о распределении простых чисел-близнецов в натуральном ряду

УДК 511.3
В.И.Гончаров
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПАР ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ–БЛИЗНЕЦОВ
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ
Среди аддитивных задач с простыми числами, которые ждут своего решения, наиболее известна проблема простых чисел-близнецов. Выдвинута гипотеза, что простые числа-близнецы
составляют бесконечное множество. Однако это предположение до сих пор не удалось ни
доказать, ни опровергнуть.
Для решения этой задачи в теории чисел определена функция B(n), выражающая число простых чисел p  n, таких, что p + 2 тоже простое число ([1], С. 362 – 365).
Алгоритмическая форма задания этой функции, так называемое двойное эратосфеново решето, дает возможность вычислять значения этой функции, но не решает проблему простых чисел-близнецов, которая заключается в том, чтобы доказать, что при увеличении n величина B(n)
тоже неограниченно увеличивается.
В данной статье рассматривается задача о распределении простых чисел-близнецов в натуральном ряду. Приведены также результаты исследований распределения простых чисел-близнецов на отрезках натурального ряда, которые по определению поставлены во взаимно однозначное соответствие с простыми числами-близнецами.
Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной
работы.
Определение 1 ([1], С. 362). Два простых числа с разностью, равной 2, называются простыми числами-близнецами.
В дальнейшем простые числа-близнецы будут рассматриваться как один математический
объект и называться парой простых чисел-близнецов или кратко парой близнецов. Для определения каждой пары близнецов и однозначной идентификации установим два параметра:
порядковый номер пары близнецов в натуральном ряду k; значение второго простого числа
8179-1425-7819
1
пары близнецов pk. Значение первого простого числа пары близнецов, согласно определению 1, равно pk – 2. Для характеристики распределения пар близнецов в натуральном ряду
имеют значение только эти два параметра. Внутренняя структура пары близнецов, определяемая зависимостью первого простого числа пары близнецов от второго числа, в этом случае не
влияет на распределение пар близнецов в натуральном ряду.
Обозначим через ((pk – 2, pk)) пару близнецов с порядковым номером k; P – множество простых чисел; N – множество натуральных чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел.
Тогда решение задачи о распределении пар близнецов в натуральном ряду сводится к решению задачи о распределении простых чисел, принадлежащих упорядочному подмножеству
P2 = {pk | pk  P, k  N}, где k – порядковый номер пары близнецов, pk – второе простое число
пары близнецов. Например, p1 = 5, p2 = 7, p3 = 13, p4 = 19, p5 = 31, p6 = 43, p7 = 61,
p8 = 73, p9 = 103, p10 = 109 и т. д.
Для характеристики распределения пар близнецов в натуральном ряду определим функцию
2(x).
Определение 2. Числовая функция 2(x) обозначает число пар простых чисел-близнецов
((pk – 2, pk)), k  N, меньших или равных x.
Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции
и в других точках, являются не натуральные значения аргумента x, а простые числа. Действительно, если задано упорядоченное множество простых чисел P2, то значение функции 2(x)
может быть вычислено по следующему алгоритму
k  N; если pk  x  pk+1, то 2(x) = k.
Алгоритмический способ задания функции 2(x) задает правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа и его
порядкового номера.
8179-1425-7819
2
Отметим некоторые свойства функции:
а) функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках pk, k  N слева;
б) значения функции в точках pk, k  N равны 2(pk) = k (согласно определению);
в) значения функции в точках pk, k  N слева равны 2(pk  0) = k  1;
г) скачки функции в точках pk слева, k  N равны 2(pk  0)  2(pk) = 1;
д) на частичных промежутках [pk, pk+1), k  N функция сохраняет постоянные значения
2(x) = k, pk  x  pk+1;
е) при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.
В дальнейшем частные значения функции 2(pk), которые отвечают частным значениям
аргумента x = pk, k  N, рассматриваются как сложная функция от аргумента k (pk интерпретируется как функция натурального аргумента k).
Для решения задачи аппроксимации функции 2(x) в качестве исходных данных используется таблица, содержащая 3424500 простых чисел, принадлежащих множеству P2. При этом
с целью уменьшения объема вычислений точками аппроксимации приняты x = pk , k = 70, 80,
90, …, 1840160.
Численное решение задачи разбивается на следующие этапы:
а) выбор типа приближающей функции;
б) выбор параметров приближающей функции.
При выборе типа приближающей функции была выполнены предварительные расчеты
pk
табличных значений функции натурального аргумента k  .
k
Эта функция обозначает среднюю разность между соседними парами близнецов, которые
принадлежат отрезку [0, pk], k = 1, 2, 3, …, 1840160. Функция изменяется довольно гладко
и может быть аппроксимирована выражением
1
(1 –  ) (ln k) (ln k),
(ln k)  a + b
8179-1425-7819
3
где a и b – числовые параметры.
Согласно определению значения функции в точках pk, k  N равны 2(pk) = k.
pk
pk
Так как     k, то функция 2(x) для x  pk связана с функцией k соотношением
k
pk  k
pk
2(pk)  .
k
Тогда тип приближающей функции для 2(x) будет иметь вид
x
(x)   .
1
(1 ) (ln x) (ln x)
(ln x)  a + b
(1)
Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции используется метод
наименьших квадратов ([2], с. 326  344).
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции (x) от табличных значений
функции 2(x) была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция
параметров a и b. Обозначим ее через S(a, b)
S(a, b) =  ((pk)  2(pk))2,
(2)
где суммирование выполняется по точкам аппроксимации pk , k = 70, 80, 90, …, 1840160.
Тогда в качестве меры наилучшего приближения функции 2(x) принимается величина
min  ((pk)  2(pk))2.
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, численными методами разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим
по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b).
Результаты расчетов приведены в табл.1.
8179-1425-7819
4
Таблица 1
Продолжение табл.1
-----------------------------------------------------a
:
b
:
S(a, b)
-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------------a
:
b
:
S(a, b)
------------------------------------------------------
20,4 : 2,118508116 : 29208413360,93
22,0 : 2,188542228 : 14669763064,02
20,8 : 2,137026210 : 23503744189,67
22,4 : 2,204488270 : 14025905953,85
21,2 : 2,154845876 : 19278758190,40
22,8 : 2,219875074 : 14338395306,60
21,6 : 2,172005895 : 16379823510,61
23,2 : 2,234731551 : 15508715277,48
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
На втором этапе выполним интерполяцию функции S(a, b), используя данные табл.1.
Узлами интерполяции выбраны значения параметра a, равные 22,0; 22,4 и 22,8. Для интерполяции функции S(a, b) используем полином второй степени
S(a, b) =  a2 +  a + ,
где  = 2988582696,652479;  =  134302714506,8291;
(3)
 = 1522855457034,3890.
На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального
значения функции S(a, b)

 134302714506,8291
a        22,46929868.
2
2  2988582696,652479
При этом минимум минимального значения функции S(a, b), вычисленный по формуле (3),
равен 14011553860,29.
На четвертом этапе для параметра a = 22,46929868 определим по формуле (2) значение
параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b). Минимуму функции S(a, b)
отвечает b = 2,207193198. Минимальное значение функции S(a, b) равно 14014450530,79.
Минимальное значение функции S(a, b), вычисленное по формуле (2) для a = 22,46929868 и
b = 2,207193198, отличается от минимального значения функции S(a, b), определенного по формуле (3), на 2896670,50. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S(a, b).
8179-1425-7819
5
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S(a, b) зададимся
рядом значений параметра a в окрестности точки a = 22,46929868 и для каждого из них
определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение
функции S(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.2.
Таблица 2
Продолжение табл.2
-----------------------------------------------------a
:
b
:
S(a, b)
------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------a
:
b
:
S(a, b)
------------------------------------------------------
22,4620 : 2,206909095 : 14014321945,25
22,4650 : 2,207025893 : 14014336973,01
22,4625 : 2,206928564 : 14014320781,47
22,4660 : 2,207064819 : 14014353718,92
22,4627 : 2,206936351 : 14014320726,92
22,4670 : 2,207103741 : 14014376329,18
22,4630 : 2,206948031 : 14014321085,38
22,4680 : 2,207142660 : 14014404802,97
22,4640 : 2,206986964 : 14014326095,43
22,4700 : 2,207220488 : 14014479334,84
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
Используя данные, приведенные в табл.2, уточненные значения параметров a и b приняты
соответственно равными 22,4627 и 2,206936351. При этом приближающая функция для 2(x)
имеет вид
x
(x)   .
1
(1 ) (ln x) (ln x)
(ln x)  22,4627 + 2,206936351
(4)
В табл.3 приведены отклонения приближающей функции (x) от исходной функции 2(x)
для значений аргумента, принадлежащих отрезку [109, 999997771].
