Задания для подготовки к обучению в 8 математическом классе

В 8 мат класс
Вариант 1.1.
1. Какому из чисел соответствует точка координатной прямой, менее удаленная
от точки М(-1) -1,254 и -1:1,254?

х
х2  8
1   х2
2 

   2
 .
2. Упростите выражение:  2
 3


х

2
2

х
х

2
х

4
х

8
х

4

 

3. Докажите, что число 10001000-1 является составным. Укажите не менее пяти его
делителей.
4. Вычислите: а) 9999
...
33  11 .

....

9  22 ; б) 333



100 раз
100 раз
5. Собрали 100 кг грибов влажность которых составила 99%. Когда грибы
подсушили их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса?
6. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч .Если он увеличит
скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км больший, чем
расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.
7. Решите уравнение: (х2-9х):6 +(х:2 +1)(2-х:5) = (1+х)2:15. Сравните корень
1
уравнения с числом 2 .
3
8. Найдите все такие двузначные натуральные числа, что при перестановке цифр в
нем это число: а) увеличивается на 9; б) уменьшается на 63; в) увеличивается на
75%.
9. На сторонах АС и ВС ΔАВС отмечены точки К и М соответственно так, что
биссектриса угла С делит отрезок МК пополам; ВМ:МС = 2:3, КС:АК = 1:2,
АС=7 см. Найдите МС.
10. Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между биссектрисами двух
других углов.
11. В треугольнике АВС угол С равен 70. Через точку F стороны АВ проведены
лучи перпендикулярно биссектрисам углов А и В, пересекающие стороны АС и
ВС в точках Р и Т. Найдите угол РFТ.
В 8 мат класс
Вариант 1.2.
1. Какому из чисел соответствует точка координатной прямой, более удаленная от
117
117
точки М(-4) и 1: ()?
26
26
 1
6а  4  а 2
2  а  а 3  4а 2  8а  8
∙
2. Упростите выражение: 


х3  8
а 2  2а  4  4  4а  а 2  а
2а
3. Докажите, что число 555
...
553 : 3 является составным. Укажите один из его



1992 раза
делителей.
4. Вычислите: а) 9999
...
99 : 99 .

....

9  222
...
2 ; б) 999



100 раз
100 раз
100 раз
5. Собрали 100 кг ягод. После сортировки 60% собранных ягод были отправлены в
магазин для продажи. В магазине 11% поступивших ягод испортилось, поэтому
они не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано?
6. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя 1 ч вслед за ним вышла
легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса.
Машина обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впереди
него на 70 км. Найдите скорость автобуса.
7. Решите уравнение: (х + 1)∙х:3 – (х:4 –1)(2 + х) = (-х:3)∙(9-х):4. Сравните корень
1
уравнения с числом  1 .
3
8. Вычислите: а) (2+1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) – 216;
б)
17,312  0,19 2  12,69 2  29,812
.
1
3
3
(0,87  2,13 )  3  0,87  2,13
3
9. Наибольший угол треугольника в три раза больше его наименьшего угла. Из
вершины наибольшего угла проведены высота и биссектриса, образовавшие
угол в 25. Найдите углы треугольника.
В 8 мат класс
Вариант 2.1.
1. Вычислите: (2у-z):(3х + у + z), если х:у:z = 2:3:4.
2. Сравните два числа –19172 + 19132 и -19992 + 19912. Укажите наибольший
общий делитель этих чисел.
 х  2у
у
3. Упростить:  3
 3
3
2
х  х у  ху 2
х у
 х2  у2
2у2
 : 3

2
х 3  х 2 у  ху 2  у 3
 х  ху
4. Решите уравнение: ((4 – 7х)2 – 1,45)2 = 0,0576.
5. При каких натуральных значениях n выражение
3 n 1
n2
является целым числом?
6. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% массы. Сколько килограммов
ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения?
7. Бассейн заполняется водой, поступающей из 2 труб. Одна труба может
наполнить бассейн за 12 часов, а другая – за 20ч. За сколько часов заполнится
бассейн двумя трубами, работающими одновременно.
8. В Δ АВС (АВ ≠ ВС), угол А равен 50, угол С равен 40. На продолжении
медианы ВЕ за точку Е отмечена точка К так, что ВЕ = КЕ, а на продолжении
высоты ВН за точку Н – точка N так, что ВН = ВN. Найдите угол КСN.
9. (гор. 1.167) Через точку А окружности с центром О проведены диаметр АВ и
хорда АС. Докажите, что угол ВАС вдвое меньше угла ВОС.
10. (гор.1.91)Внешние углы ΔАВС при вершинах А и С равны 115 и 140. Прямая,
параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N.
Найдите углы треугольника ВМN.
11. (г.1.117) Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между высотами,
проведенными из вершин двух других углов.
12. (г. 1.118) Высоты остроугольного Δ АВС , проведенные из вершин А и В
пересекаются в точке Н, причем угол АНВ равен 120. Биссектрисы,
проведенные из вершин В и С, пересекаются в точке К, причем угол ВКС равен
130. Найдите угол АВС.
В 8 мат класс
Вариант 2.2
1. Вычислите: (х + 2у-z):(2х + 3z), если х:у:z = 1:3:5.
2. Сравните два числа 19192 - 19932 и 19172 - 19912. Укажите наименьшее общее
кратное этих чисел.
1
1

