Математико-механический факультет СПбГУ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
Математико-механический факультет
Принято на заседании кафедры
гидроаэромеханики
Протокол от ______________№____________
Зав. кафедрой
______________________ С.К.Матвеев
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
________________ Г.А.Леонов
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Математическое моделирование в современном естествознании»
специальность
511300 – «Механика, прикладная математика»
Санкт-Петербург
2009 г.
1.
2.
3.
4.
Цель изучения дисциплины: Ознакомление слушателей с проблемой математического моделирования в различных областях естествознания на основе обобщенного понятия законов сохранения; иллюстрация применения методологии законов сохранения для математической постановки
ряда глобальных задач, возникающих в современном естествознании.
Задачи курса: Получение обучающимися в магистратуре представления о функциональном
единстве естественных наук, об экологических принципах охраны природы и рационального природопользования, о незавершенности естествознания и возможности дальнейшего его развития, о
соотношении эмпирического и теоретического в познании.
Место курса в профессиональной подготовке выпускника: Курс «Математическое моделирование в современном естествознании» является важным для инновационного образования студентов механических отделений университетов, существенно расширяя кругозор обучающихся. Он
способствует выработке навыков математического моделирования в широком диапазоне научнопрактической деятельности человека. Это междисциплинарный курс.
Требования к уровню освоения дисциплины «Концепции современного естествознания»:
 Знать общие положения, на которых основано математическое моделирование.
 Иметь рабочее представление о методологии законов сохранения.
 Приобрести навыки математического моделирования ряда процессов.
5. Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего промежуточного и
итогового контроля:
Всего аудиторных занятий
из них: — лекций
— практических занятий
68 часов
34 часа
34 часа
Изучение дисциплины по семестрам:
9 семестр: лекции — 34 ч.; практические занятия — 34 ч., 4 контрольные работы;
2 реферата;
Экзамен
6. Содержание дисциплины
6.1. Содержание разделов дисциплины и виды занятий
9-й семестр
I.
Введение: 2 ч. лекций и 2 ч. практических занятий.
ЭВМ и математизация наук. Математические модели — главное направление
математизации наук. Точные науки и проблема математизации других наук:
многообразие моделей и возможность их методологического обобщения. Этапы исследований, основанных на математических моделях. Уровни описания.
Принципы отбора решений. Функциональное единство и незавершенность
естественных наук.
II.
Математические модели динамики атмосферы и Океана: 6 ч. лекций и
6 ч. практических занятий.
Качественные сведения о динамических процессах в атмосфере и океане.
Циркуляционные движения атмосферы и океана. Исходные уравнения для построения математических моделей атмосферы и океана. Математическая модель краткосрочных прогнозов погоды. Математическая модель термоклина.
Течения и волны. Основные уравнения динамики волновых движений в океане. Вывод уравнения свободной поверхности. Волны цунами. Атмосфера и
океан как гетерогенные среды. Гетерогенная модель торнадо.
Контрольная работа по темам I и II.
III.
Гипотетические модели эволюции и внутреннего строения Земли: 6 ч.
лекций и 6 ч. практических занятий.
Исходные предпосылки основных гипотез. Современные представления о
внутреннем строении Земли — качественная модель Земли. Покомпонентная
запись закона сохранения массы Земли. Модель Земли как многокомпонентной вязкой сплошной среды в собственном гравитационном и магнитном поле. Математическая модель асимптотически многослойной планеты. Магнитное поле Земли и его эволюция. Магнитные карты Земли и их применение
для объяснения основных моментов крупномасштабных процессов и явлений в
магнитном поля Земли.
IV.
Математические модели ближнего космоса: 6 ч. лекций и 6 ч. практических занятий.
Определение ближнего космоса (БК). Структура ближнего космоса. Способы
описания ближнего космоса (плазмы). Модель Альфвена. Сильные разрывы в
магнитной гидродинамике. Модель переходной области БК. Магнитосфера и
дифференциальное уравнение магнитопаузы. Метод полных интегралов и его
применение к решению уравнения магнитопаузы. Стохастическая модель
ближнего космоса и получение из нее континуальной модели ближнего космоса. Предельное решение стохастической модели ближнего космоса и концепция Альфвена. Фундаментальные постоянные и их безразмерные комбинации. Роль безразмерных параметров в описании эволюции Вселенной и в ее
структуре.
