Перпендикулярность прямых и плоскостей

Технологическая карта темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
Что должен знать ученик, приступая к изучению темы:
1.Определение перпендикулярных прямых на плоскости.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
2. Аксиома С3. Если две различные прямые имеют одну общую точку, то через них
можно провести плоскость, и притом только одну.
3. Теорема15.2.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая
принадлежит плоскости.
4. Следствие. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо
пересекаются в одной точке.
5. Определение параллельных прямых. Две прямые называются параллельными в
пространстве, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
6. Определение скрещивающихся прямых. Прямые , которые не параллельны и не
пересекаются, называются скрещивающимися.
7. Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей
прямую и только одну.
8. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
9. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольник квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
10.Свойства параллельных прямых.
11. Признаки параллельных прямых.
Что должен узнать ученик в процессе изучения темы.
1 Определение перпендикулярных прямых в пространстве.
2. Свойство прямых, параллельных перпендикулярным прямым.
3. Определение перпендикулярной прямой и плоскости.
4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5. Построение перпендикулярных прямой и плоскости:
а) построение плоскости перпендикулярной прямой;
б) построение прямой, перпендикулярной плоскости: 1)точка лежит на
плоскости,2) точка не лежит на плоскости.
6. Свойство плоскости, перпендикулярной одной из параллельных прямых.
7. Свойство двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.
Типы уроков по теме.
Урок 1. Урок объяснения и закрепление материала п.143 «Перпендикулярность прямых в
пространстве».
Урок 2. Урок объяснения и первичного закрепления знаний п.144 «Признак
перпендикулярности прямой и плоскости».
Урок 3. Урок применения, обобщения и систематизации знаний и способов деятельности.
Урок 4. Урок объяснения и закрепления материала п.145 «Построение перпендикулярных
прямой и плоскости».
Урок 5. Урок объяснения и закрепления материала п.146 «Свойства перпендикулярных
прямой и плоскости».
Урок 6. Урок применения, обобщения и систематизации знаний и способов деятельности.
Урок 7. Урок контроля и коррекции знаний и способов деятельности.
Конспект урока 1.
I. Актуализация темы.
Учитель: Какое взаимное расположение 2х прямых возможно на плоскости.
Ответ. Прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.
Учитель. Попробуем дать определение каждого случая и сделать схематические рисунки
на доске.
Ученики проговаривают определения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся
прямых и делают рисунки на доске.
Учитель. Сегодня поговорим о пересекающихся прямых. Что принимается за угол между
двумя пересекающимися прямыми?
Ответ. Наименьший угол.
Рассмотрим несколько задач по готовым чертежам.
Учитель. В каких пределах меняется величина угла?
Ответ. Больше или равно 0° , но меньше или равно 90°.
Учитель. Как вы представляете угол равен 0°? Равен 90°?
II. Изучение нового материала.
Учитель. Как называются прямые на 3м рисунке?
Ответ. Перпендикулярными.
Учитель. Какие прямые называются перпендикулярными?
Ученики проговаривают определение перпендикулярных прямых.
Учитель. Что измениться в определении перпендикулярных прямых в пространстве?
Ответ. Так как через пересекающиеся прямые проходит всегда плоскость , и притом
только одна , то в определении перпендикулярных прямых в пространстве ничего не
измениться.
- Дана прямая и на ней точка. Расскажите, как вы проведете прямую, перпендикулярную
данной через данную точку.
Ответ. Пусть а прямая и А –точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и
проведем через эту точку и прямую а плоскость  . В этой плоскости через точку А
можно провести прямую , перпендикулярную прямой а.
- Сколько таких прямых можно провести?
Ответ. Так как точку Х можно выбрать произвольно , то плоскостей можно провести
бесчисленное множество, то и прямых можно провести бесчисленное множество.
- Давайте проделаем небольшую практическую работу на плоскости. Возьмём 2
перпендикулярные прямые а и в, и проведем им параллельные прямые. Что можно сказать
о новых прямых?
Ответ. Они перпендикулярны.
-А если эту работу проделать в пространстве?
Ученики на моделях показывают получившуюся картину. Делают вывод: угол будет 90°.
- Попробуйте доказать.
Проектирую рисунок 350 на доску. Проговариваем доказательство теоремы.
III. Закрепление изученного.
-Задача. Стороны четырех угольника АВСД и прямоугольника А 1 В 1 С 1 Д 1 соответственно
параллельны. Докажите, что АВСД- прямоугольник.
Ответ. Т.к. углы этих 4х угольников- углы с соответственно параллельными сторонами, а
углы в А 1 В 1 С 1 Д 1 прямые, то и в четырехугольнике АВСД углы будут прямыми,
т.е.АВСД- прямоугольник.