 b2  c2  a2  b  a  c
 :
3. Упростите выражение: а b  c  1 
, вычислите его
1
1 
2bc
abc


a bc
значение при а = 1,2, b = 0,5, с = 1,3.
4. Решите уравнение: ((2,2х - 9,23)2 – 2,26)2 = 0,09.
5. При каких натуральных значениях n выражение
2 n 3
n 1
является целым числом?
6. При добавлении воды к раствору его объём увеличился на 42% и стал равным
71 л. определите первоначальный объём раствора.
7. Вода, поступающая в первую трубу может его наполнить за 6 ч, а вода,
вытекающая из второй трубы, может его опорожнить за 15 ч. За сколько часов
наполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно?
8. (гор.1.61) Две высоты треугольника равны между собой. Докажите, что
треугольник равнобедренный.
9. (гор.1.62) Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин В и С,
пересекаются в точке М.Известно, что ВМ = СМ. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
10. Три окружности, две из которых имеют равные радиусы, касаются друг друга
внешним образом. Найдите углы треугольника с вершинами в центрах этих
окружностей, если один из углов треугольника с вершинами в точках касания
равен 80.
11. (гор. пр.3) Докажите, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными из
одной вершины, равен полуразности двух других его углов.
В 8 мат класс
Вариант 3.1.
1. (2.305.а) Найдите среднее арифметическое чисел А и В, если А =
158 2  158  185  185 2
158 2  158  185  185 2
иВ=
158  185
185  158
2. (0.62) Представьте число 888778∙888776 + 1
натуральных чисел, больших единицы.
в виде произведения двух
 8х  3 5х  2 
 8х  3 5х  2 


3. Решите уравнение: а) 3  
 
 .
2 
2 
 11
 11
2
3
б) (х – 2)3 – х(7-х)2 – 2(1 + 2х)2 = 35.
4. (0.70) Пусть 5х–3у = 0. Найдите значение выражения
25х2 + 9у2 + 70х – 42у – 30ху – 1.
5. (0.07)Десятичная запись числа Х состоит из ста семерок. Найдите остаток от
деления числа Х на: а) 77; б) 777; в) 7 777 777; г) 777
...
77 .



32 раза
6. (г.1.43) В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г ее 10% -ного раствора.
Определите концентрацию полученного раствора.
7. (1.621.а) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель
ответил: «Пятерок больше, чем двоек, на 3, троек на 1 меньше, чем четверок, а
четверок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько учеников получили пятерки и
сколько четверки, если в классе 32 ученика?
8. (гор.1.65) Через вершины А и С ΔАВС проведены прямые, перпендикулярные
биссектрисе угла АВС и пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М
соответственно. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1. Рассмотрите разные случаи.
9. (гор.1.89)Через вершину В ΔАВС проведена прямая, параллельная прямой АС.
Образовавшиеся при этом три угла с вершиной В относятся как 3:10:5. Найдите
углы ΔАВС.
10. (г.1.123) Угол при вершине В равнобедренного ΔАВС равен 108.
Перпендикуляр к биссектрисе АD этого треугольника, проходящий через точку
D, пересекает сторону АС в точке Е. Докажите, что DЕ = ВD.
В 8 мат класс
Вариант 3.2.
288  224
288  288  224  224 2
1 1 1 1 
   .
Найдите Х такое, что
Х 2 А В
1. (2.305.б) Пусть А =
2
и
В =
288  224
.
288  288  224  224 2
2
2. (0.63) Представьте число 888 ∙ 889 ∙ 890 ∙ 891 + 1 в виде произведения двух
натуральных чисел, больших единицы.
 5  7 х 5х  1 
 5  7 х 5х  1 


