teplo-_i_massoperenos_v_himii_bakalavry

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Институт химии
УТВЕРЖДАЮ
Проректор
по учебно-методической работе
проф., д. филол. н. _________ Елина Е.Г.
"__" __________________20___ г.
Рабочая программа дисциплины
Тепло- и массоперенос в химии
Направление подготовки
020100 «Химия»
Профиль подготовки
Физическая химия
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2011 г.
1. Цели освоения дисциплины «Тепло- и массоперенос в химии»
Целью освоения дисциплины «Тепло- и массоперенос в химии» является
формирование у студентов компетенций, связанных с пониманием движущих
сил, теоретических законов и практических основ процессов переноса энергии материи, знакомство с фундаментальной теорией твердого тела, освоении
методов математического анализа и моделирования в приложении к решению задач переноса с различными начальными и граничными условиями.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Тепло- и массоперенос в химии» относится к вариативной части дисциплин математического и естественнонаучного цикла, обеспечивая их содержательную взаимосвязь с профессиональными дисциплинам
профиля подготовки «физическая химия». Материал дисциплины базируется
на знаниях по неорганической химии (связь электронной структуры вещества
с его свойствами), физике (электрические и магнитные поля, теплопроводность), математике (дифференциальное и интегральное исчисление, векторная алгебра, различные системы координат, ряды и интегралы Фурье, метод
преобразования Лапласа, пределы), информатике (работа с Microsoft Office) в
объеме курсов ООП по направлению 020100 «Химия» Для успешного освоения дисциплины студент должен уметь проводить статистическую обработку
результатов эксперимента («Методы математической статистики в химии»).
Дисциплина «Тепло- и массоперенос в химии» является основой для последующего изучения дисциплин профессионального цикла: «Реакции в твердых телах и на их поверхности», «Электрохимические методы исследования»
в 8 учебном семестре, «Синтез и характеризация электродных материалов
для литиевых источников тока», «Электрохимия гидридов металлов и сплавов» по магистерской программе «электрохимия», а также в научноисследовательской практике.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Тепло- и массоперенос в химии»
В результате освоения дисциплины «Тепло- и массоперенос в химии»
бакалавр формирует следующие компетенции:
использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-6);
умеет работать с компьютером на уровне пользователя и способен
применять навыки работы с компьютерами как в социальной сфере, так и в
области познавательной и профессиональной деятельности (ОК-7);
владеет основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером
как средством управления информацией (ОК-9);
2
владеет основами теории фундаментальных разделов химии (ПК-2);
способностью применять основные законы химии при обсуждении полученных результатов, в том числе с привлечением информационных баз
данных (ПК-3);
владеет методами регистрации и обработки результатов химических
экспериментов (ПК-8);
владеет методами отбора материала для теоретических занятий и лабораторных работ (ПК-11).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
 Основные законы массо- и теплопереноса, их значение в химии;
 Движущие силы массо- и теплопереноса, механизмы диффузии и теплопередачи;
 Математические методы решения уравнений массо- и теплопереноса.
•Уметь:
 Использовать полученные знания в профессиональной и научноисследовательской деятельности.
•Владеть:
 методами физико-химического эксперимента;
 прикладными компьютерными программами, в том числе Microsoft Office.
4. Структура и содержание дисциплины «Тепло- и массоперенос в
химии»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов).
4.1. Структура лекционного курса
Введение
1
Раздел 1.
Общая теория
1.1 Диффузия.
Теплопроводность. Законы диффузии и
теплопроводности.
1.2 Начальные уравнения Фика.
Экспериментальные методы
определения коэффициентов
Неделя семестра
Раздел дисциплины
Семестр
№
п/п
7
1-4
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость
(в часах)
лексам.
всеции
раб.
го
8
8
1,2
4
4
3,4
4
4
3
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
2
диффузии и теплопроводности
Раздел 2.
Математические методы
решения
2.1 Ряды и интегралы Фурье.
2.2 Метод преобразований
Лапласа. Таблицы изображений функций
3
Раздел 3
Линейные потоки в неограниченном и ограниченном твердом теле
3.1 Основные решения для ли.