- Задача. Через точку М, лежащую на ребре АА 1 куба АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 проведите в грани
АА 1 Д 1 Д прямую MN так, чтобы угол MON был 90°, где О- точка пересечения АД 1
и MN.
Ученики показывают решение задачи на модели , затем на чертеже.
-Попробуйте сделать итоги сегодняшнего урока.
IV. Задание на дом.
1. п.143- определение перпендикулярных прямых.
2. Теорема о двух прямых, параллельных двум перпендикулярным прямым. Т.17.1
3. Задача №3 1)-1 ряд; 2)- 2 ряд; 3)- 3 ряд 4) всем. Сделать модель к задаче.
Конспект урока 2.
I.
Проверка домашней работы.
1 ученик готовит у доски чертеж для доказательства теоремы 17.1, по одному с
каждого ряда готовят решения своих задач. (№3) .Учитель обращается к классу:
- Какие теоретические вопросы были изучены на прошлом уроке?
Ответ. Рассмотрели определение перпендикулярных прямых в пространстве, теорему о
прямых , параллельных перпендикулярным прямым.
-Проговорите определение перпендикулярных прямых в пространстве.
Отвечают 2-3 ученика.
Прослушиваем ответы отвечающих у доски.
1)АВ=3
ВС=7
АD=1,5
СD-?
1/ AC
2)CD =6.5
2) ВD=9
ВС=16
АD=5
СD-?
1)AB
2)AC
3) АВ=в
4) BD=c
ВС=а
BC=a
АD=d
AD=d
CD-?
CD-?
1)AC= а * a  b * b
2)CD= a ^ 2  d ^ 2  b^ 2
3)DC=15
3)DC= a 2  c  2d ^ 2
Я проектирую свои записи на экран.
Связь между 1)и3)? Между 2) и 4) ? Получатся ли те же ответы, если поставить в общий
вид в 3) и 4) числовые данные 1) и 2) ? Проверить.
Прослушиваем ответ ученика у доски, доказывающего теорему17.1 (при необходимости
ответ корректируется силами учащихся)
II.
Изучение нового материала
-Какое взаимное расположение плоскости и прямой возможно?
Ответ. Прямая может лежать в плоскости, может пересекать плоскость, может быть
параллельной.
-Поговорим сегодня о пересекающихся прямой и плоскости. Если прямые при
пересечении могут быть перпендикулярными, то хочется предположить, что прямая и
плоскость тоже могут быть перпендикулярными
-Предлагаю самим сформулировать определение перпендикулярности прямой и
плоскости.
Ответ. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости,
если она перпендикулярна любой прямой , которая лежит в данной плоскости и
проходит через точку пересечения.
-Существенны ли в формулировке слова «пересекающая плоскость»?
- Существенны ли слова «проходит через точку пересечения»?
Ученики рассуждают по заданным вопросам.
-Хорошо, определение понятно. Но ведь перпендикулярность ко всем прямым
проверить невозможно. Давайте думать о признаке перпендикулярности прямой и
плоскости.
Ученики пытаются сформулировать этот признак. Учитель оппонирует на их
возможные ответы с моделью. Затем доказываем по готовому рисунку 353 теорему
17.2
III. Закрепление решением задач
-Даю практическую задачу: поставить столб перпендикулярно поверхности Земли.
Ваши действия.
Ответ Смотрю столб с двух сторон. Добьюсь того , чтобы с обоих сторон были
прямые углы.
Довольно таки трудная это работа- ставить перпендикулярный столб.
Задача. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая,
перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой
равноудалена от вершин данного треугольника.
ОО
о
Ответ. Рассмотрим три треугольника. Треугольники АОХ, ВОХ, СОХ. Они
прямоугольные. (?)Т.к. О-центр описанной окружности, то АО=ВО=СО как радиусы.
ОХ- общий катет. Треугольники равны по двум катетам. Значит, у них равны
гипотенузы, т.е. АХ=ВХ=СХ.
- Подведем итоги урока: какие теоретические вопросы успели изучить?
Ответ. Определение перпендикулярности прямой и плоскости Признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
-Выставляю оценки отвечающим у доски.
IV. Задание на дом.
1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости. П144.
2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Т.17.2
3. Решить задачу № 7 , сделать модель.
Конспект урока 3
I.
Проверка домашней работы.
- Какие теоретические вопросы были изучены на прошлом уроке?
Ответ. 1)Определение перпендикулярности прямой и плоскости.
2). Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Один ученик доказывает теорему 17.2,
Один ученик готовит ещё раз задачу №6
Один ученик показывает на своей модели задачу №7
Возможное решение:
СВ= 81 36 = 45 из треугольника СКВ, Потом из треугольника DАК
АК= 49  45 =2. А вы уверены , что треугольник КВС прямоугольный?