3. Решите уравнение: а) 
  4
 .
4 
4 
 6
 6
4
3
б) (а + 10)( а- 2)2 – (а – 4)3 = 2(3а – 10)2 - 168
4. Пусть а + b = 7, а∙b = 2. Найдите: а) а∙b2 + а2∙b; б) a2 + b2; в) a3 + b3.
5. (0.06) Десятичная запись числа N состоит из ста пятерок, а числа K из ста троек.
Найдите: а) N: 5; б) К: 33; в) N: 5555 – К:3333.
6. (г.1.44) Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной уксусной
эссенции, чтобы получить 5%-ный раствор уксуса?
7. (1.621.б)На выставке кошек были представлены кошки сибирской, ангорской,
персидской и сиамской пород. Сиамских кошек было в 2 раза больше, чем
ангорских, персидских было в 1,5 раза больше, чем сиамских, а сибирских было
на 13 меньше, чем персидских. Сколько кошек каждой породы, если всего было
выставлено 77 кошек?
8. (гор.1.41)Прямая, проведенная через вершину А Δ АВС перпендикулярно его
медиане ВD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон АВ и АС.
9. (гор. 1.112) ВК – биссектриса треугольника АВС. Известно,
АКВ : СКВ = 4:5. Найдите разность углов А и С треугольника.
что
10. Два угла треугольника равны 10 и 70. Найдите угол между высотой и
биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла.
В 8 мат класс
Вариант 4.1.
1. (р.2.301) Найдите число, если 25% его равны
(81,624 : 4,8  4,505) 2  125  0,75
.
((0,44 2 : 0,88  3,53) 2  2,75 2 ) : 0,52
2. Решить уравнение: (2х + 7)(3х – 1) – (5х – 1)(х + 3) = (х + 1)2.
3. (р.2.354) Докажите, что число 2∙19952 + 9∙1995∙1999 + 4∙19992
Укажите несколько его делителей.
составное.
4. Упростите выражение и найдите его значение при заданных а и b:
(а2 – 5аb + 3b2)( а2 – 2аb) – ( а3 – 6ab + b)(а + 7b + b2),
5. (1.24) Пусть а +
а) а2 +
1
;
а2
а = 2/11, b = 2/101.
1
= 3. Найдите:
а
б) (а4 + 1):(2а2);
в) (а8 + 1):(а4);
г) а3 +
1
.
а3
6. Разложите на множители многочлен (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 и найдите
3
2
5
значение выражения при а =
,b=- ,c=
.
11
7
13
7. (р.2.347`) Найдите
9х2 – у2 = 5.
все пары целых чисел, удовлетворяющих условию
8. (м. 1210) Написали двузначное число. Затем к нему слева и справа приписали
цифру 2. Получилось число, которое в 32 раза больше написанного двузначного
числа. Найдите это двузначное число.
9. (р. 1.626) У Вити было на 10р. больше денег, чем у Маши. Когда Витя потратил
половину своих денег, у него стало на 15 р. меньше, чем у Маши. Сколько денег
было у Маши и Вити вместе первоначально?
10. (г.1.105) Угол при основании ВС равнобедренного ΔАВС в 2 раза больше угла
при вершине А, ВD – биссектриса треугольника. Докажите, что АD = ВС.
11. (г.1.211) Точки А, В, С, D последовательно расположены на окружности,
Причем центр О расположен внутри четырехугольника АВСD. Точки К, L, M, N
– середины отрезков АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что сумма
углов КОN и MOL равна 180.
12. (г.1.101) некоторая прямая пересекает параллельные прямые а и b в точках А и
В соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной В
пересекает прямую а в точке С. Найдите АС, если АВ = 1.
[Δ ВCC1, АВ - медиана]
В 8 мат класс
Вариант 4.2.
1. (р.2.301) Найдите число, если 12, 5% его равны
((5,2 2 : 2,6  8,1) 2  6,5 2 ) : 0,025
(60,192 : 2,4  1,08) 2  0,24  1400
2. Решить уравнение: (х – 2)3 + (х + 2)3 = 2(х – 3)(х2 + 3х + 9).
3. (р2.354) Докажите, что число 4∙19962 + 8∙1996∙1997 + 3∙19972
Укажите несколько его делителей.
составное.
4. Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях х и у:
(7х3у2 – ху + 2)(-2х2у2 + 5ху -1) – ( у4 – 6х3 у2 + 1)(-7х5 + ху + х2у2), х=0,5, у = -1.
5. Пусть 5х–3у = 0. Найдите значение выражения 10х 2 - ху - 3у2 + 2.
6. Разложите на множители многочлен х∙у2 + у∙z2 + z∙x2 - x∙z2 – y∙x2 – z∙y2 и найдите
7
3
4
значение выражения при а = - , b = - , c =
.
13
7
11
7. (р.2.347) Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих условию х2 – у2 = 4.
8. (м.1211) Четырехзначное число заканчивается цифрой 4. Если эту цифру
переставить в начало числа, то число уменьшится на 1107. Найдите такое
четырехзначное число.
9. (р.1.626) У Толи и Гриши вместе было 100 р. После того, как каждый из них
потратил половину своих денег, у Гриши стало на 10 р. больше, чем и Толи.
Сколько денег было у каждого первоначально?
10. (г.1.210`) Биссектрисы ΔАВС пересекаются в точке Р, а биссектрисы внешних
углов с вершинами В и С пересекаются в точке Q. Найдите углы РВQ и РСQ.
11. (г.1.127) Равные отрезки АВ и CD пересекаются в в точке К. Известно, что
АС║ВD. Докажите, что треугольники АКС и ВКD равнобедренные.
12. (г.1.132) Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего
угла про вершине С ΔАВС пересекаются в точке М. Найдите угол ВМС, если
угол ВАС равен 40.
В 8 мат класс
Вариант 5.1.
1. (0.64)Вычислите
2
2


