетно-графическая работа №3
по дисциплине «Дискретная математика»
Выбор варианта осуществляется по последней цифре зачетной книжки.
Задание 1
Для заданной булевой функции трех переменных F(x, y, z):
а) Вычислите значение функции F(x, y, z) при заданных значениях аргументов
x=1, y=0, z=0
б) Постройте таблицу истинности, найдите аналитическую форму булевой функции
в СДН-форме и СКН-форме.
в) Разложите булеву функцию F(x, y, z) по переменной z.
г) Найдите двумя способами многочлен Жегалкина и дайте ответ на вопрос, является
ли данная булева функция линейной.
д) С помощью эквивалентных преобразований приведите функцию к тупиковой
ДНФ, КНФ, СДН-форме и СКН-форме.
е) Найдите тремя способами (на кубе, методом Квайна и с помощью карт Карно)
МДНФ и МКНФ.
ж) Каким классам Поста принадлежит эта функция?
1. F(x, y, z)= x  y  z  x ;

2.
3.
4.
5.
6.
  
F(x, y, z)=  x  y    z  x  ;
F(x, y, z)=  x  y    z  x  ;
F(x, y, z)=  x  y    z  x  ;
F(x, y, z)=  x  y    z  x  ;
F(x, y, z)=  x y    z  x  ;
7. F(x, y, z)=  z  x    y x  ;
  

