Примеры решения обратных задач Приведенные ниже примеры поясняют общую методику решения обратной задачи. Исследуем движение частицы в поле тяжести Земли. Галилей опытным путем показал, что в поле тяжести все тела падают с одинаковым ускорением g 9,8 м / с2 (теорема Галилея). Следовательно, F mg и уравнения (2.21а) переходят в кинематические соотношения dv dr g const ; v . dt dt (2.26) Интегрируя уравнения (2.26) с начальными условиями (2.22), получим 1 v t v0 gt ; r t r0 v0t gt 2 . 2 (2.27) В зависимости от выбора начальных условий ( r0 , v0 ), уравнения (2.27) описывают разные движения – частица может подниматься вверх, опускаться вниз по прямой, или по параболическим траекториям. В координатном методе для решения обсуждаемой задачи направим ось X прямоугольной системы координат горизонтально, а ось Y – вертикально вверх, так, чтобы точке бросания соответствовало значение по оси Y координата y0 (рис. 2.8). В выбранной системе координат начальные условия движения примут следующий вид: x 0 0; y 0 0 vx 0 v0 x ; v y 0 v0 y (2.28) а уравнения движения рис.2.8 dvx dx 0; vx ; dt dt dv y dy g; vy . dt dt (2.29) С учетом начальных условий, интегрирование последних соотношений дает vx t v0 x const , vy t v0 y gt x t v0 x t , t2 y t y0 v0 y t g 2 ; . (2.30) Полученные решения, которые можно получить, проектируя векторные решения (2.27) на выбранные оси X и Y, дают полное описание движения частицы. Исключив из законов движения (2.40) время, получим уравнение траектории в явном виде: y x y0 v0 y v0 x x g 2 x , 2v0 x 2 (2.31) что представляет параболу (рис. 2.8). Математические решения, получаемые из физических уравнений, как правило, имеют смысл в ограниченных областях значений входящих в них параметров. Например, для рассматриваемого движения (2.30) соотношения имеют смысл лишь в промежутке времени 0, tmax, где tmax – это момент падения частицы на поверхность Земли. Последующее движение частицы не описывается этими формулами, т.к. из-за столкновения с поверхностью Земли, частица подвергается воздействию дополнительных сил, которые не учитываются в уравнениях (2.36а). Максимальную высоту полета (ymax) можно определить, исследуя функцию (2.31): ymax y0 v02y 2g . (2.32) Дальность полета можно определить из условия y(xmax) = 0: xmax v0 x v0 y ymax 1 g ymax y0 . (2.33) Радиус кривизны траектории в произвольной точке определится по формуле 2 2 v 2 vx v y R t g n g sin где α – угол между векторами v и g cos , (2.34) в рассматриваемой точке траектории (рис. 2.8): gv vy t gv v02x t v02y t . Из последних двух соотношений для радиуса кривизны можно получить: 3/ 2 R t v02x v0 y gt gv0 x . (2.35) Движение заряда в продольном электрическом поле в релятивистской механике. Пусть заряд q массой покоя m помещен в постоянное электрическое поле, направленное по оси Х. Получим уравнение движения заряда в релятивистской механике при следующих начальных условиях: x 0 0; vx 0 0 (2.36) Так как сила, действующая со стороны электрического поля, направлена по оси Х, а по осям Y и Z движение отсутствует (vx=vy=0), то основное уравнение релятивистской динамики имеет следующий вид d mvx dt 1 vx2 c 2 qEx Fx . (2.37) Опуская индекс х, и интегрируя это уравнение по времени, учитывая начальное условие v(0)=0, получим v 1 v 2 c 2 F t, m откуда определим скорость v t В начальный период движения, когда t Ft / m 1 Ft / mc mc / F 2 . (2.38) подкоренное выражение можно заменить единицей. В этом случае получим результат динамики Ньютона: пределе t v Ft / m . В обратном mc / F , из (2.49) получим релятивистское выражение скорости 1 mc 2 v t c 1 2 Ft . Как видно, скорость частицы стремится к скорости света при на рис. 2.9 представляет зависимость скорости от времени, рис.2.9 t . График, изображенный из которого следует, что при приближении к скорости света возрастание скорости сильно замедляется, хотя на частицу действует та же самая постоянная сила. Это обусловлено возрастанием инертности частицы. Интегрируя (2.38) по времени и учитывая начальное условие x(0)=0, получим релятивистический закон движения частицы 2 mc 2 Ft 1 x t 1 F mc Заметим, что в случае t mc / F получаем x ct . . (2.39)