Таблица 3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
-----------------------------------------------------------109 :
8179-1425-7819
8:
10 :
2
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
-----------------------------------------------------------661 :
26 :
30 :
4
6
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
1489 :
46 :
50 :
4
24888751 :
129489 :
130000 :
511
2311 :
63 :
70 :
7
27100039 :
139504 :
140000 :
496
3823 :
92 :
100 :
8
29349559 :
149596 :
150000 :
404
17209 :
291 :
300 :
9
31598011 :
159593 :
160000 :
407
32413 :
480 :
500 :
20
33867289 :
169599 :
170000 :
401
49669 :
676 :
700 :
24
36168619 :
179669 :
180000 :
331
79561 :
990 :
1000 :
10
38436991 :
189523 :
190000 :
477
300499 :
2957 :
3000 :
43
40756213 :
199529 :
200000 :
471
557521 :
4958 :
5000 :
42
43108759 :
209613 :
210000 :
387
833101 :
6954 :
7000 :
46
45475753 :
219696 :
220000 :
304
1260991 :
9878 :
10000 :
122
47844481 :
229726 :
230000 :
274
2840419 :
19749 :
20000 :
251
50222281 :
239740 :
240000 :
260
4553413 :
29625 :
30000 :
375
52646719 :
249894 :
250000 :
106
6381469 :
39640 :
40000 :
360
55030891 :
259829 :
260000 :
171
8264959 :
49583 :
50000 :
417
57431293 :
269782 :
270000 :
218
10196443 :
59490 :
60000 :
510
59859031 :
279802 :
280000 :
198
12202219 :
69535 :
70000 :
465
62306203 :
289856 :
290000 :
144
14242999 :
79552 :
80000 :
448
64764841 :
299913 :
300000 :
87
16314943 :
89545 :
90000 :
455
67220641 :
309917 :
310000 :
83
18409201 :
99493 :
100000 :
507
69639373 :
319729 :
320000 :
271
20550289 :
109524 :
110000 :
476
72162889 :
329926 :
330000 :
74
22717441 :
119553 :
120000 :
447
74628139 :
339850 :
340000 :
150
8179-1425-7819
7
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
77110261 :
349806 :
350000 :
194
133867189 :
569721 :
570000 :
279
79632013 :
359884 :
360000 :
116
136506121 :
579660 :
580000 :
340
82140283 :
369873 :
370000 :
127
139163599 :
589649 :
590000 :
351
84645721 :
379818 :
380000 :
182
141838471 :
599682 :
600000 :
318
87178369 :
389838 :
390000 :
162
144495469 :
609628 :
610000 :
372
89723203 :
399874 :
400000 :
126
147185323 :
619678 :
620000 :
322
92248549 :
409803 :
410000 :
197
149888341 :
629756 :
630000 :
244
94805941 :
419827 :
420000 :
173
152619211 :
639919 :
640000 :
81
97382569 :
429897 :
430000 :
103
155304439 :
649894 :
650000 :
106
99923209 :
439798 :
440000 :
202
157976671 :
659801 :
660000 :
199
102511813 :
449857 :
450000 :
143
160681951 :
669813 :
670000 :
187
105061183 :
459737 :
460000 :
263
163445041 :
680021 :
680000 :
21
107628223 :
469660 :
470000 :
340
166179703 :
690105 :
690000 :
105
110219899 :
479651 :
480000 :
349
168874399 :
700025 :
700000 :
25
112827109 :
489677 :
490000 :
323
171623149 :
710127 :
710000 :
127
115438669 :
499694 :
500000 :
306
174350203 :
720132 :
720000 :
132
118054021 :
509702 :
510000 :
298
177081451 :
730135 :
730000 :
135
120694351 :
519781 :
520000 :
219
179803699 :
740090 :
740000 :
90
123335413 :
529838 :
530000 :
162
182591659 :
750268 :
750000 :
268
125964133 :
539826 :
540000 :
174
185331901 :
760256 :
760000 :
256
128599483 :
549817 :
550000 :
183
188046253 :
770134 :
770000 :
134
131234263 :
559783 :
560000 :
217
190823749 :
780227 :
780000 :
227
8179-1425-7819
8
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
193588939 :
790259 :
790000 :
259
258114013 : 1020524 : 1020000 :
524
196335793 :
800210 :
800000 :
210
260953663 : 1030508 : 1030000 :
508
199100329 :
810210 :
810000 :
210
263769829 : 1040398 : 1040000 :
398
201846523 :
820130 :
820000 :
130
266618713 : 1050392 : 1050000 :
392
204643711 :
830219 :
830000 :
219
269505463 : 1060507 : 1060000 :
507
207427021 :
840243 :
840000 :
243
272360653 : 1070500 : 1070000 :
500
210192973 :
850191 :
850000 :
191
275239969 : 1080567 : 1080000 :
567
212962663 :
860139 :
860000 :
139
278088409 : 1090516 : 1090000 :
516
215747893 :
870129 :
870000 :
129
280928563 : 1100425 : 1100000 :
425
218593801 :
880323 :
880000 :
323
283788823 : 1110393 : 1110000 :
393
221406961 :
890385 :
890000 :
385
286636213 : 1120306 : 1120000 :
306
224162989 :
900230 :
900000 :
230
289484311 : 1130212 : 1130000 :
212
227011861 :
910394 :
910000 :
394
292358371 : 1140198 : 1140000 :
198
229837213 :
920460 :
920000 :
460
295224823 : 1150147 : 1150000 :
147
232686121 :
930598 :
930000 :
598
298107241 : 1160141 : 1160000 :
141
235493749 :
940576 :
940000 :
576
301004971 : 1170179 : 1170000 :
179
238242493 :
950332 :
950000 :
332
303927433 : 1180292 : 1180000 :
292
241059349 :
960318 :
960000 :
318
306791623 : 1190194 : 1190000 :
194
243893929 :
970355 :
970000 :
355
309651733 : 1200072 : 1200000 :
72
246723481 :
980361 :
980000 :
361
312548059 : 1210066 : 1210000 :
66
249580741 :
990454 :
990000 :
454
315475093 : 1220155 : 1220000 :
155
252427603 : 1000498 : 1000000 :
498
318369913 : 1230125 : 1230000 :
125
255223699 : 1010351 : 1010000 :
351
321257611 : 1240060 : 1240000 :
60
8179-1425-7819
9
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
324143191 : 1249979 : 1250000 :
21
388780729 : 1469946 : 1470000 :
54
327023539 : 1259871 : 1260000 :
129
391770751 : 1480026 : 1480000 :
26
329955853 : 1269933 : 1270000 :
67
394729219 : 1489991 : 1490000 :
9
332873161 : 1279933 : 1280000 :
67
397694623 : 1499973 : 1500000 :
27
335784679 : 1289905 : 1290000 :
95
400682353 : 1510022 : 1510000 :
22
338682373 : 1299821 : 1300000 :
179
403645183 : 1519979 : 1520000 :
21
341640241 : 1309934 : 1310000 :
66
406636261 : 1530024 : 1530000 :
24
344543671 : 1319851 : 1320000 :
149
409627921 : 1540064 : 1540000 :
64
347478751 : 1329869 : 1330000 :
131
412604461 : 1550045 : 1550000 :
45
350427223 : 1339923 : 1340000 :
77
415612663 : 1560125 : 1560000 :
125
353422963 : 1350129 : 1350000 :
129
418552999 : 1569971 : 1570000 :
29
356322823 : 1360001 : 1360000 :
1
421502143 : 1579839 : 1580000 :
161
359283649 : 1370071 : 1370000 :
71
424494139 : 1589843 : 1590000 :
157
362254351 : 1380166 : 1380000 :
166
427490419 : 1599854 : 1600000 :
146
365164771 : 1390049 : 1390000 :
49
430507081 : 1609926 : 1610000 :
74
368116603 : 1400064 : 1400000 :
64
433524811 : 1619995 : 1620000 :
5
371085961 : 1410130 : 1410000 :
130
436474219 : 1629828 : 1630000 :
172
374048113 : 1420163 : 1420000 :
163
439421329 : 1639648 : 1640000 :
352
376988881 : 1430116 : 1430000 :
116
442445569 : 1649717 : 1650000 :
283
379949809 : 1440129 : 1440000 :
129
445444231 : 1659695 : 1660000 :
305
382859629 : 1449961 : 1450000 :
39
448437571 : 1669647 : 1670000 :
353
385815643 : 1459942 : 1460000 :
58
451446223 : 1679644 : 1680000 :
356
8179-1425-7819
10
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x)
: (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
Продолжение табл.3
-----------------------------------------------------------x
: (x)
: 2(x) : (x)  2(x)
------------------------------------------------------------
454461913 : 1689658 : 1690000 :
342
518261761 : 1900003 : 1900000 :
3
457446331 : 1699561 : 1700000 :
439
548782063 : 1999687 : 2000000 :
313
460468279 : 1709582 : 1710000 :
418
579518761 : 2099516 : 2100000 :
484
463510921 : 1719665 : 1720000 :
335
610440583 : 2199412 : 2200000 :
588
466544593 : 1729712 : 1730000 :
288
641479129 : 2299178 : 2300000 :
822
469575313 : 1739742 : 1740000 :
258
672735313 : 2399158 : 2400000 :
842
472584271 : 1749693 : 1750000 :
307
704141689 : 2499155 : 2500000 :
845
475630453 : 1759762 : 1760000 :
238
735553729 : 2598726 : 2600000 :
1274
478629799 : 1769669 : 1770000 :
331
767309239 : 2698960 : 2700000 :
1040
481685461 : 1779755 : 1780000 :
245
799112539 : 2798933 : 2800000 :
1067
484734793 : 1789814 : 1790000 :
186
831063943 : 2898978 : 2900000 :
1022
487786591 : 1799876 : 1800000 :
124
863029303 : 2998687 : 3000000 :
1313
490829953 : 1809902 : 1810000 :
98
895120183 : 3098423 : 3100000 :
1577
493880293 : 1819946 : 1820000 :
54
927303163 : 3198093 : 3200000 :
1907
496914349 : 1829930 : 1830000 :
70
959551843 : 3297627 : 3300000 :
2373
499948783 : 1839909 : 1840000 :
91
992058493 : 3397626 : 3400000 :
2374
499997119 : 1840068 : 1840160 :
92
999997771 : 3422000 : 3424500 :
2500
------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------
Погрешность приближенного представления функции 2(x) составляет:
для 109  x  3721051
(x)  2(x)  350;
для 3721051  x  9727843
(x)  2(x)  500;
для 9727843  x  19137409
(x)  2(x)  570;
8179-1425-7819
11
для 19137409  x  277762801 (x)  2(x)  680;
для 277762801  x  456985429 (x)  2(x)  570;
для 456985429  x  474459199 (x)  2(x)  500;
для 474459199  x  499997119 (x)  2(x)  200 (см. табл.3).
Приближающая функция (x) для исходной функции 2(x) допускает экстраполяцию на
отрезок [499997119, 999997771] с погрешностью, не превышающей 2500 (см. табл.3).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции 2(x) в виде
x
2(x)   , x  109.
1
(1 ) (ln x) (ln x)
(ln x)  22,4627 + 2,206936351
(5)
Формула (5) дает возможность установить важное свойство функции 2(x). При x 
функция 2(x) стремится к бесконечности.
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Множество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для установления свойств пар простых чисел-близнецов определим функцию k.
Определение 3. Функция натурального аргумента k обозначает разность между соседними
парами простых чисел-близнецов pk и pk-1
k  pk  pk-1, k  N.
Условно примем, что для k = 1 значение функции 1 не определено.
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k пары простых чисел-близнецов pk.
Областью изменения функции является множество {2, 6, 12, 18, 24, 30, …}.
Для исследования свойств функции k была использована таблица, содержащая 738596
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изме-
8179-1425-7819
12
няются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может
принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 6. В табл.4
в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на множестве значений указателя [2, 738597]. Для каждого значения указано, сколько раз функция
принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения
относительно всех 738596 значений функции.
