4. Магнитный поток. Индуктивность. Явление электромагнитной

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ
для студентов-бакалавров по направлению 270100 (строительство)
ЧАСТЬ 4
Вологда
2009
1
Требования к оформлению и общие методические указания по
выполнению индивидуальных домашних заданий.
1. Студентам, изучающим курс физики в течение двух семестров,
необходимо решить в течение семестра 10 задач по первой части пособия.
2. Номер варианта совпадает с порядковым номером студента в журнале.
3. Номера задач в зависимости от номера варианта определяются по
формуле: Nзадачи=30n+Nварианта, где n=0, 1, …9.
4. Задания должны выполняться последовательно по пройденным темам.
Сроки представления решенных задач объявляются преподавателем.
5. Задачи оформляются в письменном виде на отдельных листах. Решение
каждой задачи необходимо начинать с новой страницы.
6. Требуется указать номер варианта и номер задачи по нумерации пособия.
7. Условие задачи переписывается полностью, без сокращений.
8. Решение записывается в стандартном виде:
Дано:
Решение:
Найти:
Ответ:
9. Все физические величины необходимо выразить в системе единиц СИ.
10. Сделать рисунок, схему, если это необходимо.
11. Сформулировать основные законы, записать формулы, на которых
базируется решение. Обосновать возможность их применения в условиях
данной задачи. Составить полную систему уравнений для решения задачи.
12. Получить окончательное выражение искомой величины в общем виде.
Проверить размерность.
13. Подставить числовые данные и рассчитать искомую величину.
14. Проанализировать полученный результат.
15. Записать ответ.
16. Каждую задачу требуется защитить, то есть полностью объяснить решение
задачи преподавателю.
2
1. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон полного тока.



  0 I dl  r
 Idl sin 
dB 
; dB  0
– закон Био-Савара-Лапласа;
3
2
4
r
4

r

 

B   Bi ; B   dB – принцип суперпозиции;
i


B   0 H – связь индукции и напряженности магнитного поля;
B
 0 I
cos1  cos 2 
4R
–
индукция
магнитного
поля
прямого
отрезка
проводника;
I
B   0
– индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого тока;
2R
 0 I
– индукция в центре кругового тока;
B
2R
 0 IR 2
– индукция на оси кругового тока;
B
2( R 2  h 2 ) 3 / 2
 0 In
cos1  cos 2  ; B   0 In – индукция магнитного поля на оси
B
2
соленоида конечной длины и бесконечно длинного соленоида.
  0 qv  r 
 qv sin 
; B 0
B
3
4
4
r2
r
– индукция магнитного поля движущегося
заряда.
 
 Hdl   I
i
L
макро
i
;
 
 Bdl
L


  0  I iм акро   0   I iм акро   I kм икро  – закон полного тока
i
k
 i

для стационарных полей.
Примеры решения задач
Задача 1
Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы
напряженность магнитного поля в центре катушки можно было найти по
формуле для напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при
таком допущении не должна превышать 5%.
Дано:
ε=0.05
Решение
Воспользуемся формулами для напряжённости магнитного поля
In
Найти:
на оси соленоида конечной длины: H  cos 1  cos  2 
2
l
N
?
бесконечно длинного соленоида: H   In . Здесь n 
D
l
плотность намотки соленоида. Для напряжённости поля в центре соленоида
силу симметрии 1   2  
(см. рис. 1), тогда cos  2   cos 1 ,
H
In
2 cos  1   In cos  1 . Относительная погрешность
2

H
H

и
–
в
и
H  H H

 1;
H
H
3
или

cos  1 
cos 1 
In
1
1 
1;
In cos  1
cos  1
1
.
1 
l
l 2  D2
l
1
,

2
2
1


l D
l 2  D2
 1  ,
l
1
D2
 1  ;
l2
D

l
1   2  1 ;
Из
.
рис.1
Тогда
откуда
l 2  D2
 1  ;
l2
l
1
. Подставим численные значения:

D
 2   
l
1

 3.12 .
D
0.052  0.05
l
Ответ:  3.12 .
D
Задача 2
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи
силой 50 А и 100 А в противоположных направлениях. Расстояние между
проводами 0.2 м. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на 0.25 м
от первого и на 0.4 м от второго провода.
Решение
Дано:
I1=50 А
I2=100 А
r1=0.4 м
1
2
r2=0.25 м
d=0.2 м
Найти:
B=?
О
Рис.2

По правилу правого винта определяем направления векторов индукции B1 и

B 2 магнитных полей, созданных в точке О токами I1 и I2 соответственно (рис.2).

 

По принципу суперпозиции B  B1  B2 . Величину результирующего вектора B
найдём по теореме косинусов: B 2  B12  B22  2B1 B2 cos  . Аналогично, по теореме
косинусов
для
треугольника
12О:
Тогда
d 2  r12  r22  2r1r2 cos  .
4
r12  r22  d 2
B  B  B  B1 B2
. Величины
r1 r2
2
1
2
2

B1

и B2 определяем по формуле
индукции прямого бесконечного проводника с током: B1   0
I1
I
и B2   0 2 .
2r1
2r2
Магнитную проницаемость считаем равной 1 (магнетика нет): μ=1. Тогда

B 0
2
2

2

 I1   I 2 
I I r 2  r22  d 2
      1 2  1
.
r1r2
r1 r2
 r1   r2 
Подставим
численные
значения:
4  10 7  50   100 
50  100
B
0.4 2  0.25 2  0.2 2  2  10 7 125 2  400 2  91250 ,

 
 
2
2
 0.4   0.25  0.4  0.25
или B  581  10 -7  58.1  10 6 Тл  58.1мкТл .
Ответ: B  58.1мкТл .
2
2


Задача 3
По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью 2106 А/м2.
Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом 510-3 м,
проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость
составляет угол 300 с вектором плотности тока.
Решение
Дано:
По теореме о циркуляции циркуляция вектора
j=2106 А/м2
напряжённости
магнитного
поля
по
произвольному
R=510-3 м
замкнутому контуру равна результирующему макротоку,
β=300
текущему
сквозь поверхность, натянутую на этот контур:
 
макро
 Hdl   I i . Суммарный макроток выразим через плотность
Найти:
 
H
 dl  ?
L
тока:
L
i
 
 
 Hdl   j dS   j  cos   dS ,
L
S
где интеграл берётся по
S
поверхности S, натянутой на контур L, α – угол между
нормалью к контуру и вектором плотности тока (рис.3). Поскольку     90 0 и
ток распределён равномерно ( j  const ), то
2
 j  cos   dS  j  sin    dS  j  sin   R . Здесь
S
S
учтено, что интеграл по поверхности,
натянутой на контур, равен площади
круга:
 
