10 класс 5. Решение: P(x)=(x-2)Q1(x)+5 и P(2)=5 P(x)=(x-3)Q2(x)=7и P(3)=7 пусть P(x)=(x^2-5x+6)Q(x)+ax+b тогда P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b P(2)=(2-2)(2-3)*Q(x)+a*2+b=5 P(3)=(3-2)(3-3)*Q(x)+a*(3)+b=7 получаем систему уравнений a*2+b=5, a*3+b=7. и решаем ее a=2. b=7-a*3. получаем a=2, b=1. Ответ: остаток 2x+1. f := 2*x^4+2*y^4-4*x*y-1; В декартовой системе координат данная кривая описывается двумя линиями: 7. 2 метод решения Решить уравнение 2 x 4 2 y 4 4 xy 1 (x + 2)4 + (x + 2)2 – a(a – 1) = 0 (x + 2)2 = –a или (x + 2)2 = a – 1; при 0 < a < 1 решений нет; при а = 0 или а = 1 одно решение; при а < 0 или а > 1 два решения. Преобразуем уравнение к виду 2(x² - y²)² + (2xy - 1)² = 0. Сумма квадратов нескольких чисел может равняться нулю только, когда каждый квадрат равен нулю. Остаётся решить систему: 𝑥² − 𝑦² = 0 { 2𝑥𝑦 − 1 = 0 Ответ:( 1 →𝑦= ; 1 √2 √ 1 𝑦=√ 2∗𝑥 ) ; (− 2 1 √2 ;− 1 √2 ). 1 4𝑥 2 = 1 2𝑥 8 Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение. Решение x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2). Обозначим x2 + 3x через z. Тогда (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = z(z + 2) = (z + 1)2 – 1. Наименьшее значение –1 этой функции достигается при z = –1. Уравнение x2 + 3x + 1 = 0 имеет решения (дискриминант больше нуля), следовательно, такое x, при котором наша функция достигает значения –1, существует. Ответ:–1. 9. Решение: Пусть x – первоначальная сумма. Через год будет – x + Составим уравнение : x+ 1 x+ 12 x+ 1 12 x+ 12 12+12+1 144 1 (x + 1 12 1 x) – x = 16900, 12 x+ 1 144 𝑥 = 16900, 25 144 x = 16900, X = 16900/ 25 144 , x – x = 16900, 1 x , а в следующий год будет x + 12 1 x+ 12 1 12 (x + 1 x). 12 X = 16900 * X = 97344. 144 25 , Ответ: первоначальная сумма – 97344. 10 B Треугольники BOC и COD имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки BO и OD. 1 S BO Тогда BOC k . Следовательно, SCOD S BOC . k SCOD OD C O Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда A S AOB D S BOC CO k и S AOB OA 1 S BOC . k Из этих двух предложений следует, что SCOD S AOB . Так как SCOD S AOB . Отсюда S ABCD S1 S2 2SCOD , из подобия треугольников BОC и AOD следует, что S1 SCOD BO OD S1 SCOD S1 S2 . Тогда S ABCD S1 S 2 2 S1 S 2 S2 2 S1 S 2 . BO OD S1 .Следовательно, S2