Тема урока: Применение непрерывности функции

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 17
с углубленным изучением музыки и ИЗО», город Бийск.
Открытый урок в 10а классе, физико-математического профиля.
Автор: Голышева Л. М. (учитель высшей квалификационной категории)
Тема урока: Применение непрерывности функции
Цель урока: Систематизировать знания по теории, используя свойство
непрерывности рациональной и дробно рациональной
функций.
Проверить уровень знаний при решении неравенств
различной сложности методом интервалов.
План урока
1. Организационный момент.
2. Опрос:
а) 3 ученика работают по карточкам на доске;
б) остальные работают по тесту.
3. Решение двух неравенств, дополнительное задание для успешных в
обучении детей.
4. Самостоятельная работа.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Этап 1. Организационный момент. Сообщение плана урока.
Ребята, сегодня мы подводим итоги по теме «Применение
непрерывности функции», за урок каждый должен получить две оценки.
Этап 2. Опрос.
В тестах, которые лежат у вас на столе зашифровано слово, которое было
введено в математику в 1797 году, пожалуйста, начинайте работать, а затем
мы подведем итоги. Работаете 8 минут.
Три человека работают на доске, учитель оказывает помощь, если
необходимо.
1) Решить неравенство x  5 x 2  9  0 ;
2) Решить неравенство
x2 1
1 ;
x2
3) Найти область определения функции y 
16  24 x  9 x 2
;
x2
А теперь назовите, пожалуйста, слово, которое вы составили в ходе
решения следующих заданий.
ТЕСТ
Решите неравенство
1. ( x 2  5)  (2 x  17)  0
ф)  ;8,5 о)  5;8,5
к)  8,5;
2. (5x  2)  x 2  1  0
м)  ;0,4
л) 0,4;
с) 0,4;
3.
x2
0
2 x  92
е)  ;4,5
4. x 2  4  0
а)  2;2
ц)  4,5;2
к)  ;2  2;
5. x 2  9  0
в)  ;3  3;
г)  3;3
6. y  (5x  2) 3 , y   0
н)  ;0,4 и)  ;
7. y 
1
, y  0
x  2x  1
р)  2;2
с)  3;3
в)  0,4;
2
я) нет решения
1
ю) 2;
2
б) 0;
3
е)  ;1
4
5
6
7
ФЛЮКСИЯ
Историческая справка.
Термин «производная» является переводом на русский язык
французского слова derivee, которое ввел в 1797 году Жозеф Лагранж,
живший в 1736-1813 годах. Портреты ученых-математиков на стенде.
Он же ввел обозначения y´ и f´. Исаак Ньютон назвал производную
функцию «флюксию», а саму функцию «флюента». Терминология Ньютона
утратили свое значение. Все дробно рациональные и целые рациональные
функции дифференцируемы во всех точках своей области определения.
Производная широко применяется для исследования функций. Применяя
свойство непрерывных функций, мы решаем неравенства с одной
переменной различными способами, но метод интервалов исключительно
эффективен в вопросах исследования функций и построения графиков, а
также при решении задач с параметрами и модулями при решении сложных
неравенств.
Сдают решения и тесты.
Посмотрим решения на доске и зададим контрольные вопросы по теме.
1) Решить неравенство x  5 x 2  9  0
1. y  x  5 x 2  9
2. Д(у)=  ;3  3;
x2  9  0
x 3
3. y  0, если х  5;  3;3
4.


3
 Д ( у)


3

5

x
Ответ: x  5; ; -3;3
Указать наименьшее целое значение решения неравенства
2) Решить неравенство
x2 1
1
x2
x2 1 x  2
0
x2
x2  x 1
0
x2
x2  x 1
1. y 
x2
2. Д(у)=R, кроме 2
3. у=0 не существует
4.

2

x
Ответ: x   ;2
Указать наибольшее целое из полученного промежутка
3) Найти область определения функции y 
Т.к Д ( t )  0; , то
16  24 х  9 х 2
0
х2
4  3х 2  0
х2
16  24 x  9 x 2
x2
1. f ( x) 
(4  3 x) 2
x2
2. Д(f)=R, кроме -2
3. f ( x)  0, если х  1
4.

1
3
 - 

2
1
1
3
x
Ответ: x   2;  
Этап 3. Решаем два неравенства на доске вместе, кто будет
опережать, получит дополнительную оценку.
2
1) Решить неравенство f ( x)  0 , если f ( x)  ( x  2) x
2) Решить неравенство
x 3  5x 2  8x  4
0
x3  7x  6
Дополнительно.
3) x 2  6 x  8  x 2  2 x 
2
4)
2
x  23 x  5  0
 x  3 2
1) К доске выходит ученик. Находит производную функции и решает
неравенство.
f ( x)  2( x  2) x 
( x  2) 2  1

4 x( x  2)  ( x  2) 2
2 x
( x  2)(5 x  2)
f ( x)  0 , т.е.
0
2 x
1. y 
2 x
( x  2)(5 x  2)
2 x
2. Д (у)  0;  
2
5
3. у  0 при х   ;2
4.
 Д ( у)
2
Ответ: x  0;  