2
2
 dS  R . Таким образом,  Hdl  j  sin     R .
S
Подставим
Рис.3
 
Ответ:  Hdl  78.5 А .
L
численные
 
6
0
3
 Hdl  2  10  sin 30  3.14  5  10


2
значения:
 78.5 А .
L
L
5
1. При силе тока 0.5 А индукция магнитного поля на оси достаточно
длинного соленоида 3.15 мТл. Определить диаметр провода, из которого
изготовлена однослойная обмотка соленоида. Витки плотно прилегают
друг к другу. Сердечника нет.
2. Из проволоки диаметром 0.1 мм и сопротивлением 0.25 Ом намотан
соленоид на картонном цилиндре (витки вплотную). Определить индукцию
магнитного поля на оси соленоида, если напряжение на концах обмотки 2
В.
3. Найти напряженность магнитного поля соленоида, диаметр которого равен
2 см и длина 30 см, в его центре и в середине основания соленоида. Сила
тока равна 2 А. Плотность намотки 30 см-1. Сравнить с напряженностью
поля на оси бесконечно длинного соленоида.
4. Найти напряженность магнитного поля в середине соленоида, диаметр
которого равен 2 см, для двух случаев: 1) длина соленоида 3 см; 2) длина
соленоида 30 см. Сила тока равна 2 А. Плотность намотки 30 см-1.
5. Отрезок прямолинейного проводника с током имеет длину 30 см. При
каком предельном расстоянии от него для точек, лежащих на
перпендикуляре к его середине, магнитное поле можно рассматривать как
поле бесконечно длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком
допущении не должна превышать 5%.
6. Два бесконечно длинных провода находятся на расстоянии 0.05 м один от
другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые
токи силой 10 А каждый. Найти напряженность магнитного поля в точке,
находящейся на расстоянии 0.02 м от одного и 0.03 м от другого провода.
7. Расстояние между двумя длинными параллельными проводами 0.05 м. По
проводам в одном направлении текут одинаковые токи в 30 А каждый.
Найти напряженность магнитного поля в точке, находящейся на
расстоянии 0.04 м от одного и 0.03 м от другого провода.
8. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи
силой 50 А и 100 А в противоположных направлениях. Расстояние между
проводами 0.2 м. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на
0.25 м от первого и на 0.4 м от второго провода.
9. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По
проводу течет ток 100 А. Вычислить магнитную индукцию в обеих точках,
лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на 1 м.
10.По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом 120 0,
течет ток силой 50 А. Найти магнитную индукцию в обеих точках,
лежащих на биссектрисе угла и удаленных от его вершины на 0.05 м.
11.По контуру в виде квадрата течет ток 50 А. Длина стороны квадрата 0.2 м.
Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей.
12.Ток 50 А течет по проводнику, согнутому под прямым углом. Найти
напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого
угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 0.2 м. Считать, что оба
конца проводника находятся очень далеко от вершины угла.
6
13.По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность
магнитного поля в центре окружности 50 А/м. Не изменяя силы тока в
проводнике, ему придали форму квадрата. Определить напряженность
магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата.
14.По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в
проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась
магнитная индукция в центре контура?
15.Проволочный виток радиусом 20 см расположен в плоскости магнитного
меридиана. В центре витка установлен компас. Какой силы ток течет по
витку, если магнитная стрелка компаса отклонена на угол 9 0 от плоскости
магнитного меридиана? Горизонтальную составляющую магнитной
индукции поля Земли принять равной 20 мкТл.
16.Длинный прямой соленоид, содержащий 5 витков на каждый см длины,
расположен перпендикулярно к плоскости магнитного меридиана. Внутри
соленоида, в его средней части, находится магнитная стрелка,
установившаяся в магнитном поле Земли. Когда по соленоиду пустили ток,
стрелка отклонилась на угол 600. Найти силу тока. Горизонтальную
составляющую магнитной индукции принять равной 210-5 Тл.
17.Проволочный виток радиусом 0.25 м расположен в плоскости магнитного
меридиана. В центре установлена небольшая магнитная стрелка, способная
вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка,
если по витку пустить ток силой 15 А? Горизонтальную составляющую
индукции земного магнитного поля принять равной 2010-6 Тл.
18.Определить максимальную магнитную индукцию поля, создаваемого
электроном, движущимся прямолинейно со скоростью 10 Мм/с в точке,
отстоящей от траектории на расстояние 1 нм.
19.На расстоянии 10 нм от траектории прямолинейно движущегося электрона
максимальное значение индукции 160 мкТл. Определить скорость
электрона.
20.Ток идет по полой металлической трубе. Покажите, что напряженность
магнитного поля внутри трубы равна нулю, а напряженность магнитного
поля вне трубы такая же, как напряженность поля, созданного током,
текущим по тонкому проводу, совпадающему с осью трубы.
21.Ток силой 20 А идет по полой тонкостенной трубе радиусом 5 см и
обратно – по сплошному проводнику радиусом 1 мм, проложенному по оси
трубы. Длина трубы 20 м. Чему равен магнитный поток такой системы?
Магнитным полем внутри металла пренебречь.
22.По медному проводу, сечение которого является кругом радиусом 2 см,
течет равномерно распределенный ток силой 500 А. Определить
напряженность магнитного поля внутри провода на расстоянии 0.5 см от
его оси.
23.# Два длинных прямолинейных проводника расположены параллельно на
расстоянии 50 см друг от друга. В первом проводнике течет ток 20 А, во
втором – 24 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в
7
точке, расположенной на расстоянии 40 см от первого проводника и на
расстоянии 30 см от второго, если токи в них направлены противоположно.
24.# Изолированный прямолинейный бесконечный проводник изогнут в виде
прямого угла. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом
10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцевому. Найти
напряженность поля в центре кольца. Силы токов в угловом и кольцевом
проводниках равны соответственно 2 и 3 А. Рассмотреть 2 случая
взаимного направления токов.
25.# Тонкий диск, радиус которого равен 25 см, сделан из диэлектрика и
равномерно заряжен зарядом 5 Кл. Диск вращается в воздухе вокруг оси,
проходящей через его центр и ему перпендикулярной, с постоянной
частотой 5 Гц. Определить магнитную индукцию в центре диска.
26.# Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру,
чтобы напряженность магнитного поля в центре катушки можно было
найти по формуле для напряженности поля бесконечно длинного
соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.
27.# По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут
токи силой 20 и 30 А в одном направлении. Расстояние между ними 10 см.
Вычислить магнитную индукцию в точке, удаленной от обоих проводов на
одинаковое расстояние 10 см.
28.# Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом.
По проводам текут токи 100 и 50 А. Расстояние между ними 20 см.
Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на середине
общего перпендикуляра к проводам.
29.# Точечный заряд движется со скоростью 900 м/с. В некоторый момент в
точке наблюдения напряженность электрического поля этого заряда равна
600 В/м, а угол между векторами напряженности и скорости равен 30 0.
Найти индукцию магнитного поля этого заряда в данной точке в этот
момент.
30.# По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью 2106
А/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности
радиусом 510-3 м, проходящей внутри проводника и ориентированной так,
что ее плоскость составляет угол 300 с вектором плотности тока.
2. Магнитный момент

 

p m  ISn ; pm  NISn – магнитный момент контура с током;



M  pm  B ; M  pm B sin  – вращающий момент сил, действующий на контур


с токомв магнитном поле;

Wпот.   pm B   pm B cos – потенциальная энергия магнитного диполя в
магнитном поле;
Fx  p m
B
cos  – сила, действующая на магнитный диполь в неоднородном
x
магнитном поле.
8
Примеры решения задач
Задача 4
По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0.24
мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10 рад/с
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.
Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного
стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень
имеет массу 12 г.
Решение
Дано:
l=0.2 м
q=0.24.10-6 Кл
ω=10 рад/с
m=0.012 кг
Найти:
pm=?
pm
?
L
Рис.4
На расстоянии
x от оси вращения выделим элемент длины стержня dx
dq dx
. Заряд dq, вращающийся по

q
l
dq
2
окружности, создаёт эквивалентный ток dI  , где T 
– период вращения.
T

Магнитный момент этого тока равен dpm  dI  S , где S    x 2 – площадь «витка»
(рис.4). Его заряд dq найдём из пропорции:
эквивалентного тока, поскольку заряд вращается по окружности радиусом x.
Таким
образом,
получим:
dpm  dI  S  dI  x 2 
dq
q  dx
q  2
 x 2 
 x 2 
 x  dx .
2
T
2l
l

Проинтегрировав полученное выражение по всей длине стержня, получим
магнитный
момент,
обусловленный
его
вращением:
q  2
q 2
q x 3
p m   dp m  
 x  dx 
x
dx


2l
2l 0
2l 3
0
0
l
l
l
l

0
q l 3
q  l 2
 , или p m 
.
2l 3
6
Момент импульса твёрдого тела по определению равен L  J   , где J 
ml 2
3
– момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня
перпендикулярно ему. Тогда pm 
ml 2
  . Таким образом, отношение моментов
3
9
q  l 2
pm
q
6
равно:
.
Подставим
численные
значения:


2
L
ml   2m
3
2
-6
pm
q  l
0.24  10  10  0.2 2
q
0.24  10 6
pm 

 1.6  10 8 А/м 2 ;


 10 5 Кл / кг .
6
6
L
2m
2  0.012
p
Ответ: p m  1.6  10 8 А/м 2 ; m  10 5 Кл / кг .
L
Задача 5
По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г был пропущен ток
силой 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой
нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном
магнитном поле с индукцией 2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.
Решение
Дано:
На
рамку с током в магнитном поле действует момент


m=0.002 кг
сил M  pm  B . Величина момента зависит от угла α между
I=6А

B
вектором
магнитной
индукции
и магнитным моментом
B=0.002 Тл
рамки p m : M  pm B sin  . В положении равновесия оба вектора
направлены одинаково, α=0 (рис.5). Если рамку вывести из
Найти:
положения равновесия, повернув на малый угол α, проекции
T=?
момента сил и углового перемещения на ось
вращения будут иметь противоположные знаки
(момент сил возвращает в положение
равновесия), тогда M   pm B   . Здесь учтено,
что угол – малый, и sin    . По закону
динамики вращательного движения твёрдого
тела M  J   , где J – момент инерции тела
относительно оси вращения;     – угловое
ускорение, равное второй производной по
времени от угла поворота. Таким образом,
получим:
Рис.5
J      pm B   ,
или   
pm B
  0 .
J
Сравнив с дифференциальным уравнением
    2    0 ,
гармонических
колебаний:
pm B
. Обозначим a длину стороны рамки,
J
тогда магнитный момент её равен p m  I  S  I  a 2 . Момент инерции J рамки
получим циклическую частоту:  
можно найти как сумму моментов инерции всех четырёх сторон, масса каждой из
которых равна m1 
m
. Для двух горизонтальных сторон используем формулу
4
момента инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его
m1  a 2 ma 2
середину: J 1 
. Моменты инерции двух вертикальных сторон можно

