Горбаченко В.И., Артюхина Е.В. Бессеточные нейросетевые алгоритмы решения кра-

Горбаченко В.И., Артюхина Е.В. Бессеточные нейросетевые алгоритмы решения краевых задач, основанные на аппроксимации нелинейных зависимостей. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XII Междунар. научнотехн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2012. – С. 11-14.
БЕССЕТОЧНЫЕ НЕЙРОСЕТЕВЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ОСНОВАННЫЕ НА АППРОКСИМАЦИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
В.И. Горбаченко, Е.В. Артюхина
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия, gorvi@mail.ru
Предлагаются бессеточные алгоритмы решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, на радиальных базисных нейронных сетях. Для
учета неоднородности и нелинейности среды предлагается аппроксимировать характеристику
среды с помощью нейронной сети.
Gorbachenko V.I., Artyuhina E.V. Meshless neural network algorithm solving boundary
value problems, based on the approximation of the nonlinear dependence. Meshless algorithms for
solving boundary value problems with radial basis neural networks are offered. To take into account the
heterogeneity and nonlinearity of environment is proposed approximate the characteristics of the environment using a neural network.
В настоящее время для решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, наибольшее распространение получили сеточные методы конечных разностей и конечных элементов. Однако построение сеток для двух и трехмерных областей сложной конфигурации является
сложной задачей, трудоемкость которой для реальных задач превосходит трудоемкость решения систем алгебраических уравнений, получаемых в результате аппроксимации. Сеточные методы позволяют получить решение только в узлах сетки. Большие вычислительные затраты приводят к использованию аппроксимаций
низкого порядка, которые обеспечивают непрерывную аппроксимацию решения
на сетке, но не его частных производных. Альтернативным подходом являются
бессеточные методы, в частности, различные варианты метода взвешенных невязок, когда в качестве базисных функций применяются радиальные базисные
функции (RBF – radial basis function) [1]. Применение RBF позволяет исключить
трудоемкий процесс построения сетки и получить приближенное дифференцируемое решение в произвольных точках области. Недостатком метода является
сложность определения параметров RBF.
Бессеточные методы эффективно реализуются на радиальных базисных
нейронных сетях (RBFNN) [2], использующих принципы обучения для формирования оптимальных параметров радиальных базисных функций. Технология применения RBFNN отработана, в основном, для решения линейных стационарных
задач. Однако многие практически классы реальных краевых задач описываются
как краевые задачи математической физики для неоднородных и нелинейных
сред, например, задачи моделирования нефтяных месторождений [3], фильтрации
подземных вод [4], теплофизики [5].
Целью настоящей работы является разработка бессеточных нейросетевых алгоритмов решения краевых задач для неоднородных и нелинейных сред.
Выход RBFNN описывается выражением [6]
m
(1)
u   wk k  x  ,
k 1
где wk – вес, связывающий выходной нейрон с k -м нейроном первого слоя; m –
число нейронов первого слоя, x – входной вектор, k  x – радиальная базисная
функция.
Рассмотрим линейную модельную задачу
 2u  2u

 f  x, y  ,
x 2 y 2
 x, y   
с граничными условиями u  p  x, y  ,  x, y   , где  – граница области, f и p –
известные функции ( x, y) . Решение задачи формируется в процессе обучения сети
[2], сводящегося к настройке весов и параметров радиальных базисных функций,
минимизирующих функционал ошибки, представляющий собой сумму квадратов
невязок в контрольных точках
2
2

1 N   u  xi , yi   u  xi , yi 
I  w, c, a    

 f  xi , yi   
2
2
2 i 1 
x
y

2

где
цы,

 u  x j , y j   p j 
2 j 1 
K
2
,
– штрафной множитель, p j – значение граничных условий в точке
N и K – количество внутренних и граничных контрольных точек.
Рассмотрим задачу для неоднородной среды

 
u   
u 
   x, y       x, y    f  x , y  ,
x 
x  y 
y 
(2)
j
грани-
 x, y   
с граничными условиями u  p  x, y  ,  x, y   , где  – граница области.
Решение по-прежнему будем искать в виде (1). Изменится функционал ошибки (2). Легко увидеть, что
  2u  2u 
  u    u   u  u







 2  2 .




x  x  y  y  x x y y
y 
 x
(3)
Проблема заключается в сложности вычисления пространственных производных от функции   x, y  , описывающей свойства среды. В работе авторов [7] задача
решена для случая аналитического выражения функции   x, y  . Однако практически зависимость   x, y  известна только из результатов экспериментов и требуется
аппроксимация этой функции. Предлагается применить для аппроксимации вспоn
могательную RBFNN:   x, y    vk k  x, y  . Тогда несложно вычислить пространk 1
ственные производные в (3). Аппроксимация же функций с помощью RBFNN
представляет достаточно хорошо изученную задачу [6].
Рассмотрим решение нелинейной краевой задачи с зависимостью функции 
от решения    u  . Используя правило дифференцирования сложных функций,
получаем
  u    u  


  
x  x  y  y  u
  2u  2u 
 u u u u 


   2  2  .
 x1 x1 x2 x2 
 x1 x2 
Проблема заключается в вычислении производных  u . В [7] в случае известной аналитической зависимости    u  предложен итерационный пересчет
функции    u  . В общем виде (в том числе и при экспериментальном определении    u  ) предлагается аппроксимировать функцию среды с помощью RBFNN:
p
 u    q j  j u  ,
что решает проблему вычисления производных
 u .
j 1
Таким образом, аппроксимация с помощью радиальных базисных нейронных
сетей функций, описывающих свойства среды, позволяет решать на радиальных
базисных нейронных сетях краевые задачи, описывающие процессы в неоднородных и нелинейных средах.
Библиографический список
1. Liu G.R., Gu Y.T. An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming.
– Springer, 2005. – 479 p.
2. Горбаченко В.И., Артюхина Е.В. Бессеточные методы и их реализация на
радиально-базисных нейронных сетях. // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. – 2010. – № 11. – С. 4 – 10.
3. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. –
М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416 с.
4. Ломакин Е.А., Мироненко В.А., Шестаков В.М. Численное моделирование
геофильтрации. – М.: Недра, 1988. – 228 с.
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 784 с.
6. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. – М.: Вильямс, 2006. – 1104 с.
7. Горбаченко В.И., Артюхина Е.В. Бессеточные нейросетевые алгоритмы моделирования физических полей в неоднородных и нелинейных средах // Известия
ПГПУ им. В.Г. Белинского. – 2010. – № 18 (22). – С. 130 – 136.