Таблица 4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
2:
1 : 0,0000014
96 :
7677 : 0,0103940
6:
7428 : 0,0100569
102 :
12889 : 0,0174507
12 :
19567 : 0,0264922
108 :
12519 : 0,0169497
18 :
14313 : 0,0193787
114 :
7343 : 0,0099418
24 :
9052 : 0,0122557
120 :
15065 : 0,0203968
30 :
27677 : 0,0374724
126 :
8431 : 0,0114149
36 :
7952 : 0,0107664
132 :
13275 : 0,0179733
42 :
25208 : 0,0341296
138 :
14819 : 0,0200637
48 :
13605 : 0,0184201
144 :
4133 : 0,0055958
54 :
8972 : 0,0121474
150 :
14575 : 0,0197334
60 :
19925 : 0,0269769
156 :
8208 : 0,0111130
66 :
8946 : 0,0121122
162 :
8490 : 0,0114948
72 :
16115 : 0,0218184
168 :
14293 : 0,0193516
78 :
15115 : 0,0204645
174 :
4820 : 0,0065259
84 :
9848 : 0,0133334
180 :
17015 : 0,0230370
90 :
19560 : 0,0264827
186 :
4227 : 0,0057230
8179-1425-7819
13
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
192 :
7916 : 0,0107176
324 :
2669 : 0,0036136
198 :
11965 : 0,0161997
330 :
8022 : 0,0108611
204 :
4184 : 0,0056648
336 :
3601 : 0,0048755
210 :
18701 : 0,0253197
342 :
4487 : 0,0060750
216 :
3237 : 0,0043826
348 :
5366 : 0,0072651
222 :
10171 : 0,0137707
354 :
1967 : 0,0026632
228 :
7164 : 0,0096995
360 :
5483 : 0,0074235
234 :
3942 : 0,0053372
366 :
2823 : 0,0038221
240 :
14232 : 0,0192690
372 :
4700 : 0,0063634
246 :
3065 : 0,0041498
378 :
5717 : 0,0077404
252 :
9046 : 0,0122476
384 :
1492 : 0,0020200
258 :
5895 : 0,0079814
390 :
7557 : 0,0102316
264 :
4633 : 0,0062727
396 :
1912 : 0,0025887
270 :
8055 : 0,0109058
402 :
3077 : 0,0041660
276 :
2826 : 0,0038262
408 :
4565 : 0,0061806
282 :
6629 : 0,0089751
414 :
1719 : 0,0023274
288 :
6158 : 0,0083374
420 :
7878 : 0,0106662
294 :
3896 : 0,0052749
426 :
1366 : 0,0018495
300 :
6655 : 0,0090103
432 :
3614 : 0,0048931
306 :
4235 : 0,0057339
438 :
2850 : 0,0038587
312 :
5029 : 0,0068089
444 :
1532 : 0,0020742
318 :
4636 : 0,0062768
450 :
4649 : 0,0062944
8179-1425-7819
14
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
456 :
1252 : 0,0016951
588 :
2167 : 0,0029339
462 :
5117 : 0,0069280
594 :
823 : 0,0011143
468 :
2577 : 0,0034891
600 :
2906 : 0,0039345
474 :
1477 : 0,0019997
606 :
720 : 0,0009748
480 :
2929 : 0,0039656
612 :
1387 : 0,0018779
486 :
1131 : 0,0015313
618 :
1839 : 0,0024899
492 :
3072 : 0,0041592
624 :
678 : 0,0009180
498 :
1945 : 0,0026334
630 :
2729 : 0,0036948
504 :
1743 : 0,0023599
636 :
657 : 0,0008895
510 :
3013 : 0,0040794
642 :
1467 : 0,0019862
516 :
1313 : 0,0017777
648 :
1281 : 0,0017344
522 :
1906 : 0,0025806
654 :
459 : 0,0006485
528 :
2303 : 0,0031181
660 :
2480 : 0,0033577
534 :
1137 : 0,0015394
666 :
489 : 0,0006621
540 :
2345 : 0,0031749
672 :
1428 : 0,0019334
546 :
1714 : 0,0023206
678 :
1049 : 0,0014203
552 :
1742 : 0,0023585
684 :
721 : 0,0009762
558 :
2191 : 0,0029664
690 :
1358 : 0,0018386
564 :
700 : 0,0009477
696 :
473 : 0,0006404
570 :
3064 : 0,0041484
702 :
1383 : 0,0018725
576 :
990 : 0,0013404
708 :
832 : 0,0011265
582 :
1420 : 0,0019226
714 :
694 : 0,0009396
8179-1425-7819
15
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
720 :
1081 : 0,0014636
852 :
620 : 0,0008394
726 :
662 : 0,0008963
858 :
599 : 0,0008110
732 :
702 : 0,0009505
864 :
208 : 0,0002816
738 :
830 : 0,0011238
870 :
851 : 0,0011522
744 :
445 : 0,0006025
876 :
218 : 0,0002952
750 :
1209 : 0,0016369
882 :
857 : 0,0011603
756 :
590 : 0,0007988
888 :
355 : 0,0004806
762 :
656 : 0,0008882
894 :
241 : 0,0003263
768 :
918 : 0,0012429
900 :
607 : 0,0008218
774 :
289 : 0,0003913
906 :
189 : 0,0002559
780 :
1217 : 0,0016477
912 :
470 : 0,0006363
786 :
393 : 0,0005321
918 :
369 : 0,0004996
792 :
735 : 0,0009951
924 :
295 : 0,0003994
798 :
918 : 0,0012429
930 :
490 : 0,0006634
804 :
291 : 0,0003940
936 :
234 : 0,0003168
810 :
997 : 0,0013499
942 :
275 : 0,0003723
816 :
340 : 0,0004603
948 :
381 : 0,0005158
822 :
464 : 0,0006282
954 :
187 : 0,0002532
828 :
698 : 0,0009450
960 :
468 : 0,0006336
834 :
289 : 0,0003913
966 :
275 : 0,0003723
840 :
1092 : 0,0014785
972 :
254 : 0,0003439
846 :
233 : 0,0003155
978 :
363 : 0,0004915
8179-1425-7819
16
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
984 :
125 : 0,0001692
1116 :
65 : 0,0000880
990 :
547 : 0,0007406
1122 :
245 : 0,0003317
996 :
124 : 0,0001679
1128 :
148 : 0,0002004
1002 :
235 : 0,0003182
1134 :
94 : 0,0001273
1008 :
335 : 0,0004536
1140 :
218 : 0,0002952
1014 :
176 : 0,0002383
1146 :
100 : 0,0001354
1020 :
464 : 0,0006282
1152 :
131 : 0,0001774
1026 :
103 : 0,0001395
1158 :
133 : 0,0001801
1032 :
235 : 0,0003182
1164 :
79 : 0,0001070
1038 :
271 : 0,0003764
1170 :
188 : 0,0002545
1044 :
84 : 0,0001137
1176 :
78 : 0,0001056
1050 :
446 : 0,0006038
1182 :
89 : 0,0001205
1056 :
124 : 0,0001679
1188 :
172 : 0,0002329
1062 :
256 : 0,0003466
1194 :
60 : 0,0000812
1068 :
143 : 0,0001936
1200 :
128 : 0,0001733
1074 :
87 : 0,0001178
1206 :
73 : 0,0000988
1080 :
359 : 0,0004861
1212 :
101 : 0,0001367
1086 :
73 : 0,0000988
1218 :
159 : 0,0002153
1092 :
276 : 0,0003737
1224 :
53 : 0,0000718
1098 :
171 : 0,0002315
1230 :
196 : 0,0002654
1104 :
101 : 0,0001367
1236 :
36 : 0,0000487
1110 :
177 : 0,0002396
1242 :
102 : 0,0001381
8179-1425-7819
17
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
1248 :
118 : 0,0001598
1380 :
92 : 0,0001246
1254 :
45 : 0,0000609
1386 :
45 : 0,0000609
1260 :
206 : 0,0002789
1392 :
56 : 0,0000758
1266 :
46 : 0,0000623
1398 :
71 : 0,0000961
1272 :
104 : 0,0001408
1404 :
19 : 0,0000257
1278 :
74 : 0,0001002
1410 :
62 : 0,0000839
1284 :
34 : 0,0000460
1416 :
23 : 0,0000311
1290 :
174 : 0,0002356
1422 :
30 : 0,0000406
1296 :
36 : 0,0000487
1428 :
106 : 0,0001435
1302 :
94 : 0,0001273
1434 :
12 : 0,0000162
1308 :
60 : 0,0000812
1440 :
67 : 0,0000907
1314 :
45 : 0,0000609
1446 :
16 : 0,0000217
1320 :
97 : 0,0001313
1452 :
47 : 0,0000636
1326 :
38 : 0,0000514
1458 :
34 : 0,0000460
1332 :
84 : 0,0001137
1464 :
17 : 0,0000230
1338 :
55 : 0,0000745
1470 :
71 : 0,0000961
1344 :
48 : 0,0000650
1476 :
7 : 0,0000095
1350 :
82 : 0,0001110
1482 :
55 : 0,0000745
1356 :
41 : 0,0000555
1488 :
22 : 0,0000298
1362 :
61 : 0,0000826
1494 :
15 : 0,0000203
1368 :
43 : 0,0000582
1500 :
46 : 0,0000623
1374 :
27 : 0,0000366
1506 :
8 : 0,0000108
8179-1425-7819
18
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
1512 :
43 : 0,0000582
1644 :
8 : 0,0000108
1518 :
43 : 0,0000582
1650 :
34 : 0,0000460
1524 :
8 : 0,0000108
1656 :
5 : 0,0000068
1530 :
37 : 0,0000501
1662 :
14 : 0,0000190
1536 :
14 : 0,0000190
1668 :
16 : 0,0000217
1542 :
27 : 0,0000366
1674 :
7 : 0,0000095
1548 :
20 : 0,0000271
1680 :
26 : 0,0000352
1554 :
11 : 0,0000149
1686 :
5 : 0,0000068
1560 :
38 : 0,0000514
1692 :
25 : 0,0000338
1566 :
17 : 0,0000230
1698 :
20 : 0,0000271
1572 :
21 : 0,0000284
1704 :
5 : 0,0000068
1578 :
19 : 0,0000257
1710 :
25 : 0,0000338
1584 :
24 : 0,0000325
1716 :
6 : 0,0000081
1590 :
40 : 0,0000542
1722 :
12 : 0,0000162
1596 :
14 : 0,0000190
1728 :
8 : 0,0000108
1602 :
21 : 0,0000284
1734 :
3 : 0,0000041
1608 :
26 : 0,0000352
1740 :
16 : 0,0000217
1614 :
8 : 0,0000108
1746 :
7 : 0,0000095
1620 :
23 : 0,0000311
1752 :
8 : 0,0000108
1626 :
14 : 0,0000190
1758 :
6 : 0,0000081
1632 :
15 : 0,0000203
1764 :
8 : 0,0000108
1638 :
35 : 0,0000474
1770 :
10 : 0,0000135
8179-1425-7819
19
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
1776 :
5 : 0,0000068
1908 :
5 : 0,0000068
1782 :
6 : 0,0000081
1914 :
2 : 0,0000027
1788 :
10 : 0,0000135
1920 :
8 : 0,0000108
1794 :
4 : 0,0000054
1932 :
10 : 0,0000135
1800 :
14 : 0,0000190
1938 :
5 : 0,0000068
1806 :
2 : 0,0000027
1944 :
1 : 0,0000014
1812 :
10 : 0,0000135
1950 :
6 : 0,0000081
1818 :
8 : 0,0000108
1956 :
1 : 0,0000014
1824 :
5 : 0,0000068
1962 :
4 : 0,0000054
1830 :
8 : 0,0000108
1968 :
4 : 0,0000054
1836 :
7 : 0,0000095
1974 :
5 : 0,0000068
1842 :
5 : 0,0000068
1980 :
3 : 0,0000041
1848 :
5 : 0,0000068
1986 :
3 : 0,0000041
1854 :
2 : 0,0000027
1992 :
2 : 0,0000027
1860 :
14 : 0,0000190
1998 :
4 : 0,0000054
1866 :
4 : 0,0000054
2004 :
3 : 0,0000041
1872 :
7 : 0,0000095
2010 :
2 : 0,0000027
1878 :
7 : 0,0000095
2016 :
1 : 0,0000014
1884 :
1 : 0,0000014
2022 :
3 : 0,0000041
1890 :
11 : 0,0000149
2028 :
3 : 0,0000041
1896 :
2 : 0,0000027
2034 :
3 : 0,0000041
1902 :
