Задания для повторения и углубления курса математики 7 класса

Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Задание 2.1.
Задание 1.1.
1. Какому из чисел соответствует точка координатной прямой, менее
удаленная от точки М(-1) -1,254 и -1:1,254?
2. Упростите выражение:

х
х 8
1   х
2 .
 2
   2

 3


 х  2х  4 х  8 х  2   х  4 2  х 
2
2
3. Докажите, что число 10001000-1 является составным. Укажите не менее
пяти его делителей.
4. Вычислите: а) 9999
...
33  11 .

....

9  22 ; б) 333



100 раз
100 раз
5. Собрали 100 кг грибов влажность которых составила 99%. Когда
грибы подсушили их влажность снизилась до 98%. Какова стала их
масса?
6. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч .Если он
увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км
больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это
расстояние.
7. Решите уравнение: (х2-9х):6 +(х:2 +1)(2-х:5) = (1+х)2:15. Сравните
1
корень уравнения с числом 2 .
3
8. Найдите все такие двузначные натуральные числа, что при
перестановке цифр в нем это число: а) увеличивается на 9; б)
уменьшается на 63; в) увеличивается на 75%.
1. Вычислите: (2у-z):(3х + у + z), если х:у:z = 2:3:4.
2. Сравните два числа –19172 + 19132 и
наибольший общий делитель этих чисел.
3. Упростить:  х  2 у 
3
 3
х у
у
х  х у  ху 2
3
2
-19992 + 19912. Укажите
 х2  у2
2у2
 : 3
 3
2
2
х  х у  ху 2  у 3
 х  ху
4. Решите уравнение: ((4 – 7х)2 – 1,45)2 = 0,0576.
5. При каких натуральных значениях n выражение
числом?
3 n 1
n2
является целым
6. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% массы. Сколько
килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого
растения?
7. Бассейн заполняется водой, поступающей из 2 труб. Одна труба может
наполнить бассейн за 12 часов, а другая – за 20ч. За сколько часов
заполнится бассейн двумя трубами, работающими одновременно.
8. В Δ АВС (АВ ≠ ВС), угол А равен 50, угол С равен 40. На продолжении
медианы ВЕ за точку Е отмечена точка К так, что ВЕ = КЕ, а на
продолжении высоты ВН за точку Н – точка N так, что ВН = ВN.
Найдите угол КСN.
9. (гор. 1.167) Через точку А окружности с центром О проведены диаметр
АВ и хорда АС. Докажите, что угол ВАС вдвое меньше угла ВОС.
9. На сторонах АС и ВС ΔАВС отмечены точки К и М соответственно
так, что биссектриса угла С делит отрезок МК пополам; ВМ:МС = 2:3,
КС:АК = 1:2, АС=7 см. Найдите МС.
10. (гор.1.91)Внешние углы ΔАВС при вершинах А и С равны 115 и 140.
Прямая, параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках
М и N. Найдите углы треугольника ВМN.
10. Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между
биссектрисами двух других углов.
11. (г.1.117) Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между
высотами, проведенными из вершин двух других углов.
11. В треугольнике АВС угол С равен 70. Через точку F стороны АВ
проведены лучи перпендикулярно биссектрисам углов А и В,
пересекающие стороны АС и ВС в точках Р и Т. Найдите угол РFТ.
12. (г. 1.118) Высоты остроугольного Δ АВС , проведенные из вершин А и В
пересекаются в точке Н, причем угол АНВ равен 120. Биссектрисы,
проведенные из вершин В и С, пересекаются в точке К, причем угол
ВКС равен 130. Найдите угол АВС.
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Задание 3.1.
Задание 4.1.
1. (2.305.а) Найдите среднее арифметическое чисел А и В, если
2
2
2
2
А = 158  158  185  185 и В = 158  158  185  185
(р.2.301) Найдите число, если 25% его равны
2.
Решить уравнение: (2х + 7)(3х – 1) – (5х – 1)(х + 3) = (х + 1)2.
3.
(р.2.354) Докажите, что число 2∙19952 + 9∙1995∙1999 + 4∙19992 составное. Укажите
несколько его делителей.
4.
Упростите выражение и найдите его значение при заданных а и b:
3b2)( а2 – 2аb) – ( а3 – 6ab + b)(а + 7b + b2), а = 2/11, b = 2/101.
5.
(1.24) Пусть а +
185  158
158  185
2. (0.62) Представьте число 888778∙888776 + 1 в виде произведения
двух натуральных чисел, больших единицы.
3. Решите уравнение: а)
 8х  3 5х  2 
 8х  3 5х  2 
3