12
48
10
найти из формулы для момента инерции твёрдого тела J   r 2 dm с учётом, что
m
вся масса стороны m1 
m
расположена на одинаковом расстоянии от оси, равном
4
2
a
a 2 m ma 2
a
2
2
r  : J 2   r dm  r   dm     m1 
 
. Тогда момент инерции всей
2
4 4
16
2
m1
m1
 ma 2
ma 2 
1
  ma 2 . Подставим выражения для p m и J в
рамки J  2 J 1  2 J 2  2

16  6
 48
формулу для циклической частоты  
2
pm B

J
Ia 2 B
6 IB
и найдём период

2
m
ma / 6
m
2m
. Вычислим период, подставив значения


6IB
3IB
2m
2  0.002
3.14
величин: T  
 3.14

 1.05с .
3IB
3  6  0.002
3
Ответ: T  1.05с .
колебаний: T 
 2
31.Проволочный виток диаметром 20 см помещен в однородное магнитное
поле, индукция которого равна 1 мТл. При пропускании по витку тока 2 А
виток повернулся на угол 900. Какой момент сил действовал на виток?
32.Плоский контур площадью 4 см2 расположен параллельно однородному
магнитному полю напряженностью 10 кА/м. По контуру кратковременно
пропустили ток силой 2 А, и контур начал свободно вращаться.
Определить угловое ускорение контура при пропускании тока. Момент
инерции контура 10-6 кг.м2.
33.Ток, текущий в рамке, содержащей 10 витков, создает в центре рамки
магнитное поле с индукцией 0.126 Тл. Найти магнитный момент рамки,
если ее радиус 10 см, и силу тока.
34.Очень короткая катушка содержит 1000 витков тонкого провода. Катушка
имеет квадратное сечение со стороной 0.1 м. Найти магнитный момент
катушки при силе тока 1 А.
35.Магнитный момент витка равен 0.2 Дж/Тл. Определить силу тока в витке,
если его диаметр 0.1 м.
36.Напряженность магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м.
Магнитный момент витка равен 1 А/м2. Вычислить силу тока в витке и
радиус витка.
37.По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d=1 м от его
плоскости магнитная индукция равна 110-8 Тл. Определить магнитный
момент кольца с током. Считать R много меньшим d.
38.Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по
окружности радиусом 5310-12 м. Вычислить магнитный момент
эквивалентного кругового тока и механический момент, действующий на
круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции
которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция
поля равна 0.1 Тл.
11
39.Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите.
Найти отношение магнитного момента эквивалентного кругового тока к
моменту импульса орбитального движения электрона. Указать
направления векторов магнитного момента и момента импульса.
40.Тонкое кольцо, несущее равномерно распределенный заряд 10 нКл,
вращается с частотой 10 Гц относительно оси, перпендикулярной
плоскости кольца и проходящей через его центр. Найти магнитный момент
кругового тока, создаваемого кольцом; отношение магнитного момента к
моменту импульса, если масса кольца 10 г. Внешний радиус кольца 10 см,
внутренний – 5 см.
41.Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 15 см, содержащая 200
витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 0.1 Тл.
Плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Найти
механический момент, действующий на рамку, когда по ней течет ток 1
мА; магнитный момент рамки при этом токе.
42.Короткая катушка площадью поперечного сечения 15010-4 м2 содержит
200 витков провода, по которому течет ток силой 4 А, помещена в
однородное магнитное поле напряженностью 8103 А/м. Определить
магнитный момент катушки, а также вращающий момент, действующий на
катушку со стороны поля, если ось катушки составляет угол 600 с линиями
индукции.
43.Короткая катушка площадью поперечного сечения 2.510-2 м, содержащая
500 витков провода, по которому течет ток силой 5 А, помещена в
однородном магнитном поле напряженностью 1000 А/м. Найти: а)
магнитный момент катушки; б) вращающий момент, действующий на
катушку, если ось катушки составляет угол 300 с линиями поля.
44.Виток диаметром 0.1 м может вращаться около вертикальной оси,
совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости
магнитного меридиана и пустили по нему ток 40 А. Какой вращающий
момент нужно приложить к витку, чтобы удержать его в первоначальном
положении? Горизонтальную составляющую индукции магнитного поля
Земли принять равной 2.10-5 Тл.
45.Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена
на упругой нити. Площадь рамки 110-4 м2. Нормаль к плоскости рамки
перпендикулярна линиям магнитной индукции, равной 510-3 Тл. Когда
через гальванометр был пропущен ток силой 210-6 А, рамка повернулась
на 100. Найти постоянную кручения нити. Указание: угол считать малым.
46.Период небольших колебаний маленькой магнитной стрелки вокруг
вертикальной оси в магнитном поле Земли равен 0.7 с. Период колебаний
той же стрелки, помещенной внутри соленоида, по которому идет ток,
равен 0.1 с. Затухание колебаний в обоих случаях невелико.
Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли равна 14.3 А/м.
Определите напряженность магнитного поля внутри соленоида.
12
47.Тонкий провод в виде кольца массой 310-3 кг свободно подвешен на
неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу пущен ток 2 А.
Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси
равен 1.2 с. Найти магнитную индукцию поля. Указание: момент инерции
тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр и лежащей
в плоскости кольца, равен I 
mR 2
.
2
48.Из тонкой проволоки массой 4 г изготовлена квадратная рамка, свободно
подвешенная на неупругой нити, по которой пропущен ток силой 8 А.
Определить частоту малых колебаний рамки в магнитном поле с
индукцией 0.02 Тл.
49.Две катушки, магнитные моменты которых равны 0.08 А.м2 и 0.12 А.м2,
расположены так, что их оси находятся на одной прямой. Расстояние
между ними 1 м велико по сравнению с размерами катушек. Определить
силу их взаимодействия.
50.Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент 30 Асм2,
находится на оси кругового витка радиусом 20 см, по которому течет ток
15 А. Найти силу, действующую на катушку, если ее расстояние от центра
витка равно 40 см, а вектор магнитного момента катушки совпадает по
направлению с осью витка.
51.По круговому витку радиуса 22 см течет ток 15 А. На оси витка на
расстоянии 37 см от его плоскости находится небольшой контур с током,
магнитный момент которого составляет угол 45 с осью витка. Момент
сил, действующих на малый контур, равен 10-8 Н.м. Определить магнитный
момент контура.
52.Тонкий провод в виде квадрата свободно подвешен на неупругой нити в
однородном магнитном поле с индукцией 0.005 Тл за середину одной из
сторон. По кольцу пущен ток 1.2 А. Период малых крутильных колебаний
относительно вертикальной оси равен 0.8 с. Найти массу провода.
53.Из тонкой проволоки массой 4 г изготовлена квадратная рамка, свободно
подвешенная на неупругой нити, по которой пропущен ток. Частота малых
колебаний рамки в магнитном поле с индукцией 0.02 Тл равна 0.5 Гц.
Определить силу тока.
54.Две катушки, магнитные моменты которых равны 0.10 А.м2 и 0.16 А.м2,
расположены так, что их оси находятся на одной прямой. Сила их
взаимодействия равна 10 нН. Определить расстояние между ними, считая
его большим по сравнению с размерами катушек.
55.Небольшая катушка с током находится на оси кругового витка радиусом 10
см, по которому течет ток 20 А. Сила, действующая на катушку, равна 0.4
нН, её расстояние от центра витка равно 50 см. Вектор магнитного
момента катушки совпадает по направлению с осью витка. Найти
магнитный момент катушки.
56.По круговому витку радиуса 22 см течет ток 15 А. На оси витка на
расстоянии 37 см от его плоскости находится небольшой контур с током,
магнитный момент которого равен 31 Асм2 и составляет угол 30 с осью
13
витка. Определить момент сил, действующих на малый контур.
57.# По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0.24
мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10
рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через
его середину. Определить магнитный момент, обусловленный вращением
заряженного стержня; отношение магнитного момента к моменту
импульса, если стержень имеет массу 12 г.
58.# Тонкий диск радиусом 10 см несет равномерно распределенный по
поверхности заряд 0.2 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой 20 Гц
относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через
его центр. Найти: 1) индукцию магнитного поля в центре диска; 2)
магнитный момент кругового тока, создаваемого диском; 3) отношение
магнитного момента к моменту импульса, если масса диска 10 г.
59.# Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода,
подвешена на упругой нити. Площадь рамки 1 см2, она расположена вдоль
силовых линий магнитного поля с индукцией 15 мТл. Когда через рамку
пропустили ток 5 мкА, рамка повернулась на угол 50. На какой угол рамка
повернется при токе 7.5 мкА? Каков модуль кручения нити?
60.# По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г был пропущен ток
силой 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на
неупругой нити. Определить период малых колебаний такой рамки в
однородном магнитном поле с индукцией 2 мТл. Затуханием колебаний
пренебречь.
 