5 : 0,0000068
2040 :
2 : 0,0000027
8179-1425-7819
20
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
2046 :
2 : 0,0000027
2208 :
1 : 0,0000014
2052 :
3 : 0,0000041
2220 :
2 : 0,0000027
2058 :
1 : 0,0000014
2226 :
1 : 0,0000014
2064 :
1 : 0,0000014
2238 :
1 : 0,0000014
2070 :
4 : 0,0000054
2244 :
1 : 0,0000014
2076 :
3 : 0,0000041
2250 :
1 : 0,0000014
2082 :
4 : 0,0000054
2256 :
1 : 0,0000014
2088 :
1 : 0,0000014
2262 :
4 : 0,0000054
2094 :
1 : 0,0000014
2268 :
3 : 0,0000041
2100 :
5 : 0,0000068
2274 :
1 : 0,0000014
2112 :
5 : 0,0000068
2280 :
2 : 0,0000027
2118 :
3 : 0,0000041
2292 :
2 : 0,0000027
2124 :
1 : 0,0000014
2310 :
6 : 0,0000081
2130 :
6 : 0,0000081
2322 :
1 : 0,0000014
2136 :
1 : 0,0000014
2382 :
1 : 0,0000014
2142 :
1 : 0,0000014
2388 :
1 : 0,0000014
2148 :
1 : 0,0000014
2394 :
2 : 0,0000027
2160 :
4 : 0,0000054
2406 :
1 : 0,0000014
2172 :
1 : 0,0000014
2412 :
1 : 0,0000014
2178 :
3 : 0,0000041
2418 :
1 : 0,0000014
2184 :
1 : 0,0000014
2424 :
1 : 0,0000014
2190 :
2 : 0,0000027
2430 :
3 : 0,0000041
8179-1425-7819
21
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
Продолжение табл.4
-----------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
------------------------------------------
2436 :
1 : 0,0000014
2610 :
1 : 0,0000014
2448 :
3 : 0,0000041
2616 :
1 : 0,0000014
2466 :
2 : 0,0000027
2628 :
1 : 0,0000014
2472 :
1 : 0,0000014
2634 :
2 : 0,0000027
2490 :
1 : 0,0000014
2658 :
1 : 0,0000014
2496 :
1 : 0,0000014
2670 :
1 : 0,0000014
2520 :
2 : 0,0000027
2682 :
1 : 0,0000014
2532 :
1 : 0,0000014
2688 :
1 : 0,0000014
2550 :
3 : 0,0000041
2712 :
1 : 0,0000014
2562 :
2 : 0,0000027
2808 :
1 : 0,0000014
2580 :
1 : 0,0000014
2832 :
1 : 0,0000014
2586 :
2 : 0,0000027
2868 :
1 : 0,0000014
2598 :
1 : 0,0000014
3012 :
1 : 0,0000014
ВСЕГО :
738596 : 1,0000000
------------------------------------------
------------------------------------------
Следует отметить, что второе простое число pk пары близнецов ((pk – 2, pk)), k  3 может
иметь в разряде единиц или цифру “1” или цифру “3” или цифру “9”. Наличие цифры “7” в
разряде единиц второго простого числа pk пары близнецов ((pk – 2, pk)) привело бы к тому, что
первое простое число pk – 2 этой пары близнецов было бы составным числом.
Записи в виде pk = “…1”, pk = “…3”, pk = “…9” будут обозначать, что второе простое
число pk пары близнецов ((pk – 2, pk)) содержит в разряде единиц соответственно цифру “1”,
“3”, “9”.
8179-1425-7819
22
Записи в виде pk+1 = “…1”, pk+1 = “…3”, pk+1 = “…9” будут обозначать, что второе простое
число pk+1 пары близнецов ((pk+1 – 2, pk+1)), k  3 содержит в разряде единиц соответственно
цифру “1”, “3”, “9”.
В результате анализа данных, приведенных в таблице пар простых чисел-близнецов, установлено, что значения функции k+1, k  3 принадлежат следующим подмножествам в зависимости от разряда единиц вторых простых чисел соседних пар близнецов:
если pk = “…1” и pk+1 = “…1”, то k+1  {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…1” и pk+1 = “…3”, то k+1  {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…1” и pk+1 = “…9”, то k+1  {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…1”, то k+1  {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…3”, то k+1  {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…9”, то k+1  {x | x = 6 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…1”, то k+1  {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…3”, то k+1  {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…9”, то k+1  {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …}.
Обобщение отмеченных свойств функции k дано в следующей теореме.
Теорема 2. Значения функции k, k  3 кратны 6.
Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное число k  2 и рассмотрим пару
простых чисел-близнецов ((pk – 2, pk)) и натуральные числа (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1).
Исходя из определения пары простых чисел-близнецов, отметим некоторые свойства всех
этих чисел:
1) (pk – 2), pk – простые числа и так как pk  7 при k  2, то они являются нечетными;
2) из (pk – 2)  P и pk  P следует, что (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) – составные четные
числа, а именно 2∣(pk – 3), 2∣(pk – 1) и 2∣(pk + 1).
Предварительно докажем, что 3∤(pk – 3) и 3∤(pk + 1).
8179-1425-7819
23
Согласно теореме 3 о рефлексивности отношения делимости ([1], С. 20), в частности,
следует, что 3∣3.
Предположим, что 3∣(pk – 3). Тогда согласно теореме 10 ([1], С. 20), если 3∣(pk – 3) и 3∣3,
то 3∣(pk – 3) + 3 или 3∣pk. Но простое число pk не имеет в качестве делителя число 3. Предположение, что число (pk – 3) кратно 3, привело нас к противоречию, следовательно, число 3 не
является делителем числа (pk – 3), а именно 3∤(pk – 3).
Предположим, что 3∣(pk + 1). Тогда согласно теореме 10 ([1], С. 20), если 3∣(pk + 1) и 3∣3,
то 3∣(pk + 1) – 3 или 3∣(pk – 2). Но простое число (pk– 2) не имеет в качестве делителя число 3.
Предположение, что число (pk + 1) кратно 3, привело нас к противоречию, следовательно, число
3 не является делителем числа (pk + 1), а именно 3∤(pk + 1).
Для доказательства того, что 3∣(pk – 1), используем теоремы, устанавливающие основные
свойства отношения сравнения двух целых чисел по заданному модулю и распределение
чисел в классах по этому модулю.
В качестве рассматриваемого модуля выберем число 3.
Согласно теореме 96 ([1], С. 78) число классов по модулю 3 конечно и равно трем.
_
Класс 0 = {…–6, –3, 0, 3, 6, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡0(mod 3), т. е. 3∣x – 0 или 3∣x.
_
Класс 1 = {…–5, –2, 1, 4, 7, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡1(mod 3), т. е. 3∣x – 1 или 3∤x.
_
Класс 2 = {…–4, –1, 2, 5, 8, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡2(mod 3), т. е. 3∣x – 2 или 3∤x.
Далее докажем, что числа (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) образуют полную систему вычетов
по модулю 3.
Для этого должны быть выполнены два условия:
8179-1425-7819
24
число вычетов системы должно быть равно числу классов по модулю 3;
любые два вычета системы должны быть попарно несравнимы между собой по модулю 3.
Первое условие выполнено: система содержит три вычета. Проверим, что из трех вычетов
(pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) любые два попарно несравнимы между собой по модулю 3.
Предположим, что pk – 1≡pk – 3(mod 3), т. е. 3∣ pk – 1 – ( pk – 3) или 3∣2. Но число 3 не
является делителем числа 2. Предположение, что (pk – 1) сравнимо с (pk – 3) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk – 1≢pk – 3(mod 3).
Предположим, что pk + 1≡pk – 3(mod 3), т. е. 3∣ pk + 1 – ( pk – 3) или 3∣4. Но число 3 не
является делителем числа 4. Предположение, что (pk + 1) сравнимо с (pk – 3) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk + 1≢pk – 3(mod 3).
Предположим, что pk + 1≡pk – 1(mod 3), т. е. 3∣ pk + 1 – ( pk – 1) или 3∣2. Но число 3 не
является делителем числа 2. Предположение, что (pk + 1) сравнимо с (pk – 1) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk + 1≢pk – 1(mod 3).
Система чисел (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1), содержащая три попарно несравнимых по модулю 3 чисел, согласно теореме 106 ([1], С. 86) представляет собой полную систему вычетов
по этому модулю.
В полной системе вычетов (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) по модулю 3 одно из этих чисел
обязательно делится на 3.
Поскольку 3∤(pk – 3) и 3∤(pk + 1), то отсюда следует, что 3(pk – 1).
Согласно теореме 48 ([1], С. 48), так как (2, 3) = 1 и 2(pk – 1), 3(pk – 1), то отсюда следует,
что 2  3(pk – 1) или 6(pk – 1).
Так как делителем числа pk – 1, k  2 является число 6, то существует единственное
представление чисел pk – 1 и pk в виде
pk – 1 = 6qk (qk – целое, qk  1)
pk = 1 + 6qk.
8179-1425-7819
25
Для чисел pk-1 – 1 и pk-1, k  3 также справедливо представление в виде
pk-1 – 1 = 6qk-1 (qk-1 – целое, 1  qk-1 < qk)
pk-1 = 1 + 6qk-1.
Тогда согласно определению 3 для задания функции натурального аргумента k может быть
использована формула
k = (1 + 6qk) – (1 + 6qk-1) = 6(qk – qk-1), k  3,
где qk = (pk – 1)  6, qk-1 = (pk-1 – 1)  6, (qk – qk-1) – целое, (qk – qk-1)  1.