 

11
2
2 


 11
2
3
.
б) (х – 2)3 – х(7-х)2 – 2(1 + 2х)2 = 35.
4.
(0.70) Пусть 5х–3у = 0. Найдите значение выражения
25х2 + 9у2 + 70х – 42у – 30ху – 1.
5. (0.07)Десятичная запись числа Х состоит из ста семерок. Найдите
остаток от деления числа Х на: а) 77; б) 777; в) 7 777 777; г)
777
...
77 .



г) а3 +
6.
7. (1.621.а) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе
учитель ответил: «Пятерок больше, чем двоек, на 3, троек на 1
меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек».
Сколько учеников получили пятерки и сколько четверки, если в
классе 32 ученика?
8. (гор.1.65) Через вершины А и С ΔАВС проведены прямые,
перпендикулярные биссектрисе угла АВС и пересекающие прямые
СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите АВ, если ВМ = 8,
КС = 1. Рассмотрите разные случаи.
9. (гор.1.89)Через вершину В ΔАВС проведена прямая, параллельная
прямой АС. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной В
относятся как 3:10:5. Найдите углы ΔАВС.
10. (г.1.123) Угол при вершине В равнобедренного ΔАВС равен 108.
Перпендикуляр к биссектрисе АD этого треугольника, проходящий через
точку D, пересекает сторону АС в точке Е. Докажите, что DЕ = ВD.
1
1
= 3. Найдите: а) а2 + 2 ;
а
а
б) (а4 + 1):(2а2);
(а2 – 5аb +
в) (а8 + 1):(а4);
1
.
а3
Разложите на множители многочлен (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 и найдите значение
выражения при а =
32 раза
6. (г.1.43) В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г ее 10% -ного
раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
(81,624 : 4,8  4,505) 2  125  0,75 .
((0,44 2 : 0,88  3,53) 2  2,75 2 ) : 0,52
1.
3
2
5
,b=- ,c=
.
11
7
13
7.
(р.2.347`) Найдите
9х2 – у2 = 5.
все
пары
целых
чисел,
удовлетворяющих
условию
8.
(м. 1210) Написали двузначное число. Затем к нему слева и справа приписали
цифру 2. Получилось число, которое в 32 раза больше написанного двузначного
числа. Найдите это двузначное число.
9.
(р. 1.626) У Вити было на 10р. больше денег, чем у Маши. Когда Витя потратил
половину своих денег, у него стало на 15 р. меньше, чем у Маши. Сколько денег
было у Маши и Вити вместе первоначально?
10. (г.1.105) Угол при основании ВС равнобедренного ΔАВС в 2 раза больше угла при
вершине А, ВD – биссектриса треугольника. Докажите, что АD = ВС.
11. (г.1.211) Точки А, В, С, D последовательно расположены на окружности, Причем
центр О расположен внутри четырехугольника АВСD. Точки К, L, M, N –
середины отрезков АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что сумма углов
КОN и MOL равна 180.
12. (г.1.101) некоторая прямая пересекает параллельные прямые а и b в точках А и
В соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной В
пересекает прямую а в точке С. Найдите АС, если АВ = 1. [Δ ВCC1, АВ медиана]
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Задание 5.1.
Задание 6.1.
2
2
2
2
2
1. (0.64)Вычислите 2  14  16  1.....2000  12002  1
3
2
1. Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числам 36  15
18 4  10 3
12  32  5 2  7 2  ....  1999 2  20012 
и 3  3  17  3 .
48
2. (р.2.304) Сравните значения выражений, не пользуясь МК:
47
46
2715  23
2. Докажите, что многочлен 2х2 + 2у2 + 13z2 – 2xy + 4xz – 6yz принимает
неотрицательные значения при любых численных значениях входящих в
него букв.
1916 и 188∙189∙190∙192∙193∙194.
3. Решите уравнение: а) 49(х – 1)2 + 14(х – 1) + 1 = 0
3. Решите уравнение : (х2 + х – 6) (х2 - 4х +3) - (х2 - 2х – 15) (х2 - х – 6) = 0.
б) (12 + х) (х2 + 1) – (х + 4)3 = 89.
5
3 2
2 3
5
4. Сократите дробь х  х у  х у  у , и найдите ее значение при
4. (г.2.18) Разложите на множители х3 + у3 + z3 - (х + у + z)3
у3  х3
5. (р.2.302)Найдите положительное число, если 45% от него составляют
столько же, сколько составляют 20% от числа ему обратного.
х =│-
0,25│,
у = │1,05│.
5. Вычислите: а) 2379∙23782378 – 2378∙23792379;
6. Пусть х + у = 6. Докажите, что х2 + у2 = 2(18 – ху).
б) 155∙156156 – 159∙158158.
7. (р.2.369) Найдите наибольший общий делитель чисел 111
...
11 и 222
...
22 .