нейных потоков.
3.2 Сложные решения для различных начальных и граничных условий
4
Раздел 4.
Линейные потоки в пленках и тонких слоях
4.1 Основные уравнения. Установившиеся решения
4.2 Сложные уравнения для раз.
личных начальных и граничных условий
5
Раздел 5
Линейные потоки в тонких
стержнях
5.1 Основные решения для линейных потоков.
5.2 Сложные решения для различных начальных и граничных условий
6
Раздел 6
Диффузионные или тепловые потоки в цилиндрической системе координат
6.1 Основные уравнения. Установившиеся и неустановившиеся решения
6.2 Сложные решения. Уравнения и функции Бесселя
7
Раздел 7
Диффузионные или тепловые потоки в сферической
системе координат
7.1 Основные уравнения. Установившиеся решения
7.2 Неустановившиеся решения
для различных начальных и
граничных условий
5,6
4
4
5
6
2
2
2
2
7,8
4
4
7
2
2
8
2
2
9,10
4
4
9
2
2
10
2
2
11,12
4
4
11
2
2
12
2
2
13,14
4
4
13
2
2
14
2
2
15,16
4
4
15
2
2
16
2
2
4
Раздел 8
Дополнительные разделы
теории
8.1 Изменение физического состояния материала
8.2 Наложение электрического
поля. Уравнение Вагнера
Итого
8
17,18
4
4
17
2
2
18
2
2
1-18
36
36
зачет
Раздел дисциплины
Семестр
№
п/п
1
2
3
4
Неделя семестра
4.2. Структура лабораторных занятий
Виды
учебной
работы, включая
самостоятельную
работу студентов
и трудоемкость
(в часах)
Лаб.
раб.
Сам.
раб.
Все
го
Стационарные
методы 7
определения коэффициента
теплопроводности
Метод неограниченного цилиндрического слоя
Исследование нестационарной
теплопроводности в диэлектрической среде
1,2
8
8
16
3,4
8
8
16
Диффузия. Законы диффузии. Экспериментальное
исследование процесса диффузии примеси в полупроводник
Расчет параметров диффузионного процесса и построение
графиков распределения примесей для различных параметров: вида и источника
примеси, ее концентрации,
температуры и времени диффузии
Измерение
коэффициента
диффузии газа
5-7
12
12
24
8,9
8
8
16
1-9
36
36
72
Итого
Работы выполняются индивидуально
5
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
Теоретический отчет
Письменный отчет
по лабораторной
работе
Теоретический отчет
Письменный отчет
по
лабораторной
работе
Теоретический отчет
Письменный отчет
по
лабораторной
работе
Контрольная работа
Теоретический отчет
Письменный отчет
по
лабораторной
работе
Содержание дисциплины
Раздел 1. Общая теория.
Введение. Диффузия. Теплопроводность. Потоки. Теплообмен. Источники и стоки. Законы диффузии и теплопроводности. Дифференциальные уравнения для изотропных твердых тел. Преобразования координат. Начальные и граничные условия уравнения Фика.
Стационарные решения. Экспериментальные методы определения коэффициентов диффузии и теплопроводности.
Раздел 2. Математические методы решения.
Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразования Фурье. Использование их для решения
уравнений математической физики. Метод преобразований Лапласа. Основные теоремы.
Решение уравнений диффузии и теплопроводности методом преобразования Лапласа.
Таблицы изображений функций.
Раздел 3. Линейные потоки в неограниченном и полуограниченном твердом теле
Основные решения для линейных потоков. Функция ошибок и родственные функции.
Сложные решения для различных начальных и граничных условий. Диффузия из конечного и бесконечного источника. Случаи заданной температуры, поверхности, заданного
потока через поверхность, теплообмена на поверхности. Периодические потоки через поверхность. Применение полученных результатов.
Раздел 4. Линейные потоки в пленках и тонких слоях.
Основные уравнения. Установившиеся решения. Сложные решения для различных
начальных и граничных условий. Трансцендентные уравнения. Диффузия из конечного и
бесконечного источника. Случаи заданной температуры, поверхности, заданного потока
через поверхность, теплообмена на поверхности. Периодические потоки через поверхность. Применение полученных результатов.