 


 1 4 2  1 6 2  1 ..... 2000 2  1 2002 2  1
12  32  5 2  7 2  ....  1999 2  20012 
2. (р.2.304) Сравните значения выражений, не пользуясь МК:
1916 и 188∙189∙190∙192∙193∙194.
3. Решите уравнение: а) 49(х – 1)2 + 14(х – 1) + 1 = 0
б) (12 + х) (х2 + 1) – (х + 4)3 = 89.
4. (г.2.18) Разложите на множители х3 + у3 + z3 - (х + у + z)3
5. (р.2.302)Найдите положительное число, если 45% от него составляют столько
же, сколько составляют 20% от числа ему обратного.
6. Пусть х + у = 6. Докажите, что х2 + у2 = 2(18 – ху).
7. (р.2.369) Найдите наибольший общий делитель чисел 111
...
11 и 222
...
22 .






100 раз
50 раз
8. (0.12) Выписаны все целые числа, удовлетворяющие условию 25 ≤ n ≤ 425.
Определите: а) сколько целых чисел выписали?
б) сколько выписали чисел, начинающихся с цифры 3?
в) сколько выписали чисел, оканчивающихся нулем?
г) сколько выписали чисел, записанных при помощи одной цифры
(напр. 222 или 33)?
д) сколько раз записали цифру 2?
9. (р.1.610) Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, он
пройдет путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он затратил на 30 мин
меньше. Найдите длину пути.
10. (г.1.110) Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение
боковой стороны АВ равнобедренного ΔАВС в точках К, L, М соответственно..
При этом треугольники СКL и ВМL также равнобедренные. Найдите их углы.
11. (г. 1.131) На сторонах АС и ВС равностороннего ΔАВС построены внешним
образом равнобедренные прямоугольные треугольники АСN и ВСМ с прямыми
углами при вершинах А и С соответственно. Докажите, что ВМ  ВN.
В 8 мат класс
Вариант 5.2.
2 1
3 2
4 3
 11 10 
3 :     5 :     7 :     .....  21 :    .
1 2
2 3
3 4
 10 11 
Попытайтесь установить закономерность и обобщить полученный результат.
1. (0.09)
Вычислите
2. (р.2.304)
Сравните
значения
278942 + 6182 и 278952+6172.
выражений,
не
пользуясь
МК:
3. (ч. 9) Решите уравнение: а) (х – 7)2 - (х – 1)2 = 50 – 13х.
 6 х 1
х 3 х
1 


3  2

2
4
 3
б) х 
2
2
4. (г.2.16) Разложите на множители х(y + z)2 + у(x + z)2 + z(x + y)2 -4хуz.
5. (р.2.302)Найдите положительное число, если 27% от него равны 90% от его
квадрата.
6. Пусть х - у = 1. Докажите, что х3 – у3 = 1 + 3ху.
7. (р.2.369) Найдите наименьшее общее кратное чисел 111
....
11 и 333
...
33 .






