Контр№4-6 - Факультет заочного обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Задача № 6. Расчёт плоской статически неопределимой рамы
методом сил
Задание: Для рамы с выбранными по шифру размерами и нагрузками
(рис. 6, табл. 6) требуется:
а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
б) проверить правильность построенных эпюр.
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы «Расчет статически неопределимых рам методом сил».
Следует обратить особое внимание на выбор основной системы, в качестве которой принимается статически определимая и геометрически неизменяемая система. Обязательно следует использовать упрощения, связанные с
симметрией рамы и внешних нагрузок.
Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов должны быть построены на растянутых волокнах. При «перемножении» эпюр используются способ
Верещагина, формула трапеций или формула Симпсона. Для проверки правильности вычисления коэффициентов канонических уравнений следует построить «суммарную» единичную эпюру Ms, результат «перемножения», которой саму на себя должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных. Результат «перемножения» эпюры Ms на эпюру МP должен быть равен
сумме свободных членов канонических уравнений.
Обычно после определения неизвестных строят эпюры моментов от
найденных значений Хi, умножая ординаты единичных эпюр на соответствующее значение неизвестного. Тогда окончательные моменты в любой точке
рамы можно определить по формуле
M=M1X1+M2X2+…+ MnXn+MP.
Окончательную эпюру изгибающих моментов нужно проверить путем
«умножения» ее на суммарную эпюру Ms. Результат «умножения» должен быть
равен нулю (или быть близким к нулю). Эпюра поперечных сил строится по
эпюре моментов. На участках рамы с прямолинейной эпюрой М поперечная сила определяется как тангенс угла наклона эпюры М к оси стержня.
20
1
q2
P3
2E
q1
2E
q3
h2
3E
E
P2
q2
2
E
P1
E
l1
q1
h1
2
h1
2
E
q3
3E
P2
E
l2
q2
3
P3
E
P1
E
3E
q3
l2
q2
4
2E
E
P2
E
3E
h2
2
h2
2
h1
2
h1
2
P2
q1
E
E
2E
2E
P3
l2 /2 l2 /2
q2
q1
2E
E
E
P3
2E
P2
q3
E
q2
q1
3E
6
0,3 h1
h2
q3 2
P2
0,4 h1
E
P1
E
E
0,3 h1
l1
l2
l1 /2 l1 /2
P3
0,3 l 1
q1
7
l1
q3
2E
E
E
2E
2E
P1 P2
q3
E
P2
E
l1
q2
P1
E
l2
E
l1
h2
h1
q3 2
h1
2
h1
2
l2
8
3E
q2
h2
2
h2
2
h1
2
h1
2
l1 /2 l1 /2
2E
P1
E
l2
P3
2E
P1
q3
l1
l1
5
P1
E
l1
q1
P3
E
h2
2
h2
2
h1
2
h1
2
P2
P3
q1
2E
E
E
3E
P2
q1
P3
3E
P1
l1 /2 l1 /2
q2 q
2
l2
P1
l2
h2
2
h2
2
h1
2
h1
2
l1 /2 l1 /2
21
P2
q1
3E
E
q3
E
P3
P1
E
q1 P3
2E
E
P3
3E
P2
h1
P1
q3
E
3E
q2
E
2E
q3
2E
q2
q2
P1
0
h2
2
h2
2
3E
P3
9
q1
P2
q1
h1
2
h1
2
3E
E
P2
E
2E
l1 /2 l1 /2
l2
l1 /2 l1 /2
h2
l1 /2 l1 /2 l2 /2 l2 /2 l1 /2 l1 /2
Рис. 6
5
2
2,4 3,0 3,2
2
6
5,0 6,8
3
2,8 3,4 3,4
3
7
3,5 5,2 7,2
4
3,2 3,8 3,6
4
8
5,4 7,6
5
3,6 4,2 3,8
5
9
4,5 5,6 8,0
6
4,0 4,6 4,0
6
10
5,8 8,4
7
4,4 5,0 4,2
7
11
5,5 6,0 5,6
8
4,8 5,4 4,4
8
12
6,2 5,2
9
5,2 5,8 4,6
9
13
6,5 6,4 4,8
0
5,6 6,2 4,8
0
14
q1,
кН
м
1
1
6
5
6,2
1
2
2
2
7
6
6,4
2
3
3
8
7
6,6
3
4
1
9
8
6,8
4
5
2
10
9