Раздел 5. Линейные потоки в тонких стержнях
Сложные решения для различных начальных и граничных условий. Диффузия из конечного и бесконечного источника. Случаи заданной температуры, поверхности, заданного
потока через поверхность, теплообмена на поверхности. Периодические потоки через поверхность. Применение полученных результатов.
Раздел 6. Диффузионные или тепловые потоки в цилиндрической
системе координат
Основные уравнения. Установившиеся решения. Радиальный поток. Неустановившиеся
решения. Сложные решения для различных начальных и граничных условий. Уравнение
Бесселя и функции Бесселя. Применение полученных результатов
Раздел 7. Диффузионные и тепловые потоки в сферической системе координат
Основные уравнения. Установившиеся решения. Радиальный поток. Неустановившиеся
решения для различных начальных и граничных условий. Применение полученных результатов.
Раздел 8. Дополнительные разделы теории
Изменение физического состояния материала. Фазовые переходы, плавление и затвердевание. Формулировка задач. Некоторые решения. Наложение электрического поля. Миграция. Электрохимический перенос. Уравнения Вагнера.
5. Образовательные технологии
6
При освоении дисциплины «Тепло- и массоперенос в химии» наряду с
традиционными образовательными технологиями широко используются технологии, основанные на компьютерных симуляциях, разборе конкретных ситуаций в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебного курса
предусмотрены мастер-классы экспертов и специалистов. Всего интерактивные формы составляют 25 часов (более 30% аудиторных часов).
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов предполагает освоение теоретического материала, подготовку к лабораторным работам, выполнение и оформление лабораторных работ, подготовку к текущему (контрольная работа) и
итоговому контролю. Форма итогового контроля – зачет.
Вопросы для самостоятельной подготовки
Раздел 1. Общая теория диффузии и теплопроводности
1. Законы диффузии и теплопроводности.
2. Уравнения Фика
3. Экспериментальные методы определения коэффициентов диффузии и теплопроводности
Раздел 2. Математические методы решения
1. Ряды и интегралы Фурье. Преобразования Фурье. Их использование.
2. Метод преобразования Лапласа. Его использование для решения уравнений диффузии и теплопроводности
Раздел 3. Линейные потоки в неограниченном и полуограниченном твердом теле
1. Основные решения для линейных потоков в неограниченном и ограниченном твердом теле
2. Диффузия из конечного и бесконечного источников.
3. Сложные решения для различных начальных и граничных условий в случае линейных потоков в неограниченном и ограниченном твердом теле
Раздел 4. Линейные потоки в пленках и тонких слоях.
Основные уравнения для линейных потоков в пленках и тонких слоях. Установившиеся
решения. Сложные решения для различных начальных и граничных условий
Раздел 5. Линейные потоки в тонких стержнях
Линейные потоки в тонких стержнях. Основные решения. Сложные решения для различных начальных и граничных условий
Раздел 6. Диффузионные или тепловые потоки в цилиндрической системе координат
1. Диффузионные и тепловые потоки в цилиндрической системе координат. Основные уравнения. Установившиеся и неустановившиеся решения.
2. Уравнения и функции Бесселя
Раздел 7. Диффузионные и тепловые потоки в сферической системе координат.
Раздел 8. Дополнительные разделы теории
1. Диффузионные и тепловые потоки в сферической системе координат. Основные
уравнения. Установившиеся и неустановившиеся решения.
7
2. Влияние на диффузионные и тепловые потоки физического состояния материала.
3. Влияние на диффузионные и тепловые потоки электрического поля. Уравнение
Вагнера
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Кнотько А.В., Пресняков И.А., Третьяков Ю.Д. Химия твердого тела Учебное пособие – М.: Академия. - 2006. – 304 с.
б) дополнительная литература:
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекциидиффузии. Изд.4 – М.: Эдиториал УРСС. - 2009. – 248 с.