Следовательно, согласно теореме 2 ([1], С. 19) число 6 является делителем числа k.
Таким образом, 6k, k  3. Теорема доказана.
Утверждения, доказанные в теоремах 1 и 2, дают основания для формулировки следующей
теоремы.
Теорема 3. Арифметическая прогрессия 1 + 6n, n  N содержит бесконечное множество пар
простых чисел-близнецов.
Доказательство. Определим функцию натурального аргумента gn = 1 + 6n, n  N . Область
изменения этой функции укажем в виде множества M1 = {x | x = 1 + 6n, n  N}. Обозначим
через M2 = {y | y = pk, k  2}множество пар простых чисел-близнецов, каждое из которых имеет
представление в виде pk = 1 + 6qk (qk – целое, qk  1). Это множество не содержит только пару
простых чисел-близнецов ((3, 5)).
Так как множество {z | z = qk, k  2}является подмножеством N, то множество M1 содержит
в качестве подмножества множество M2. Теорема доказана.
Следствие 1. Арифметическая прогрессия -1 + 6n, n  N содержит бесконечное множество
простых чисел, которые входят в состав каждой пары близнецов ((pk – 2, pk)), k  2 в качестве
первого простого числа pk – 2.
Для характеристики распределения пар простых чисел-близнецов на отрезках натурального
ряда определим две функции натурального аргумента fk и gk.
8179-1425-7819
26
Каждой паре простых чисел-близнецов pk поставим в соответствие три отрезка натурального ряда [2pk, 2pk+1 – 1], [1, pk] и [pk + 1, 2pk+1 – 1], k  N .
Определение 4. Функция натурального аргумента fk обозначает число пар близнецов на
отрезке натурального ряда [2pk, 2pk+1 – 1]. Определение отрезка смотри в ([3], С. 57).
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k  N пары близнецов pk.
Областью изменения функции является множество {0, 1, 2, 3, …}.
Для исследования свойств функции fk была использована таблица, содержащая 1840169
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может
принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 0. В табл.5
в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на множестве значений указателя [1, 1840169]. Для каждого значения указано, сколько раз функция
принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения
относительно всех 1840169 значений функции.
Таблица 5
-------------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
--------------------------------------------
Продолжение табл.5
---------------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
----------------------------------------------
0:
593741 : 0,32265569
7:
30003 : 0,01630448
1:
444290 : 0,24143978
8:
18755 : 0,01019200
2:
292106 : 0,15873868
9:
11711 : 0,00636409
3:
187764 : 0,10203628
10 :
7301 : 0,00396757
4:
118998 : 0,06466689
11 :
4601 : 0,00250031
5:
75760 : 0,04117013
12 :
2809 : 0,00152649
6:
47567 : 0,02584926
13 :
1814 : 0,00098578
8179-1425-7819
27
Продолжение табл.5
-------------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
--------------------------------------------
Продолжение табл.5
---------------------------------------------Значение: Число : Частота
функции : значений : значений
----------------------------------------------
14 :
1120 : 0,00060864
22 :
24 : 0,00001304
15 :
686 : 0,00037279
23 :
16 : 0,00000869
16 :
435 : 0,00023639
24 :
9 : 0,00000489
17 :
250 : 0,00013586
25 :
7 : 0,00000380
18 :
185 : 0,00010053
26 :
4 : 0,00000217
19 :
106 : 0,00005760
27 :
3 : 0,00000163
20 :
53 : 0,00002880
28 :
1 : 0,00000054
21 :
49 : 0,00002663
29 :
1 : 0,00000054
ВСЕГО : 1840169 : 1,00000000
--------------------------------------------
-----------------------------------------------
В связи с этим в дальнейшем будем рассматривать средние значения ([2], с. 324) этой
функции.
Определение 5. Функция натурального аргумента hn обозначает среднее значение функции
fk на отрезке [1, n]
f1 + f2 + f3 + … + fn
hn  .
n
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер n  N пары близнецов pn.
Областью изменения функции является множество Q.
Функция hn выражает среднее число пар близнецов на n отрезках натурального ряда
[2pk, 2pk+1 – 1], k  [1, n].
Значения функции меняются довольно гладко. Функция может быть аппроксимирована
простым выражением. В результате предварительных исследований функции hn численными
8179-1425-7819
28
методами установлено, что приближающая функция для нее может быть принята в виде
1
n  2   ,
(ln n)  a + b
(6)
где a и b – числовые параметры.
Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции n используется метод
наименьших квадратов.
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции n от табличных значений
исходной функции hn была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая
функция параметров a и b. Обозначим ее через S1(a, b)
S1(a, b) =  (k  hk)2,
(7)
где для уменьшения объема вычислений суммирование выполняется по выбранным точкам
аппроксимации k = 10, 20, 30, … , 1840160.
Для оценки близости исходной функции hn и приближающей ее функции n используется
минимальное значение S1(a, b).
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим
численным методом значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции
S1(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.6.
Таблица 6
Продолжение табл.6
-------------------------------------------------a
:
b
:
S1(a, b)
--------------------------------------------------
------------------------------------------------a :
b
:
S1(a, b)
-------------------------------------------------
2,00 : 0,078253407 : 2,0277357029
2,50 : 1,368386562 : 0,6758391264
2,20 : 0,659568528 : 0,7570887813
2,80 : 1,930678892 : 1,4152818182
2,30 : 0,915317259 : 0,5753643763
3,00 : 2,244646919 : 2,0771458556
8179-1425-7819
29
Продолжение табл.6
Продолжение табл.6
-------------------------------------------------a
:
b
:
S1(a, b)
--------------------------------------------------
------------------------------------------------a :
b
:
S1(a, b)
-------------------------------------------------
4,00 : 3,350738022 : 5,5663758774
12,00 : 5,588419678 : 16,7276712229
6,00 : 4,465936890 : 10,5523540086
14,00 : 5,749292627 : 17,6933746666
8,00 : 5,026354192 : 13,5066001394
16,00 : 5,870026381 : 18,4302607709
10,00 : 5,363405061 : 15,4089154231
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
На втором этапе выполним интерполяцию функции S1(a, b), используя данные табл.6.
Узлами интерполяции выберем значения параметра a, равные 2,20; 2,30; 2,50.
Для интерполяции функции S1(a, b) используем полином второй степени
S1(a, b) =  a2+  a + ,
(8)
где  = 7,7320593350;  = 36,6115110575;  = 43,8792459264.
На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального
значения функции S1(a, b)

36,6115110575
a        2,36751359.
2
2  7,7320593350
При этом минимум минимального значения функции S1(a, b), вычисленный по формуле (8),
равен 0,5401209974.
На четвертом этапе для параметра a = 2,36751359 определим численным методом значение
параметра b, доставляющее минимальное значение функции S1(a, b). Минимуму функции
S1(a,b) отвечает b = 1,076426528. При этом минимальное значение функции S1(a, b), вычисленное по формуле (7), равно 0,5537785190.
Минимальное значение функции S1(a, b), вычисленное по формуле (7) для a = 2,36751359 и
b = 1,076426528, отличается от минимального значения функции S1(a, b), вычисленного по формуле (8), на 0,0136575216. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S1(a, b).
8179-1425-7819
30
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S1(a, b) зададимся
рядом значений параметра a в окрестности точки a = 2,36751359 и для каждого из них
определим по формуле (7) значение параметра b, доставляющее минимальное значение
функции S1(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.7.
Таблица 7
Продолжение табл.7
-------------------------------------------------a
:
b
:
S1(a, b)
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------a :
b
:
S1(a, b)
---------------------------------------------------
2,3400 : 1,011836555 : 0,5543750731
2,3553 : 1,047931624 : 0,5527432949
2,3500 : 1,035478725 : 0,5529319624
2,3554 : 1,048166072 : 0,5527435007
2,3540 : 1,044882080 : 0,5527532490
2,3560 : 1,049572359 : 0,5527476431
2,3550 : 1,047228167 : 0,5527435091
2,3600 : 1,058930209 : 0,5529019139
2,3552 : 1,047697158 : 0,5527432276
2,4000 : 1,150871871 : 0,5659320941
--------------------------------------------------
---------------------------------------------------
Используя данные, приведенные в табл.7, уточненные значения параметров a и b приняты
соответственно равными 2,3552 и 1,047697158. При этом приближающая функция для hn
имеет вид
1
n  2  ,
(ln n)  a + b
(9)
где a = 2,3552; b = 1,047697158.
В табл.8 приведены отклонения n  hn приближающей функции n от исходной функции hn
для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 1840160].