2
5

0
x

( x  2)( 4 x  x  2)
2 x

( x  2)(5 x  2)
2 x
2) Ребята, какими способами можно разложить многочлен третьей степени
на множители?
- способом группировки, разлагая многочлен на четное количество
одночленов;
- по схеме Горнера, используя теорему Безу;
- выполняя деление уголком.
А теперь каждый выполнит разложение на множители любым из указанных
способов.
К доске вызываются три человека.
1)способ группировки:
x 3  7 x  6  x 3  6 x  x  6  x( x 2  1)  6( x  1)  x( x  1)( x  1)  6( x  1) 
( x  1)( x 2  x  6)  ( x  1)( x  3)( x  2)
x 3  5x 2  8x  4  ( x  1)( x 2  4 x  4)  ( x  1)( x  2) 2
2) деление уголком:
x 3  5x 2  8x  4
x 1
x3  x2
x 2  4x  4
 4x 2  8x
 4x 2  4x
4x  4
4x  4
0
3 ) по схеме Горнера:
x 3  5x 2  8x  4
в.к:  1;  2;  4
P (1)  1  5  8  4  0
1 5 8 4 |1
1 4 4
_______________
1 4
4
0
( x  1)( x  2) 2
0
( x  1)( x  2)( x  3)

2



1
Ответ: x  (2;1)  1;3
2
2
3) x 2  6 x  8  x 2  2 x 
 x  2  2  x  4 2  x 2  x  2  2
x  22 x  42  x 2   0
1

2


3
x
x  22 x 2  8 x  16  x 2   0
x  22 16  8 x   0
2
8 x  2   x  2   0
3
8x  2  0

+ -
x
2
Ответ: x   ; 2
4)

x  23 x  5  0
 x  3 2

5


3



2
x
Ответ: x   5;  3   3; 2
Запишите, пожалуйста, домашнее задание: составить 4 неравенства,
оформить в виде карточки как раздаточный материал, с приложением
решения.
Этап 4. Последний этап нашего урока, самостоятельная работа по
карточке, на два варианта.
I Вариант
1. Решите неравенство:
1)
36  x 2
 0;
x
2) ( x  2) 9  x 2  0;
3) 1 
2x
1 x2
 0.
2. Найдите сумму целых решений неравенства:
(2  x) 2 ( x  4)
 0 , лежащих на промежутке  6;6
x4
1) 4; 2) 6; 3) 8;
4) -8.
II Вариант
1. Решите неравенство:
25  x 2
 0;
1)
x
2) ( x  5) x 2  4  0; 5;   ;
3) 1 
2x
1 x2
 0.
2. Найдите сумму целых решений неравенства:
(3  x) 2 ( x  5)
 0 , лежащих на промежутке  6;6
x4
1) 0; 2) 2;
Решение:
I
3) 6;
4) -4.
II
1. Решите неравенство
1)
36  x 2
0
x
( x  6)( x  6)
0
x


6
 ;6  0;6
1)

0

x
6
2) ( x  2) 9  x 2  0
3

2
3) 1 
 Д ( у)
2
3) 1 
0


1
x
5
0


 Д ( у)
2
5;;  2;2
1 x
1  2x  x 2
1  2x  x 2

0
или
0
1 x2
1 x2
( x  1) 2
( х  1) 2
 0 или
0
1 x2
1 х2
x  12
1. y 
1 x2
2. Д ( у )  R
3. y  0 при х  1
4.
2

x
3
 3;2; 3
2x

1. y  x  5 x 2  4
2. Д ( у)   ;2  2;
3. у  0, х  2; 5
4.
3. y  0, x  2;  3
4.

5
 5;0  5;

2) ( x  5) x 2  4  0
1. y  ( x  2) 9  x 2
2. Д ( у )   3;3
 Д ( у)
25  x 2
0
x
( x  5)( x  5)
0
x


2x
1 x2
0
нет решения
x
R, кроме -1 и 1
2. Найдите сумму целых решений неравенства
5
x
(2  x) 2 ( x  4)
0
x4
(3  x) 2 ( x  5)
0
x4
лежащих на промежутке
 6;6

-6
4
Ответ: 1


2

4
6

x
-6
 6;6

4

3


5
6
x
Ответ: 1
Проверка. За доской ответы. Оценивают себя.
«5» за четыре правильно решенных задания.
«4» за три правильных задания.
«3» за два правильных задания.
«2» за одно правильное решенное задание.
Этап 6. Подведем итоги нашего урока.
Понравился ли наш урок?
Что вы узнали на уроке новое?
На уроке мы повторили и отработали задания, которые вызывают
затруднения. Мы готовим базу для исследования функций и построение
графика функции. Нестандартные задания необходимы для решения
заданий уровня «С» ЕГЭ, который мы будем сдавать в следующем учебном
году.
Спасибо за урок, дети!