2. Электроаналитические методы. Теория и практика / Под редакцией Ф. Шольца;
пер. с англ. под ред. В.Н. Майстренко. – М: Бином. Лаборатория знаний, 2006. –
326 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://school.itop7.com/index.php?newsid=13171
http://www.bookshunt.ru/b6961_teoriya_teplo_i_massoobmena
Персональные компьютеры, Microsoft Office.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Учебная аудитория для чтения лекций.
2. Ноутбук, компьютерный проектор и экран.
3. Учебная лаборатория физической химии для выполнения лабораторных работ.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций
и Примерной ООП ВПО по направлению 020100 Химия и профилю подготовки «физическая химия».
Автор: профессор, доктор химических наук
Чуриков А.В.
Программа одобрена на заседании кафедры физической химии,
протокол № 10 от 28 февраля 2011 года.
Подписи:
Зав. кафедрой физической химии
д.х.н., проф.
Казаринов И.А.
Директор Института химии СГУ
д.х.н., проф.
Федотова О.В.
8
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Задачи для контрольной работы по дисциплине «Тепло- и массоперенос в
химии»
№1
При использовании потенциостатического метода в пленочный электрод
сначала загоняются ионы до концентрации 0.5 М, затем подается такой потенциал, что концентрация ионов на внешней границе падает до нуля. Построить временной график изменения концентрации на внутренней непроницаемой границе и координатное распределение концентрации через 1 мин, 10
мин и 1 час, если толщина пленки 2 мм, а коэффициент диффузии D= 9×10-9
см2/с.
Кирпич длиной 30 см, шириной 15 см и высотой 12 см находится при постоянной температуре 60ºC. Построить временной график изменения температуры в центре кирпича после помещения его в среду с нулевой температурой.
Принять одинаковый коэффициент температуропроводности κ=0.001 см 2/с во
всех точках.
№2
При использовании потенциостатического метода в двусторонний плоский
электрод сначала загоняются ионы до концентрации 3 М, затем подается такой потенциал, что концентрация ионов на обеих границах падает до 0.5 М.
Построить временной график изменения концентрации в середине электрода
и координатное распределение концентрации через 1 мин, 10 мин и 1 час, если его толщина 0.6 см, а коэффициент диффузии ионов D= 1×10-10 см2/с.
Проволока диаметром 3 мм находится при постоянной температуре 100ºC.
Построить временной график изменения температуры в ее центре после помещения проволоки в среду с комнатной температурой 25ºC. Принять одинаковый коэффициент температуропроводности κ= 0.1 см2/с во всех точках.
№3
При использовании гальваностатического метода задается постоянный ток
(поток) через поверхность электрода. Рассчитать и построить временные
графики изменения концентрации на поверхности электрода и на расстоянии
1 см от поверхности, а также координатное распределение концентрации через 1 мин, 10 мин и 1 час, считая электрод полубесконечным, если ток равен
1 мА/см2, D= 2×10-11 см2/с.
В плоском электроде толщиной 1 мм создано линейное начальное распределение концентрации ионов, описываемое уравнением C=0.03x (C – концен9
трация в моль/см3, x – расстояние в см). В момент времени t=0 на электрод
подается такой потенциал, что концентрация ионов на обеих границах падает
до нуля. Построить координатное распределение концентрации через 1 мин,
1 час и 1 сут, если коэффициент диффузии ионов D= 6×10-12 см2/с.
№4
Рассчитать и построить временные графики изменения концентрации компонента внутри электрода на расстоянии 1 см от его поверхности и на расстоянии 2 см от поверхности электрода, а также координатное распределение
концентрации через 1 мин, 10 мин и 1 час, считая электрод полубесконечным, если начальная концентрация компонента в электроде была постоянна и
равна 5 М, затем был подан такой потенциал, что концентрация ионов на поверхности падает до 0.1 М. D=1×10-11 см2/с.
При использовании потенциостатического метода в двусторонний плоский
электрод сначала загоняются ионы до концентрации 1 М, затем подается такой потенциал, что концентрация ионов на обеих границах падает до 0.2 М.
Построить временной график изменения концентрации в электрода на расстоянии 0.1 см от его поверхности, если толщина электрода равна 0.6 см, а
коэффициент диффузии ионов D= 1×10-8 см2/с.