Таблица 8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
30 : 1,5986869 : 1,6666667 : 0,0679798
70 : 1,6493167 : 1,7000000 : 0,0506833
50 : 1,6308209 : 1,6400000 : 0,0091791
100 : 1,6670016 : 1,7000000 : 0,0329984
8179-1425-7819
31
Продолжение табл.8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
300 : 1,7117724 : 1,7700000 : 0,0582276
160000 : 1,8370156 : 1,8349875 : 0,0020281
500 : 1,7287306 : 1,7020000 : 0,0267306
170000 : 1,8376965 : 1,8361941 : 0,0015024
700 : 1,7388513 : 1,7400000 : 0,0011487
180000 : 1,8383333 : 1,8374444 : 0,0008889
1000 : 1,7487865 : 1,7900000 : 0,0412135
190000 : 1,8389311 : 1,8369211 : 0,0020100
3000 : 1,7751364 : 1,7803333 : 0,0051969
200000 : 1,8394942 : 1,8374600 : 0,0020342
5000 : 1,7855933 : 1,7998000 : 0,0142067
210000 : 1,8400261 : 1,8386619 : 0,0013642
7000 : 1,7919655 : 1,8144286 : 0,0224631
220000 : 1,8405300 : 1,8402500 : 0,0002800
10000 : 1,7983195 : 1,8059000 : 0,0075805
230000 : 1,8410085 : 1,8410130 : 0,0000045
20000 : 1,8096196 : 1,8082500 : 0,0013696
240000 : 1,8414640 : 1,8417833 : 0,0003193
30000 : 1,8156614 : 1,8133667 : 0,0022947
250000 : 1,8418984 : 1,8436640 : 0,0017656
40000 : 1,8197207 : 1,8191000 : 0,0006207
260000 : 1,8423136 : 1,8437308 : 0,0014172
50000 : 1,8227482 : 1,8206800 : 0,0020682
270000 : 1,8427110 : 1,8434778 : 0,0007668
60000 : 1,8251475 : 1,8209667 : 0,0041808
280000 : 1,8430921 : 1,8439714 : 0,0008793
70000 : 1,8271259 : 1,8255000 : 0,0016259
290000 : 1,8434581 : 1,8443690 : 0,0009109
80000 : 1,8288038 : 1,8264625 : 0,0023413
300000 : 1,8438100 : 1,8452967 : 0,0014867
90000 : 1,8302571 : 1,8282778 : 0,0019793
310000 : 1,8441489 : 1,8456484 : 0,0014995
100000 : 1,8315363 : 1,8292100 : 0,0023263
320000 : 1,8444757 : 1,8451719 : 0,0006962
110000 : 1,8326770 : 1,8317545 : 0,0009225
330000 : 1,8447911 : 1,8466030 : 0,0018119
120000 : 1,8337050 : 1,8318167 : 0,0018883
340000 : 1,8450958 : 1,8461618 : 0,0010660
130000 : 1,8346396 : 1,8323154 : 0,0023242
350000 : 1,8453906 : 1,8457257 : 0,0003351
140000 : 1,8354955 : 1,8324286 : 0,0030669
360000 : 1,8456760 : 1,8467250 : 0,0010490
150000 : 1,8362844 : 1,8347133 : 0,0015711
370000 : 1,8459525 : 1,8461135 : 0,0001610
8179-1425-7819
32
Продолжение табл.8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
380000 : 1,8462208 : 1,8460921 : 0,0001287
600000 : 1,8506742 : 1,8493433 : 0,0013309
390000 : 1,8464811 : 1,8462231 : 0,0002580
610000 : 1,8508305 : 1,8495852 : 0,0012453
400000 : 1,8467341 : 1,8466800 : 0,0000541
620000 : 1,8509840 : 1,8501274 : 0,0008566
410000 : 1,8469800 : 1,8460927 : 0,0008873
630000 : 1,8511347 : 1,8503762 : 0,0007585
420000 : 1,8472192 : 1,8466333 : 0,0005859
640000 : 1,8512827 : 1,8510109 : 0,0002718
430000 : 1,8474520 : 1,8471581 : 0,0002939
650000 : 1,8514282 : 1,8512154 : 0,0002128
440000 : 1,8476788 : 1,8472750 : 0,0004038
660000 : 1,8515711 : 1,8509455 : 0,0006256
450000 : 1,8478999 : 1,8476578 : 0,0002421
670000 : 1,8517117 : 1,8512642 : 0,0004475
460000 : 1,8481155 : 1,8473043 : 0,0008112
680000 : 1,8518498 : 1,8522456 : 0,0003958
470000 : 1,8483258 : 1,8472766 : 0,0010492
690000 : 1,8519858 : 1,8524014 : 0,0004156
480000 : 1,8485312 : 1,8470104 : 0,0015208
700000 : 1,8521195 : 1,8524786 : 0,0003591
490000 : 1,8487318 : 1,8473653 : 0,0013665
710000 : 1,8522511 : 1,8528113 : 0,0005602
500000 : 1,8489278 : 1,8473280 : 0,0015998
720000 : 1,8523806 : 1,8529750 : 0,0005944
510000 : 1,8491195 : 1,8474294 : 0,0016901
730000 : 1,8525081 : 1,8527973 : 0,0002892
520000 : 1,8493069 : 1,8483750 : 0,0009319
740000 : 1,8526337 : 1,8527757 : 0,0001420
530000 : 1,8494904 : 1,8487377 : 0,0007527
750000 : 1,8527573 : 1,8534200 : 0,0006627
540000 : 1,8496699 : 1,8485759 : 0,0010940
760000 : 1,8528792 : 1,8533368 : 0,0004576
550000 : 1,8498458 : 1,8488782 : 0,0009676
770000 : 1,8529992 : 1,8532636 : 0,0002644
560000 : 1,8500181 : 1,8490857 : 0,0009324
780000 : 1,8531175 : 1,8536449 : 0,0005274
570000 : 1,8501870 : 1,8487912 : 0,0013958
790000 : 1,8532341 : 1,8538975 : 0,0006634
580000 : 1,8503525 : 1,8487431 : 0,0016094
800000 : 1,8533491 : 1,8539238 : 0,0005747
590000 : 1,8505149 : 1,8488864 : 0,0016285
810000 : 1,8534624 : 1,8539444 : 0,0004820
8179-1425-7819
33
Продолжение табл.8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
820000 : 1,8535742 : 1,8538683 : 0,0002941
1040000 : 1,8557063 : 1,8562558 : 0,0005495
830000 : 1,8536845 : 1,8541157 : 0,0004312
1050000 : 1,8557909 : 1,8562724 : 0,0004815
840000 : 1,8537932 : 1,8542083 : 0,0004151
1060000 : 1,8558745 : 1,8566689 : 0,0007944
850000 : 1,8539006 : 1,8543741 : 0,0004795
1070000 : 1,8559573 : 1,8566832 : 0,0007259
860000 : 1,8540065 : 1,8544081 : 0,0004016
1080000 : 1,8560392 : 1,8570463 : 0,0010071
870000 : 1,8541110 : 1,8543103 : 0,0001993
1090000 : 1,8561202 : 1,8569275 : 0,0008073
880000 : 1,8542142 : 1,8549898 : 0,0007756
1100000 : 1,8562005 : 1,8569200 : 0,0007195
890000 : 1,8543161 : 1,8553045 : 0,0009884
1110000 : 1,8562799 : 1,8569378 : 0,0006579
900000 : 1,8544168 : 1,8551122 : 0,0006954
1120000 : 1,8563585 : 1,8567938 : 0,0004353
910000 : 1,8545161 : 1,8555132 : 0,0009971
1130000 : 1,8564363 : 1,8568071 : 0,0003708
920000 : 1,8546143 : 1,8558065 : 0,0011922
1140000 : 1,8565134 : 1,8568158 : 0,0003024
930000 : 1,8547112 : 1,8560032 : 0,0012920
1150000 : 1,8565897 : 1,8569235 : 0,0003338
940000 : 1,8548070 : 1,8560298 : 0,0012228
1160000 : 1,8566653 : 1,8570431 : 0,0003778
950000 : 1,8549017 : 1,8556432 : 0,0007415
1170000 : 1,8567401 : 1,8570769 : 0,0003368
960000 : 1,8549952 : 1,8556073 : 0,0006121
1180000 : 1,8568142 : 1,8573356 : 0,0005214
970000 : 1,8550877 : 1,8556722 : 0,0005845
1190000 : 1,8568876 : 1,8573109 : 0,0004233
980000 : 1,8551791 : 1,8557316 : 0,0005525
1200000 : 1,8569604 : 1,8573242 : 0,0003638
990000 : 1,8552694 : 1,8559253 : 0,0006559
1210000 : 1,8570324 : 1,8572678 : 0,0002354
1000000 : 1,8553588 : 1,8560580 : 0,0006992
1220000 : 1,8571038 : 1,8576049 : 0,0005011
1010000 : 1,8554471 : 1,8558822 : 0,0004351
1230000 : 1,8571746 : 1,8575382 : 0,0003636
1020000 : 1,8555345 : 1,8562471 : 0,0007126
1240000 : 1,8572447 : 1,8574718 : 0,0002271
1030000 : 1,8556209 : 1,8562563 : 0,0006354
1250000 : 1,8573141 : 1,8573392 : 0,0000251
8179-1425-7819
34
Продолжение табл.8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
1260000 : 1,8573830 : 1,8573056 : 0,0000774
1480000 : 1,8587594 : 1,8589554 : 0,0001960
1270000 : 1,8574512 : 1,8574677 : 0,0000165
1490000 : 1,8588164 : 1,8588456 : 0,0000292
1280000 : 1,8575189 : 1,8574938 : 0,0000251
1500000 : 1,8588730 : 1,8588840 : 0,0000110
1290000 : 1,8575859 : 1,8575752 : 0,0000107
1510000 : 1,8589291 : 1,8589834 : 0,0000543
1300000 : 1,8576524 : 1,8574369 : 0,0002155
1520000 : 1,8589849 : 1,8589664 : 0,0000185
1310000 : 1,8577183 : 1,8576954 : 0,0000229
1530000 : 1,8590402 : 1,8590614 : 0,0000212
1320000 : 1,8577836 : 1,8577795 : 0,0000041
1540000 : 1,8590952 : 1,8590994 : 0,0000042
1330000 : 1,8578484 : 1,8578233 : 0,0000251
1550000 : 1,8591497 : 1,8591277 : 0,0000220
1340000 : 1,8579126 : 1,8578873 : 0,0000253
1560000 : 1,8592039 : 1,8593218 : 0,0001179
1350000 : 1,8579763 : 1,8582415 : 0,0002652
1570000 : 1,8592576 : 1,8591975 : 0,0000601
1360000 : 1,8580395 : 1,8583338 : 0,0002943
1580000 : 1,8593110 : 1,8591646 : 0,0001464
1370000 : 1,8581022 : 1,8585219 : 0,0004197
1590000 : 1,8593640 : 1,8591233 : 0,0002407
1380000 : 1,8581643 : 1,8586667 : 0,0005024
1600000 : 1,8594166 : 1,8593006 : 0,0001160
1390000 : 1,8582260 : 1,8586281 : 0,0004021
1610000 : 1,8594689 : 1,8593901 : 0,0000788
1400000 : 1,8582871 : 1,8586614 : 0,0003743
1620000 : 1,8595208 : 1,8596167 : 0,0000959
1410000 : 1,8583478 : 1,8589142 : 0,0005664
1630000 : 1,8595724 : 1,8594521 : 0,0001203
1420000 : 1,8584080 : 1,8589035 : 0,0004955
1640000 : 1,8596236 : 1,8593482 : 0,0002754
1430000 : 1,8584677 : 1,8588580 : 0,0003903
1650000 : 1,8596744 : 1,8594461 : 0,0002283
1440000 : 1,8585269 : 1,8589792 : 0,0004523
1660000 : 1,8597249 : 1,8595566 : 0,0001683
1450000 : 1,8585857 : 1,8586172 : 0,0000315
1670000 : 1,8597751 : 1,8595527 : 0,0002224
1460000 : 1,8586440 : 1,8586788 : 0,0000348
1680000 : 1,8598249 : 1,8596762 : 0,0001487
1470000 : 1,8587019 : 1,8587694 : 0,0000675
1690000 : 1,8598744 : 1,8597651 : 0,0001093
8179-1425-7819
35
Продолжение табл.8
Продолжение табл.8
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------n
:
n
:
hn
: n  hn
-----------------------------------------------------------
1700000 : 1,8599235 : 1,8598071 : 0,0001164
1780000 : 1,8603056 : 1,8604882 : 0,0001826
1710000 : 1,8599724 : 1,8598485 : 0,0001239
1790000 : 1,8603520 : 1,8606933 : 0,0003413
1720000 : 1,8600209 : 1,8599453 : 0,0000756
1800000 : 1,8603981 : 1,8607583 : 0,0003602
1730000 : 1,8600691 : 1,8600457 : 0,0000234
1810000 : 1,8604440 : 1,8607834 : 0,0003394
1740000 : 1,8601170 : 1,8602575 : 0,0001405
1820000 : 1,8604895 : 1,8609110 : 0,0004215
1750000 : 1,8601646 : 1,8603126 : 0,0001480
1830000 : 1,8605348 : 1,8609027 : 0,0003679
1760000 : 1,8602119 : 1,8604114 : 0,0001995
1840000 : 1,8605798 : 1,8609543 : 0,0003745
1770000 : 1,8602589 : 1,8604130 : 0,0001541
1840160 : 1,8605805 : 1,8609751 : 0,0003946
-----------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------
Погрешность приближенного представления функции hn составляет:
для 30  n  700
n  hn  0,11320;
для 700  n  3000
n  hn  0,04420;
для 3000  n  10000
для 10000  n  30000
n  hn  0,02980;
n  hn  0,01128;
для 30000  n  600000
n  hn  0,00509;
для 600000  n  1100000
для 1100000  n  1840160
n  hn  0,00155;
n  hn  0,00080 (см. табл.8).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции hn в виде
1
hn  2  ,
(ln n)  a + b
n  30,
(10)
где a = 2,3552; b = 1,047697158.
