Задания 3-го тура.

Всероссийская Интернет олимпиада по математике.
Перед Вами 12 задач различного уровня сложности, Ваша цель - решить как
можно больше задач. Решение каждой из задач должно быть подробно аргументировано. Решения, в которых аргументация отсутствует, не будут засчитаны.
Количество баллов за каждую задачу обратно пропорционально числу участников,
ее решивших.
Задания 2-го тура.
Задача 1.




Даны векторы a  9;  8; 5 ; b  8; 5;  9 ; c   5; 9; 8 . Если вектор x ( x1; x2 ; x3 ) та

 
кой, что x = 7 и сумма косинусов углов, которые x составляет с векторами a , b ,

c , наибольшая из возможных значений, то x1  x2  x3 равно …
Ответ: 11.
Задача 2.
Частная производная второго порядка
2 f
от функции
xy
x 4 3 2 1 0
f ( x, y ) 
4 5 4 3 2 1
3 4 5 4 3 2
2 3 4 5 4 3
1 2 3 4 5 4
0 1 2 3 4
y
равна …
Ответ: 28.
Задача 3.
Наибольший модуль комплексного числа z, удовлетворяющего условию
zi  3i  4  i ,
равен
…
Ответ: 6.
Задача 4.
Интегральные кривые уравнения
dx
dy

 0 представляют собой сеx  y 1 x  y 1
мейство …
1) парабол
2) гипербол
3) эллипсов
4) окружностей
Ответ: парабол.
Задача 5.
Пусть R - наибольший из возможных радиусов окружности, проходящей через
3
начало координат и расположенной в области y  x . Тогда 54R 4 равно …
Ответ: 32.
Задача 6.
На плоскости Оху прямая L1 : 2 x  y  5  0 движется по направлению вектора
S1  4;2 с постоянной скоростью V1=1, а прямая L2 : 2 x  4 y  3  0 движется
по направлению вектора S 2  1;2 с постоянной скоростью V2=4. Если V3 – величина скорости движения точки пересечения прямых, то значение выражения
5
V3  4
13
Ответ: 7.
равно
Задача 7.
1
1
1


Предел lim   dx1  dx2 ... max( x1 ,...xn )dxn  равен …
n
0
0
0

Ответ: 1.
Задача 8.
…
Параметр a  0;2  подобран таким образом, что для любого вещественного x
x
выполняется неравенство  sin t  cos 2t dt  0 . В этом случае значение
a
18a

6
равно…
Ответ: 9.
Задача 9.
Если все элементы определителя четвертого порядка равны 1 или -1, то наибольшее
возможное
значение
этого
определителя
равно
…
Ответ: 16. Задача 10.


1
1
1
1
1  x   1  2 x 2  1  3x 3    1  2009 x 2009  1 равен…
x0 x
Ответ: 2009.
Предел lim
Задача 11.
На сторонах прямоугольника независимо друг от друга случайным образом выбраны две точки.
Если стороны прямоугольника равны 5 и 7, тогда математическое ожидание
квадрата
расстояния
между
этими
точками
равно
…
Ответ: 24.
Задача 12.

Функциональный ряд
xn
 1  x n (при x < 1) разложили в степенной ряд по степеn 1
ням x. Коэффициент при x 2009 равен …
Ответ: 6.
Задания 3-го тура.
Задание 1.
Пусть A и B - квадратные матрицы одного и того же порядка, причем
ABA  BAB . Докажите, что либо одна из матриц вырожденная, либо матрицы A и
B имеют равные определители.
Решение. Имеем ABA  BAB ( A - определитель матрицы А). Используем
мультипликативное свойство определителя: A  B  A  B  A  B , откуда
A  B  ( A  B )  0.
Если A  B , то или  A  0 или B  0 . Если и A и B - невырожденные, то
A  B 0 и A  B .
Задание 2.
Фирма ведет рекламную кампанию и утверждает, что в результате употребления ее продукции происходит ежедневное уменьшение либо веса, либо уровня
холестерина, а для большинства дней - и то и другое одновременно. Потребитель
употреблял продукцию фирмы месяц, однако в конце месяца его вес и уровень
холестерина были такими же, как и в начале месяца. Может ли реклама фирмы
быть правдивой? Обоснуйте свой ответ.
Ответ. Может.
Решение. Пусть все дни месяца, кроме дней с 10 по 15, вес снижается, а с 10
по 15 возрастает так, что компенсируется его месячное снижение. Пусть также
все дни, кроме дней с 16 по 20, снижается уровень холестерина, а с 16 по 20 возрастает так, что компенсируется его месячное снижение.
Таким образом, в течении месяца вес и уровень холестерина не меняются.
Задание 3.
Найдите все решения x1 , x2 , x3 , x4 , x5 системы
 x5  x 2  yx1 1
 x  x  yx 2 
3
2
 1
 x 2  x 4  yx3 3 , где y параметр.
 x  x  yx 4 
5
4
 3
 x 4  x1  yx5 5
Решение: Это система однородных линейных уравнений. Следовательно, система чисел x1  x2  x3  x4  x5  0 при любом y есть решение. Далее, находим
«нетривиальные» решения, где хотя бы одно xi отлично от 0.
(1) и (5) в эквивалентном виде можно записать:
x2  yx1  x5
x4  yx5  x1
6
7  ,
а (2) и (4) соответственно в виде:
x3  yx 2  x1
x3  yx 4  x5
.
Исключим x 2 и x 4 , умножив (6) и (7) на y и вычитая из выражений для x3 :