№5
В пластине толщиной 2 см существует линейное начальное распределение
температуры, описываемое уравнением v=20x (v – температура в градусах
Цельсия, x – расстояние в см). Построить координатное распределение температуры через 1 сек, 10 сек и 1 мин после приведения пластины в контакт со
средой нулевой температуры. Принять κ= 0.01 см2/с.
Начальная температура полуограниченного твердого тела равна 25ºC. Построить временной график изменения температуры на расстоянии 1 см от его
поверхности и на расстоянии 10 см после приведения тела в контакт со средой с температурой 100ºC. Принять κ= 0.001 см2/с.
№6
В плоском электроде толщиной 1 мм создано линейное начальное распределение концентрации ионов, описываемое уравнением C=0.03x (C – концентрация в моль/см3, x – расстояние в см). В момент времени t=0 на электрод
подается такой потенциал, что концентрация ионов на обеих границах падает
до нуля. Построить координатное распределение концентрации через 1 мин,
1 час и 1 сут, если коэффициент диффузии ионов D= 6×10-12 см2/с.
10
Начальная температура полуограниченного твердого тела равна 0ºC. Построить временной график изменения температуры на расстоянии 1 мм от его поверхности и на расстоянии 10 см от его поверхности после приведения тела в
контакт со средой с температурой 200ºC. Принять κ= 0.04 см2/с.
№7
При использовании потенциостатического метода в тонкий плоский электрод
сначала загоняются ионы до концентрации 2 М, затем подается такой потенциал, что концентрация ионов на внешней границе падает до 0.1 М. Построить временной график изменения концентрации на внутренней непроницаемой границе и координатное распределение концентрации через 10 мин, 1
час и 10 час, если толщина электродного слоя 1 мм, а коэффициент диффузии
D= 7×10-11 см2/с.
Начальная температура толстой твердой стенки равна нулю. Построить график координатного распределения температуры в пределах 0>x>10 см (x –
координата, расстояние от внешней поверхности стенки) через 1 сек, 1 мин и
1 час после включения внешней температуры 1000ºC. Считать стенку полуограниченным твердым телом с κ= 0.0001 см2/с.
№8
При использовании потенциостатического метода в пленочный электрод
сначала загоняются ионы до постоянной концентрации 1 М, затем подается
такой потенциал, что концентрация ионов на внешних поверхностях электрода падает до нуля. Построить координатное распределение концентрации
через 10 сек, 1 мин и 1 час после включения потенциала, если толщина пленки 5 мм, а коэффициент диффузии ионов D= 3×10-10 см2/с.
Коэффициент диффузии атомов в металлах определяют следующим образом:
наносят примесь на два торца двух цилиндрических стержней, которые затем
сваривают этими торцами вместе, так что вся примесь оказывается в тонкой
области шириной 2a в центре цилиндрического образца, который затем подвергают диффузионному отжигу. Чему равен коэффициент диффузии, если
за 2 часа отжига концентрация примеси в центре упала в 2 раза. Считать образец бесконечным, a = 2 мм.
№9
11
При использовании потенциостатического метода в пленочный электрод
сначала загоняются ионы до постоянной концентрации 1 М, затем подается
такой потенциал, что концентрация ионов на внешней границе падает до нуля. Построить координатное распределение концентрации через 10 сек, 1 мин
и 1 час после включения потенциала, если толщина пленки 5 мм, а коэффициент диффузии ионов D= 3×10-10 см2/с.
Коэффициент диффузии атомов в металлах определяют следующим образом:
наносят примесь на два торца двух цилиндрических стержней, которые затем
сваривают этими торцами вместе, так что примесь оказывается в тонкой области шириной 2a в центре цилиндрического образца, который затем подвергают диффузионному отжигу. Построить временной график изменения концентрации примеси в центре образца. Считать образец бесконечным, a = 2
мм, D= 8×10-8см2/с.
№10
Металлический кубик со сторонами по 4 см находится при постоянной температуре 25ºC. Построить временной график изменения температуры на глубине 1 мм и 1 см, а также в центре кубика после помещения его в печь с температурой 900ºC. Принять κ=0.1 см2/с.