7,0
5
6
3
11
10
7,2
6
7
1
12
11
7,4
7
8
2
13
12
7,6
8
9
3
14
13
7,8
9
0
1
15
14
8,0
0
P1, P2,
кН кН
l 1,
м
h1,
м
l2 ,
м
Третья цифра
шифра
1
Вторая цифра
шифра
2,6 3,0
Индекс нагрузки
P3,
кН
Первая цифра
шифра
Четвёртая цифра
шифра
(№ схемы)
Таблица 6
4,4 6,0
1
2,5 4,8 6,4
3
4
5
6
q2, q3,
кН кН
м
м
2
h2 ,
м
Примечание. На раму может действовать только одна из трёх комбинаций
нагрузок (P1, q1), (P2, q2) или (Р3, q3), номер которой, соответствующий индексу
этих нагрузок, определяется по первой цифре шифра во 2-ом столбце таблицы.
22
На участках с криволинейной эпюрой M (под равномерно распределенной
нагрузкой) определение ординат эпюр Q следует проводить по формуле
Qx  Qx0 
M пр  М лев
l
.
Здесь Q0х – «балочная» поперечная сила, найденная для данного сечения в
простой двухопорной балке, длина которой равна длине рассматриваемого
участка, с заданной равномерно распределенной нагрузкой. Для концевых сечений участка – Q0лев= + ql/2, Q0пр= – ql/2. Мпр и Млев – соответственно правое и
левое значения момента на концах данного участка. При этом участок рассматривается таким образом, чтобы распределенная нагрузка действовала сверху
вниз, при этом ординаты моментов, расположенные на эпюре сверху от оси,
считаются отрицательными, снизу – положительными.
Эпюра продольных сил N строится по эпюре Q путем вырезания и уравновешивания узлов, начиная с узла, в котором количество неизвестных продольных сил не превышает двух. При вырезании каждого узла необходимо помнить,
что положительная поперечная сила вращает вокруг центра узла по ходу часовой стрелки.
После построения эпюр следует произвести статическую проверку равновесия рамы целиком.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Задача № 7. Расчёт статически неопределимой рамы методом перемещений
Задание: Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 7) с выбранными
по шифру из табл. 7 размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил и выполнить
их проверку.
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы «Расчет статически неопределимых рам методом перемещений».
Основная система метода перемещений получается путём постановки дополнительных связей, закрепляющих узлы от их возможных угловых и линейных смещений.
23
1
P2 q1
P1 q3
2
h1
2
P3
1
1
q2
1
h2
2
h2
2
h2
2
l1 /2 l1 /2 l2 /2 l2 /2
P3
2
h1
2
h1
2
2
P2
2
q3
1
1
l2 /2 l2 /2
4
1
P1
P3
1
h1
2
l2
3
P2
P3
q2
q3
h1
2
P2
2
l2 /2
q1
2
2
q2
1
P3
1
1
h1
2
q2
P1
2
q3
P2
h2
l2 /2
2
h1
2
q1
l2 /2
P3
6
P1 q3
h1
1
l1 /2 l1 /2
l2 /2
h2
2
h2
2
2
1
2
P2
h1
2
q3
q2
P1
2
5
h2
q1
2
l1 /2 l1 /2
q1
1
l1
q1
3
h2
3
P1 q2
h2
1
1
h1
h1
2
l1 /2 l1 /2 l2 /2 l2 /2
l1/3 l1 /2 l1 /2
7
l2
q1
P2
P3
2
q2
h1
q3
24
P1
1
h2
2
h2
2
2
2
q3
P2
h2
2
P3
1
1
h2
2
1
l1 /2 l1 /2
q2
P1
8
l2
2
q1
l1
2
h1
1
l2 /2
l2 /2
P1
9
h2
2
h2
2
1
q1
P2
P3
2
1
1
q2
0
h1
2
h1
2
1
q2
P1
2
q3
q1
P3
2
h1
2
P2
2
l1
l2 /2
2
l2 /2
l1 /2 l1 /2
q3
l2
Рис.7
h1,
м
q,
кН
м
Четвёртая цифра
шифра
(№ схемы рамы)
1
4
1,5
1
0,4
2
5
1,8
2
3