 y

 1x
8
.
9
x3  y 2  1 x1  yx5
x3
2
5
 yx1
Таким образом, система четырех соотношений (1), (2), (4), (5) эквивалентна
системе соотношений (6), (7), (8), (9).
Приравнивая правые части соотношений (8) и (9), получаем:
y 2  1x1  yx5  y 2  1x5  yx1 ,
или
y
2



 y  1 x1  y 2  y  1 x5
10
Рассмотрим теперь два случая:
1) y 2  y  1  0
2) y 2  y  1  0
В первом случае, поделив обе части уравнения (10) на y 2  y  1  0 , получаем
x1  x5 . Переменив циклически нумерацию уравнений и переменных, аналогично
получим, что все xi с соседними номерами равны, т.е. x1  x2  x3  x4  x5 . Откуда
y  2 при xi , отличных от нуля. Проверка – подстановкой.
Пусть теперь y 2  y  1  0 , т.е. y 2 1   y . В этом случае (8) и (9) – это дважды
написанное одно и то же уравнение:
(11)
x3   y( x1  x5 )
Легко проверить, что уравнение (3) является следствием (6), (7) и (11). Действительно,
x2  x4   y  1x1  x5  ;
x 2  x 4   x3 
y 1
.
y
Сравним (3):
x2  x4  yx3 .
Чтобы доказать их эквивалентность, вычтем:
( x 2  x 4 )  ( x 2  x 4 )   x3 
y 1
 yx3
y

y 1
.
0  x3  y 
y 

Это тождество (см. 2). Пусть y - любой корень уравнения y 2  y  1  0 :
1 1
y1, 2   
5 . Тогда можно, например, x1 и x5 задать произвольно, x 2 опре2 2
делить по формуле (6), x 4 - по формуле (7) и x3 - по формуле (11). Уравнения (1)-
(5) при этом выполняются автоматически, так как они при таких значениях y являются следствиями уравнений (6), (7) и (11).
Ответ: Тривиальное решение x1  x2  x3  x4  x5  0 при любом y ;
Нетривиальное решение:
а) При y  2 x1  x2  x3  x4  x5  0 ;
1 1
б) При y1,2   
5 ; x1 и x5 любые; x2  y1,2  x1  x5 ; x4  y1,2  x5  x1 ;
2 2
x3   y1,2  ( x1  x5 ) .
Задание 4.
Пусть 0  a  b . Найдите площадь фигуры, состоящей из точек, координаты
x2 y2
которых удовлетворяют хотя бы одному из неравенств 2  2  1 или
a
b
2
2
x
y

 1.
b2 a2
Ответ. 4ab  arctg (b / a)
Решение. Прямые x = y, x = - y делят эту фигуру на четыре равных по площади сегмента . Площади каждого сегмента равны. Поэтому достаточно, вычислить
площадь одного сегмента и умножить ее на 4.
x
y
Применим линейное преобразование координат: x  и y   .
b
a
Это преобразование преобразует эллипс
x2 y2