При использовании потенциостатического метода в двусторонний плоский
электрод сначала загоняются ионы до концентрации 1 М, затем подается такой потенциал, что концентрация ионов на обеих границах падает до 0.2 М.
Построить координатное распределение концентрации через 10 сек, 1 мин и 1
час после включения потенциала, если толщина электрода равна 0.6 см, а коэффициент диффузии ионов D= 1×10-8 см2/с.
12
Приложение 2
Лабораторная работа Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде
Предисловие
Методические указания по выполнению лабораторных работ по физике для студентов 1-го курса 1-го семестра.
Описание каждой работы состоит из следующих частей: название работы; цель работы; перечень приборов и принадлежностей; исследуемые закономерности; указания
по выполнению наблюдений; задание по обработке результатов; контрольные вопросы.
Задание по подготовке к работе
При подготовке к работе учащийся должен:
1) изучить описание работы и продумать ответы на контрольные вопросы;
2) подготовить вводную часть отчета: название работы, цель работы, перечень приборов
и принадлежностей, конспект части методических указаний «Исследуемые закономерности»;
3) подготовить протокол наблюдений.
Протокол наблюдений содержит название работы; таблицы, которые заполняются во
время проведения работы; данные о студенте (ф. и. о., номер группы). Форму таблиц студент разрабатывает самостоятельно.
Протокол наблюдений и отчет по лабораторной работе аккуратно оформляются на
одной стороне бумаги формата А4.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1) титульный лист;
2) вводную часть: название работы, цель работы, приборы и принадлежности, конспект части методических указаний «Исследуемые закономерности»;
3) расчетную часть в соответствии с «Заданием по обработке результатов»;
4) выводы по работе.
Расчеты должны быть подробными, их нужно снабдить необходимыми комментариями.
Результаты расчетов, если удобно, сводятся в таблицу. Рисунки и графики выполняются карандашом на миллиметровой бумаге.
Лабораторная работа
Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде
Цель работы: изучение закономерностей процесса тепловой диффузии и определение
значения коэффициента тепловой диффузии исследуемого материала.
Приборы и принадлежности: установка для измерения температурного поля,
создаваемого в среде тепловым источником.
Исследуемые закономерности
Уравнение теплопроводности. Теплопроводность характеризует диффузию тепла в среде.
Перенос энергии теплового движения в газах осуществляется через столкновения молекул, в твердых телах − посредством передачи энергии колебаний кристаллической
решетки. В обоих случаях процесс переноса теплоты описывается уравнением диффузии Фика:
j = − DT grad u,
где j − плотность теплового потока; u − объемная плотность внутренней энергии
среды; DT − коэффициент тепловой диффузии. Учитывая, что объемная плотность внутренней энергии связана с температурой среды соотношением u = cT, где с − теплоемкость единицы объема среды, можно записать уравнение теплопроводности Фурье:
j = − λ grad Т,
13
где λ − коэффициент теплопроводности, λ = DT⋅с. Значения коэффициентов λ и DT для
некоторых твердых веществ приведены в таблице.
Температурное поле точечного источника тепла. Рассмотрим задачу определения
температурного поля T(x; t) в однородной среде. Положим, что температурное поле создается импульсным точечным источником тепла. Рассмотрим распространение тепла
вдоль однородного бесконечного стержня, расположенного вдоль оси x. Начало координат совместим с положением нагревателя, который расположен перпендикулярно оси.
Пусть в тонком поперечном слое при x = 0 и t = 0 мгновенно выделилось количество теплоты Q0. Выделившееся тепло диффундирует вдоль оси x. Распределение
тепла вдоль стержня в любой момент времени соответствует
нормальному закону Гаусса:
где Р (x) − вероятность того, что к некоторому моменту времени порция теплоты будет
иметь координату x; σ − среднеквадратичная ширина распределения. Тогда распределение
линейной плотности тепла вдоль стержня равно:
Разделим обе части этого равенства на произведение (с S), где с − теплоемкость единицы
объема стержня, S − площадь его поперечного сечения:
Левая часть данного выражения есть приращение температуры относительно исходной.