150 раз
50 раз
8. (0.12) Выписаны все целые числа, удовлетворяющие условию 34 ≤ n ≤ 378.
Определите: а) сколько целых чисел выписали?
б) сколько выписали чисел, начинающихся с цифры 5?
в) сколько выписали чисел, оканчивающихся нулем?
г) сколько выписали чисел, записанных при помощи одной цифры
(напр. 222 или 33)?
д) сколько раз записали цифру 3?
9. Докажите, что число 817 – 279 – 913 кратно 45.
10. (р.1.610) Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за
7 ч. Через 6 ч после отправления он снизил скорость на 10 км/ч, поэтому в
конечный пункт пришел с опозданием на 10 мин. Найдите первоначальную
скорость поезда.
11. (мак.7.548) Для малярных работ бригада закупила несколько банок краски. В
первый день израсходовали половину купленных банок и еще одну банку, а во
второй день – 2/3 того, что было израсходовано в первый. Сколько банок было
куплено, если известно, что две банки остались неизрасходоанными?
12. (г.1.130) На стороне АВ квадрата АВСD построен равносторонний ΔАВМ.
Найдите угол DМС.
13. (гор.1.125) В треугольнике АВС угол А равен 60, а биссектриса угла А,
медиана, проведенная из вершины В, и высота, проведенная из вершины С,
пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника.
В 8 мат класс
Вариант 6.1.
1. Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числам
36 3  15 2
и
18 4  10 3
3 48  3 47  17  3 46
.
2715  23
2. Докажите, что многочлен 2х2 + 2у2 + 13z2 – 2xy + 4xz – 6yz принимает
неотрицательные значения при любых численных значениях входящих в него
букв.
3. Решите уравнение : (х2 + х – 6) (х2 - 4х +3) - (х2 - 2х – 15) (х2 - х – 6) = 0.
х5  х3 у 2  х2 у3  у5
4. Сократите дробь
, и найдите ее значение при х =│-0,25│,
у3  х3
у = │1,05│.
5. Вычислите: а) 2379∙23782378 – 2378∙23792379;
б) 155∙156156 – 159∙158158.
6. (р.2.353) Докажите, что число 415 - 216 + 1 составное. Укажите несколько его
делителей.
7. (р.0.16) Найдите число, которое при делении на 85 дает в остатке 23, а в
неполном частном 13.
8. (г.2.68) Известно, что
4b  a
a 3  3ab 2
 2 . Найдите
.
5a  7b
4a 2 b  3b 3
9. (р.1.614) Определите первоначальную стоимость продукта, если после
подорожания соответственно на 120%, 200% и 100% его конечная стоимость
составила 264 р.
10. На соревнованиях по гребле спортсмен 10 мин шел на лодке вниз по течению
реки. На обратный путь против течения он затратил 30 мин. Найдите
собственную скорость лодки (км/ч), если скорость течения реки равна 2 км/ч.
11. (гор.1.99)Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон
равнобедренного треугольника, параллельна основанию.
В 8 мат класс
Вариант 6.2.
1. Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числам
253  14 2
и
49  10 6
7 40  7 38  2  7 39
.
6 2  4919
2. Докажите, что многочлен 3а2 + 3b2 + 3c2 – 2ab – 2ac – 2bc принимает
неотрицательные значения при любых численных значениях входящих в него
букв.
3. Решите уравнение : (х2 + х – 6) (х2 - 2х - 8) + (10 + 3х - х2) (х2 + 2х – 8) = 0.
2
27  27 р 2  р 3  р 5
4. Сократите дробь
, и найдите ее значение при р =  .
3
7
р  27
5. Вычислите: 4
2
5
88 151
5
 2 7
7
∙6
.
91 156
91 156
156
6. Докажите, что число 413 - 56 составное. Укажите несколько его делителей.
7. (г.2.68) Известно, что
4b  a
3a 2  2ab  b 2
 3 . Найдите
.
5a  6b
5a 2  2b 2
 х2  х
х 1
1  4  х2
 :
8. (з.17.в7) Упростите:  3


2
х

1
х

1
х

(
х

1
)