Контрольная работа по темам III и IV.
V. Математические модели биосферы: 6 ч. лекций и 6 ч. практических занятий.
Основные понятия. Трудности классификации биологических процессов.
Иерархия процессов в биосфере. Модель Вольтерра для однородной популяции. Модель биогеоценоза «хищник — жертва». Модель Костицына. Модель,
учитывающая процессы миграции. Пространственно однородные модели распространения инфекций. Экстремальные свойства биогеоценозов и их устойчивость по Ляпунову. Континуальные модели биосферы: модель непрерывного
распределения численности особей по индивидуальным признакам; континуальные модели распространения инфекций. Информационная энтропия и разнообразие в биологии и концепция равновесия. Снятие парадокса информационной энтропии биосистем. Стохастические модели биологии и получение
на их основе континуальных и пространственно однородных моделей.
Контрольная работа по теме V.
VI. Математическое моделирование в проблеме «человек — окружающая среда»: 6 ч. лекций и 6 ч. практических занятий.
Современное состояние проблемы «человек — окружающая среда». Применение
концепции ноосферы при реализации концепции глобального мира. Глобальное моделирование. Методологическая база глобального моделирования.
Принципиальное отличие глобального моделирования от традиционного. Римский клуб и «модели мира». Глобальная модель биосферы и следствия из
нее. Математические модели в проблеме охраны воздушного бассейна. Сто-
хастическая модель загрязнений. Вывод континуальной модели загрязнений
из стохастической. Экономическая деятельность человека и проблема окружающей среды. Наиболее вероятные распределения в экономике. Общая теория экономического равновесия (ОТЭР). Модели Вольтерра — Костицина —
Лойялки и Вальраса в экономике. Проблемы глобального мира.
VII. Логистическое отображение и динамическое равновесие: 2 ч. лекций и
2 ч. практических занятий.
Логистическое отображение и его свойства. Необходимое и достаточное
условия существования предельных неподвижных точек. Логистические отображения в биологии: модель П.Ф. Фельхюста, дискретизация модели Вольтера. Логистическое отображение и экономическое равновесие: норма прибыли, выпуск продукции фирмой, задача о банковском сбережении при стабилизирующем проценте роста, модель Вальраса. Нелинейный осциллятор.
Контрольная работа по темам VI и VII.
6.2. Лабораторный практикум
— не предусмотрен учебным планом.
6.3. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для
самостоятельной работы
— не предусмотрен учебным планом.
6.4. Темы курсовых работ (выборочно)
— не предусмотрены учебным планом.
6.5. Темы рефератов




















Выражения кинетической и потенциальной энергий, а также работы гравитационных волн.
Прогноз цунами.
Использование птицами приземных токов воздуха.
Особенности перелетов саранчи; контроль численности насекомых — вредителей.
Атмосферная турбулентность.
Применение теорем о вихрях для описания циркуляционных течений атмосферы и океана.
Относительные порядки скоростей внутриземных процессов.
Шкала геомагнитных процессов и безразмерный анализ уравнений эволюции Земли.
Стохастическая модель гидро- и газовзвеси.
H-теорема для газовзвеси.
Получение моделей взаимопроникающих континуумов и сплошной среды из стохастической
модели газовзвеси.
Распространение скорости звука в упругом твердом теле и в атмосфере.
Распространение скорости звука в идеальной и вязкой жидкости.
Распространение скорости звука в политропной гидровзвеси.
Получение модели гетерогенной атмосферы на базе стохастической модели.
Получение модели Океана как гетерогенной среды на основе стохастической модели.
Глобальная модель биосферы и сценарии результатов антропогенных воздействий.