 
3. Сила Ампера. Сила Лоренца. Эффект Холла.
 

dFA  I dl  B ; dFA  IdlB sin  – сила Ампера;

 
FЛ  q v  B ; FЛ  qvB sin  – сила Лоренца;
IB
U R
 RjbB – Холловская разность потенциалов
a
(рис.6);
R
1
– постоянная Холла.
ne
Примеры решения задач
Рис.6
Задача 6
Дано:
α=600
R=0.025 м
B=0.05 Тл
Найти:
Wкин.=?
Протон влетел в однородное магнитное поле под углом 600
к направлению линий поля и движется по спирали, радиус
которой 25 мм. Индукция магнитного поля 0.05 Тл. Найти
кинетическую энергию протона.
Решение
На протон, движущийся
в магнитном поле, действует сила

 
Лоренца, равная FЛ  qv  B, направленная перпендикулярно
скорости и индукции поля. Величина силы равна FЛ  qvB sin  .
Скорость v протона можно разложить на две составляющие:
одна перпендикулярна направлению поля, другая параллельна:
14
v   v sin  ;
v||  v  cos
(рис.7).
Тогда можно представить силу
Лоренца как FЛ  qv  B . Движение
частицы является суперпозицией
двух: вращение по окружности
радиуса R со скоростью v  в
плоскости, перпендикулярной полю,
и равномерное поступательное
движение вдоль линий поля со
v || ;
скоростью
в
результате
получается движение по винтовой
линии с шагом (расстоянием между
соседними
витками),
равным
h  v ||  T , где T 
Рис.7
вращения. По второму закону Ньютона
Отсюда R 
FЛ  m  aц.с.  m
2R
v
– период
v 2
v2
, или q  v   B  m  .
R
R
m  v
2m
2m
; T
; h  v || 
. Для решения нашей задачи достаточно
qB
qB
qB
из второго закона Ньютона выразить скорость и затем найти кинетическую
2
энергию: v  
Подставим
значения:. Wкин. 
Wкин. 
2
v
RqB
mv 2 m  RqB 
1  RqB 
RqB
 

; v  
; Wкин. 
 ; Wкин. 
 .
m
2
2  m sin  
2m  sin  
sin  m  sin 
численные
1
2  1.67  10  27
2
 0.025  1.6  10 19  0.05 
  1.6  10 17 Дж ,
 
0
sin 60


или
1.6  10 17
 100эВ .
1.6  10 19
Ответ: Wкин.  1.6  10 17 Дж  100эВ .
Задача 7
Провод в виде тонкого полукольца радиусом 10 см находится в однородном
магнитном поле с индукцией 50 мТл. По проводу течет ток силой 10 А. Найти
силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна
линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.
Решение

Дано:
Выделим элемент тока I  dl (рис.8). Пусть индукция
R=0.1 м
магнитного поля направлена из-за рисунка к нам. Угол между
B=0.05 Тл
элементом тока и вектором индукции равен 900, тогда
I=10 А
величина
силы Ампера, действующей на этот элемент,
dF  IdlB sin 90 0  IdlB , а направление её, найденное по правилу
Найти:
левой руки, указано на рисунке. Проекции силы Ампера на оси
F=?
OX и OY равны соответственно: dFx  dF  cos  и dFy  dF  sin  .
Элемент длины проводника можно выразить через приращение
15
угла d : dl  R  d . Тогда
dFx  I  B  R  cos   d ,
dFy  I  B  R  sin   d .
Полученные
выражения
проинтегрируем по всей длине
полуокружности, то есть по углу  в


пределах       :

2
2

R
2
Fx   dFx  IBR  cos d ;


2

 
  
Fx  IBR sin   2    IBR  sin  sin     ,



2
 2 

 2

 
  
Fx  IBR sin   2    IBR  sin  sin     ;
 
2
 2 

 2
Рис.8
Fx  2IBR .