 х 1
9. (р.1.126) Сравните числа и укажите какое-либо число, заключенное между
 11 
 11 
ними: (1: 1  )2 - (1: 1  )3 и (0,56)2 – (0,56)3.
 13 
 13 
10. Докажите, что число 5·712 – 5 кратно 30.
11. (р.1.614) Предприниматель купил акции и через год продал их по номинальной
стоимости, получив прибыль, причем полученная сумма составила 11 500 р.
Сколько акций было куплено предпринимателем, если прибыль составила 15%
от стоимости акции и равна 150 р?
12. Расстояние между А и В велосипедист может проехать на 5 ч 20 мин быстрее
пешехода. Скорость велосипедиста 12 км/ч, а пешехода – составляет одну треть
от скорости велосипедиста. За какое время велосипедист проедет путь от А до
В?
13. (гор.1.92) Через точку М, лежащую внутри угла с вершиной А, проведены
прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках В и
С. Известно, что угол АВС равен 50, а угол, смежный с углом АМС, равен 40.
Найдите углы треугольников ВМС и АВС.
14. Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС). Отрезок АМ делит его на два
равнобедренных треугольника с основаниями АВ и МС. Найдите угол В.
15. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 2 и 3.
Найдите угол между: а) биссектрисами равных углов; б) высотами неравных
углов.
В 8 мат класс
Вариант 7.1.
1 1
 2
1. Вычислить: │(17,312 + 0,192 – 12,692 – 29,812 │ - │ 10  5  : 3 │
3 3
 3
2. Разложите многочлены на множители и найдите все значения х, при которых
оба многочлена принимают значение нуль: х 3 – 4х2+5х – 2 и х3 – х2-х +1.
3. (л.554) Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях
переменной: (х + 2)3 - х(3х + 1)2 + (2х + 1)(4х2 – 2х +1), при х = 0,21.
Найдите расстояние между
точкой, изображающей число, обратное
полученному,
и точкой, изображающей число, противоположное
полученному.
4. (р.355) Докажите, что число, записанное семью единицами и четырьмя
пятерками, взятыми в произвольном порядке, является составным.
5. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами делится на 3,
на 7, на 11, на 13, на 37.
6. Число при делении на 1267 дает и в неполном частном, и в остатке 387.
Найдите остаток от деления этого числа на 1268.
7. (0.31) Известно, что курс доллара по отношению к рублю ежегодно возрастает
на 25%. На сколько процентов падает курс рубля к доллару при этих условиях?
8. (р.0.06) Пусть десятичная запись числа А состоит из ста пятерок, а числа В из
ста
троек.
Найдите
десятичную
запись
чисел:
а) А + В;
б) А:5;
в) А:5555 – В: 3333.
9. (м.520.)Из поселка на станцию, удаленную на 27 км, отправились
одновременно пешеход и велосипедист, причем скорость пешехода была на 10
км/ч меньше скорости велосипедиста. Прибыв на станцию, велосипедист сразу
повернул обратно и встретил пешехода через 2 ч 24 мин после его выхода из
поселка. На каком расстоянии от поселка произошла встреча?
10. (р.г.к-2.8кл) Через точку К, лежащую на стороне АВ АВС, проведена прямая
параллельно биссектрисе угла А. Эта прямая пересекает продолжение стороны
АС за точку А в точке М.
а) Докажите, что МА = АК.
б) Найдите углы АВС, если угол КМА равен 15, а углы В и С АВС
пропорциональны числам 2 и 3 соответственно.
В 8 мат класс
Вариант 7.2.
1
1. Вычислить: │3 - 3 (0,873 + 2,133) + 3∙0,87∙2,13│
3
2. Разложите многочлены на множители и найдите все значения х, при которых
оба многочлена принимают значение нуль: х3 – 3х2 -9х –5 и х4 – 2х2 +1.
3. (л.554) Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях
переменной: 5х(х - 3)2 - 5(х - 1)3 + 15(х + 2)(х – 2) - 5, при х = -0,2
Найдите расстояние между
полученному,
и точкой,
полученному.
точкой, изображающей число, обратное
изображающей число, противоположное
4. (р.355) Докажите, что число, записанное восемью семерками и пятью
пятерками, взятыми в произвольном порядке, является составным.
5. Написали подряд три раза двузначное число. Найдите все делители этого числа
6. (р.0.16`) Найдите число, которое при делении на 47 дает в остатке 16, а в
неполном частном 14.
7. (р.0.17`) Число при делении на 7651 дает и в неполном частном, и в остатке
121. Найдите остаток от деления этого числа на 7652.
8. (1.084) Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, находившейся на счету
в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 1200 р. через 4 года?
9. Свежие абрикосы содержат 80% влаги, а курага (сушеные абрикосы) 20%
влаги. Сколько потребуется свежих абрикос, чтобы получить 5 кг кураги?
10. (р.0.06) Пусть десятичная запись числа А состоит из ста пятерок, а числа В из
ста
троек.
Найдите
десятичную
запись
чисел:
а) А +2·В;
б) В: 33;
в) 3·А - В.
11. (м.519) Из пункта А и пункт Б, удаленный на расстояние 130 км, выехали
одновременно автомобиль и автобус. Автомобиль, прибыв в пункт Б, сразу
повернул обратно и встретился с автобусом через 2 ч после своего выхода из
А. На каком расстоянии от Б произошла встреча, если известно, что скорость
автомобиля на 20 км/ч больше скорости автобуса?
12. Сколько картофеля завезли в магазин, если известно, что в первый день
1
продали 33% картофеля, во второй день в 1 раза больше, чем в первый, а в
3
третий – оставшиеся 9,2 т?
13. (р.г.к-2.8кл) Через вершину С АВС проведена прямая, пересекающая
продолжение стороны АВ за точку А в точке М так, что АМ = АС. Докажите,
что прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой СМ, содержит
биссектрису угла А.
14. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла,
делит его на два угла, пропорциональные числам 1 и 4.
а) Найдите углы треугольника.
б) Найдите угол между высотой, проведенной из вершины прямого угла, и
биссектрисой меньшего угла треугольника.
В 8 мат класс
Вариант 8.1.
1. (р.0.59) Вычислите рациональным способом: 444,4 2 – 555,5·333,3.
2. (р.0.56)
Упростите
выражение,
выполнив
действия
2
2
2
2
4
2 2
4
8
4 4
8
(у + ху + х ) (у - ху + х ) (у – х у + х ) (у - х у + х )
рационально
3. Решить уравнение
2
2
 х2  х  2 
х 2  х  2 х 2  х  18  х 2  х  18 
  2 
  0