0,5
3
6
2,0
3
6
1
0,75
4
7
2,2
4
5
7
2
1
5
8
2,5
5
10
6
8
3
1,2
6
9
2,8
6
5
11
7
9
1
1,5
7
10
3,0
7
3
4
12
8
10
2
2
8
11
3,5
8
9
11
9
14
9
11
3
2,5
9
12
4,0
9
0
12
10
15
0
12
1
3
0
3
4,5
0
J2
J1
1
0,33
4
2
3
5
8
4
12
9
9
3
7
10
8
l1,
м
h2,
м
P,
кН
1
4
7
5
2
5
8
3
6
4
Вторая цифра
шифра
Первая цифра
шифра
Индекс нагрузок
Pиq
Третья цифра
шифра
Таблица 7
l2,
м
1
3
6
2
6
7
7
11
5
8
6
Примечание: На раму может действовать только одна из трех комбинаций
нагрузок Р и q, номер которой, соответствующий индексам этих нагрузок,
определяется по второй цифре шифра (в 7-ом столбце таблицы).
25
Прежде чем строить в основной системе единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов и определять коэффициенты канонических уравнений, целесообразно определить для всех участков рамы погонные жесткости
(iуч=ЕJуч / lуч) и выразить их через некоторый общий для всех участков параметр
жёсткости i. При определении коэффициентов следует внимательно следить за
их знаками, для проверки расчётов использовать теорему о взаимности реакций. Не следует забывать выполнять проверку решения системы канонических
уравнений.
После определения значений неизвестных окончательная эпюра изгибающих моментов строится по формуле M  M 1 Z1  M 2 Z 2  ...  M n Z n  M p , для чего
рекомендуется отдельно построить все исправленные единичные эпюры моментов ( M i  Z i ). Суммирование эпюр рекомендуется производить по характерным точкам.
Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре моментов так же,
как и в контрольной работе № 4.
В качестве проверок окончательных эпюр надо выполнять:
– проверку равновесия узлов по изгибающим моментам и по поперечным и
продольным силам;
– деформационную (кинематическую) проверку; для ее выполнения для
заданной рамы необходимо определить степень статической неопределимости,
выбрать основную систему метода сил и построить в ней хотя бы одну единичм.сил.
ную эпюру изгибающих моментов M i
верку выполняют по формуле Мора
; после этого деформационную про-
м.сил .
M Mi
dx
 0;

EJ
– статическую проверку равновесия рамы в целом.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ
Задача № 8. Расчет плоской рамы на устойчивость
Задание: Для статически неопределимой рамы (рис. 8) с выбранными по шифру из табл. 8 размерами и нагрузкой требуется определить значения
критических сил, используя метод перемещений.
26
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы ”Устойчивость
плоских стержневых систем”.
Все предлагаемые рамы целесообразно рассчитывать методом перемещений. Так как внешние нагрузки действуют вдоль стоек, то грузовых эпюр в основной системе не будет и свободные члены канонических уравнений будут
нулевыми.
При построении единичных эпюр для сжатых стержней следует использовать специальные табличные эпюры, в которых учитывается влияние на внутренние усилия сжимающих сил (эти таблицы можно найти в [1, 3, 6, 12, 13]), а
для остальных стержней – обычные таблицы метода перемещений.