100 раз
50 раз
8. (0.12) Выписаны все целые числа, удовлетворяющие условию 25 ≤ n ≤
425. Определите: а) сколько целых чисел выписали?
б) сколько выписали чисел, начинающихся с цифры 3?
в) сколько выписали чисел, оканчивающихся нулем?
г) сколько выписали чисел, записанных при помощи
одной цифры (напр. 222 или 33)?
д) сколько раз записали цифру 2?
9. (р.1.610) Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью,
он пройдет путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он затратил на
30 мин меньше. Найдите длину пути.
10. (г.1.110) Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и
продолжение боковой стороны АВ равнобедренного ΔАВС в точках К,
L, М соответственно.. При этом треугольники СКL и ВМL также
равнобедренные. Найдите их углы.
11. (г. 1.131) На сторонах АС и ВС равностороннего ΔАВС построены
внешним образом равнобедренные прямоугольные треугольники
АСN и ВСМ с прямыми углами при вершинах А и С соответственно.
Докажите, что ВМ  ВN.
6. (р.2.353) Докажите, что число 415 - 216 + 1 составное. Укажите несколько его
делителей.
7. (р.0.16) Найдите число, которое при делении на 85 дает в остатке 23, а в
неполном частном 13.
3
2
8. (г.2.68) Известно, что 4b  a  2 . Найдите a 2 3ab 3 .
5a  7b
4a b  3b
9. (р.1.614) Определите первоначальную стоимость продукта, если после
подорожания соответственно на 120%, 200% и 100% его конечная стоимость
составила 264 р.
10.
На соревнованиях по гребле спортсмен 10 мин шел на лодке вниз по
течению реки. На обратный путь против течения он затратил 30 мин.
Найдите собственную скорость лодки (км/ч), если скорость течения реки
равна 2 км/ч.
11.
(гор.1.99)Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых
сторон равнобедренного треугольника, параллельна основанию.
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Задание 7.1.
1. (р.0.59) Вычислите рациональным способом: 444,4 2 – 555,5·333,3.
1. Вычислить: │(17,312 + 0,192 – 12,692 – 29,812 │ - │ 10 2  5 1  : 3 1 │ 2.
3
3
3