Моё решение:
Х2+У2+Z2=81
из треугольника САК
Х2+Z2=49
DAK
2
2
У +Z =36
ВАК
Из этой системы нахожу Z=2.( в свободное время займитесь решением этой системы)
Прослушаем отвечающих у доски.
Если у ученика не совсем лады с чертежом, то проектирую чертежи с прошлого урока.
II Применение знаний при решении задач.
Задача(№8) Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с
прямым углом С проведена прямая АD,перпендикулярная плоскости треугольника.
Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АС=а, ВС=в, АD= с.
Из подручных средств сконструируйте модель для решения задачи. Сделайте рисунок.
Не забудьте требования к рисунку. Подсказка: рассмотрите прямоугольные
треугольники. Обоснуйте, что они действительно прямоугольные.
Задача. (с15). Из точки О, взятой на высоте СD треугольника АВС, восставлен к его
плоскости перпендикуляр ОМ. Докажите , что плоскость  , проходящая через СD и
ОМ, перпендикулярна АВ.
Письменная самостоятельная работа.
Через точку О, лежащую на грани АА1D1D куба АВСDA1B1C1D1, проведены в этой
грани прямые ОМ//В1С1 и ОN||CC1. Докажите, что угол МОN прямой.
Ученики, справившиеся с самостоятельной работой, устно отвечают на теоретические
вопросы из « Что должен знать ученик в процессе изучения темы».
Итоги урока: что нового вы получили на сегодняшнем уроке?
-Выставление оценок за устные ответы после самостоятельной работы.
III .Задание на дом:
Пункт 144, решить задачу на листочках: Через точку О пересечения диагоналей куба
АВСDA1B1C1D1 проведена плоскость  параллельно основанию куба АВСD.
Плоскость  пересекает ребра ВВ1 и СС1 в точках М и N. Докажите, что угол МОN
равен 90°.
Конспект урока 4
Листки с домашними задачами собрать на проверку
I.
Постановка цели урока.
Мы два урока говорили о перпендикулярности прямой и плоскости. Говорили
определение, знаем признак перпендикулярности прямой и плоскости, а ни слова не
говорили о том, как провести эти плоскости и прямые. Рассмотрим три задачи:
1) Дана прямая и на ней точка. Провести плоскость через эту точку перпендикулярно
данной прямой.
2) Дана плоскость и точка, лежащая на ней. Провести прямую через эту точку
перпендикулярно плоскости.
3) Дана плоскость и точка, не лежащая на ней. Провести прямую через эту точку
перпендикулярную данной плоскости.
II. Изучение нового материала.
Начнем с первой задачи. Что дано? Что требуется? Как? Ученики рассуждают.
Ответ. Берем точку, не лежащую на этой прямой. Через прямую и точку проведем
плоскость. В этой плоскости проведем перпендикуляр к данной прямой через данную
точку. Возьмем еще одну точку, не лежащую в проведенной плоскости. Через эту
точку и данную прямую проведем еще одну плоскость. В этой плоскости тоже
восстановим перпендикуляр к данной прямой через заданную точку. Через две
пересекающиеся прямые проведем плоскость. Эта плоскость будет искомой, т.к. она
перпендикулярна данной прямой по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости.
Попробуйте рассказать задачу друг другу. Прочтите решение задачи на странице 255.
В чем разница между нашим решением и книжным?
Ответ. Там доказывается еще единственность. Разберитесь в доказательстве и
озвучьте.
- Перейдем ко второй задаче.
Прослушиваем возможные варианты решений.
Для доказательства существования такой прямой можно воспользоваться чертежом.
По рисунку 357 доказываем единственность перпендикулярной прямой.
Каждый озвучивает доказательство.
- Перейдем к задаче 3. Что изменилось? Ваши действия.
Ответ. Берем точку на плоскости. Воспользуемся задачей 2. Затем через данную точку
проведем прямую, параллельную первой прямой. Она будет перпендикулярна
плоскости.
М
АА
A
А
А
Для доказательства достаточно провести прямые параллельные прямым, проходящим
через точку А и вспомнить теорему о двух прямых, параллельных перпендикулярным
прямым..
-Докажите единственность.
М
В
С
III. Применение полученных знаний к решению задач.
Задача. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость  и
прямая в . Докажите, что прямая в лежит в плоскости  .
Для доказательства можно воспользоваться рисунком 355. Методом от противного.
Пусть не лежит.
Подведем итоги урока. Повторим задачи , которые мы рассмотрели.
IV. Задание на дом:
1) П.145.Построение перпендикулярных прямой и плоскости.