Обобщенные выражения для разности скоростей фаз газовзвеси и скорости осаждения загрязнений в атмосфере.
Логистическое уравнение и логистическое отображение: основные свойства; применение логистического отображения при исследовании численности особей в ограниченном ареале.
Логистическое уравнение и логистическое отображение: основные свойства; применение логистического отображения при исследовании экономических задач.













Логистическое уравнение и логистическое отображение: основные свойства; применение логистического отображения в теории автоколебаний и при грубом моделировании турбулентности.
Логистическое уравнение и логистическое отображение: основные свойства; исследование
пульсации плотности псевдоожиженного слоя.
Пузыри в псевдоожиженном слое. Наиболее вероятное распределение фазы пузырей.
Гетерогенная модель торнадо.
Стохастическая модель гетерогенной неньютоновской среды.
H-теорема для неньютоновской среды.
Применение стохастической модели гетерогенной неньютоновской среды к описанию динамики участка кровеносного сосуда.
Применение стохастической модели гетерогенной неньютоновской среды к описанию динамики легочной паренхимы.
Сильные разрывы в магнитной гидродинамике.
Стохастическая модель ближнего космоса и уравнения МГД.
H-теорема для вырожденных систем.
Современное состояние окружающей среды и проблемы глоболизации.
Непараметрические модели.
6.6. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по
всему курсу
9-й семестр
























Характерные масштабы и характерные интервалы времени.
Физически бесконечно малые объем и интервал времени.
Этапы познания (схема А.Н. Тихонова).
Обобщение понятия закона сохранения и роль концепции единства Мира в
понимании законов сохранения.
Общие принципы построения математических моделей.
Преимущества и недостатки математических моделей.
Детерминистский и стохастический уровни описания.
Принципы отбора решения математических моделей при детерминистском и
стохастическом уровнях описания.
Уровень пространственно однородных систем.
Уровень континуальных систем и его взаимосвязь с уровнем пространственно однородных систем.
Уровень стохастических систем и его связь с детерминистским уровнем
описания, а также с уровнями континуальных и пространственно однородных систем.
Смысл концепции универсальности.
Уравнения сильного разрыва в
-мерном пространстве.
n
n
Граничные условия в
-мерном пространстве.
Стохастическая модель включений гетерогенной системы (среды).
Стохастическая модель несущей среды гетерогенной системы.
Микродинамические законы сохранения и их следствие.
Фундаментальные постоянные и их безразмерные комбинации.
Безразмерные комбинации фундаментальных постоянных и их роль в описании эволюции Вселенной и ее структуры.
Качественные сведения о динамических процессах в атмосфере и океане.
Исходные уравнения динамики атмосферы и океана.
Циркуляционные движения атмосферы и океана.
Математическая модель краткосрочных прогнозов погоды.
Математическая модель термоклина.









































Течения и волны. Уравнения волновых движений в океане.
Вывод уравнения свободной поверхности.
Волны цунами.
Атмосфера и океан как гетерогенные среды.
Определение ближнего космоса и его структура.
Магнитогидродинамическая модель Альфвена ближнего космоса.
Сильные разрывы в магнитной гидродинамике.
Модель переходной области ближнего космоса.
Модель магнитосферы ближнего космоса и дифференциальное уравнение
магнитопаузы.
Стохастическая (кинетическая) модель ближнего космоса.
Получение континуальной модели ближнего космоса из кинетической.
Предельное решение стохастической модели ближнего космоса и магнитогидродинамическая модель Альфвена.
Концепция происхождения Земли.
Современная парадигма внутреннего строении Земли.
Временные масштабы внутриземных и магнитных процессов.
Вязкоупругая модель Земли и ее асимптотический анализ.
Модель многокомпонентной вязкой Земли в собственном гравитационном и
магнитном поле.
Покомпонентная запись закона сохранения массы Земли.
Магнитное поле Земли и его эволюции. Магнитные карты.