Коэффициенты канонических уравнений в результате будут включать в
себя некоторые функции  i ( k ) , i ( k ) , где  k – параметр устойчивости k-го
сжатого стержня, определяемый для него выражением:  k  l k
Nk
. Здесь:
EI k
lk, EJk – длина и жёсткость k-го стержня; Nk – величина продольной силы в k-ом
стержне. Продольные сжимающие силы в стержнях определяются через внешние нагрузки P1 и P2. Следует учитывать, что для ряда стержней рам на рис. 8
продольные силы будут определяться от совместного действия обоих нагрузок
P1 и P2. Например, для рамы на схеме № 4 продольная сила в нижней левой
стойке будет равна N=P1+P2, и параметр устойчивости определится выражением:
 k  h1
P1  P2
.
EI1
Так как нагрузки P1 и P2 связаны между собой (посредством коэффициента
), то и параметры устойчивости для стержней следует выразить друг через
друга.
Для определения Pкр составляется уравнение устойчивости, из решения которого определяются критические параметры к кр. Определение этих параметров необходимо выполнить путём подбора, методика которого изложена,
например, в [6, 8, 12, 13]. После этого по найденным параметрам к кр определяются значения критических сил. При этом для стоек, в которых продольные
силы определяются суммой внешних сил P1 и P2, сначала определяется критическая продольная сила Nкр=крEJ / l2, а затем критическая нагрузка:
P2 кр=Nкр – P1 кр.
27
1
P1
2
P2
1
h1
P1
2
1
h1
1
h2
2
l1
2
1
1
h2
2
l2
l1
P2
3
P2
l2
P1
5
2
1
P1
4
h2
2
1
1
h2
P2
P1
P2
h2
1
1
h1
1
2
2
l1
l2
l1
l1
l2
6
7
1
h2
1
P2
1
1
P1
h2
P2
1
2
2
P1
h1
2
l1
2
1
l2
P1
8
h1
2
1
h1
2
1
h1
2
l1
l2
P1
P1
0
1
9
1
h2
1
P2
1
1
P2
1
h1
2
l2
l2
Рис.8
28
2
h2
1
1
2
h1
2
l1
P2
h1
2
2
l1
h2
l1
h2
h2,
м
1
4
4
2
5
3
J1
J2
h1,
м
1
4
1/3
1
4
1/3
1
5
2
5
0,4
2
5
0,4
2
6
6
3
6
0,5
3
6
0,5
3
4
7
7
4
7
0,8
4
7
0,8
4
5
8
8
5
8
1
5
8
1
5
6
9
9
6
9
1,2
6
9
1,2
6
7
10
10
7
10
1,5
7
10
1,5
7
8
11
11
8
11
2
8
11
2
8
9
12
12
9
12
2,5
9
12
2,5
9
0
13
13
0
13
3
0
13
3
0

P1
P2
Четвёртая
цифра шифра
(№ схемы рамы)
l2,
м
Третья цифра
шифра
l1,
м
Вторая цифра
шифра
Первая цифра
шифра
Таблица 8
Задача № 9. Динамический расчёт плоской системы
Задание: Для плоской рамы (рис. 9) с выбранными по шифру из табл. 9 размерами и нагрузками требуется:
а) определить круговую частоту свободных колебаний системы (без учёта собственного веса рамы);
б) определить максимальную инерционную силу, соответствующую действующей на систему вынуждающей нагрузке;
в) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил с
учётом динамического действия нагрузки P.
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение раздела “Динамика сооружений”.
Для систем с одной степенью свободы круговая частота свободных колебаний определяется по формуле

1
.