8. F(x, y, z)= x y  z  x ;

  
9. F(x, y, z)= z  x  x y ;
 
10. F(x, y, z)=  z  x   x y .
Задание 2
Булева (логическая) функция четырех переменных задана номерами наборов
аргументов, на которых она принимает значение, равное единице.
а) Постройте таблицу истинности.
б) Вычислите значение функции F(x1, x2, x3, x4) при заданных значениях аргументов
x1=1, x2=0, x3=1, x4=0.
в) Найдите аналитическую форму булевой функции и приведите функцию к СДНФ
и СКНФ.
г) С помощью эквивалентных преобразований приведите функцию к ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ.
д) Найдите двумя способами (методом Куайна и с помощью карт Карно) МДНФ и
МКНФ.
е) Постройте релейно-контактную схему с заданной функцией проводимости.
ж) Постройте логический элемент заданной функции булевой функции:
Задание 3
Является ли полной система функций? Образует ли она базис?
1. J  x  y, x  y ;
2. J  x  y, x  y ;
3. J   x  y, x y  ;
4. J  x  y, x  y ;
5. J  x  y, x  y ;
6. J   x  y, x y  ;
7. J  x  y , x  y ;
8. J  x  y , x  y ;
9. J   x  y , x y ;
10. J  x  y , x  y.
Задание 4. Найдите множество истинности для следующих двухместных
предикатов, заданных на указанном множестве своих переменных. Сравните предикаты
Р1(х; у) и Р2(х;у)= Р1(у;x), если задана высказывательная форма
1. «y делится на x»; Мх ={2,3,6}; Мy={2,3, 9,12, 15}.
2. «y < x»; Мх ={2, 3, 6, 8}; Мy={2, 3, 6, 9}.
3. «| x – y | < 2»; Мх ={5, 6,}; Мy=={3, 5, 7}.
4. «| x – y | >2»; Мх ={3,6,}; Мy={2, 5, 7}.
5. «| x – y | > 2»; Мх ={3,8}; Мy={2, 5, 7}.
6. « x 2  y 2  12 », Мх ={1, 2, 3}; Мy={3, 4}.
7. « x 2  y 2  20 », Мх ={1, 2, 3}; Мy={2; 4}.
8. «x<y+4», Мх ={2,3,6,8}; Мy={1, 5}.
9. «x<y +4», Мх ={1,3,6,8}; Мy={2, 5}.
10. « x  y  5 », Мх ={1,6,9}; Мy={2, 10}.
Задание 5. Решите задачу:
1. После анализа химических свойств некоторого класса веществ было установлено,
что:
1) если вещество обладает свойством А и В, то оно обладает и свойством С;
2) если имеют место свойства В и Д, то имеет место А или С;
3) если имеет место свойство В, но не имеет места А, то имеет место С или Д;
4) если вещество не обладает свойством С и обладает свойством В, то свойство А
отсутствует.
Упростите информацию.
2. Петя решил поступить в МГУ и послал домой три сообщения:
1) Если я сдам математику, то я и сдам физику я сдам только при условии, что не
заволю сочинения.
2) Не может быть, чтобы я завалил сочинение и математику.
3) Достаточное условие завала по физики - это двойка по сочинению.
После сдачи экзаменов оказалось, что из трех Петиных сообщений, только одно
было ложным. Как Петя сдал экзамены?
3. Решите задачу. Андрей, Ваня и Саша собрались в поход. Учитель хорошо
знавший этих ребят, высказал следующие предположения:
1)Андрей пойдет в поход только тогда, когда пойдут Ваня и Саша.
2)Андрей и Саша друзья, а это значит, что они пойдут в месте или же оба останутся
дома.
3)Чтобы Саша пошёл в поход, необходимо, чтобы пошёл Ваня.
Когда ребята пошли в поход, оказалось, кто учитель немного ошибся: из трех его
утверждений истинными оказались только два. Кто из названных ребят пошел в поход?
4. После анализа химических свойств некоторого класса веществ было установлено,
что:
1) если вещество обладает свойством А и В, то оно обладает и свойством С;
2) если имеют место свойства В и Д, то имеет место А или С;
3) если имеет место свойство В, но не имеет места А, то имеет место С или Д;
4) если вещество не обладает свойством С и обладает свойством В, то свойство А
отсутствует.
Упростите информацию.
5. На факультативном занятии по математической логике учитель сообщил
школьникам, собирающимся в туристический поход по родному краю, следующие
сведения о готовящемся походе:
1) Будут приобретены новые палатки, новые рюкзаки, и школьники пойдут в
поход.
2) Палатки и рюкзаки приобретаться не будут, и школьники в поход не пойдут.
3) Будут приобретены новые палатки, рюкзаки приобретаться не будут, школьники
пойдут в поход.
Отметив, что, по крайней мере, одно из четырех сообщений абсолютно верно,
учитель попросил учеников наилучшим образом упростить всю полученную информацию
и представить ее в виде одного простого условия.
6. Администрация морского порта издала следующие распоряжения:
1) Если капитан корабля получает специальное указание, он должен покинуть порт
на своем корабле.
2) Если капитан не получает специального указания, он не должен покидать порта
или впредь лишается возможности захода в этот порт.
3) Капитан или лишается впредь возможности захода в этот порт, или не получает
специального указания.
Как можно упростить эту систему распоряжений?
7. Командир осажденной крепости послал следующие три сообщения:
1) Если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет угрожать смерть от
голода.
2) Если нам не удастся получить продовольствие, то нам или будет угрожать
смерть от голода, или мы попытаемся прорвать кольцо окружения.
3) Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы попытаемся прорвать кольцо
окружения.
Покажите, как можно сократить эти сообщения, не меняя их смысла.
8. После анализа химических свойств некоторого класса веществ было установлено,
что:
1) если вещество обладает свойством А и В, то оно обладает и свойством С;
2) если имеют место свойства В и Д, то имеет место А или С;
3) если имеет место свойство В, но не имеет места А, то имеет место С или Д;
4) если вещество не обладает свойством С и обладает свойством В, то свойство А
отсутствует.
Упростите информацию.
9. Мистер Г., владелец магазина, сообщил в милицию, что его ограбили. По этому
обвинению были арестованы три подозрительных личности: А, В и С. На основании
показаний Г., данных им под присягой, было установлено, что:
а) Каждый подозреваемый А, В и С в день ограбления был в магазине и никто туда
больше не заходил.
Следствием были установлены следующие неопровержимые факты:
б) если А виновен, то у него был ровно один сообщник;
в) если В невиновен, то С тоже невиновен;
г) если виновны ровно двое подозреваемых, то А – один из них;
д) если С невиновен, то В тоже невиновен.
Против кого из них было выдвинуто обвинение?
10. По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено
следующее:
а) если А и В виновны, то С был их соучастником;
б) если А виновен, то по крайней мере один из двух В и С был его соучастником;
в) С всегда «ходит на дело» вместе с Д;
г) если А не участвовал в ограблении, то там был Д.
Какие выводы можно сделать отсюда? Можно ли отсюда заключить, что В виновен?
Можно ли отсюда заключить, что виновны А либо Д?