ХКЗФМШ – 2011/12 МАТЕМАТИКА, 11 класс Мендель Виктор Васильевич, ДВГГУ Рациональные и дробно-рациональные неравенства П.1 Предварительные сведения о многочленах и их корнях В этом пункте мы вспомним основные понятия, относящиеся к многочленам и их свойства. Определение 1.1 Если an , an 1,..., a1, a0 - действительные числа, an 0 , а x некоторая действительная p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 переменная, называется то многочленом выражение степени вида n от переменной x . Пример 1. p( x) 3x 3 4.5 x 2 3 x - многочлен третьей степени, где a3 3, a2 4.5, a1 3, a0 - его коэффициенты. Определение 1.2 Корнем многочлена p (x ) называется такое число x0 , что при подстановке его вместо переменной x многочлен обращается в ноль. Пример 2. Для многочлена p( x) x3 3x 2 3x 1 число x0 1 является корнем: p(1) 13 3 12 3 1 1 0 . Для многочленов и их корней справедлива следующая теорема. Теорема 1. Если x0 - корень многочлена p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 , то многочлен можно представить в виде произведения p( x) q( x)( x x0 ) , где q(x) многочлен степени (n 1) . Замечание. Если x0 является также корнем многочлена q(x) то его называют кратным корнем многочлена p (x ) . Причем p( x) q( x)( x x0 )2 . Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства Определение 3. Многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называется неприводимым над множеством действительных чисел. Примерами трехчлены неприводимых p( x) ax 2 bx c , у многочленов которых служат все дискриминант квадратные отрицателен: D b 2 ac 0 . Стандартные примеры 3. p( x) x2 x 1 , p( x) x 2 x 1 . Замечание. Можно показать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один корень. Далее мы сформулируем очень важную лемму. Лемма 1. Если многочлен p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 неприводим над множеством действительных чисел и старший коэффициент an 0 (an 0) , то при любых значениях переменной x многочлен принимает положительные (отрицательные) значения. Сформулируем теперь основную теорему данного пункта – теорему о разложении на неприводимые множители. Нам удобна следующая ее редакция. Теорема 2. Любой многочлен p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 с действительными коэффициентами может быть представлен в виде: p( x) an ( x 2 b1 x c1 ) k1 ...( x 2 bs x cs ) k s ( x x1 ) n1 ...( x xl ) nl , где все квадратные трехчлены ( x 2 bi x ci ) - неприводимы. Замечание. Неприводимые трехчлены ( x 2 bi x ci ) положительны при всех значениях x . Пример 4. Многочлен В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 раскладывается на неприводимые множители следующим образом: . П.2 Некоторые приемы разложения многочлена на неприводимые множители Если многочлен является квадратным трехчленом p( x) ax 2 bx c , то он раскладывается в произведение p( x) a( x x1 )( x x2 ) , где корни многочлена x1 и x2 находятся обычным образом с помощью дискриминанта. Для многочленов третьего и четвертого порядка также существуют универсальные методы вычисления корней, однако они громоздки и не изучаются в школьном курсе. Основными приемами разложения многочленов степени больше четырех являются: подбор корней, метод неопределенных коэффициентов и разложение на множители. Подбор корней удобно производить для многочленов, все коэффициенты которых рациональные (целые) числа. При этом помогает следующая теорема, лежащая в основе схемы Горнера. Теорема 3. Если все коэффициенты многочлена p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 целые числа, то возможные рациональные корни этого уравнения лежат среди рациональных дробей вида p , где p и q - целые числа, являющиеся делителями q коэффициентов a0 и an . Пример 1. Возможные рациональные корни многочлена p( x) 9 x3 4 x 2 3x 4 1 3 1 9 2 3 2 9 4 3 это дроби: , , , , , 4 и целые числа 1, 2, 4 . 9 Рассмотрим пример разложения многочлена в произведение. Пример 2. Разложить на множители многочлен . Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства Решение. Будем искать возможные корни среди делителей свободного члена. Это могут быть следующие числа: 1, 2, 3, 6 . Непосредственная подстановка показывает, что корнями являются -1, 2 и 3. Таким образом, данный многочлен раскладывается на множители следующим образом: . Пример 3. Разложить на множители многочлен . Решение. Снова заметим, что целыми корнями могут быть только делители числа 17, это 1, -1, 17, -17. Непосредственно находим, что подходит только число 1. Таким образом, p( x) q( x)( x 1) , где q(x) - квадратный трехчлен. Его можно найти, разделив «уголком» p (x ) на ( x 1) . Мы же для примера используем другой прием – группировку. Представим многочлен p (x ) в виде: p( x) ( x3 x 2 ) (5x 2 5x) (17 x 17) x 2 ( x 1) 5x( x 1) 17( x 1) ( x 1)( x 2 5x 17) . Вычислив дискриминант квадратного трехчлена – второго множителя разложения, убеждаемся, что он отрицателен. Таким образом, мы разложили многочлен на неприводимые множители. Пример 4. Разложить на множители многочлен: . Решение. Сначала попробуем найти целые корни уравнения, это могут быть некоторые из следующих чисел: 1, -1, 13, -13. Нетрудно проверить, что ни одно из них не подходит. Тогда попробуем применить метод неопределенных коэффициентов. Суть его в следующем: мы попробуем представить многочлен в виде произведения двух квадратных трехчленов. Естественно предположить, что коэффициенты при квадратах у обоих трехчленов равны единице, а вот говорить о других коэффициентах трудно. Поэтому мы считаем их неопределенными и обозначаем буквами a, b, c, d . Таким образом, мы ищем представление многочлена в виде: f ( x) ( x 2 ax b)( x 2 cx d ) . Перемножим выражения в скобках и приведем подобные, получим: В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 f ( x) x 4 (a c) x3 (b d ac) x 2 (ad bc) x bd . Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях у многочлена f (x) и его разложения, получим следующую алгебраическую систему уравнений: a c 4 b d ac 17 ad bc 16 bd 13. Очевидно, что числа b и d – целые и одного знака, то есть это 1 и 13 или -1 и 13 . Если предположить, что b 1, d 13 , то первое и второе уравнения системы сводятся к следующему виду: a c 4 ac 17 1 13 3. Поэтому либо a 1, c 3 , либо a 3, c 1 . С учетом третьего уравнения получаем, что подходит вариант a 1, c 3 . Таким образом, искомое разложение имеет вид: f ( x) ( x 2 x 1)( x 2 3x 13) . Замечание. Если бы ни одно, ни другое решение для a и c не подошли в третье уравнение, пришлось бы рассмотреть случай, когда b и d равны -1 и 13 . П.3. Распределение знака многочлена на числовой оси. Решение рациональных неравенств методом «интервалов» Исследуем многочлен p( x) an ( x 2 b1 x c1 ) k ...( x 2 bs x cs ) k ( x x1 ) n ...( x xl ) n 1 s 1 l на знак его значения в разных точках числовой прямой. Для начала отметим, что все стоящие в начале разложения неприводимые квадратные трехчлены принимают положительные значения при любом значении x. Поэтому, если мы сократим рассматриваемое выражение на положительные выражения, знак нового многочлена p1 ( x) an ( x x1 ) n1 ...( x xl ) nl будет совпадать со знаком Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства многочлена p (x ) . Далее будем считать, что числа x1, ... , xl упорядочены в порядке возрастания. Если x xl , то все одночлены ( x xi ) положительны. Далее, если x x1 , то все одночлены ( x xi ) - отрицательны. Отметим еще один существенный момент: если xi x xi 1 , то множители, лежащие правее одночлена ( x xi 1 ) отрицательны, а множители, начиная с ( x xi ) и левее – положительны. Таким образом, если перемещать x справа на лево, то при переходе через очередной корень xi ровно один одночлен меняет знак с плюса на минус. Пример 1. Решить неравенство p( x) ( x 1)( x 3)( x 7) 0 . Решение. Отложим на числовой оси корни уравнения -1, 3 и 7. При x 7 все сомножители положительны и p ( x) 0 . Если 3 x 7 , то первые два сомножителя положительны, а третий – отрицателен, следовательно, p ( x) 0 . Если 1 x 3 , то первый множитель все еще положителен, а два других – отрицательны. Следовательно, p ( x) 0 . Наконец, если x 1 , то все три множителя отрицательны и p ( x) 0 . Таким образом, неравенство верно, если 1 x 3 или x 7 . Проиллюстрируем сказанное рисунком: Таким образом, корни многочлена разбивают числовую ось на лучи и интервалы так, что на соседних участках многочлен имеет противоположные знаки. Именно по этому данный прием решения неравенств получил название «метод интервалов». Усложним задачу. Пусть теперь одночлены в разложение многочлена входят в некоторых степенях. Пример 