8179-1425-7819
36
Формула (10) дает возможность установить важное свойство функции hn. При больших n
1
1
величина  ничтожна по сравнению с 2; lim  = 0 и мы получаем
(ln n)  a + b
(ln n)  a + b
асимптотическое равенство
hn  2.
(11)
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Среднее число пар близнецов на n отрезках натурального ряда [2pk, 2pk+1 – 1],
k  [1, n], где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответственно,
при n  стремится к пределу, равному 2.
Дадим определение функции gk.
Определение 6. Функция натурального аргумента gk обозначает отношение числа пар
простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [pk + 1, 2pk+1 – 1] к числу пар простых
чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [1, pk].
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k  N пары простых чиселблизнецов pk. Областью изменения функции является множество Q.
Для исследования свойств функции gk была использована таблица, содержвщая 1840169
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются довольно гладко в пределах от 0,6000 до 0,8609.
В результате предварительных исследований функции gk численными методами установлено, что выражение
1
1   ,
(ln k)  c + d
где c и d – числовые параметры,
является функцией, хорошо аппроксимирующей исходную функцию gk. Обозначим ее через k.
1
k = 1   .
(ln k)  c + d
8179-1425-7819
(12)
37
Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции k используется метод
наименьших квадратов.
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции k от табличных значений
исходной функции gk была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая
функция параметров c и d. Обозначим ее через S2(c, d)
S2(c, d) =  (k  gk)2,
(13)
где для уменьшения объема вычислений суммирование выполняется по выбранным точкам
аппроксимации k = 10, 20, 30, … , 1840160.
Для оценки близости исходной функции gk и приближающей ее функции k используется
минимальное значение S2(c, d).
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим
численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции
S2(c, d). Результаты расчетов приведены в табл.9.
Таблица 9
Продолжение табл.9
-------------------------------------------------c
:
d
:
S2(c, d)
--------------------------------------------------
------------------------------------------------c :
d
:
S2(c, d)
-------------------------------------------------
2,000 : 0,081913881 : 2,4276421939
3,000 : 2,246015756 : 1,9559881086
2,300 : 0,917533525 : 0,6951502190
3,500 : 2,876606882 : 3,6679858406
2,400 : 1,152866748 : 0,6309786127
4,000 : 3,351783983 : 5,3211576259
2,500 : 1,370213594 : 0,6960988588
5,000 : 4,019817070 : 8,0978492809
2,700 : 1,758306051 : 1,0728834751
------------------------------------------------
--------------------------------------------------
На втором этапе выполним интерполяцию функции S2(c, d), используя данные табл.9.
8179-1425-7819
38
Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,300; 2,400; 2,500.
Для интерполяции функции S2(c, d) используем полином второй степени
S2(c, d) =  c2 +  c +  ,
(14)
где  = 6,4645926200;  = 31,0253013770;  = 37,8556484263.
На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального
значения функции S2(c, d)

31,0253013770
c        2,39963314.
2
2  6,4645926200
При этом минимум минимального значения функции S2(c, d), вычисленный по формуле (14),
равен 0,6309777427.
На четвертом этапе для параметра c = 2,39963314 определим численным методом значение
параметра d, доставляющее минимальное значение функции S2(c, d). Минимуму функции
S2(c, d) отвечает d = 1,152037507. При этом минимальное значение функции S2(c, d), вычисленное по формуле (13), равно 0,6309497627.
Минимальное значение функции S2(c, d), вычисленное по формуле (13) для c = 2,39963314 и
d = 1,152037507, отличается от минимального значения функции S2(c, d), вычисленного по
формуле (14), на 0,0000279800. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции
S2(c, d).
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S2(c, d) зададимся
рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2,39963314 и для каждого из них
определим по формуле (13) значение параметра d, доставляющее минимальное значение
функции S2(c, d). Результаты расчетов приведены в табл.10.
Таблица 10
Продолжение табл.10
-------------------------------------------------c
:
d
:
S2(c, d)
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------c :
d
:
S2(c, d)
---------------------------------------------------
2,3800 : 1,107303840 : 0,6319764436
2,3900 : 1,130176142 : 0,6308153652
8179-1425-7819
39
Продолжение табл.10
Продолжение табл.10
-------------------------------------------------c
:
d
:
S2(c, d)
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------c :
d
:
S2(c, d)
---------------------------------------------------
2,3930 : 1,137002309 : 0,6307274231
2,3940 : 1,139274073 : 0,6307243738
2,3936 : 1,138365585 : 0,6307240244
2,3950 : 1,141544029 : 0,6307343791
2,3937 : 1,138592734 : 0,6307239157
2,3960 : 1,143812179 : 0,6307573929
2,3938 : 1,138819866 : 0,6307239378
--------------------------------------------------
---------------------------------------------------
Используя данные, приведенные в табл.10, уточненные значения параметров c и d приняты
соответственно равными 2,3937 и 1,138592734. При этом приближающая функция для gk
имеет вид
1
k = 1   ,
(ln k)  c + d
(15)
где c = 2,3937; d = 1,138592734.
В табл.11 приведены отклонения k  gk приближающей функции k от исходной функции gk для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 1840160].
Таблица 11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
30 : 0,6092969 : 0,7333333 : 0,1240364
1000 : 0,7515157 : 0,7920000 : 0,0404843
50 : 0,6393657 : 0,6800000 : 0,0406343
3000 : 0,7769530 : 0,7810000 : 0,0040470
70 : 0,6567653 : 0,7285714 : 0,0718061
5000 : 0,7870874 : 0,8002000 : 0,0131126
100 : 0,6734655 : 0,7200000 : 0,0465345
7000 : 0,7932744 : 0,8147143 : 0,0214399
300 : 0,7160239 : 0,7766667 : 0,0606428
10000 : 0,7994519 : 0,8061000 : 0,0066481
500 : 0,7322500 : 0,7060000 : 0,0262500
20000 : 0,8104591 : 0,8083500 : 0,0021091
700 : 0,7419617 : 0,7428571 : 0,0008954
30000 : 0,8163552 : 0,8134333 : 0,0029219
8179-1425-7819
40
Продолжение табл.11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
40000 : 0,8203209 : 0,8191500 : 0,0011709
260000 : 0,8424564 : 0,8437385 : 0,0012821
50000 : 0,8232809 : 0,8207200 : 0,0025609
270000 : 0,8428467 : 0,8434852 : 0,0006385
60000 : 0,8256280 : 0,8210000 : 0,0046280
280000 : 0,8432211 : 0,8439786 : 0,0007575
70000 : 0,8275643 : 0,8255286 : 0,0020357
290000 : 0,8435806 : 0,8443759 : 0,0007953
80000 : 0,8292072 : 0,8264845 : 0,0027197
300000 : 0,8439263 : 0,8453033 : 0,0013770
90000 : 0,8306306 : 0,8283000 : 0,0023306
310000 : 0,8442593 : 0,8456548 : 0,0013955
100000 : 0,8318839 : 0,8292300 : 0,0026539
320000 : 0,8445803 : 0,8451781 : 0,0005978
110000 : 0,8330018 : 0,8317727 : 0,0012291
330000 : 0,8448902 : 0,8466091 : 0,0017189
120000 : 0,8340094 : 0,8318333 : 0,0021761
340000 : 0,8451897 : 0,8461676 : 0,0009779
130000 : 0,8349257 : 0,8323308 : 0,0025949
350000 : 0,8454794 : 0,8457314 : 0,0002520
140000 : 0,8357650 : 0,8324429 : 0,0033221
360000 : 0,8457599 : 0,8467306 : 0,0009707
150000 : 0,8365388 : 0,8347267 : 0,0018121
370000 : 0,8460317 : 0,8461189 : 0,0000872
160000 : 0,8372560 : 0,8350000 : 0,0022560
380000 : 0,8462954 : 0,8460974 : 0,0001980
170000 : 0,8379241 : 0,8362059 : 0,0017182
390000 : 0,8465513 : 0,8462282 : 0,0003231
180000 : 0,8385489 : 0,8374556 : 0,0010933
400000 : 0,8468000 : 0,8466850 : 0,0001150
190000 : 0,8391355 : 0,8369316 : 0,0022039
410000 : 0,8470417 : 0,8460976 : 0,0009441
200000 : 0,8396881 : 0,8374700 : 0,0022181
420000 : 0,8472769 : 0,8466381 : 0,0006388
210000 : 0,8402103 : 0,8386714 : 0,0015389
430000 : 0,8475058 : 0,8471628 : 0,0003430
220000 : 0,8407049 : 0,8402591 : 0,0004458
440000 : 0,8477288 : 0,8472795 : 0,0004493
230000 : 0,8411748 : 0,8410217 : 0,0001531
450000 : 0,8479462 : 0,8476622 : 0,0002840
240000 : 0,8416220 : 0,8417917 : 0,0001697
460000 : 0,8481582 : 0,8473087 : 0,0008495
250000 : 0,8420486 : 0,8436720 : 0,0016234