 
(зив.ср17.в7) 
2
2
3
3




4. (л.992) Найдите значение выражения
3а 3  аb 2  6a 2 b  2b 3
,
9a 5  ab 4  18a 4 b  2b 5
если
b2
3
a2 1
5. (р.0.03) Вычислите: а) 0,11 – 0,58 + 4,89 – 0,42;
б) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…….- 998 + 999 – 1000;
в) 1 – (2 – (3 – (4 - …- (99 – 100))…))).
6. Докажите, что при любом
(5n + 1)2 – (5n - 1)2 кратно 20.
натуральном
n
значение
выражения
7. (ч.мн.12) Найдите все двузначные числа, которые в сумме с числом, записанном
теми же цифрами, но в обратном порядке, дают квадрат натурального числа.
8. (ник.6.851) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г 15% - ого раствора
соли, чтобы получить 10%-ый раствор?
9. На координатной прямой укажите точки, для которых расстояние до точки
М(2) в два раза больше расстояние от М до точки, изображающей число
36   4   27 
12   64
2 3
6 4
3 10
3 2
.
10. (мак.7.905) От пункта А до пункта В велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч, а
обратно он ехал со скоростью 12 км/ч и затратил на обратный путь на 1 час
больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние от А до Б.
11. (я.1) В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит
медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите
стороны треугольника, если его периметр равен 20 см.
В 8 мат класс
Вариант 8.2.
1. (р.0.59) Вычислите рациональным способом: 34,5 2 – 33,5·35,5.
2. (л.992) Найдите значение выражения
3ху 4  4 ух 4  12 х 5  у 5
,
6 х 3  3ху 2  2 х 2 у  у 3
если
1 х2
 0,5
у2
3. (р.0.03) Вычислите (1532 – 1) (1532 – 2) (1532 – 3)·…..· (1532 – 4000)
4. Решите уравнение:
2
2
 х2  х  8 
х 2  х  8 х 2  1,25 х  13  х 2  1,25 х  13 
  2 
  0

 
а) 
4
4
5
5




б) (л.553)
6(х +1)2 + 2(х – 1)(х2 + х + 1) – 2(х + 1)3 – 32 = 0
5. (р.0.04) Докажите, что разность трехзначного числа и числа, записанного теми
же цифрами в обратном порядке, есть число составное
6. На координатной прямой укажите точки, для которых расстояние до точки
N(-3) в два раза меньше расстояние от N до точки, изображающей число
14   16 
49   32 
2 7
2 3
3 2
2 4
.
7. (ник.6.854) Имеется 500 г 40%-ого раствора кислоты. Сколько воды требуется
добавить, чтобы получился 25%-ый раствор кислоты?
8. (ник.6.847) Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов
надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
9. (мак.7.814) От дома до станции фермер доехал за 30 мин. На обратном пути он
увеличил скорость на 25 км/ч и поэтому затратил на 10 мин меньше. С какой
скоростью ехал фермер от дома до станции.
10. (мак.7. 782) В трех кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза больше ткани,
чем во втором и третьем вместе. Сколько ткани в каждом куске, если во втором
на 10 м больше, чем в третьем?
11. (мак.7.827) Какой цифрой оканчивается разность квадратов двух двузначных
чисел, из которых одно оканчивается цифрой 3, а другое – цифрой 7?
12. (мак.7.825) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения
(3n + 2)2 –(3n + 1)2 кратно 3.
13. (гор.1.104) Точки М и N лежат на стороне АС АВС, причем  АВМ =  АСВ,
 СВN =  ВАС. Докажите, что  ВМN – равнобедренный.
14. (я.1) В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит
медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите углы,
которые образует медиана, проведенной к боковой стороне, с боковыми
сторонами, если угол при вершине треугольника равен 20.
В 8 мат класс
Вариант 9.1.
1. Решите уравнение х3 – 8 + (х + 2)2 – 2 = 0
2. На координатной прямой укажите точки, для которых расстояние до точки
М(2) в два раза больше расстояние от М до точки, изображающей число
36   4   27 
12   64
2 3
6 4
3 2
3 10
.
3. (ник.6.848) В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек.
Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков?
4. Расположите действительные числа в порядке возрастания:
-0,142536; -2,(7); 0,125;
5. Сравните числа: а)
0,(45)
0,1(25).
1,2456 и 1,24563;
б) 0,(23) и 0,234;
в) 1,2456 и 1,(3);
д) 0,(4) и
г) 0,545454 и 0,(54);
Для каждой пары укажите правильную несократимую дробь, расположенную
между заданными числами.
1
6. Сравните абсолютные величины чисел: а) 2,3 и 2 ;
3
б)
7. Докажите, что
1
и 0,(12)
9
в)
1
и 0,(142857);
7
г) -2
2
и –2,(67).
3
171717 1717 17


.
252525 2525 25
8. Верно ли двойное неравенство: а) 106,727272 ≤ 106,(72) ≤ 106,727273;
1
б) -0,313131 < - ≤ - 0,313132.
3
В 8 мат класс
Вариант 9.2.
1. Решите уравнение а) а4 + 4а3 + 8а2 + 16а + 16 = 0.
б)(л.553) (х + 2)(х2 – 2х + 4) – х(х – 3)(х + 3) = 26
2. (ник.6.850) Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежегодно из
расчета 40% годовых Компания Y выплачивает доход по своим акциям 1 раз в
полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги
на год?
3. Расположите действительные числа в порядке убывания:
1
;
9
0,1115; -4,7(5);
-4,7556;
1
;
8
4. Сравните числа: а) 1,426301 и 1,4263;
б) 0,(37) и 0,3704;
0,124.
в) 1,4263 и 1,(4);
д) 0,(6) и 0,(602)
г) 0,11221122 и 0,(1122);
Для каждой пары укажите правильную несократимую дробь, расположенную
между заданными числами.
5. Докажите, что
313131 3131 31