 1 в круг радиуса 1, а пряb2 a2
мые x   y преобразуются в прямые bx   ay  . При этом сектор круга опирается
на дугу 2arctg (b / a) и его площадь равна arctg (b / a) .
Преобразование уменьшило площадь в a  b раз. Так что площадь исходного
сегмента равна ab  arctg (b / a) , а площадь всей фигуры в 4 раза больше.
Задание 5.
Можно ли найти в пространстве R3 5 векторов таких, что все углы между
ними больше 900? Обоснуйте свой ответ.
Ответ: нет.
Решение. Расположим систему координат так, чтобы «первый» вектор имел
направление, противоположное направлению оси Oz, а начало всех векторов совместим с началом координат этой системы. Углы между всеми векторами должны
быть больше 900 , следовательно, концы 4 остальных векторов должны быть расположены выше координатной плоскости Oxy. Выберем направление оси Оу так,
чтобы «второй» вектор имел направление, перпендикулярное оси Оу и отрицательную абсциссу. Тогда оставшиеся три вектора должны лежать в части пространства x  0 , z  0 . Следовательно, два из них лежат в одном октанте и их скалярное произведение неотрицательно, а угол между ними не превышает 90 o .
На рисунке концы ортов двух векторов, лежащих в одном октанте соединены
дугой окружности единичного радиуса. Видно, что такая дуга не может превышать 90 o
z
a
b
y
x
Задание 6.
e
Найдите

1
ln x dx   e x dx .
1
2
0
Ответ: е
Решение:
Обозначим первый интеграл I1 , а второй интеграл – I 2 . Преобразуем I1 с помощью следующей замены:
2
2
e
1
u  y, du  dy,
ln x  y, x  e y , dx  2 ye y dy
2 y2
ln
x
dx


2
y
e
dy

2
2 
1
0
x  1  y  0, x  e  y  1
dv  2 ye y dy, v  e y
 y e
y2
1
0
1
  e y dy  e  I 2 .
2
0
Задание 7.
Отрезок единичной длины двигается таким образом, что его концы находятся на координатных осях (в первом координатном углу), и при этом закрашивает
(всей своей длиной) часть плоскости, по которой двигается. Найдите уравнение
линии, отделяющей закрашенную часть плоскости от незакрашенной.
2
2
Ответ: x 3 + y 3 = 1 (часть астроиды).
Решение. Очевидно, что при каждом x  0;1 , ордината соответствующей
точки этой линии будет равна наибольшему значению ординат точек стержня
(при данном x), при всех возможных положения стержня. Рассмотрим положение
стержня, когда его концы находятся в точках A(t; 0) и
B(0; 1  t 2 ), t 
[0;1] . Обозначим y(x;t) – ординату точки стержня с абсциссой, равной x, при положении концов стержня в точках A и B; y = y(x) = max y( x; t ) при t  [x;1] (ясно, что положения стержня при t < x рассматривать не нужно). Тогда y(x;t) = (1 -
x
x t
x  t3
x

2
2
) 1  t и y 
. Критическая точка t =
1  t  1  

2
t
2
2
2
t


t
1 t
t 1 t
3
2

2
2
2


3
3
точка максимума, отсюда y ( x, x )  1  x  или x 3 + y 3 = 1.


Задание 8.


3
x-
Функция F (x) непрерывна при всех x  0 . Известно, что при любом
фиксированном x  0 последовательность F ( x  n)  0 при n   . Следует
ли отсюда, что lim F ( x)  0 ? Обоснуйте свой ответ.
x 
Ответ: нет, не следует.
Решение. Пусть f o ( x)  1  2 x  1/ 2 . Положим f k ( x)  f o (kx ) при x  1/ k и
f k ( x)  0 при x  1/ k .
Ниже нарисован график f k (x) на отрезке 0;1 .
Пусть g ( x)  f k ( x  k ) при x  k ; k  1. Тогда функция g (x) непрерывна, и
lim g ( x)  0 ибо g (k  1/ 2k )  1 при всех натуральных k.
x 
С другой стороны, пусть x  n   , где n  x - натуральное число, а   1 .
Если   0 , то при любом натуральном m g ( x  m)  0 так что lim g ( x)  0 .
m 
Если же   0 , то существует такое K o , что при всех k  K o   1/ k . Тогда
g ( x  k )  0 и опять lim g ( x)  0 . Следовательно, предел этой функции не сущеm 
ствует.
Задание 9.
На один из концов стержня длиной один метр одето кольцо. В некоторый
момент времени стержень начинает равномерно растягиваться (любые два отрезка
стержня равной длины за равные промежутки времени удлиняются одинаково).
При этом его концы удаляются друг от друга со скоростью 10 см/c. В этот же
момент времени кольцо начинает двигаться к противоположному концу стержня
со скоростью 1 см/c. Достигнет ли кольцо противоположного конца стержня? Если да, то за какое время? (Толщиной кольца пренебречь.)
Ответ: Достигнет за 10  (e10  1) с.
Решение.
Обозначим l0 - первоначальная длина стержня, v1 - скорость кольца, v2 скорость с которой удаляются концы стержня, x - расстояние от кольца до проти-
воположного конца стержня в момент времени t , отсчитываемый от начала движения, т.е. x  x(t ) .
Расстояние между концами стержня в момент времени t равно:
l (t )  lo  v2  t . Из условия задачи следует, что скорость, с которой удаляются
концы произвольного отрезка стержня, пропорциональна его длине. Следовательно, скорость, с которой удаляются концы отрезка длиной x в момент времени t ,
x(t )
равна
 v2 .
l (t )
Общая скорость, с которой изменяется x :
dx x(t )
x