Она равна приращению температуры ∆T(x; t) в точке с координатой x в момент времени t
по отношению к температуре в момент времени t = 0:
∆T(x; t) = T(x; t) − T(x; 0).
Тогда искомое распределение температуры вдоль стержня имеет вид
(4.1)
где T(0; t) − температура стержня к моменту времени t в точке среды с координатой x = 0;
σ − среднеквадратичная ширина распределения температуры по координате x. Кривые
распределения температуры по координате для двух моментов временипоказаны на рис.
4.1.
14
С увеличением времени параметр σ увеличивается, приэтом температура T(0; t), соответствующая максимуму распределения, уменьшается. Неравновесное состояние
неравномерно нагретого стержня релаксирует к равновесному состоянию с одинаковой
температурой во всех точках стержня. Зависимость σ от времени можно представить в
следующем виде:
(4.2)
Метод измерений. В работе исследуется нестационарное распределение температуры в
среде после кратковременного нагревания среды в некотором малом объеме. Экспериментальная установка содержит электронагревательный элемент, имеющий форму пластины, и термометры, находящиеся на различных расстояниях от нагревателя. Пространство между нагревателем и термометрами заполнено кварцевым песком. Удельная теплоемкость песка 1,3⋅106 Дж/(м3·К). Геометрические размеры установки подобраны таким образом, что температурное поле вблизи нагревателя можно считать изменяющимся только вдоль одной координаты x. Направление оси x перпендикулярно плоскости пластины.
Указания по выполнению наблюдений
1. Записать начальные показания термометров T(x; 0) и их координаты x.
2. В соответствии с инструкцией к установке включить нагреватель.
3. Выключить нагреватель и регистрировать показания термометров T(x; t) через интервалы времени ∆t = 5 мин. Количество измерений 6−8. Результаты наблюдений занести
в таблицу.
Задание по обработке результатов
1. Вычислить приращение температуры среды относительно исходной температуры
∆T(x; t) для каждого момента времени t в точках с координатами термометров x.
2. Построить график распределения температуры согласно уравнению (4.1). Для получения линейных зависимостей вида Y = ai X + bi нужно прологарифмировать уравнение (4.1)
и ввести обозначения X = x2 и Y= lg(∆T (x; t)). Для каждого значения времени ti выполнить построение по экспериментально совместимым значениям X и Y.
3. Провести через экспериментальные точки для каждого значения ti прямую линию, для
чего определить: угловой коэффициент прямой, т. е. величину аi = lg e / 2σ2, где e − основание натурального логарифма, и bi = lg T (0; t). При наличии средств вычислительной
техники определение коэффициентов ai и bi, провести методом наименьших квадратов.
4. Рассчитать для каждого момента времени ti значение квадрата среднеквадратичной
ширины распределения σi 2 = lg e / (2 аi).
15
5. Рассчитать, используя формулу (4.2), значения коэффициентов тепловой диффузии
для всех моментов времени ti. Результат записать в стандартной форме
DT = < DT > ± ∆DT.
6. Построить график
в координатах Y = lg σ и X = lg t. С помощью метода
наименьших квадратов рассчитать угловой коэффициент прямой, которая наилучшим
образом аппроксимирует экспериментальные точки в указанных координатах. Провести
прямую на графике.
7. Сравнить найденное значение коэффициента тепловой диффузии D T со значением,
полученным в п. 5.
Контрольные вопросы
1. При каком условии в твердом теле возникает поток тепла?
2. Запишите уравнение теплопроводности Фурье для одномерного случая, например,
распространения тепла вдоль оси x.
3. Что означает знак «минус» в уравнении (4.1) или (4.2)?
4. Назовите размерность следующих величин: плотность теплового потока, поток тепла.
5. Нарисуйте распределение Гаусса и отметьте на графике среднеквадратичную ширину
данного распределения.
6. Поясните, почему теплопроводность твердых тел во много раз больше, чем теплопроводность газов?
7. В каких координатах зависимость y = a ex будет линейной?
8. Поясните способ построения линейных зависимостей.
16