.
757575 7575 75
В 8 мат класс
Измерение отрезков и углов.
1. На
прямой
последовательно
откладываются
точки А, В, С и D, причем
АВ = ВС = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
2. На прямой последовательно откладываются точки А, В, С, D, Е и F, причем АВ =
ВС = CD = DE = ЕF. Найдите отношения AD : DF, АС : AF, BD : CF.
3. Точка М расположена на отрезке AN, а точка N — на отрезке ВМ. Известно, что
АВ = 18 и AM : МN : NB = 1 : 2 : 3 . Найдите MN.
4. На прямой выбраны три точки А, В и С, причем AВ = 1, ВС = 3. Чему может быть равно
АС? Укажите все возможности.
5. Точка В лежит на отрезке АС длиной 5. Найдите расстояние между серединами
отрезков АВ и ВС.
6. Точки А, В, С последовательно расположены на одной прямой и АВ : ВС = 3:4. Найдите
отношения АВ : АС и ВС : АВ.
7. Точка В делит отрезок АС в отношении АВ : ВС = 2: 1. Точка D делит отрезок АВ в
отношении AD : DB = 3: 2. В каком отношении точка D делит отрезок АС?
8. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от которых до
точки А больше, чем до точки В?
9. Один из смежных углов в три раза меньше другого. Найдите эти углы.
10. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
11. Луч света, исходящий из точки М, зеркально отразившись от прямой АВ в точке
С, попал в точку N. Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна
прямой АВ.(Угол падения равен углу отражения.)
12. Точка М лежит внутри угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что
угол МОС равен полуразности углов АОМ и ВОМ.
13. Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол
МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.
14. Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла.
Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также
являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180° и два
других — тоже.
15. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от
которых до точки А: а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до
точки В?
16. Даны точки А и В. Для каждой точки М, не совпадающей с точкой В и лежащей
на прямой АВ, рассмотрим отношение AM : ВМ. Где расположены точки, для
которых это отношение: а) больше 2; б) меньше 2?
В 8 мат класс
Вариант 9.2.
1. Решите уравнение а) а4 + 4а3 + 8а2 + 16а + 16 = 0.
б)(л.553) (х + 2)(х2 – 2х + 4) – х(х – 3)(х + 3) = 26
2. (ник.6.850) Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежегодно из
расчета 40% годовых Компания Y выплачивает доход по своим акциям 1 раз в
полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги
на год?
3. Расположите действительные числа в порядке убывания:
1
;
9
0,1115; -4,7(5);
-4,7556;
1
;
8
4. Сравните числа: а) 1,426301 и 1,4263;
б) 0,(37) и 0,3704;
0,124.
в) 1,4263 и 1,(4);
д) 0,(6) и 0,(602)
г) 0,11221122 и 0,(1122);
Для каждой пары укажите правильную несократимую дробь, расположенную
между заданными числами.
5. Докажите, что
313131 3131 31


.
757575 7575 75
Измерение отрезков и углов.
1. Точка М — середина отрезка АВ, а точка N — середина отрезка MB. Найдите отношения
AM : MN, BN : AM и MN : АВ.
2. Точка К отрезка АВ, равного 12 см, расположена на 5 см ближе к А, чем к В.
Найдите АК и ВК.
3. На прямой выбраны четыре точки А, В, С и D, причем АВ = 1, ВС = 2, CD = 4. Чему
может быть равно AD? Укажите все возможности.
4. Точки А, В, С расположены на одной прямой и АС : ВС = 2 : 5 . Найдите
отношения АС : АВ и ВС : АВ.
5. Один из двух смежных углов на 30° больше другого. Найдите эти углы.
6. Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол
МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.
7. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от
которых до точки А: а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до
точки В?
В 8 мат класс
?(ч.17) Решите уравнение 2
1000
– 2999 – 2998 …- 2 + х = 2х
1. а) ((4 – 7х)2 – 1,45)2 = 0,0576
б) ((2,2х - 9,23)2 – 2,26)2 = 0,09
 8х  3 5х  2 
 8х  3 5х  2 
2. а) 3  


 
 .
2 
2 
 11
 11
2
3
 5  7 х 5х  1 
 5  7 х 5х  1 
б) 


  4
 .
4 
4 
 6
 6
4
3
3. а) (х – 2)3 – х(7-х)2 – 2(1 + 2х)2 = 35
б) (а + 10)( а- 2)2 – (а – 4)3 = 2(3а – 10)2 - 168