Практическое задание №2 Логистическая функция – совокупность логистических операций, направленная на достижение целей, поставленных перед логистической системой или ее элементами (звеньями): снабжение, производство, сбыт. В основе логистического анализа лежит применение логистической функции. С помощью этой функции описываются законы роста присущие сфере материального производства, процессам насыщения потребительского спроса, а также многим формам и уровням жизни. (спрос на мобильные телефоны) График логистической функции имеет вид S образной кривой, положенная набок. Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному, и от равномерного роста к замедляющемуся. Логистической закономерности присуще свойство отражать изменения возрастающего ускорения процесса на замедляющееся или, наоборот, при обратной форме кривой. Эта важная особенность дает возможность определить статистическим путем различные критические, оптимальные и другие практически ценные точки. В основе логистической функции лежит закономерность, выраженная уравнением Ферхюльста: a y c 1 10 a bx если b – положительное, то график убывающий, а если – отрицательное, то возрастающий. у – значение функции х – время а – расстояние между верхней и нижней асимптотой. с– нижняя асимптота (предел, с которого начинается рост функции) a и b это параметры определяющие наклон, изгиб и точки перегиба графика логистической функции. Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (Sобразная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере изменения управляющих параметров (факторов риска). Вероятность P можно также трактовать как заселенность. Начальная стадия роста логистической кривой приблизительно соответствует экспоненте (показательная функция). Затем, по мере насыщения, рост замедляется, проходит линейную фазу и, наконец, и в зрелом периоде практически останавливается. Простейшая логистическая функция может быть описана формулой: где переменную P можно рассматривать как численность населения, а переменную t – как время. Хотя область допустимых значений t совпадает со множеством всех действительных чисел от минус до плюс бесконечности, практически, из-за природы показательной функции exp(−t), достаточно вычислить значения в сравнительно узком интервале [− 6, + 6]. Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания, включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию, математическую психологию, вероятность и статистику. Модель Калдора. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на примере модели Калдора, пытающейся объяснить циклические колебания экономической активности факторами формирования сбережений S(y) и инвестиций I(y), где y доход. В этой модели объем сбережений и инвестиций являются не линейными, а логистическими (S-образными) функциями. Пример таких функций приведен в следующем документе MathCAD (Д. 9.3): Ìîäåëü Êàëäîðà s 2.2 ó-äîõîä, S(y)-ïîòðåáëåíèå, I(y)-èíâåñòèöèè a .9 3 3 S( y ) s ( y a) a 2 I( y ) 3. y 2.5 S( y ) f ( y ) I( y ) S( y ) 5 i 0 18 h 0.1 y i h i Îïðåäåëåíèå òî÷åê ðàâíîâåñèÿ 4 S y i 3 I y i y 0 y1 root ( f ( y ) y ) y1 0.034 S( y1) 1.301 y 1 y2 root ( f ( y ) y ) y2 0.987 S( y2) 2.73 2 y 2 y3 root ( f ( y ) y ) y3 1.679 S( y3) 3.768 1 0 0.5 1 1.5 2 yi Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè: df ( y ) d ( f ( y) ) dy óñòîé÷ df ( y1) 6.894 óñòîé÷ íå df ( y2) 2.9 óñòîé÷ df ( y3) 5.006 Д. 9.3 Равновесие достигается при такой величине дохода у, когда S(y) = I(y). Таких точек три, однако устойчивых точек только две: у1 и у3, так как именно в них производная функции f(y) = I(y) – S(y) отрицательна. Изменение дохода в такой системе можно представить в виде дифференциального уравнения dy f ( y) dt (9.8) с начальным условием y(0) = y0. Если величина дохода соответствует одному из равновесных состояний, то он может сохраняться неограниченно долго. Однако любые изменения в экономической ситуации приведут при неустойчивом равновесии (в точке у2) к переходу в одну из устойчивых точек у1 или у3 – в зависимости от ухода влево или право от положения равновесия. Для устойчивых точек при малых отклонениях от положения равновесия произойдет возврат к тому же состоянию. Точки A, B, C представляют различные варианты статического равновесия на определенный момент времени. Причем равновесие в точке B неустойчиво, а в точках A и C устойчиво. В точке B равновесие неустойчиво, так как при yA < y < yB сбережения превышают инвестиции и на рынке благ образуется избыток, который ведет к сокращению производства. Когда yB < y < yC, тогда объем инвестиций превышает объем сбережений и на рынке благ возникает дефицит, который стимулирует расширение производства. Из аналогичных рассуждений следует, что в точках A и C равновесие устойчиво. Отклонение от A или C вправо приводит к избытку благ и сокращению их производства, а отклонение влево - к дефициту и расширению производства. Однако это справедливо только при постоянных функциях инвестиций и сбережений, периодические изменения деловой активности приведут к деформации этих функций, что и объясняет циклический характер развития экономики. Приведенный документ MathCAD (Д. 9.4)иллюстрирует эти случаи. Динамика несвязанных секторов экономики 0,1 0 0 α 0,1 0,2 0. 0 0,1 0 Такая матрица означает, что капиталовложения в первый сектор составляют 10 % от его дохода, во второй сектор – 10 % от дохода первого сектора и 20 % от дохода второго сектора, в третий сектор – 10 % от дохода второго сектора экономики. Задавая конкретный вид производственных функций, доли выбытия капитала и начальные условия, получим развитие экономики, представленное в следующем документе MathCAD (Д. 9.13): Äèíàìèêà ñâÿçàííûõ ñåêòîðîâ ýêîíîìèêè n 200 i 0 n h 1 1.002 0.5382 a0 .98 a1 .6 1 .5 0.4518 .1 0 0 .05 1 0 a2 4 A .1 .2 0 .2 K 1 5 0 .1 0 0.05 1 a1 a2 Y( K L) a0 K L 1 L 1 1 B diag i 1 i i i K K h A Y K L B K j n 5 4.459 j K 3.021 K i 0 4 K i 1 3.797 3 K i 2 2.24 j Y K L 1.903 2 1 0 100 200 1.949 j YK L 6.092 Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà i h ïî ñåêòîðàì Вопросы к заданию №2 1. Логистические функции. 2. Модель Калдора. 3. Метод Эйлера интегрирования начальной задачи для ОДУ. 4. Нахождение корней уравнения f(x)=0 5. Точки равновесия. 6. Устойчивость точки покоя. 7. Модель связанных секторов экономики. âåëè÷èíà êàïèòàëà â êîíöå ïåðèîäà ïî ñêòîðàì âåëè÷èíà äîõîäà â êîíöå ïåðèîäà ïî ñåêòîðàì ñóììàðíûé äîõîä