m   11
29
P2 sin  t
P1 sin  t
m1
1
m2
2
P2 sin  t
h2
m2
h2
m1
P1 sin  t
h1
h1
l1 /2
l2 /2 l2 /2
l1
P1 sin  t
m1
l2 /2 l2 /2
l1
m1
4
3
P2 sin  t
h2
P1 sin  t
P2 sin  t
h2
h1
h1
m2
m2
l1 /2 l1 /2
l1 /2 l1 /2
l2
P2 sin  t
m2
m1
l2
5
P1 sin  t
h2
6
P2 sin  t
h2
P1 sin  t
h1
m2
l1 /2 l1 /2 l2 /2 l2 /2
P1 sin  t
h1
m1
l1
m1
l2 /2 l2 /2
P1 sin  t
m1
h2
2
h2
2
7
P2 sin  t
8
h1
h1
m2
m2
30
l1
l2
h2
P2 sin  t
l1
l2
l2 /2
m1
P2 sin  t m1
P2 sin  t
0
9
h2
h2
m2
P1 sin  t
h1
P1 sin  t
m2
l1 /2 l1 /2
h1
2
h1
2
l2
l1
l2
Рис. 9
h1,
м
1
3,2
2,8
2
3,4
3,0
3
3,6
4
кН  сек 2
м
1
1
5,0
1,6
2
2
4,8
3,2
1
3
3,8
3,4
2
5
4,0
3,6
6
4,2
7
P,
кН
h2,
м
Четвёртая
цифра шифра
(№ схемы)
l2,
м
Третья цифра
шифра
Вторая цифра
шифра
l1,
м
Индекс P и m
Первая цифра
шифра
Таблица 9
1
3,5
4,8
1
20000
1,8
2
4,0
4,4
2
21000
4,6
2,0
3
4,5
4,6
3
22000
4
4,4
2,2
4
5,0
4,2
4
23000
1
5
4,2
2,4
5
5,5
4,0
5
24000
3,8
2
6
4,0
2,6
6
5,2
3,8
6
25000
4,4
4,0
1
7
3,8
2,8
7
5,1
3,6
7
26000
8
4,6
4,2
2
8
3,6
3,0
8
4,8
3,4
8
27000
9
4,8
4,4
1
9
3,4
3,2
9
4,4
3,2
9
28000
0
5,0
4,6
2
0
3,2
3,4
0
4,2
3,0
0
29000
m,
EJ,
кН  м 2
Примечание: на раме может находиться только одна масса (m1 или m2), величина которой равна m, и действовать только одна из возмущающих нагрузок
(P1 или P2), величина которой равна P. Индекс массы и силы принимается по
первой цифре шифра в столбце 4 таблицы 9.
31
где 11 – перемещение точки приложения сосредоточенной массы в направлении её возможных свободных колебаний от действия единичной силы, приложенной в том же направлении.
Частоту колебаний возмущающей силы следует принять равной .
Максимальное значение инерционной силы находят из решения канонического уравнения
1
Z1  ( 11 
)  1 P  0 ,
m  2
где 1P – перемещение точки приложения сосредоточенной массы по направлению её возможных колебаний от статического действия максимального значения вынуждающей нагрузки P; Z1 – максимальное значение силы инерции.
Эпюра динамических моментов строится по формуле
M д  M 1  Z1  M P .
Эпюра поперечных сил строится по эпюре изгибающих моментов обычными методами, а эпюра продольных сил по эпюре поперечных сил способом
вырезания узлов.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие методические указания
.
.
.
.
.
Общие указания о порядке выполнения контрольных работ
Контрольная работа № 1
.
.
.
.
.
.
Контрольная работа № 2
.
.
.
.
.
.
Контрольная работа № 3
.
.
.
.
.
.
Контрольная работа № 4
.
.
.
.
.
.
Контрольная работа № 5
.
.
.
.
.
.
Контрольная работа № 6
.
.
.
.
.
.
32
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Стр.
3
4
6
11
17
20
23
26
Учебное издание
Составители: Игнатюк Валерий Иванович
Сыроквашко Иван Степанович
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по дисциплине “Строительная механика”
для студентов строительных специальностей
заочной формы обучения
Ответственный за выпуск Игнатюк В.И.
Редактор Строкач Т.В.
Технический редактор Никитчик А.Д.
Подписано к печати 09.06.2004 г. Формат 60  84/16. Бумага Снегурочка. Гарнитура
Times New Roman. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 180 зкз. Заказ № 548. Отпечатано
на ризографе Учреждения образования «Брестский государственный технический
университет». 224017, Брест, ул. Московская, 267.
33