 v2  v1 
 v2  v1 - линейное дифференциальное. уравнеdt l (t )
lo  v 2  t
ние.
Общее решение этого уравнения:


v
x  (lo  v2  t ) С  1 ln( lo  v2  t ) 
v2


Его частное решение удовлетворяющее начальному условию x(0)  lo :


lo
v

x  (lo  v2  t )1  1 ln
v
l

v

t
2
o
2 



lo
v
  0
Уравнение (lo  v2  t )1  1 ln
v
l

v

t
2
o
2 

l
Имеет положительное решение t  o (e
v2
v2
v1
 1) .
10
1
(e 1  1)  10  (e10  1) с кольцо доСледовательно, за конечное время t 
0.1
стигнет противоположного края стержня.
Задание 10.
В зале находится 2009 человек. Каждый из них знает не менее 45 человек из
присутствующих. Докажите, что среди всех людей найдутся 4 человека, которых
можно усадить за круглый стол так, что рядом с каждым будет сидеть знакомый
ему человек.
Решение. Покажем, что такие 4 человека существуют. Количество упорядоченных пар знакомых друг другу людей в этом коллективе, очевидно, должно
быть целым. Если каждый имеет ровно 45 знакомых то таких пар 2009*45/2 – не
целое, значит, хотя бы один человек имеет 46 знакомых. Выберем этого человека.
Есть 46 человек, которых он знает. Покажем, что среди них есть 2 человека, которые имеют общего знакомого который не вошел в эти 46 человек. Если предположить, что таких людей нет, то всего людей должно быть не менее, чем
46*44=2024 . Но это число больше, чем 2009. Значит, такие два человека найдутся. Сажаем за стол человека, у которого есть 46 знакомых, рядом с ним - двух че-
ловек из этих 46, у которых есть общий знакомый не из этих 46 людей, и этого
общего знакомого сажаем между ними.
Задание 11.
Дано бесконечное множество точек. Все расстояния между точками – целые
числа. Докажите, что все точки данного множества расположены на одной прямой.
Решение. Возьмем две фиксированные точки А и В нашего множества. В силу неравенства треугольника для любой другой точки Х нашего множества
XA  XB  AB , следовательно все остальные точки нашего множества принадлежат одной из гипербол с фокусами А и В и целой действительной осью 2а, не
превосходящей |АВ|. При а = 0 и при 2а = |АВ| гиперболы вырождаются в прямые. Так как количество таких гипербол конечно, то одна из них содержит бесконечное число точек нашего множества. Пусть C и D – две точки такой гиперболы,
не совпадающие с А и В. Тогда, рассуждая аналогично, приходим к выводу, что
существует гипербола с фокусами C и D и действительной осью 2а`, не превосходящей |CD|, содержащая бесконечное число точек нашего множества. То есть,
существуют две гиперболы, содержащие бесконечное число общих точек. Следовательно, эти гиперболы совпадают, а так как фокусы у них были разные, то эти
гиперболы - прямая. Если предположить, что имеется точка нашего множества ,
не принадлежащая этой прямой, то выбрав ее в качестве одного из фокусов, получим, что точки множества принадлежащие указной прямой должны одновременно принадлежать конечному семейству гипербол, что в силу бесконечности
множества таких точек невозможно, ибо любая гипербола, не совпадающая с
прямой имеет не более двух общих точек с этой прямой
Задание 12.
Имеется робот, который ищет деталь. Он ходит по плоскости, каждый его
шаг имеет единичную длину, а направление он может выбирать произвольно. Если он находится от детали на расстоянии меньше одного шага, то он сразу её берёт (взятие детали засчитывается как один шаг). Как только робот делает шаг, он
тут же получает информацию, приблизился ли он к детали или удалился от неё.
Пусть в начальный момент робот находится на расстоянии N шагов от детали, и
он знает число N.
а) Докажите, что за [ N  10 log 2 N ] (где [x] означает целую часть числа x )
робот может эту деталь получить.
б) Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего получить эту деlog 2 N
таль за меньшее чем N 
число шагов.
10
Решение.
а) Пусть C есть дуга возможных положений детали. Это дуга окружности с
центром в начальной точке и радиусом N . Вначале это вся окружность.
Назовем конусом возможных направлений K множество возможных направлений на деталь из начальной точки. Это угол, величина которого (раствор) рав-
на  . Т. к. длина дуги C равна C  N то при   2 / N , двигаясь в направлении
биссектрисы этого угла, за N шагов робот подойдет к детали на расстояние
меньше одного шага и следующим шагом возьмет деталь.
Пусть единичное действие состоит в паре шагов – шаг от начальной точки и
шаг к ней. Покажем, что существует действие, сокращающее раствор в 2 раза.
Если   2 , то действие производится в направлении произвольного вектора


