НМ-6-7кл-задачи21

Нижегородский марафон 2013-14 учебного года.
6-7 класс
21. Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но
начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое
время Чебурашка съел бы торт в одиночку?
22. При делении некоторого числа на 13 и 15 с остатком получились одинаковые неполные частные. Найти наибольшее такое число.
23. Существуют ли 3 различных натуральных числа, сумма квадратов любых 2-х из которых, увеличенная на 1, делится на квадрат третьего?
24. На доске написаны числа 1, 2, ..., 100. Петя и Вася по очереди вычёркивают эти числа (Петя ходит 1-м). Вася хочет, чтобы после его 49-го хода на
доске осталось 2 числа, отличающихся на а) 1; б) 3. Всегда ли он сможет
это сделать?
25. Записали 5-значное число и все числа, получающиеся перестановками
его цифр. У каждого из них нашли остаток при делении на 11. Доказать, что
есть остаток, который не встречается среди полученных ни разу.
26. Каёмкой клетчатого прямоугольника (со сторонами, не меньшими двух)
назовём полосу ширины 1, идущую по краю прямоугольника. Можно ли
квадрат 20132013 покрыть по линиям сетки каёмками в несколько слоёв
(над каждой клеткой квадрата должно быть поровну клеток каёмок)?
27. В однокруговом чемпионате по матбоям участвовали 16 команд из 16
разных школ. Каждый бой проходил в одной из школ-участниц. Могло ли
по окончании чемпионата случиться, что каждая команда сыграла во всех
школах, кроме своей?
28. У Пети и Васи было 2 одинаковых квадрата. они вырезали в своих квадратах по одинаковой квадратной дырке со сторонами, параллельными сторонам квадрата. Доказать, что Петину фигуру Петей, можно разрезать на
несколько частей и сложить из них Васину фигуру.
29. Катер плыл по течению реки 2 часа, после чего сломался мотор, который команда катера ремонтировала 1 час (а катер плыл по течению). После
этого катер вернулся обратно за 3 часа. Сколько времени потребовалось бы
катеру на возвращение, если бы ремонт мотора продолжался 2 часа?
30. На доске 44 стоят несколько королей, которые бьют всю доску (король
бьёт также поле, на котором стоит). Доказать, что можно оставить только 4
из них с тем же свойством.