КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники Радиотехнические цепи и сигналы Е.Ф. Базлов, В.А. Козлов, ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Методические указания к практическому занятию Казань – 2014 Краткие сведения из теории и методика решения задач При анализе дискретных сигналов применяют z – преобразование: S(z) s(nT ) z n 0 Функция S(z)является аналитической функцией комплексного переменного z. В качестве примеров рассмотрим z - преобразования некоторых простейших сигналов. При этом будем полагать, что сигнал s(nT) тождественно равен нулю при n<0. 1. Единичный импульс 1, n 0 s(nT ) (nT ) 0, n 0 S( z ) 1 2. Дискретизированный единичный скачек s( nT ) 1 (nT), n0 S( z) z n 0 z z 1 При решении задач удобно использовать некоторые свойства z - преобразования. Основные из них: 1. Теорема линейности. Если s(nT ) as1(nT ) bs2 (nT ) , то S(z) aS1 (z) bS2 (z) . 2. Теорема запаздывания. Если y(nT ) x (nT T), то Y(z) z 1 X(z) 3. Теорема о свертке. z - преобразование свертки двух дискретных сигналов x(nT) и y(nT) n f (nT ) x (nT kT) y(kT) k 0 S(z) X(z)Y(z) Отклик цифрового фильтра n-го порядка y(nT) связан с воздействием x(nT) разностным уравнением y(nT)= a0x(nT)+a1x(nT-T)+a2x(nT-2T)+….+aMx(nT-MT)b1y(nT-T)-b2y(nT-2T)-….-y(nT-NT) Основные характеристики цифровых фильтров: 1. Системная функция H (z) Y (z) , X (z) где X(z) и Y(Z) - z - преобразования входного и выходного сигналов. Применив к разностному уравнению z - преобразование, получим для H(z) следующее выражение 2 1 M a a z .... a z H(z) 1 b z b z .... b 0 1 1 M 2 1 2 N z N 2 Импульсная характеристика g(nT) – отклик на единичный импульс. H(z) g(nT )z k k 0 Соответственно системная функция H(z) является Z-преобразованием импульсной характеристики g(nT). Выходной сигнал цифрового фильтра может быть найден как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики: k 0 k 0 y(nT ) x (kT)g(nT kT) x (nT kT)g(nT ) 3.Частотная характеристика цифрового фильтра () g (kT) jkT K e k 0 Между частотной характеристикой фильтра и его системной функцией существует простая связь: () H(e jT) , K поэтому jT .... a M e jMT () a 0 a1e . K 1 b1e jT .... b N e jNT Частотная характеристика цифрового фильтра имеет некоторые специфические свойства. Главное из них – это периодичность. K () является периодической функцией с периодом 2π/T=ωд, где ωд – частота дискретизации. Центральная часть частотной характеристики при –π/T<ω<π/T повторяет частотную характеристику фильтра – прототипа, аналогичного данному цифровому фильтру. Задачи. 1. Системная функция фильтра H( z) 1 1 0.5z 1 Запишите алгоритм работы этого фильтра (разностное уравнение) и нарисуйте эквивалентную схему этого алгоритма. Выведите формулу частотной характеристики K () , рассчитайте и постройте график функции K () . Решение. H(z) 3 1 1 0.5z 1 Y(z) , поэтому: Y(z) 0.5Y(z) z 1 X(z) или X(z) y(nT ) x (nT ) 0.5y(nT T) Этому алгоритму соответствует эквивалентная схема x(nT) Σ y(nT) z-1 0.5 1 Частотная характеристика фильтра () K 1 1 j T 1 0.5(cos T jsin T) 1 0.5 e Амплитудно – частотная характеристика фильтра () K 1 (1 0.5 cos T) 2 (0.5 sin T)2 Как следует из графика АЧХ фильтра, анализируемый фильтр является фильтром нижних частот. ( T ) K ωT 2. Найдите z – преобразование последовательности отсчетов из прямоугольного импульса s(n)=U0, n=0, 1, 2,….N-1, N=9. Указания. Можно рассмотреть прямоугольный импульс как разность двух скачков. Ответ. S(z) U0 z z 9 U0 . Первое слагаемое в правой части полученz z 1 z 1 ного выражения есть z – преобразование отсчетов из сигнала s(t)=U0, t0, а второе – z – преобразование отсчетов из того же сигнала, задержанного на N шагов дискретизации. 4 3. Найдите отсчеты s(n) сигнала, z – преобразование которого S(z)=2-z-2+3z-5. Ответ. S(n)=21(n)-1(n-2)+31(n-5). 3 2 1 0 n 5 -2 4. Алгоритм работы цифрового фильтра описывается разностным уравнением y(nT)=x(nT)-x(nT-T). Нарисуйте схему фильтра и найдите его импульсную характеристику g(nT). Ответ. Импульсная характеристика фильтра g(nT)=δ(nT)-δ(nT-T), т.е. g(0)=1, g(T)=-1, g(nT)=0 при n2 Схема фильтра имеет вид Σ z-1 -1 5. Определите системную функцию фильтра Σ -b1 Ответ: H(z) 5 1 . 1 b1 z 1 z-1