2. Разложите многочлены на множители и найдите все значения х,
при которых оба многочлена принимают значение нуль: х 3 –
3.
4х2+5х – 2 и х3 – х2-х +1.
3. (л.554) Упростите выражение и найдите его значение при заданных
значениях переменной: (х + 2)3 - х(3х + 1)2 + (2х + 1)(4х2 – 2х +1),
при х = 0,21. Найдите расстояние между точкой, изображающей 4.
число, обратное полученному, и точкой, изображающей число,
противоположное полученному.
4. (р.355) Докажите, что число, записанное семью единицами и 5.
четырьмя пятерками, взятыми в произвольном порядке, является
составным.
5. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами
делится на 3, на 7, на 11, на 13, на 37.
6. Число при делении на 1267 дает и в неполном частном, и в остатке 6.
387. Найдите остаток от деления этого числа на 1268.
7. (0.31) Известно, что курс доллара по отношению к рублю ежегодно
возрастает на 25%. На сколько процентов падает курс рубля к 7.
доллару при этих условиях?
8. (р.0.06) Пусть десятичная запись числа А состоит из ста пятерок, а
числа В из ста троек. Найдите десятичную запись чисел:
8.
а) А + В;
б) А:5;
в) А:5555 – В: 3333.
9. (м.520.)Из поселка на станцию, удаленную на 27 км, отправились
одновременно пешеход и велосипедист, причем скорость пешехода 9.
была на 10 км/ч меньше скорости велосипедиста. Прибыв на
станцию, велосипедист сразу повернул обратно и встретил
пешехода через 2 ч 24 мин после его выхода из поселка. На каком
расстоянии от поселка произошла встреча?
10. (р.г.к-2.8кл) Через точку К, лежащую на стороне АВ АВС, 10.
проведена прямая параллельно биссектрисе угла А. Эта прямая
пересекает продолжение стороны АС за точку А в точке М.
а) Докажите, что МА = АК.
б) Найдите углы АВС, если угол КМА равен 15, а углы В и С 11.
АВС пропорциональны числам 2 и 3 соответственно.
Задание 8.1.
(р.0.56)
Упростите
выражение,
выполнив
действия
2
2
2
2
4
2 2
4
8
4 4
8
(у + ху + х ) (у - ху + х ) (у – х у + х ) (у - х у + х )
2
рационально
2
2
2
2
2
Решить уравнение  х  х  2   2  х  х  2  х  х  18   х  х  18   0





2

2
3

3
3
2
2
3
(л.992) Найдите значение выражения 3а  аb  6a b  2b ,
9a 5  ab 4  18a 4 b  2b 5