2. Решить неравенство p( x) ( x 1)3 ( x 3)2 ( x 7)5 0 . В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 При x 7 все сомножители положительные так как сами одночлены положительны, и их степени также положительны. Следовательно p ( x) 0 . Если 3 x 7 , то первые два сомножителя положительны, а третий – отрицателен, так как одночлен ( x 7) отрицателен и его третья степень – также отрицательна, следовательно, p ( x) 0 . Если 1 x 3 , то первый множитель все еще положителен, третий – отрицателен, а вот на второй нужно посмотреть повнимательнее. С одной стороны, одночлен ( x 3) стал отрицательным, но он возведен в четную степень – следовательно множитель ( x 3)2 при x 3 обратился в ноль, а затем вновь стал положительным. Таким образом, первый и второй множители положительны а третий – отрицателен. Таким образом, многочлен не изменил знак: p ( x) 0 . Наконец, если x 1 , то первый множитель становится отрицательным (так как ( x 1) стал отрицательным и его нечетная третья степень – тоже отрицательна), второй множитель – положителен, а третий – отрицателен, значит p ( x) 0 . Изобразим результат на координатной прямой: Таким образом, неравенство p ( x) 0 верно, если x 1 или x 7 . Рассмотренные примеры позволяют нам сформулировать общий алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов. 1. Многочлен раскладываем на неприводимые множители (приводим к виду: p( x) an ( x 2 b1 x c1 ) k ...( x 2 bs x cs ) k ( x x1 ) n ...( x xl ) n ), 1 s 1 l 2. Сокращаем неприводимые множители второго порядка – квадратные трехчлены, 3. Откладываем на числовой оси корни многочлена, 4. В зависимости от знака коэффициента ап определяем знаки многочлена на получившихся интервалах по правилу: Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства a. На крайнем правом полуинтервале (когда x>xl) знак многочлена совпадает со знаком коэффициента ап , b. Будем перемещаться по числовой оси влево. При прохождении очередного корня xi знак многочлена меняем на противоположный, если множитель ( x xi ) n имеет нечетную степень ni (в том числе – i единицу), и оставляем прежний знак, если эта степень – четная. c. В зависимости от того, какой знак у рассматриваемого неравенства, выбираем для ответа «положительные» или «отрицательные» интервалы, d. В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни многочлена. Поясним последний пункт на примере. Если бы мы решали нестрогое неравенство: p( x) ( x 1)3 ( x 3)2 ( x 7)5 0 , то ответ выглядел бы так: x 1 , или x 7 , или x 3 . То есть неравенства в ответе стали нестрогими и к ним добавился корень x 3 . Замечание. Довольно часто школьники забывают, что нужно учитывать знак коэффициента ап . Поэтому рекомендуем сделать простое преобразование неравенства: разделите его на ап , при этом, если ап положителен – получим эквивалентное неравенство, а если отрицателен – то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. Пример к замечанию: Решим неравенство 4( x 4)3 ( x 2)7 0 . В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 Оно эквивалентно неравенству ( x 4)3 ( x 2)7 0 . Кратные корни -4 и 2 имеют нечетную кратность, поэтому решением неравенства является интервал: 4 x 2. П. 4 Дробно-рациональные неравенства p( x) 0 , где g ( x) Определение. Дробно-рациональным называют неравенство вида p (x ) и g (x ) - многочлены. В отличие от рациональных неравенств, дробно-рациональные могут быть определены не для всех значений переменной. А именно, необходимо исключить из рассмотрения такие значения x , при которых многочлен g (x ) обращается в ноль (так как на ноль делить нельзя!). С другой стороны очевидно, что на всех допустимых значениях дробнорациональное выражение p( x) и многочлен – произведение p( x) g ( x) имеют g ( x) одинаковый знак. Опираясь на сказанное выше мы можем сформулировать метод интервалов для дробно-рациональных неравенств, который является модификацией одноименного метода для рациональных неравенств: 1. Дробно-рациональное выражение p( x) g ( x) преобразуем в многочлен – произведение p( x) p( x) g ( x) , 2. Многочлен раскладываем на неприводимые множители: p( x) an ( x 2 b1 x c1 ) k1 ...( x 2 bs x cs ) k s ( x x1 ) n1 ...