2) П.143,п.144 повторить.
3) Задача. В кубе АВСDA1B1C1D1 через произвольную точку М отрезка АА1
проведена плоскость параллельно основанию АВСD, пересекающая отрезки
BB1, CC1, DD1 соответственно в точках N, P, G. Докажите, что прямые МР и
NG взаимно перпендикулярны.
Конспект урока 5
I.
Проверка домашней задачи. С-14 , вариант 4
Чертёж проектируется на экран. Плоскости  и  параллельны по условию задачи.
Пересечём их плоскостью, проходящей через параллельные прямые АА1 и СС1. Линии
пересечения АС и МР будут параллельны. Проведем плоскость через параллельные
прямые ВВ1 и DD1. Линии пересечения ВD и NG будут параллельны. Т.к. АС и ВD
перпендикулярны ( как диагонали квадрата), то МР и NG тоже будут
перпендикулярны.(т.17.1)
II .Постановка задачи.
1 а//в ,  = 30, 50, 90°
2. 30и 150°.
П о третьему рисунку попробуйте составить правильные предложения.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то вторая тоже
Перпендикулярна ей.
Переделаем это предложение , взяв вместо прямой с «плоскость  »
Ученики приходят к предложению т. 17.3.
Попробуем доказать эту теорему.
Дети могут провести плоскость через а1 и а2 Тогда а2 перпендикулярна только одной
прямой плоскости, а надо к любой.
На основе этого свойства третья задача с прошлого урока решается по-другому. Прочтите
решение № 12 стр. 257.
Вернёмся к чертежу 3. Вспомним теорему из планиметрии: если две прямые
перпендикулярные третьей, то они параллельны между собой.
Заменим прямую с на плоскость.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Проговариваем доказательство.
III. Применение знаний к решению задач.
С-15(1) вариант 1
Задача 13
Задача 14
Итоги урока.
На дом П.146, № 13(2),№15, №16.
План урока 6.
I.
Проверка домашней работы.
3 человека у доски готовятся показывать домашние задачи. В это время классфронтальный опрос по теоретическим вопросам.
II. Применение знаний при решении задач.
После ответов троих отвечающих по готовым чертежам
ЗАДАЧА. ( С 15, вариант 2, 3)
1.Докажите , что плоскость α и прямая в, не лежащая в плоскости α,
перпендикулярные одной и той же прямой а, параллельны.
2. Диагональ ВD ромба АВСD перпендикулярна к плоскости α. Как расположена по
отношению к этой плоскости другая её диагональ?
3. Через сторону ВС треугольника АВС проведена плоскость α, перпендикулярная к
АВ. В плоскости α построен прямоугольный треугольник ВСD ( угол В – прямой). Как
расположены сторона ВD относительно плоскости треугольника АВС и сторона ВС
относительно плоскости треугольника АВD?
4. Два отрезка АВ и СD, лежащие в плоскости α, в точке пересечения Е делятся
пополам. Вне плоскости дана точка К так, что КА=КВ и КС=КD, Докажите, что
прямая КЕ перпендикулярна плоскости α.
5.Отрезок СD длины l лежит вне плоскости прямоугольного треугольник АСВ и
перпендикулярна его катетам АС и ВС. Найдите расстояние от точки D до середины Е
гипотенузы, если АС=в и ВС=а.
6. Треугольник MKN равносторонний со стороной, равной 18 см. Точка С удалена от
вершин треугольника на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости MKN.
а) 4√3
;
б)6;
в) 9;
г) 8.
IV. Подведём итоги урока. Выберите самую красивую на ваш взгляд задачу и
попробуйте объяснить, чем она вам понравилась.
V. На дом. : пункты 143-146.Проанализировать сегодняшние задачи. Подготовить
ответы на теоретические вопросы.
План урока 7.
Ученики выполняют тестовые задания. Кто справился с задачами, сдают зачёт по
теоретическим вопросам. По общим результатам выставляется оценка в журнал.
1) АВСD- квадрат, ВМ┴(АВС).Найдите отрезок DМ, если АВ=√12, а ВМ=5.
а) 6;
б)7;
в)6√2;
г)5√3.
2)В треугольнике АКС АК┴СК; точка М не принадлежит плоскости АКС и МК┴СК.
Какие высказывания верны?
1)АК┴(СКМ); 2) СК┴(АКМ);
3)АК┴МК;
4)СК┴АМ.
а) 1;
б)1; 3;
в)2; 4;
г) 4.
3). Пусть АВСDА1В1С1D1- куб и К- середина АВ, М- середина АD. Укажите верные
высказывания:
1)<AB1C=90˚;
2) КМ||В1С.
а)1;
б)2;
в)1;2;
г) верных нет.