Распространение упругих продольных волн в

Распространение упругих продольных волн в насыщенном
пористом среде при землетрясении
А.Б.Гасанов, Ахмед Барзкар, Пайам Азмун, Л.А.Эфендиева
Волны от землетрясений появляются как продольные волны, которые главным образом
появляются
в качестве акустических волн или непрерывное столкновение частиц грунтовой
среды. Грунтовая среда моделируется как - пористая среда насыщенная с флюидом, поэтому
изучение эффекта землетрясения на пористых средах насыщаемых с жидкостью и газом - очень
важно. Согласно теории Френкелья-Био, в пористом среде, насыщаемом с жидкостью и газом,
распространяющие два типа волн размножены. Второй тип волны, в основном появляется
деформацией твердой части пористой среды, которая называется матрица. Методика решения
подобных задач в общем случае известна и представлена В.Н.Николаевским. В этой статье
представлена математическая модель для исследования распространения этих волн, которые
представлены так, чтобы теория Френкелья-Био могла быть описать и те землетрясения, которые
излучают дисперсионные акустические волны, т.е. меняют ориентацию, и разветвляются. Мы
можем характеризовать скорость и коэффициент демпфирования тех волн, которые создают звук
землетрясений.
Согласно теории Френкелья-Био, в пористом среде, насыщаемом с жидкостью, два типа волн:
продольных и поперечных. Первая волна имеет большее количество скорости и меньшего
количества демпфирования. Вторая волна имеет меньшее количество скорости, но ее
демпфирование очень высоко. Но для пористых объемов, заполненных флюидом, ситуация может
быть изменена. Николаевский В.Н. показал, что, волны второго типа могут быть признаны в
основном изменением формы в твердой части пористой среды, который называется матрицей.
Если пористая среда заполнен с жидкостью, изменение формы матрицы может быть необратимым,
если жидкость, способен течь между пористыми объемами. В этом случае сопротивление
гидравлическое сопротивление причиняет большее количество демпфирования, поэтому эта волна
может стимулировать только в ограниченном интервале. При заполнении пористой среды со
сжимаемой жидкостью, т.е. с газом, в пористых объемах, заполненных газом, газ может быть сжат
настолько, что это может изменит форму матрицы, т.е. может происходить необратимые
деформационные процессы, образование подземных сетей тектонических разрывов-трещин, в
результате может быть эвакуация флюидов.
В этой работе наша цель состоит в том, чтобы представить математическую модель для индукции
продольных волн, так, чтобы, теория Френкелья-Био можно применяться. Чтобы представлять эту
математическую модель, мы будем учитывать, что имеются четыре основных фактора в индукции
волн, первая непрерывность пористой среды, вторая- движение твердой матрицы, третье движение жидкой фазы. В этой проблеме имеется следующие основные неизвестные, скорость
1
движения частиц твердой фазы, напряжения возникающие в твердой фазе и давления из-за
жидкого внутреннего составляющего пористой среды. Поэтому,
при составлении уравнение
движения основных факторов, мы будем иметь три уравнения с четыре неизвестными, чтобы
замкнут системы уравнений, мы использовали реологическое уравнение для описания свойств
твердой фазы.
Уравнение движения твердой среды:
v
m
 f
p
 1
 1 1  m0   1  m0  1  0
t
t
t
x
(1)
В котором, являются эффективное напряжение выражается в форме Терцаги,  f - коэффициент
сжимаемости твердого тела, m0 - начальный коэффициент пористости, m - коэффициент
пористости,
p - внутренние давление жидкой фазы, v1
- скорость твердого тела.
Уравнение движения жидкой среды:
m
p
v
  2 m0
 m0 2  0
t
t
x
(2)
Где  2 является коэффициентом сжимаемости и v2 - скорость жидкой фазы.
Получаем уравнение непрерывности пористой среды:

p
 f
v
v
 1
 1  m0  1  m0 2  0
t
t
x
x
(3)
Когда пористые среды, разделяем на твердый и жидкие фазы, каждая фаза имеют различный тип
движения, поэтому для каждой фазы, написано отдельное уравнение движения.
Уравнение движения твердого органа(тела) [3].
1  m0 10 v1  1  m0  p  
t
t
x
f

m02
 v2  v1 
k
(4)
10 , является начальной плотностью твердого тела,  - коэффициент вязкости жидкости, k коэффициент проводимости пористого тела.
Уравнение движения жидкого тела:
m0  20
m2
v2
p
 m0
  0  v 2  v1 
t
x
k
(5)
2
 20 - начальная плотность жидкости.
С предположением, что, объем твердой фаз деформируется упруго, реологическое уравнение
будет:
 f  p  k p e1
4
k p  k b  G,   1 k b
3
Изменение волновых характеристик среды влияют и изменяют упругие модули, является модулем
сдвига пористой матрицы, коэффициент мягкости твердого тела. Система уравнений (3), (4), (5),
(6)} - математическая модель, которая требуется. Решение этих уравнений ищем как
гармонические волны..
v , v
1
2
, p, 
f
   A , A , A , A exp it  x 
1
2
3
(7)
4
В котором  является угловой скоростью крутильных волн,  - волновое число. Учитывая (7) в
системе уравнений получим уравнение второе порядка относительно.


a1 4  a2 2  ia3  2  a4 4  ia5 3  0


(8)


a1  k p m0 , a 2  k p m0  20  2  1  m0  m0   20 , a3  b 1  k p     k p 1  ,
*
a 4  10  20 1  m0   1 , a5  b 0   1 , a  m0 k p  2  20 , b 
c  bk p   1 ,  *  10  1  m0 
Для
исследования
различных
вариантов
с
 20
m0
помощью
m0 
k
,  0  10 1  m0   m0  20
численных
расчетов
получаем
нижеследующие результаты, которые показывают влияние физических свойств двухфазной
насыщенной пористой среды на волновые параметры сейсмических волн, выясняется
демпфирические свойства жидкой фазы.
3
Рис. 1. Распространение продольной волны в насыщаемом жидкостями пористых средах.
Рис. 2 показывает, что демпфирование этой волны - очень меньше, и, увеличивается частота
примерно на 5%.
Со вниманием к Рис. 3 мы будем видеть, что скорость этой волны по сравнению с скоростью
первой продольной волны - очень меньше, и, частота также увеличивается, и достигает к 60 гц.
4
Рис. 3. Распространение поперечной волны в насыщаемом жидкостями пористых средах.
Обращают внимание на вышеупомянутое обсуждение, мы можем получить эти результаты A: В
пористых средах насыщаемый жидкостями по сравнению с пористыми средами, насыщаемыми
газом первый вид волн может размножаться, далеко и скорость этих волн большая, следовательно
в этих средах землетрясения быстро распространяется, чем в других средах.
B: Уменьшение скорости распространения, увеличение частоты в пористых средах, насыщаемый
жидкостью по сравнению с пористыми средами насыщаемыми газом очень быстро.
References
[1] Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated solid .I .Low frequency range
j.Acoust.Soc.Am28:168-178.II.Higher frequency range. j.Acoust.Soc.Am28:179-191, 1956.
[2] Nikolaevskiy V.N. Mechanics of porous and fractured media .Singapore :World Scientific1990.
[3] Nikolaevskiy V.N. Geomechanics and fluidodynamics. Kluwer Academic Publishers 1996.
4] D.N.Mikhailov. Difference between the Longitudanal Frenkele-Biot Waves in Water-and Gassaturated Porous Media.
Fluid Dynamics,Vol.41,No1,2006,pp.112-120
5