a . Прямая, перпендикулярная a , разделяет плоскость на две полуплоскости, одна
из которых содержит деталь, а другая – нет. 

Рассмотрим случай, когда   2 . Пусть l – вектор биссектрисы K , m – век
тор перпендикулярного направления. Действие, связанное с направлением m
приводит к искомому сокращению:
ответу «приблизился» отвечает половина K
 
лежащая в угле
между l , m , а ответу «удалился» отвечает половина K лежащая в


угле между l ,  m .
Указанное действие сокращает раствор в два раза. За n действий раствор сократится в 2 n раз. Пусть вначале   2 . Тогда надо провести столько действий,
2 2
2 2
2
2
чтобы
и за log 2  N   2 действий (т.е.
 , то
 . Т.к.

n N
n 4N
4
N
N
2
2
2log 2  N   3 шагов) можно определить направление на деталь с точностью до
угла   2 / 4 N , при этом уклонение сторон угла от биссектрисы составит
 / 4 N   1/ N так что после этого путь по биссектрисе приводит к успеху за
шаг.
Но
при
N 1
N 2
2log 2  N   3  N  1  2log 2  N   N  7  [ N  10 log 2 N ] . Задача решена.
б) Назовем шаг Робота разведывательным, если его направление на деталь
образует угол больше  / 3 .
Лемма 1. Количество l разведывательных шагов не превосходит log 2 n / 5 .
Доказательство леммы. Разведывательные шаги приводят к приближению на
деталь на величину не превосходящую l cos  / 3 . Поэтому общее число шагов не
меньше l  n  l cos  / 3  n  l 1  cos  / 3  n  l / 2 и если l  log 2 n то величина
n  l / 2 окажется больше n  log 2 n / 10 , что противоречит условию задачи. Лемма
доказана.
Назовем начальным участком первые n / 3 шага.
Лемма 2. После первого шара только разведывательный шаг приводит изменению угла раствора. При этом C разбивается на две дуги, отвечающие ответам
«приблизился» и «удалился» (возможно, одна из них пустая). Длина
C
наибольший из них C  не превосходит C / 2 .
Следствие. Для любого алгоритма с l проверочными шагами существует положение детали такое, что после начального участка угловой раствор дуги C будет не менее чем n / 2 l .
Следующая лемма проверяется непосредственно:
Лемма 3. Пусть A – произвольная точка, тогда расстояние от A до самой далекой точки дуги C не меньше чем d  C / 2 n .
В силу леммы 1 тогда C    n / 2log n / 5    n 4 / 5 . И после первых n / 3 шагов расстояние от положения Робота до самой удаленной от него точки C будет не
меньше 2n / 3  C / n  2n / 3  n 0.3 / 2 . Общее число шагов в наихудшем случае будет
тогда не меньше чем n / 3  2n / 3  n 0.3 / 2  n  log 2 n / 10 . Задача решена.
2