если
b2
3
a2 1
(р.0.03) Вычислите: а) 0,11 – 0,58 + 4,89 – 0,42;
б) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…….- 998 + 999 – 1000;
в) 1 – (2 – (3 – (4 - …- (99 – 100))…))).
Докажите, что при любом
(5n + 1)2 – (5n - 1)2 кратно 20.
натуральном
n
значение
выражения
(ч.мн.12) Найдите все двузначные числа, которые в сумме с числом,
записанном теми же цифрами, но в обратном порядке, дают квадрат
натурального числа.
(ник.6.851) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г 15% - ого раствора
соли, чтобы получить 10%-ый раствор?
На координатной прямой укажите точки, для которых расстояние до точки
М(2) в два раза больше расстояние от М до точки, изображающей число
36   4   27 
12   64
2 3
6 4
3 2
.
3 10
(мак.7.905) От пункта А до пункта В велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч,
а обратно он ехал со скоростью 12 км/ч и затратил на обратный путь на 1 час
больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние от А до Б.
(я.1) В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит
медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите
стороны треугольника, если его периметр равен 20 см.
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Найдите
расстояние
между
точками,
которые
соответствуют
числам
253  14 2
49  10 6
и
7 40  7 38  2  7 39 .
6 2  4919
5. (р.1.610) Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 7 ч. Через 6
ч после отправления он снизил скорость на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел с
опозданием на 10 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.
1.
(ник.6.851) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г 15% - ого раствора соли, чтобы получить
10%-ый раствор?
Измерение отрезков и углов.
1. На
прямой
последовательно
откладываются
точки А, В, С и D, причем
АВ = ВС = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
2. На прямой последовательно откладываются точки А, В, С, D, Е и F, причем АВ =
ВС = CD = DE = ЕF. Найдите отношения AD : DF, АС : AF, BD : CF.
3. Точка М расположена на отрезке AN, а точка N — на отрезке ВМ. Известно, что
АВ = 18 и AM : МN : NB = 1 : 2 : 3 . Найдите MN.
4. На прямой выбраны три точки А, В и С, причем AВ = 1, ВС = 3. Чему может быть равно
АС? Укажите все возможности.
5. Точка В лежит на отрезке АС длиной 5. Найдите расстояние между серединами
отрезков АВ и ВС.
6. Точки А, В, С последовательно расположены на одной прямой и АВ : ВС = 3:4. Найдите
отношения АВ : АС и ВС : АВ.
7. Точка В делит отрезок АС в отношении АВ : ВС = 2: 1. Точка D делит отрезок АВ в
отношении AD : DB = 3: 2. В каком отношении точка D делит отрезок АС?
8. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от которых до
точки А больше, чем до точки В?
9. Один из смежных углов в три раза меньше другого. Найдите эти углы.
10. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
11. Луч света, исходящий из точки М, зеркально отразившись от прямой АВ в точке
С, попал в точку N. Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна
прямой АВ.(Угол падения равен углу отражения.)
12. Точка М лежит внутри угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что
угол МОС равен полуразности углов АОМ и ВОМ.
13. Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол
МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.
14. Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла.
Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также
являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180° и два
других — тоже.
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
15. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от
которых до точки А: а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до
точки В?
16. Даны точки А и В. Для каждой точки М, не совпадающей с точкой В и лежащей
на прямой АВ, рассмотрим отношение AM : ВМ. Где расположены точки, для
которых это отношение: а) больше 2; б) меньше 2?
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
Вариант 9.2.
1. Решите уравнение а) а4 + 4а3 + 8а2 + 16а + 16 = 0.
б)(л.553) (х + 2)(х2 – 2х + 4) – х(х – 3)(х + 3) = 26
2. (ник.6.850) Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежегодно из
расчета 40% годовых Компания Y выплачивает доход по своим акциям 1 раз в
полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги
на год?
3. Расположите действительные числа в порядке убывания:
1
;
9
0,1115; -4,7(5);
-4,7556;
1
;
8
4. Сравните числа: а) 1,426301 и 1,4263;
б) 0,(37) и 0,3704;
0,124.
в) 1,4263 и 1,(4);
д) 0,(6) и 0,(602)
г) 0,11221122 и 0,(1122);
Для каждой пары укажите правильную несократимую дробь, расположенную
между заданными числами.
5. Докажите, что
313131 3131 31


.
757575 7575 75
Измерение отрезков и углов.
1. Точка М — середина отрезка АВ, а точка N — середина отрезка MB. Найдите отношения
AM : MN, BN : AM и MN : АВ.
2. Точка К отрезка АВ, равного 12 см, расположена на 5 см ближе к А, чем к В.
Найдите АК и ВК.
3. На прямой выбраны четыре точки А, В, С и D, причем АВ = 1, ВС = 2, CD = 4. Чему
может быть равно AD? Укажите все возможности.
4. Точки А, В, С расположены на одной прямой и АС : ВС = 2 : 5 . Найдите
отношения АС : АВ и ВС : АВ.
5. Один из двух смежных углов на 30° больше другого. Найдите эти углы.
6. Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол
МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.
7. Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от
которых до точки А: а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до
точки В?
Повторение и углубление курса математики 7 класса.
?(ч.17) Решите уравнение 2
1000
– 2999 – 2998 …- 2 + х = 2х
1. а) ((4 – 7х)2 – 1,45)2 = 0,0576
б) ((2,2х - 9,23)2 – 2,26)2 = 0,09
 8х  3 5х  2 
 8х  3 5х  2 
2. а) 3  


 
 .
2 
2 
 11
 11
2
3
 5  7 х 5х  1 
 5  7 х 5х  1 
б) 


  4
 .
4 
4 
 6
 6
4
3
3. а) (х – 2)3 – х(7-х)2 – 2(1 + 2х)2 = 35
б) (а + 10)( а- 2)2 – (а – 4)3 = 2(3а – 10)2 - 168