Биосфера: трудности классификации биологических процессов.
Иерархия процессов в биосфере.
Модель Вольтерра для однородной популяции.
Модели биогеоценозов «хищник — жертва» и «паразит — хозяин».
Модель Костицына и модель и экстремальные свойства биогеоценозов.
Общая пространственно однородная модель экосистемы и биогеоценозов,
учитывающая миграцию особей.
Пространственно однородная модель эпидемий без учета удаленных (выздоровевших, изолированных или умерших) индивидуумов.
Пространственно однородная модель эпидемий с учетом удаленных (выздоровевших, изолированных или умерших) индивидуумов.
Пространственно однородная модель эпидемий с учетом пополнения восприимчивых к инфекции индивидуумов.
Модель непрерывного распределения численности особей по индивидуальным признакам — реализация концепции естественного отбора.
Энтропия, разнообразие, гомеостаз биогеоценозов и концепция равновесия в биологии. Снятие парадокса информационной энтропии.
Логистическое отображение и динамическое равновесие биосистем: с модель П.Ф. Фельхюста для популяции.
Логистическое отображение и динамическое равновесие биосистем: дискретная модель Вольтерра для популяции.
Стохастические модели биологии.
Реализация микродинамических законов сохранения при получении континуального описания биогеоценозов из стохастических моделей биологии.
Концепции ноосферы и модели глобального мира.
Концепция глобального мира и глобальное моделирование.
Принципиальное отличие глобального моделирования от традиционного.
Римский клуб и «модели мира».
Глобальная модель биосферы и следствия из нее.
Континуальная модель переноса загрязнений Г.И. Марчука.
Стохастическая модель загрязнений.













7.
Получение континуальной модели загрязнений из стохастической. Общее
и различное по сравнению с моделью Г.И. Марчука.
Экономическая деятельность человека и проблема окружающей среды.
Понятия микро- и макроэкономики. Понятие равновесной экономики (ЭР).
Экономическое равновесие и его возможность. Школы ЭР.
Обобщенная информационная энтропия Шеннона и ЭР.
«Теория» экономического равновесия и модель Вольтерра — Лойялки.
«Теория» экономического равновесия и модель Вальраса.
Проблемы, порождаемые глобализацией.
Логистическое отображение: свойства, необходимое и достаточное условия существования аттракторов.
Логистическое отображение и ЭР: норма прибыли; выпуск продукции.
Логистическое отображение и ЭР: задача о банковском сбережении.
Логистическое отображение и ЭР: модель Вальраса.
Логистическое отображение и динамическое равновесие: осциллятор.
Технические средства обучения и математическое обеспечение
В данном курсе, как правило, не используются; возможно применение компьютерных технологий.
8.
Активные методы обучения
В данном курсе применяются классические аудиторные методы.
9.
Материальное обеспечение дисциплины
Достаточно стандартного оборудования лекционных аудиторий, если ограничиваться классическими аудиторными методами обучения.
10. Литература
10.1. Основная
1.
2.
3.
4.
5.
Дулов В.Г., Цибаров В.А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб, 2001. 244 с.
Рыдалевская М.А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб., 2003. 248 с.
Сергеев В.М. Пределы рациональности. М., 1999. 146 с.
Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб, 1997. 192с.
Цибаров В.А. Модель сред с особыми свойствами // Аэродинамика. СПб., 2004. С. 83–111.
10.2. Дополнительная
1. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М., 1970. 326 с.
2. Дулов В.Г., Белолипецкий В.М., Цибаров В.А. Математическое моделирование в глобальных проблемах
естествознания.Новосибирск, 2005. 248 с.
3. Новиков И.Д. Как взорвалась Вселенная. М., 1988. 175 с.
4 . Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., 1959. 220 с.
5. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., 1988. 240 с.
Составитель:
профессор, докт. Физ.-мат. наук ____________________ В.А. Цибаров
Рецензенты:
профессор, докт. Физ.-мат. наук ____________________ Р.Н. Мирошин