470000 : 0,8483650 : 0,8472809 : 0,0010841
8179-1425-7819
41
Продолжение табл.11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
480000 : 0,8485670 : 0,8470146 : 0,0015524
700000 : 0,8520973 : 0,8524814 : 0,0003841
490000 : 0,8487643 : 0,8473694 : 0,0013949
710000 : 0,8522268 : 0,8528141 : 0,0005873
500000 : 0,8489571 : 0,8473320 : 0,0016251
720000 : 0,8523543 : 0,8529778 : 0,0006235
510000 : 0,8491456 : 0,8474333 : 0,0017123
730000 : 0,8524798 : 0,8528000 : 0,0003202
520000 : 0,8493300 : 0,8483788 : 0,0009512
740000 : 0,8526034 : 0,8527784 : 0,0001750
530000 : 0,8495104 : 0,8487415 : 0,0007689
750000 : 0,8527251 : 0,8534227 : 0,0006976
540000 : 0,8496870 : 0,8485796 : 0,0011074
760000 : 0,8528450 : 0,8533395 : 0,0004945
550000 : 0,8498600 : 0,8488818 : 0,0009782
770000 : 0,8529632 : 0,8532662 : 0,0003030
560000 : 0,8500295 : 0,8490893 : 0,0009402
780000 : 0,8530796 : 0,8536474 : 0,0005678
570000 : 0,8501956 : 0,8487947 : 0,0014009
790000 : 0,8531944 : 0,8539000 : 0,0007056
580000 : 0,8503585 : 0,8487466 : 0,0016119
800000 : 0,8533076 : 0,8539263 : 0,0006187
590000 : 0,8505183 : 0,8488898 : 0,0016285
810000 : 0,8534192 : 0,8539469 : 0,0005277
600000 : 0,8506750 : 0,8493467 : 0,0013283
820000 : 0,8535292 : 0,8538707 : 0,0003415
610000 : 0,8508288 : 0,8495885 : 0,0012403
830000 : 0,8536378 : 0,8541181 : 0,0004803
620000 : 0,8509798 : 0,8501306 : 0,0008492
840000 : 0,8537449 : 0,8542107 : 0,0004658
630000 : 0,8511281 : 0,8503794 : 0,0007487
850000 : 0,8538506 : 0,8543765 : 0,0005259
640000 : 0,8512738 : 0,8510141 : 0,0002597
860000 : 0,8539549 : 0,8544105 : 0,0004556
650000 : 0,8514169 : 0,8512185 : 0,0001984
870000 : 0,8540578 : 0,8543126 : 0,0002548
660000 : 0,8515576 : 0,8509485 : 0,0006091
880000 : 0,8541594 : 0,8549920 : 0,0008326
670000 : 0,8516959 : 0,8512672 : 0,0004287
890000 : 0,8542597 : 0,8553067 : 0,0010470
680000 : 0,8518319 : 0,8522485 : 0,0004166
900000 : 0,8543588 : 0,8551144 : 0,0007556
690000 : 0,8519657 : 0,8524043 : 0,0004386
910000 : 0,8544567 : 0,8555154 : 0,0010587
8179-1425-7819
42
Продолжение табл.11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
920000 : 0,8545533 : 0,8558087 : 0,0012554
1140000 : 0,8564238 : 0,8568175 : 0,0003937
930000 : 0,8546488 : 0,8560054 : 0,0013566
1150000 : 0,8564990 : 0,8569252 : 0,0004262
940000 : 0,8547431 : 0,8560319 : 0,0012888
1160000 : 0,8565735 : 0,8570448 : 0,0004713
950000 : 0,8548364 : 0,8556453 : 0,0008089
1170000 : 0,8566472 : 0,8570786 : 0,0004314
960000 : 0,8549285 : 0,8556094 : 0,0006809
1180000 : 0,8567202 : 0,8573373 : 0,0006171
970000 : 0,8550195 : 0,8556742 : 0,0006547
1190000 : 0,8567926 : 0,8573126 : 0,0005200
980000 : 0,8551095 : 0,8557337 : 0,0006242
1200000 : 0,8568642 : 0,8573258 : 0,0004616
990000 : 0,8551985 : 0,8559273 : 0,0007288
1210000 : 0,8569352 : 0,8572694 : 0,0003342
1000000 : 0,8552865 : 0,8560600 : 0,0007735
1220000 : 0,8570056 : 0,8576066 : 0,0006010
1010000 : 0,8553735 : 0,8558842 : 0,0005107
1230000 : 0,8570753 : 0,8575398 : 0,0004645
1020000 : 0,8554596 : 0,8562490 : 0,0007894
1240000 : 0,8571443 : 0,8574734 : 0,0003291
1030000 : 0,8555447 : 0,8562583 : 0,0007136
1250000 : 0,8572128 : 0,8573408 : 0,0001280
1040000 : 0,8556288 : 0,8562577 : 0,0006289
1260000 : 0,8572806 : 0,8573071 : 0,0000265
1050000 : 0,8557121 : 0,8562743 : 0,0005622
1270000 : 0,8573478 : 0,8574693 : 0,0001215
1060000 : 0,8557945 : 0,8566708 : 0,0008763
1280000 : 0,8574145 : 0,8574953 : 0,0000808
1070000 : 0,8558760 : 0,8566850 : 0,0008090
1290000 : 0,8574805 : 0,8575767 : 0,0000962
1080000 : 0,8559567 : 0,8570481 : 0,0010914
1300000 : 0,8575460 : 0,8574385 : 0,0001075
1090000 : 0,8560366 : 0,8569294 : 0,0008928
1310000 : 0,8576110 : 0,8576969 : 0,0000859
1100000 : 0,8561156 : 0,8569218 : 0,0008062
1320000 : 0,8576754 : 0,8577811 : 0,0001057
1110000 : 0,8561938 : 0,8569396 : 0,0007458
1330000 : 0,8577392 : 0,8578248 : 0,0000856
1120000 : 0,8562713 : 0,8567955 : 0,0005242
1340000 : 0,8578025 : 0,8578888 : 0,0000863
1130000 : 0,8563479 : 0,8568088 : 0,0004609
1350000 : 0,8578653 : 0,8582430 : 0,0003777
8179-1425-7819
43
Продолжение табл.11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
1360000 : 0,8579275 : 0,8583353 : 0,0004078
1580000 : 0,8591807 : 0,8591658 : 0,0000149
1370000 : 0,8579893 : 0,8585234 : 0,0005341
1590000 : 0,8592330 : 0,8591245 : 0,0001085
1380000 : 0,8580505 : 0,8586681 : 0,0006176
1600000 : 0,8592849 : 0,8593019 : 0,0000170
1390000 : 0,8581113 : 0,8586295 : 0,0005182
1610000 : 0,8593364 : 0,8593913 : 0,0000549
1400000 : 0,8581716 : 0,8586629 : 0,0004913
1620000 : 0,8593876 : 0,8596179 : 0,0002303
1410000 : 0,8582313 : 0,8589156 : 0,0006843
1630000 : 0,8594384 : 0,8594534 : 0,0000150
1420000 : 0,8582907 : 0,8589049 : 0,0006142
1640000 : 0,8594888 : 0,8593494 : 0,0001394
1430000 : 0,8583495 : 0,8588594 : 0,0005099
1650000 : 0,8595390 : 0,8594473 : 0,0000917
1440000 : 0,8584079 : 0,8589806 : 0,0005727
1660000 : 0,8595887 : 0,8595578 : 0,0000309
1450000 : 0,8584658 : 0,8586186 : 0,0001528
1670000 : 0,8596382 : 0,8595539 : 0,0000843
1460000 : 0,8585233 : 0,8586801 : 0,0001568
1680000 : 0,8596873 : 0,8596774 : 0,0000099
1470000 : 0,8585804 : 0,8587707 : 0,0001903
1690000 : 0,8597361 : 0,8597663 : 0,0000302
1480000 : 0,8586370 : 0,8589568 : 0,0003198
1700000 : 0,8597846 : 0,8598082 : 0,0000236
1490000 : 0,8586932 : 0,8588470 : 0,0001538
1710000 : 0,8598327 : 0,8598497 : 0,0000170
1500000 : 0,8587490 : 0,8588853 : 0,0001363
1720000 : 0,8598806 : 0,8599465 : 0,0000659
1510000 : 0,8588043 : 0,8589848 : 0,0001805
1730000 : 0,8599281 : 0,8600468 : 0,0001187
1520000 : 0,8588593 : 0,8589678 : 0,0001085
1740000 : 0,8599753 : 0,8602586 : 0,0002833
1530000 : 0,8589138 : 0,8590627 : 0,0001489
1750000 : 0,8600223 : 0,8603137 : 0,0002914
1540000 : 0,8589680 : 0,8591006 : 0,0001326
1760000 : 0,8600689 : 0,8604125 : 0,0003436
1550000 : 0,8590218 : 0,8591290 : 0,0001072
1770000 : 0,8601152 : 0,8604141 : 0,0002989
1560000 : 0,8590751 : 0,8593231 : 0,0002480
1780000 : 0,8601613 : 0,8604893 : 0,0003280
1570000 : 0,8591281 : 0,8591987 : 0,0000706
1790000 : 0,8602070 : 0,8606944 : 0,0004874
8179-1425-7819
44
Продолжение табл.11
Продолжение табл.11
----------------------------------------------------------k :
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------k
:
k
:
gk
: k  gk
-----------------------------------------------------------
1800000 : 0,8602525 : 0,8607594 : 0,0005069
1830000 : 0,8603872 : 0,8609038 : 0,0005166
1810000 : 0,8602977 : 0,8607845 : 0,0004868
1840000 : 0,8604316 : 0,8609554 : 0,0005238
1820000 : 0,8603426 : 0,8609121 : 0,0005695
1840160 : 0,8604323 : 0,8609762 : 0,0005439
-----------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------
Погрешность приближенного представления функции gk составляет:
для 30  k  300
k  gk  0,1526;
для 300  k  7150
k  gk  0,0646;
для 7150  k  10500
k  gk  0,0279;
для 10500  k  28500
k  gk  0,0100;
для 28500  k  139000
k  gk  0,0067;
для 139000  k  600000
k  gk  0,0035;
для 600000  k  1120000
для 1120000  k  1840160
k  gk  0,0017;
k  gk  0,0008 (см. табл.11).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции gk в виде
1
gk  1  ,
(ln k)  c + d
k  30,
(16)
где c = 2,3937; d = 1,138592734.
Формула (16) дает возможность установить важное свойство функции gk. При больших k
1
1
величина  ничтожна по сравнению с 1; lim  = 0 и мы получаем
(ln k)  c+ d
(ln k)  c+ d
асимптотическое равенство
gk  1.
8179-1425-7819
(17)
45
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 5. Отношение числа пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда
[pk + 1, 2pk+1 – 1] к числу пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [1, pk],
где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответственно, при k 
стремится к пределу, равному 1.
Следствие 2. Число пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда
[pk + 1, 2pk+1 – 1], где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответственно, при k  стремится к бесконечности.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1966. –С. 384
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. –С. 464
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 1975. –С. 199
8179-1425-7819
46