( x xl ) nl ), 3. Сокращаем неприводимые множители второго порядка – квадратные трехчлены, Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства 4. Откладываем на числовой оси корни многочлена, 5. В зависимости от знака коэффициента ап определяем знаки многочлена p(x ) на получившихся интервалах по правилу: e. На крайнем правом полуинтервале (когда x>xl) знак многочлена совпадает со знаком коэффициента ап , f. Перемещаемся по числовой оси влево. При прохождении очередного корня xi знак многочлена меняем на противоположный, если множитель ( x xi ) n имеет нечетную степень ni (в том числе – i единицу), и сохраняем знак, если эта степень – четная, g. В зависимости от того, как распределился знак у рассматриваемого неравенства, выбираем в ответ «положительные» или «отрицательные» интервалы, h. В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни многочлена p (x ) , i. Обязательно исключаем из ответа все корни многочлена g (x ) . Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств. Пример 1. Решить неравенство ( x 2 5 x 4) 0. ( x 7)( x 2) Решение. 1. Сначала найдем область допустимых значений неравенства (далее сокращенно будем писать - ОДЗ). Очевидно, что x 7, x 2 . 2. Преобразуем дробно-рациональное неравенство в рациональное: ( x 2 5x 4)( x 7)( x 2) 0 . 3. Разложим на множители левую часть полученного неравенства: В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 ( x 4)( x 1)( x 7)( x 2) 0 . 4. Заметим, что корни многочлена – числа -2, 1, 4 и 7, имеют кратность «единица», отложим их на числовой оси и расставим на полученных интервалах знаки неравенств: 5. Выписываем окончательный ответ, включая в него корни многочлена, стоявшего в числителе и исключая корни знаменателя. Ответ: x 1, 2 x 4, x 7 . Внимание! Для записи ответа можно использовать как неравенства, так и промежутки. Например, данный ответ можно записать также в виде: x (,1] (2,4] (7,) . В следующем примере мы рассмотрим неравенства с кратными корнями. Пример 2. Решить неравенство: ( x 2 4 x 4)( x 9) 0. x2 4x 4 Решение. Заметим сначала, что первое выражение в числителе и выражение в знаменателе являются полными квадратами. Далее: знаменатель обращается в ноль при x 2 , поэтому ОДЗ: x 2 . Перейдем к рациональному неравенству, получаем: ( x 2)2 ( x 2)2 ( x 9) 0 . Отложим на числовой оси корни многочлена из левой части полученного неравенства и определим знаки этого многочлена на полученных интервалах. С учетом кратности корней -2 и 2 получим: Хабаровск - 2011 Математика – 11: Рациональные и дробно-рациональные неравенства Обратите внимание на то, что знак меняется только в 9, а в 2 и -2 он сохраняется, так как это корни четной кратности. «Соберем» теперь ответ: к основному интервалу – лучу x 9 добавляем корни числителя 2 и 9, а корень знаменателя -2 исключаем. Ответ: {2} [9,) . Рассмотрим еще один важный пример, так как именно в таких заданиях абитуриенты делают много ошибок. Пример 3. Решить неравенство 1 2 . x2 x5 Решение. Это неравенство не похоже на каноническое дробно-рациональное, но оно сводится к таковому. Главное – сделать это правильно. Для этого перенесем дробь из правой части неравенства в левую и приведем полученную разность двух дробей к общему знаменателю: 1 2 1 ( x 5) 2 ( x 2) 1 ( x 1) 0 0 0. x2 x5 ( x 2)( x 5) ( x 2)( x 5) ( x 2)( x 5) Сократим числитель на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: x 1 0 . Теперь перед нами каноническое дробно( x 2)( x 5) рациональное неравенство, эквивалентное исходному. Решим его методом интервалов. Ответ: x (,1) (2, 5) . Замечание. Часто такие задачи решают неправильно, а именно: просто умножают числитель левой части на знаменатель правой и наоборот. В результате получается совершенно другое неравенство: ( x 5) 2( x 2) , которое сводится к линейному неравенству x 1 0 В.В. Мендель ХКЗФМШ – 2011/12 ответ для которого: x (,1) только частично совпадает с правильным. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 11 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,11 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Разложите на неприводимые множители следующие многочлены (5 баллов за каждый пример) 11.1.1. , 11.1.2. , 11.1.3. , 11.1.4. . Решите рациональные неравенства (5 баллов за каждый пример) 11.1.5. , 11.1.6. 11.1.7. , , 11.1.8. . Решите дробно-рациональные неравенства (5 баллов за каждый пример) 11.1.9. 11.1.10. 11.1.11. , , 11.1.12. , . Хабаровск - 2011