КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Фонд заданий для контроля остаточных знаний студентов Дисциплина “МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ” Найти предел последовательности: 1. а) lim n 100n n2 2 2 5n ; б) lim n 10 5n Найти предел функции: 2. а) lim x 2 x2 4 x 5x 6 2 2 ; в) lim n 1 2x 3 ; б) lim x 2 x4 lim n2 3n n . ; в) lim ln( x 2 1) x 2 ln( x 4 1) cos x cos 2 x x 0 x 2 ; г) . Найти производную функции: 3. а) y x x ; б) y ln sin x ; в) y sin(ln x) ; г) y arctge ; x д) y x cos x ; е) y cos xtgx . 4. Определить промежутки непрерывности и точки разрыва функции, указать тип точек разрыва а) у x sin x , б) y x x 5. Изобразить траекторию точки, движение которой на плоскости ( x, задано уравнениями: y) а) x t , y t , 1 t ; б) x a cos t , y b sin t , 0 t ; 2 в) x e , y e , t . Найти абсолютную величину скорости точки в момент t 0 . 6. Найти дифференциал функции: t 2t а) y sin x в точке x 2 ; б) а) y arc sin x в точке x 1 . 2 4 7. Найти производную n -го порядка функции: 10 x x 2 а) y cos 2 x ; б) y x ; в) y 2 для n 10 ; г) y xe ; д) y x sin x ; е) y sin x sin 3x . 8. Найти интеграл: а) x 1 dx x x 2 3 dx ; г) dx ; б) ; в) x (2 x 3)10 dx 2x 3 ; xdx е) ; ж) 1 x2 д) sin(3 x 1) dx ; л) dx x( x 1) ; м) dx x (1 x) dx ; з) x2 5x 6 3 1 5x ; и) xe 2x dx ; к) x sin xdx ; ; н) dx 2x 1 2 . Вычислить определённый интеграл: 9. 2 а) 0 10. 1 dx x cos xdx ; б) ; в) ( x 1)( x 2) 0 1 2 x dx ; г) 1 sin x dx . 2 Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями: а) x x 2 , 0 t 4 ; б) x R cos t , y R cos t , 0 t ; 3 2 в) x e , y t 11. 2 ( 3 2 )t e , 3 0 t ln 3 . Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми: а) y x , x y 2 ; б) x a cos t , y b sin t , 0 t 2 . 12. Найти объём тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением заданных кривых: 2 а) y a x (0 x 1) , x 1 вокруг оси Ox ; б) y sin x (0 x ) , вокруг оси Ox ; в) y x (0 x 1) , вокруг оси Oy . 13. Найти координаты центра тяжести: 2 а) дуги окружности x a cos , б) однородной y a sin , плоской фигуры, 2 2 ; ограниченной параболами ax y 2 , ay x 2 (a 0) ; в) однородного полушара x y z a , 14. Построить график функции: 2 а) y ( x 1) x ; б) y 2 15. 1 1 x 2 2 ; в) y xe 2 z 0. 2 x2 . Найти частные производные первого и второго порядков функции: x а) u x y sin y ; б) u xe ye ; в) u x . 2 3 y y 16. Вычислить второй дифференциал функции в точке (1,1) y2 a) z xe ; б) z x ln y y ln x 17. Найти точки локального экстремума функции: а) u x xy y ; б) u x xy y ; 2 2 2 2 в) u x 2 y z 2 x 4 y 6 z 1. 18. Найти точки условного экстремума функции: 2 2 2 а) u x y при условии связи x y 1 ; 2 2 б) u x y при условии связи x y 1 . 19. Преобразовать дифференциальное уравнение: 2 2 а) x y " xy ' y 0 , введя новую независимую переменную t по формуле 2 x et ; z z б) x y z , введя новые независимые переменные u и v по формулам x y y u x, v . x Вычислить двойной интеграл: 20. а) xdxdy , где G - область, ограниченная кривыми y 3x 2 , y 6 3x ; G б) x 2 dxdy , где G - круг: x 2 y 2 1 . G Вычислить тройной интеграл: 21. ( x y z )dxdydz , а) T x y z 1 , x 0, б) где T - область ограниченная поверхностями y 0, z 0 ; 2 2 2 2 2 x y z R x dxdydz , где шар: . T T Вычислить криволинейный интеграл первого рода: 22. а) ( x y)dl , где L - отрезок, соединяющий точки A(1, 0) и B(0, 1) ; L б) 2 y dl , где L - дуга окружности x R cos t б y R sin t , 0 t L 23. а) Вычислить криволинейный интеграл второго рода: 2 . xdy ydx , где OA , отрезок, соединяющий точки O(0, 0) и A(1, 2) ; OA б) xdx ydy, x2 где L - эллипс a2 L часовой стрелки. 24. Вычислить площадь: а) части поверхности z x 2 y , y2 1, пробегаемый против хода b2 расположенной внутри цилиндра заключённой внутри цилиндра x2 y 2 a2 ; б) части x2 y 2 z 2 a2 , сферы x 2 y 2 b2 , если 0 b a . 25. Вычислить поток вектора: через внешнюю сторону поверхности a xi 2 y j 3zk , x2 y 2 z 2 a2 ; б) a xi y j 3zk , через внешнюю сторону части цилиндрической 2 2 2 поверхности x y a , 0 z 1. а) 26. Вычислить работу векторного поля: а) F xi y j zk по x окружности 2 y 2 z 2 R2 , x 2 y , пробегаемой против хода часовой стрелки, если смотреть из точки M (2R, 0, 0) ; 2 2 2 б) F xi y j z k по эллипсу x y a , 2 3 z x y , пробегаемому против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной полуоси z . 27. Исследовать на сходимость ряд: 1 а) ; б) n 0 2n 3 28. 10 n2 1 . n2 Исследовать на сходимость несобственный интеграл: а) 2 dx ; б) x ln x dx x3 1 ; в) 0 0 dx x (1 x 2 ) . 29. Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке [-π, π]: а) f ( x) 1, если x<0, f ( x) 1, если x>0; б). f ( x) 0 , если x<0, f ( x) 1, если x>0. 30. 1 2 Найти значение Г-функции, если a) Г(2.5), б) Г(-3.5)