2
Аналогично,

Fy   dFy  IBR  sin d  IBR  cos   2  0 . Таким образом, результирующая сила



2
2
направлена по оси OX и равна F  Fx  2IBR . Подставим численные значения:
F  2  10  0.05  0.1  0.1Н .
Ответ: F  0.1Н .
61.По двум параллельным проводам длиной 1 м каждый текут токи
одинаковой силы. Расстояние между проводами равно 0.01 м. Токи
взаимодействуют с силой 110-3 Н. Найти силу тока в проводах.
62.По двум параллельным проводникам длиной 3 м каждый текут одинаковые
токи силой 500 А. Расстояние между ними 0.1 м. Определить силу
взаимодействия проводников.
63.По трем прямым параллельным длинным проводам, находящимся на
одинаковом расстоянии 0.2 м друг от друга, текут токи одинаковой силы
400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу,
действующую на единицу длины каждого провода.
64.По трем параллельным длинным прямым проводам, находящимся на
одинаковом расстоянии 10 см друг от друга, в одном направлении текут
одинаковые токи силой 100 А. Определить силу, действующую на отрезок
1 м каждого провода.
65.По двум длинным параллельным проводникам, расстояние между
которыми 7.5 см, текут в одном направлении токи 10 А и 5 А. Где следует
поместить параллельный им третий проводник с током, чтобы он
находился в равновесии?
16
66.Прямой проводник длиной 20 см и весом 50 мН подвешен горизонтально
на двух легких нитях в однородном горизонтальном магнитном поле,
перпендикулярном проводнику. Какой силы ток надо пропустить через
проводник, чтобы одна из нитей разорвалась? Напряженность магнитного
поля 31.8 кА/м. Каждая нить разрывается при нагрузке, превышающей 40
мН.
67.По двум длинным параллельным проводникам в одном направлении текут
токи силой по 2 кА. В одной плоскости с проводниками параллельно им
закреплен отрезок прямого провода длиной 50 см. Определить силу тока в
проводе, если после снятия закрепления он начинает двигаться с
ускорением 1 м/с2. Масса провода 100 г, он расположен на расстоянии 20
см от одного и 40 см от другого проводника. Расстояние между
проводниками 20 см.
68.Медный провод, площадь сечения которого 2 мм2, согнут в виде трех
сторон квадрата и подвешен за концы к горизонтальной оси в
вертикальном магнитном поле. Когда по проводу пропускают ток силой 10
А, он отклоняется от вертикали на угол 150. Определить магнитную
индукцию.
69.Прямой провод длиной 40 см, по которому течет ток 100 А, движется в
однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна
проводу и равна 0.5 Тл. Какую работу совершают силы, действующие на
провод со стороны поля, при перемещении провода на расстояние 40 см,
если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и
проводу?
70.Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным
прямым проводом так, что две стороны ее параллельны проводу. По рамке
и проводу текут одинаковые токи силой 1103 А. Определить силу,
действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки
находится на расстоянии, равном ее длине.
71.По кольцу диаметром 10 см из свинцовой проволоки площадью сечения
0.7 мм2 идет ток силой 7 А, при этом температура проволоки повышается.
Прочность свинца на разрыв при этой температуре равна 2 Н/мм 2.
Разорвется ли такое кольцо, если поместить его в магнитное поле с
индукцией 1 Тл, перпендикулярное плоскости кольца?
72.Ток течет по длинному однослойному соленоиду, радиус сечения которого
5.5 см. Число витков на единицу длины соленоида 15 см -1. Найти
предельную силу тока, при которой проволока не разорвется, если
проволока выдерживает максимальную нагрузку 100 Н.
73.По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиусом 0.1 м, текут
одинаковые токи по 10 А. Найти силу взаимодействия колец, если
плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние между
центрами колец равно 0.001 м.
74.По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной 20 см
текут токи силой 10 А каждый. Определить силу взаимодействия контуров,
17
если плоскости, в которых лежат контуры, параллельны, а расстояние
между соответственными сторонами контуров равно 2 мм.
75.Вычислить радиус дуги окружности, которую описывает протон в
магнитном поле с индукцией 1.510-2 Тл, если скорость протона равна 2106
м/с.
76.Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном
магнитном поле с индукцией 0.015 Тл по окружности радиусом 0.1 м.
Определить импульс иона.
77.Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное
магнитное поле с индукцией 0.5 Тл. Определить момент импульса,
которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее
траектория представляла дугу окружности радиусом 0.001 м.
78.Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в
однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате
взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину
своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы
кривизны траектории начала и конца пути?
79.Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности
радиусом 0.02 м, прошла через свинцовую пластинку, расположенную на
пути частицы. Вследствие потери энергии частицей радиус кривизны
траектории изменился и стал равным 0.01 м. Определить относительное
изменение энергии частицы.
80.Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетел в
однородное магнитное поле с индукцией 0.3 Тл и начал двигаться по
окружности. Вычислить ее радиус.
81.Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно
линиям индукции. Определить силу, действующую на него со стороны
поля, если индукция равна 0.2 Тл, а радиус кривизны траектории 2 мм.
82.Протон и α-частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов,
влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции.
Во сколько раз радиус кривизны траектории протона меньше радиуса
кривизны траектории α-частицы?
83.Два иона с одинаковыми зарядами, пройдя одну и ту же разность
потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно
линиям индукции. Один ион с массой 12 а.е.м. описал дугу окружности
радиусом 0.02 м. Определить массу (в а.е.м.) другого иона, который описал
дугу окружности радиуса 2.31 см.
84.Заряженная частица, имеющая скорость 2106 м/с, влетела в
однородное магнитное поле с индукцией 0.52 Тл. Найти отношение заряда
частицы к ее массе, если она в поле описала дугу окружности радиусом
0.04 м. По этому отношению определить, какая это частица.
85.Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов 2103
В, движется в однородном магнитном поле с индукцией 0.015 Тл по
окружности радиусом 0.01 м. Определить отношение заряда частицы к ее
массе и скорость частицы.
18
86.# Между полюсами магнита на двух тонких непроводящих нитях подвешен
горизонтально линейный проводник весом 0.1 Н и длиной 20 см.
Напряженность однородного магнитного вертикального поля равна 200
кА/м. На какой угол от вертикали отклонятся нити, поддерживающие
проводник, если по нему пропустить ток 2 А? Весом нитей пренебречь.
87.# С какой силой действует постоянный ток 10 А, проходящий по
прямолинейному бесконечно длинному проводнику, на контур из провода,
изогнутого в виде квадрата? Проводник расположен в плоскости контура
параллельно двум его сторонам. Длина стороны контура 40 см, сила тока в
нем 2.5 А. Расстояние от прямолинейного тока до ближайшей стороны
контура 2 см.
88.# Провод в виде тонкого полукольца радиусом 10 см находится в
однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл. По проводу течет ток
силой 10 А. Найти силу, действующую на провод, если плоскость
полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода
находятся вне поля.
89.# По тонкому проводу в виде кольца радиусом 20 см течет ток силой 100
А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное
поле с индукцией 20 мТл. Найти силу, растягивающую кольцо.
90.# Протон влетел в однородное магнитное поле под углом 60 0 к
направлению линий поля и движется по спирали, радиус которой 25 мм.
Индукция магнитного поля 0.05 Тл. Найти кинетическую энергию протона.
91.Протон с кинетической энергией 6 эВ влетел в однородное магнитное поле
перпендикулярно линиям индукции 1 Тл. Какова должна быть
минимальная протяженность поля в направлении, по которому летел
протон, когда он находился вне поля, чтобы оно изменило направление
движения протона на противоположное?
92.Протон с кинетической энергией 1106 эВ влетел в однородное магнитное
поле перпендикулярно линиям индукции (В=1 Тл). Какова должна быть
минимальная протяженность поля в направлении, по которому летел
протон, когда он находился вне поля, чтобы оно изменило направление
движения протона на противоположное?
93.Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле
напряженностью 1104 А/м. Вычислить период вращения электрона.
94.Электрон в однородном магнитном поле с индукцией 0.1 Тл движется по
окружности. Найти силу эквивалентного кругового тока, создаваемого
движением электрона.
95.Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией 0.2 Тл, стал
двигаться по окружности радиусом 0.05 м. Определить магнитный момент
эквивалентного кругового тока.
96.Протон движется по окружности в однородном магнитном поле с
индукцией 2 Тл. Определить силу эквивалентного кругового тока,
создаваемого движением протона.
19
97.В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл движется α-частица.
Траектория ее движения представляет собой винтовую линию с радиусом
0.01 м и шагом 0.06 м. Определить кинетическую энергию α-частицы.
98. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов 52 В и
влетела в скрещенные под прямым углом электрическое с напряженностью
104 В/м и магнитное с индукцией 0.1 Тл поля. Найти отношение заряда
частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица
не испытывает отклонений от прямолинейной траектории. Определить,
какая это частица.
99. Два иона, имеющие одинаковые заряды, но различные массы, влетели в
однородное магнитное поле. Первый ион начал двигаться по окружности
радиусом 0.05 м, второй ион по окружности радиусом 0.025 м. Найти
отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую
разность потенциалов.
100. В однородном магнитном поле с индукцией 10-4 Тл движется электрон по
винтовой линии. Определить скорость электрона, если шаг винтовой линии
равен 0.20 м, а радиус 0.05 м.
101. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 0.009 Тл по
винтовой линии, радиус которой 0.01 м и шаг 0.078 м. Определить период
вращения электрона и его скорость.
102. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл движется протон.
Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом
0.10 м и шагом 0.60 м. Определить кинетическую энергию протона.
103. Электрон влетает в однородное магнитное поле напряженностью 16103
А/м со скоростью 8106 м/с. Вектор скорости составляет угол 600 с
направлением линии индукции. Определить радиус и шаг винтовой линии,
по которой будет двигаться электрон в магнитном поле. Определить шаг
винтовой линии для электрона, летящего под малым углом к линиям
индукции.
104. Вычислить скорость и кинетическую энергию α-частицы, выходящей из
циклотрона, если, подходя к выходному окну, ионы движутся по
окружности радиусом 0.50 м. Индукция магнитного поля циклотрона 1.7
Тл.
105. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 10 кВ, влетает в
вакууме в однородное магнитное поле с напряженностью 79600 А/м под
углом 530 к направлению линий магнитной индукции. Найти радиус и шаг
спирали, по которой электрон будет двигаться в магнитном поле.
106. Параллельно длинному прямолинейному проводнику с током 10 А на
расстоянии 2 мм от проводника движется электрон со скоростью 10 Мм/с.
С какой силой будет действовать магнитное поле тока на электрон?
107. Положительный заряд влетает с постоянной скоростью в однородное
магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 1 Тл.
В течение 100 мкс параллельно индукции магнитного поля действует
электрическое поле напряженностью 100 В/м. Вычислить постоянный (при
установившемся движении) шаг спиральной траектории заряда.
20
108. Пучок однозарядных ионов неона, пройдя в электрическом поле
ускоряющую разность потенциалов 1 кВ, влетает в однородное магнитное
поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, численно равной 0.14
Тл. В магнитном поле ионы движутся по двум дугам окружностей,
радиусы которых 14.5 см и 15.5 см. Найти массовые числа изотопов неона.
109. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400 В, влетел в
однородное магнитное поле с напряженностью 1000 А/м перпендикулярно
силовым линиям поля. Определить радиус кривизны траектории и частоту
обращения электрона в магнитном поле.
110. Электрон, прошедший в ускоряющем электрическом поле разность
потенциалов 10 кВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией
0.5 Вб/м2, перпендикулярной его скорости. Определить момент импульса
электрона.
111. Электрон, влетевший в однородное магнитное поле с напряженностью 32
кА/м перпендикулярно направлению силовых линий поля, движется в нем
по окружности радиусом 2 см. Найти разность потенциалов, которую
прошел электрон перед тем, как влететь в магнитное поле.
112. Определить число оборотов, которые должен сделать протон в магнитном
поле циклотрона, чтобы приобрести кинетическую энергию 10106 эВ, если
при каждом обороте протон проходит между дуантами разность
потенциалов 30103 В.
113. Через сечение S=ab медной пластинки толщиной a=0.5 мм и высотой b=10
мм идет ток силой 20 А. При помещении пластинки в магнитное поле,
перпендикулярное ребру b и направлению тока, возникает поперечная
разность потенциалов 3.1 мкВ. Индукция магнитного поля 1 Тл.
Определить: 1) концентрацию электронов проводимости в меди; 2) их
среднюю скорость при этих условиях.
114. Через сечение S=ab алюминиевой пластинки (a=0.1 мм - толщина, b высота пластинки) пропускается ток силой 5 А. Пластинка помещена в
магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока.
Определить возникающую при этом поперечную разность потенциалов,
если индукция магнитного поля равна 0.5 Тл. Концентрацию электронов
проводимости считать равной концентрации атомов.
115. При измерении эффекта Холла в натриевом проводнике напряженность
поперечного поля оказалась 5 мкВ/см при плотности тока 200 А/см2 и
индукции магнитного поля 1 Тл. Найти концентрацию электронов
проводимости и ее отношение к концентрации атомов в проводнике.
116. Найти подвижность электронов проводимости в медном проводнике, если
при измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией 0.1 Тл
напряженность поперечного электрического поля у данного проводника
оказалась в 3100 раз меньше напряженности продольного электрического
поля.
117. # Перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией 10 -3 Тл
возбуждено однородное электрическое поле напряженностью 103 В/м.
Перпендикулярно обоим полям влетает α-частица со скоростью 106 м/с.
21
Определить нормальное и тангенциальное ускорения ее в момент
вхождения в поле.
118. # Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 8 .10-15 Дж.
Каков должен быть радиус дуантов циклотрона, если индукция магнитного
поля равна 1 Тл? Какова наименьшая продолжительность одного цикла
работы этого ускорителя, если начальная энергия протонов мала, а
амплитуда напряжения между дуантами 16 кВ?
119. # В циклотроне требуется ускорить ионы гелия Не++. Частота переменной
разности потенциалов, приложенной к дуантам, равна 10106 Гц. Какова
должна быть индукция магнитного поля, чтобы период вращения ионов
совпадал с периодом изменения разности потенциалов?
120. # Пластинка полупроводника толщиной a=0.2 мм помещена в магнитное
поле, направленное вдоль a. Удельное сопротивление полупроводника 10-5
Ом.м. Индукция магнитного поля 1 Тл. Перпендикулярно полю вдоль
пластинки пропускается ток силой 0.1 А, при этом возникает поперечная
разность потенциалов 3.25 мВ. Определить подвижность носителей тока в
полупроводнике.
4. Магнитный поток. Индуктивность. Явление электромагнитной
индукции. Самоиндукция.
Взаимная индукция. Ток смещения
 
 
d  BdS  BdS cos ;    BdS – определение магнитного потока;
S
A  I – работа поля по перемещению контура с током в магнитном поле;
 
