Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. Красная,76 тел. 259-84-01 E-mail:cdodd@mail.ru КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и критерии оценки заданий к работе № 2,2014-2015 учебный год Задание 1 . Какое из чисел больше: а) 5300 или 3500 б) 234567 234589 или 891011 891033 Ответ: а) второе, б) первое а)Представим 5300 как (53)100=(125)100, а 3500 как (35)100=(243)100.Так как 125<243, то и (125)100< (243)100, следовательно 5300<3500. б) Пусть 234567 x 234589 x 22 , тогда 891033 y 22 891011 y . Рассмотрим x x 22 x x 22 xy 22x xy 22y 22 x y . 0 , так как x<y. Тогда y y 22 y y 22 y y 22 y y 22 Задание 2. Доказать, что 4100 5100 6100 . Указание Очевидно, что 4100 5100 , а значит 4100 5100 2 5100 поэтому для доказательства неравенства 4100 5100 6100 достаточно установить, что 2 5100 6100 . Ответ: Так как 4100 5100 , то нужно показать, что 5100 5100 2 5100 6100 или что 6 5 100 4 1296 46 6 6 2 . Но уже 2 2 . Тем более 5 5 625 625 100 2. Задание 3. Докажите неравенства: а) a 2 b 2 29 4b 10a ; б) 2a 2 5ab 4b 2 0 ; при a 0, b 0 . Ответ: а) a2+b2+29-4b+10a= (a+5)2+(b-2)2 0 при любых a и b. б) 2a2-5ab+4b2 0 нужно доказать. Покажем, что 2a2+4b2 5ab . Воспользуемся неравенством Коши для двух чисел. Имеем 2a 2 4b 2 2 2a 2 4b 2 2 8ab . Осталось показать, что 2 2 8ab 5a b .Это верно, так как 2 8 52 32 25 Задание 4. Докажите, что 1 1 4 при x, y 0 . x y x y Ответ: 1 1 4 y x y 2 x 2 xy 4 xy x 2 y 2 2 xy 0 , так как Имеем x y xy x y x y xy x y x 2 y 2 2 xy x y 0 и x y x y 0 , ввиду x 0 , y 0 . 2 Задание 5. Докажите, что x 2 y 2 1 xy x y , при любых х и у. Указание: Рассмотреть разность x 2 y 2 1 xy x y и привести ее к виду a2 b2 c2 . x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 0 при любых X и Y. Ответ: x y 1 xy x y 2 Задание 6. Докажите, что (1 a1 ) (1 a 2 ) ... (1 a n ) 2 n , если известно, что числа положительны и произведение a1 a2 ... an 1 . a1 , a 2 ,..., a n Указание Воспользуйтесь неравенством 1 x 2 x , справедливым для x 0 Ответ: Так как 1 a1 2 a1 , 1 a 2 2 a 2 , ... , 1 a n 2 a n . Перемножим почленно n неравенств 1 a 1 1 a 2 ...1 a n 2 2...2 a 1 a 2 ...a n 2 n Задание 7. 10. a 0, b 0, c 0 Докажите, что a b c 3 . Указание Применить b c a неравенство Коши для трех чисел. Ответ: Воспользуемся неравенством Коши для трех чисел: Имеем abc 3 a bc . 3 a b c a b c 33 3 b c a b c a Задание 8. а) Найти наименьшее значение суммы a b , если a b 25 и a 0; b 0 . б) Найти наибольшее значение произведения a b , если a b 20 и a 0; b 0 Ответ: а) сумма a b будет наименьшей, если a = b; так как a b 25, то a 2 25 , a 5 b . Тогда a b 10 - наименьшее значение. б) произведение a b будет a b 100 -наибольшим, если a b ; так как a b 20 , то a b 10 . Тогда наибольшее значение; Задание 9. Доказать, что длина медианы АМ треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы его сторон АВ и АС. Указание. Продлить медиану АМ треугольника АВС на отрезок МТ, равный АМ. Ответ: продлив медиану АМ на длину МТ=АМ, получим параллелограмм. АТ<АВ+ВТ и АТ<АС+СТ. Сложив почленно, получим 2АТ<АВ+ВТ+АС+СТ. Но АТ=2АМ тогда 4АМ<2АВ+2АС. Или AM AB AC . 2 Задание 10. Точка О лежит внутри треугольника АВС. Докажите, что АО+ОС<АВ+ВС. Указание. Продолжите отрезок АО до пересечения со стороной ВС в точке D. Воспользуйтесь неравенством треугольника в треугольниках ABD и ODC. Ответ: Имеем AB+BD>AD и OD+DC>OC. Сложив почленно, получим: AB+BD+OD+DC>AD+OC. Но BD+DC=BC;AD=AO+OD. Вычтем OD из обеих частей неравенства. AB+BC>AO+OC. Критерии оценки заданий: 0 - баллов – задание выполнено, но неверно; 1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение; 2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности; 4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты 5 - баллов– баллов задание выполнено правильно Максимальное количество - 50 баллов.