 
L
 L   – определение индуктивности контура (соленоида);
I 
I 
  N  LI – полное потокосцепление;
N2
L   0
S – индуктивность соленоида;
l
d
– закон Фарадея для электромагнитной индукции;
i 
dt
U  vBl sin  – разность потенциалов на концах движущегося проводника;

 
B 
d
L E B dl  S t dS   dt = i – циркуляция вектора напряженности вихревого
ε
ε
электрического поля;
q  

R
– заряд, прошедший через поперечное сечение проводника при
возникновении в нем индукционного тока;
εsi   L dIdt – ЭДС самоиндукции;
εsi2  L dIdt – ЭДС взаимной индукции;
1
21
L12   0
N1 N 2
S – коэффициент взаимной индукции двух катушек на общем
l
сердечнике;
22


D
– плотность тока смещения;
j см. 
t

 
  D  
L Hdl  S  j  dt dS – закон полного тока.
Примеры решения задач
Задача 8
Горизонтальный металлический стержень длиной 50 см вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с частотой 2 Гц.
Определить разность потенциалов между концами стержня, если вертикальная
составляющая напряженность магнитного поля Земли равна 40 А/м.
Решение
Дано:
Разность потенциалов на концах стержня возникает, так
l=0.5 м
как на электроны металла, движущиеся вместе со стержнем в
ν=2 Гц
магнитном поле, действует сила Лоренца, направленная
H=40 А/м
вдоль стержня и равная FЛ  qvB sin  , где угол между
направлением скорости и индукцией магнитного поля α=900.
Найти:
Действие силы Лоренца можно интерпретировать как
Δφ=?
действие
эквивалентного
электрического
поля
Е B  v  B.
напряжённостью
Она
направлена
противоположно силе Лоренца,
2
так как заряд электрона
1

отрицателен. Под влиянием
EB
силы
Лоренца
произойдёт
перемещение электронов, и на
концах проводника возникнет
разность
потенциалов
Δφ.
Рис.9
Возникшее
электрическое поле

Е
будет
препятствовать
передвижению зарядов, и их дальнейшее передвижение прекратится, когда сила
со стороны индуцированного электрического поля будет равна
повеличине, но

ЕB  E .
противоположна по направлению силе Лоренца, или
Разность
потенциалов
связана
с напряжённостью
электростатического
поля:

2
 
   2  1    Edl
,
2


l
  

   Е B dx   v  B  dx ,
тогда
1
1
или
l
   vBdl .
0


Здесь
0
интегрирование ведётся по длине стержня от точки 1 до точки 2. Линейная
скорость v электрона, находящегося на расстоянии x от оси вращения, и угловая
ω связаны соотношением: v  x   , тогда
l
x2
   xBdx  B
2
0
Такой
же
результат
электромагнитной индукции:
даёт
εi

l
 2  B
0
l2
   Bl 2 .
2
использование
d
, где d
dt
закона
Фарадея
для
– пересечённый магнитный
23
поток (поток вектора магнитной индукции через поверхность dS , заметённую
стержнем за время dt ). Если концы стержня замкнуть проводом, находящимся
вне поля, и направить
нормаль к получившемуся замкнутому контуру

параллельно вектору B , то при повороте стержня на угол d    dt площадь
d
   l 2 , а пересечённый магнитный поток
2
2
2
l
Bl 
d Bl 2 Bl 2  2
равен d   B  dS   B  d  
dt . Тогда i  


 Bl 2   .
2
2
dt
2
2
контура будет уменьшаться на dS 
ε
Ту же формулу можно получить ещё более простым способом, если в
качестве промежутка времени в законе Фарадея взять период вращения. Тогда
εi   
, где    BS   B  l
T
2
– пересечённый магнитный поток через площадь
1
круга, описанного стержнем: S    l 2 . Далее, T  , и

 B  l  .
εi   
T
2
Индукцию магнитного поля выразим через напряжённость: B   0 H , тогда
     0 Hl 2 (магнитная проницаемость среды   1 ). Подставим численные
значения:   3.14  2  4  3.14  10 7  40  0.52  79  10 6 В  79 мВ .
Ответ:   79 мВ .
Задача 9
Проводник длиной 60 см и сопротивлением 0.02 Ом под действием силы
Ампера движется в магнитном поле с индукцией 1.6 Тл равномерно со
скоростью 50 см/с по медным шинам. Шины подключены к источнику ЭДС 0.96
В и внутренним сопротивлением 0.01 Ом. Поле перпендикулярно плоскости, в
которой лежат шины. Определить: 1) силу тока в цепи; 2) мощность,
развиваемую движущимся проводником; 3) мощность, расходуемую на
нагревание проводника.
Решение
 

Дано:
На проводник действует сила Ампера, равная FA  I l  B ; её
l=0.6 м
  90 0 – угол между
величина FA  I  l  B  sin  , где

R=0.02 Ом
B и элементом
направлением вектора магнитной индукции

B=1.6 Тл
тока
I  l , а направление
v=0.5 м/с
можно найти по правилу
ε=0.96 В
левой руки (рис.10). Сила
r=0.01 Ом
тока по закону Ома для
замкнутой цепи
равна
Найти:
 i
d
, где  i  
–
I

I=?
dt
Rr
PДВ=?
ЭДС
индукции,
PНАГР=?
возникающая
при
Рис.10
изменении
площади
контура, и, соответственно, при изменении магнитного потока через площадь
контура. За время dt проводник переместится на расстояние v  dt , площадь
контура увеличится на dS  l  v  dt , а магнитный поток – на d  BdS  B  l  v  dt .
24
Таким образом,

i



d
Bl vdt
 Bl v

  Bl v , I   Bl v , FA 
 l  B . Мощность,
dt
dt
Rr
Rr
развиваемая движущимся проводником, – это мощность силы Ампера и равна:
PДВ 
FA  v  dt
 FA  v  I  lBv .
dt
Мощность,
расходуемую
на
нагревание
I 2 R  dt
 I 2R .
dt
dt
0.96  1.6  0.6  0.5
I   Bl v 
 16 А ;
Подставим
численные
значения:
Rr
0.02  0.01
 I  lBv  16  0.6  1.6  0.5  7.68Вт ; PНАГР  I 2 R  16 2  0.02  5.12Вт .
проводника, найдём по закону Джоуля-Ленца: PНАГР 
dQ Д  Л


PДВ
Можно проверить полученные результаты, используя закон сохранения

энергии: полная мощность, даваемая источником, равна PПОЛН  PДВ  PНАГР  PНАГР
  I 2 r  16 2  0.01  2.56Вт – мощность, выделяемая на внутреннем
Здесь PНАГР
сопротивлении источника тока, а PПОЛН    I  0.96  16  15.36Вт . Таким образом,
получаем верное равенство: 7.68  5.12  2.56  15.36 .
Ответ: I  16 А ; PДВ  7.68Вт ; PНАГР  5.12Вт ;
Задача 10
Определить силу тока смещения между квадратными пластинами
конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля
изменяется со скоростью 4.52 МВ/(м.с).
Решение
Дано:
По определению плотность тока смещения
dE
 4.52  10 6 В /  м  с 
dt
а=0.05 м
Найти:
IСМ =?

D
, а вектор электрического смещения связан с
j см. 
t
напряжённостью электрического
поля соотношением



D   0 E ,
тогда

E
.
jсм .   0
t
Силу
  1.
Диэлектрическая
проницаемость
тока
смещения,
протекающего между обкладками конденсатора, найдём из определения
плотности тока:
I СМ  j СМ S   0
j
I
, где
S
S  a2
– площадь обкладок. Таким образом,
dE 2
a . Подставим численные значения:
dt
I СМ  8.85  10 12  4.52  10 6  0.05 2  0.1  10 6 А .
Ответ: I СМ  0.1  10 6 А  0.1мкА .
Задача 11
В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток
силой 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее
длиной 0.65 м параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из
этих сторон равно ее ширине. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.
25
Дано:
I=50 А
а=0.65 м
b=l
Найти:
Ф =?
Решение
Прямой бесконечный проводник с током создаём магнитное
поле, величина вектора индукции которого определяется
расстоянием x до провода: B   0
I
2  x
, а направление – по
правилу правого винта (рис.11). Найдём магнитный поток
d через малую площадку dS  a  dx , параллельную проводнику.
Так как dx мало, то в пределах
заштрихованного прямоугольника индукцию
можно
считать
одинаковой,
и
по
определению
магнитного
потока
d  B  dS  cos  , где   0 – угол между

направлением вектора B и нормалью к
площадке.
Таким
образом,
d  B  a  dx 
 0 I
 a  dx .
2  x
Проинтегрируем
полученное выражение по x в пределах
l  x  l  b , то есть по всей площади
прямоугольника:
Рис.11
 0 I
 0 Ia l b dx
;

a

dx

l 2  x
2 l x
 Ia  l  b    0 Ia
2l
  0   ln
 ln , так как

2 
l 
2
l
   d 
l b
 0 Ia
 0 Ia
l b
lnl  b  ln l  ;
 ln x  l 
2
2
 Ia
  1 . И, наконец,   0  ln 2 . Подставим численные значения:
2
7
4  10  50  0.65

 ln 2  4.5  10 6 Вб .
2
Ответ:   4.5  10 6 Вб  4.5 мкВб .

121. Катушка длиной 40 см и диаметром 4 см содержит 2000 витков проволоки
сопротивлением 15 Ом. Определить напряженность и индукцию
магнитного поля внутри катушки, а также поток магнитной индукции
через ее сечение, если к катушке подведено напряжение 6 В.
122. Магнитный поток сквозь сечение соленоида равен 510-5 Вб. Длина
соленоида 0.50 м. Найти магнитный момент соленоида, если его витки
плотно прилегают друг к другу.
123. Соленоид длиной 1 м и сечением 1.610-3 см2 содержит 2000 витков.
Вычислить потокосцепление при силе тока в обмотке 10 А.
124. В однородном магнитном поле с индукцией 0.01 Тл находится прямой
провод длиной 0.08 м, расположенный перпендикулярно линиям
индукции. По проводу течет ток силой 2 А. Провод переместился в
плоскости, перпендикулярной линиям индукции, на расстояние 0.05 м.
Угол между перемещением и проводом 600. Найти работу сил поля. Найти
26
работу сил поля, если провод перемещался в плоскости, параллельной
линиям индукции.
125. Плоский контур с площадью 310-2 м2 находится в однородном магнитном
поле с индукцией 0.01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям
индукции. В контуре поддерживается неизменный ток силой 10 А.
Определить работу внешних сил по перемещению контура с током в
область пространства, магнитное поле в которой отсутствует.
126. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной 0.1 м, течет
постоянный ток силой 20 А. Плоскость квадрата составляет угол 20 0 с
линиями индукции однородного магнитного поля с индукцией 0.1 Тл.
Вычислить работу, которую необходимо совершить для удаления провода
за пределы поля.
127. Виток, по которому течет ток силой 20 А, свободно установился в
однородном магнитном поле с индукцией 0.016 Тл. Диаметр витка равен
0.10 м. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы виток
повернулся на угол 900 относительно оси, совпадающей с диаметром. То
же при угле 3600.
128. Плоский контур с током 5 А свободно установился в однородном
магнитном поле с индукцией 0.4 Тл. Площадь контура 210-2 м2.
Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси,
лежащей в плоскости контура, на угол 450. Определить совершенную при
этом работу.
129. На немагнитный каркас длиной 50 см и площадью сечения 3 см2 намотан в
один слой провод диаметром 0.4 мм (витки вплотную). Найти
индуктивность соленоида, полное потокосцепление и магнитный поток,
пронизывающий поперечное сечение соленоида при силе тока 1 А.
130. Индуктивность соленоида, намотанного в один слой на немагнитный
каркас, составляет 0.510-3 Гн. Длина соленоида 0.6 м, диаметр 0.02 м.
Определить число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
131. Соленоид содержит 600 витков. При силе тока 10 А магнитный поток
равен 8010-6 Вб. Определить индуктивность соленоида и потокосцепление.
132. Соленоид индуктивностью 4.10-3 Гн содержит 600 витков. Определить
магнитный поток и потокосцепление, если сила тока, протекающего по
обмотке, равна 12 А.
133. Индуктивность катушки без сердечника равна 0.02 Гн. Какое
потокосцепление создается, когда по обмотке течет ток силой 5 А? К
катушке последовательно присоединили еще одну такую же при
неизменном напряжении в цепи. Какова станет индуктивность? Каким
будет потокосцепление?
134. Длинная прямая катушка, намотанная на немагнитный каркас, имеет 1000
витков и индуктивность 310-3 Гн. Какой магнитный поток и
потокосцепление создаёт катушка при токе силой 1А? Катушку укоротили
втрое, оставив неизменными плотность намотки и напряжение в цепи.
Найти индуктивность и потокосцепление.
27
135. Соленоид, площадь сечения которого равна 510-4 м2, содержит 1200
витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при токе силой 2 А
равна 0.01 Тл. Определить индуктивность соленоида.
136. Индуктивность соленоида длиной 1 м, намотанного в один слой на
немагнитный каркас, равна 1.6.10-3 Гн. Площадь сечения соленоида равна
210-3 м2. Определить число витков на каждом сантиметре длины
соленоида.
137. Сколько витков проволоки диаметром 0.4.10-3 м с изоляцией ничтожной
толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром 0.02 м, чтобы
получить однослойную катушку с индуктивностью 10-3 Гн? Витки
вплотную прилегают друг к другу.
138. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет
индуктивность 3610-3 Гн. Чтобы увеличить индуктивность, длину катушки
увеличили при прежней плотности намотки в 2.78 раза. Какова
индуктивность получившейся катушки?
139. На картонный каркас длиной 0.8 м и диаметром 0.04 м намотан в один
слой провод диаметром 0.2510-3 м так, что витки плотно прилегают друг к
другу. Вычислить индуктивность получившегося соленоида.
140. Рамка площадью 400 см2, имеющая 100 витков, вращается в однородном
магнитном поле с индукцией 0.01 Тл. Период обращения рамки 0.1 с.
Определить максимальное значение ЭДС индукции в рамке. Ось вращения
перпендикулярна линиям индукции.
141. Горизонтальный тонкий металлический стержень длиной 75 см вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей на расстоянии 25 см от одного из
концов, с частотой 2 Гц. Определить разность потенциалов между концами
стержня, если вертикальная составляющая напряженность магнитного
поля Земли равна 40 А/м.
142. # На длинный картонный каркас диаметром 0.05 м уложена однослойная
обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром 0.210-3 м. Определить
магнитный поток, создаваемый таким соленоидом при силе тока 0.5 А.
143. # В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток
силой 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие
стороны ее длиной 0.65 м параллельны проводу, а расстояние от провода
до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Найти магнитный поток,
пронизывающий рамку.
144. # Прямой провод длиной 0.4 м, по которому течет ток силой 100 А,
движется в однородном магнитном поле с индукцией 0.5 Тл. Какую работу
совершат силы, действующие на провод со стороны поля, при
перемещении его на расстояние 0.4 м, если направление перемещения
перпендикулярно линиям индукции и проводу? Угол между линиями
индукции поля и проводом 300.
145. # Соленоид содержит 4000 витков провода, по которому течет ток силой 20
А. Определить магнитный поток и потокосцепление, если индуктивность
0.4 Гн.
28
146. # На картонный каркас длиной 0.50 м и площадью сечения, равной 410-4
м2, намотан в один слой провод диаметром 0.210-3 м так, что витки плотно
прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить
индуктивность получившегося соленоида.
147. # Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет 750
витков и индуктивность 2510-3 Гн. Чтобы увеличить индуктивность
катушки до 3610-3 Гн, обмотку с катушки сняли и заменили обмоткой из
более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась
прежней. Определить число витков катушки после перемотки.
148. # В однородном магнитном поле находится виток площадью 10 см 2,
расположенный перпендикулярно силовым линиям. Какой ток потечет по
витку, если поле будет убывать с постоянной скоростью 8 кА/(м.с)?
Сопротивление витка 1 Ом.
149. # Горизонтальный тонкий металлический стержень длиной 50 см
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов,
с частотой 2 Гц. Определить разность потенциалов между концами
стержня, если вертикальная составляющая напряженность магнитного
поля Земли равна 40 А/м.
150. # С какой скоростью должен двигаться проводник длиной 10 см
перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля,
напряженность которого 160 кА/м, чтобы между концами проводника
возникла разность потенциалов 10 мВ? Направление скорости проводника
с направлением самого проводника составляет угол 300. Силовые линии
перпендикулярны проводнику.
151. Плоская рамка площадью 100 см2, содержащая 20 витков провода,
вращается в однородном магнитном поле с индукцией 100 мТл. Амплитуда
ЭДС индукции равна 10 В. Определить частоту вращения.
152. Плоская проволочная рамка, состоящая из одного витка, имеющего
сопротивление 1 мОм и площадь 1 см2, находится в однородном
магнитном поле. Направление силовых линий поля перпендикулярно
плоскости рамки. Индукция магнитного поля изменяется со скоростью 10
мВб/(м2.с). Какое количество теплоты выделится в рамке за 1 с?
153. С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник вокруг одного
из его концов в однородном магнитном поле в плоскости,
перпендикулярной к силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла
ЭДС, равная 0.3 В? Длина проводника 20 см, напряженность магнитного
поля 160 кА/м.
154. В однородном магнитном поле с индукцией 0.4 Тл в плоскости,
перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной 10
см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить
разность потенциалов на концах стержня при частоте вращения 16 Гц.
155. Индукция магнитного поля между полюсами двухполюсного генератора
0.8 Тл. Ротор имеет 100 витков площадью 400 см2. Сколько оборотов в
минуту делает якорь, если максимальное значение ЭДС индукции равно
200 В?
29
156. Проводник длиной 15 см помещен в перпендикулярное проводнику
магнитное поле с индукцией 2 Тл. Концы проводника замкнуты проводом,
находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи 0.5 Ом. Какую мощность
необходимо затратить, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям
индукции и проводнику со скоростью 10 м/с?
157. Проводник длиной 60 см и сопротивлением 0.02 Ом под действием силы
Ампера движется в магнитном поле с индукцией 1.6 Тл равномерно со
скоростью 50 см/с по медным шинам. Шины подключены к источнику
ЭДС 0.96 В и внутренним сопротивлением 0.01 Ом. Поле перпендикулярно
плоскости, в которой лежат шины. Определить: 1) силу тока в цепи; 2)
мощность, развиваемую движущимся проводником; 3) мощность,
расходуемую на нагревание проводника.
158. Рамка с площадью 210-2 м2 равномерно вращается с частотой 10 Гц
относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям
индукции однородного магнитного поля с индукцией 0.2 Тл. Каково
среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный
поток, пронизывающий рамку, изменится от 0 до максимального значения?
159. В однородном магнитном поле с индукцией 0.35 Тл равномерно с частотой
480 Гц вращается рамка из 1500 витков площадью 510-3 м2. Ось вращения
лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции.
Определить максимальную ЭДС индукции, возникающую в рамке.
160. Короткая катушка из 100 витков равномерно вращается в однородном
магнитном поле с индукцией 0.4 Тл. Угловая скорость 5 рад/с
относительно
оси,
совпадающей
с
диаметром
катушки
и
перпендикулярной линиям индукции поля. Определить мгновенное
значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость
катушки составляет угол 600 с линиями индукции поля. Площадь катушки
равна 110-2 м2.
161. В однородном магнитном поле с индукцией 0.5 Тл вращается с частотой 10
Гц стержень длиной 0.20 м. Ось вращения параллельна линиям индукции и
проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси.
Определить разность потенциалов на концах стержня.
162. Прямой провод длиной 0.40 м движется в однородном магнитном поле со
скоростью 5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов
между концами провода 0.6 В. Вычислить индукцию магнитного поля.
163. В однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл находится прямой провод
длиной 0.2 м, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление всей
цепи равно 0.1 Ом. Найти силу, которую нужно приложить к проводу,
чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью
2.5 м/с.
164. Прямой провод длиной 0.1 м помещен в однородное магнитное поле с
индукцией 1 Тл. Концы его замкнуты гибким проводом, находящимся вне
поля. Сопротивление всей цепи 0.4 Ом. Какая мощность потребуется для
того, чтобы двигать провод перпендикулярно линиям индукции со
скоростью 20 м/с?
30
165. К источнику тока с ЭДС 0.5 В и ничтожно малым внутренним
сопротивлением
присоединены
два
металлических
стержня,
расположенных горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние
между стержнями 0.2 м. Стержни находятся в однородном магнитном
поле, направленном вертикально. Магнитная индукция 1.5 Тл. По
стержням под действием сил поля скользит со скоростью 1 м/с
прямолинейный провод сопротивлением 0.02 Ом. Сопротивление стержней
пренебрежимо мало. Определить: а) ЭДС индукции; б) силу, действующую
на провод со стороны поля; в) силу тока в цепи; г) мощность, расходуемую
на движение провода; д) мощность, расходуемую на нагревание провода;
е) мощность, отдаваемую в цепь источником тока.
166. Рамка, имеющая 1000 витков площадью 5 см2, замкнута на гальванометр с
сопротивлением 10 мОм. Рамка находится в однородном магнитном поле с
индукцией 10-2 Тл, причем линии поля перпендикулярны ее плоскости.
Какой заряд протечет по цепи гальванометра, если направление
магнитного поля изменилось на противоположное?
167. Рамка из провода сопротивлением 0.04 Ом равномерно вращается в
однородном магнитном поле с индукцией 0.6 Тл. Ось вращения лежит в
плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки
210-2 см2. Определить заряд, который протечет по рамке при изменении
угла между нормалью к рамке и линиями индукции: а) от 0 0 до 450; б) от
450 до 900.
168. Проволочный виток радиусом 0.04 м с сопротивлением 0.01 Ом находится
в однородном магнитном поле с индукцией 0.04 Тл. Плоскость рамки
составляет угол 300 с линиями индукции поля. Какой заряд протечет по
витку, если магнитное поле исчезнет?
169. Проволочное кольцо радиусом 0.1 м лежит на столе. Какой заряд протечет
по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление
кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля
Земли равна 510-5 Тл.
170. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением 10 Ом
изменяется в течение 15 с по закону: Ф=at(15–t), где t выражено в
секундах, Ф – в Вб. Найти количество теплоты, выделенное в контуре за
это время. Индуктивностью контура пренебречь.
171. В бетатроне скорость изменения магнитной индукции 60 Тл/с. Определить
напряженность вихревого электрического поля на орбите электрона, если
ее радиус 0.5 м.
172. Соленоид содержит 103 витков. Площадь сечения сердечника равна 10-3м2.
В обмотке течет ток, создающий поле с индукцией 1.5 Тл. Найти среднюю
ЭДС индукции, возникающую в соленоиде, если ток уменьшился до нуля
за время 510-4 с.
173. Индуктивность катушки равна 210-3 Гн. Ток частотой 50 Гц, протекающий
по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю
ЭДС самоиндукции, возникающую за интервал времени, в течение
31
которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального
значения. Амплитудное значение силы тока 10 А.
174. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность первой
катушки 0.2 Гн, второй – 0.8 Гн, сопротивление второй катушки 600 Ом.
Какой ток потечет во второй катушке, если ток в 0.3 А, текущий в первой
катушке, выключить в течение 1 мс?
175. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами
конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля
изменяется со скоростью 4.52 МВ/(м.с).
176. # Рамка с площадью 110-2 м2 содержит 1000 витков провода
сопротивлением 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее
сопротивление 20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном
магнитном поле с индукцией 0.1 Тл с частотой 8 Гц. Определить
максимальную мощность переменного тока в цепи.
177. # Кольцо из проволоки сопротивлением 10-3 Ом находится в однородном
магнитном поле с индукцией 0.4 Тл. Плоскость кольца составляет угол 90 0
с линиями индукции. Определить заряд, который протечет по кольцу, если
его выдернуть из поля. Площадь кольца 10-3 м2.
178. # Средняя скорость изменения магнитного потока в бетатроне,
рассчитанном на энергию 60106 эВ, составляет 50 Вб/с. Определить число
оборотов электрона на орбите за время ускоренного движения и путь,
пройденный электроном, если радиус орбиты 0.20 м.
179. # Электрон в бетатроне движется по орбите радиусом 0.4 м и приобретает
за один оборот кинетическую энергию 20 эВ. Вычислить скорость
изменения магнитной индукции, считая эту скорость в течение
интересующего нас промежутка времени постоянной.
180. # Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой.
Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой 5 А/с, во второй
катушке возникает ЭДС индукции 0.1 В. Определить коэффициент
взаимной индукции катушки.
5. Энергия магнитного поля. Магнетики
LI
I 
– энергия магнитного поля контура с током;


2
2
2L
LI 2 I  2
W


– энергия магнитного поля соленоида;
2
2
2L
dW HB
w

– объемная плотность энергии магнитного поля;
dV
2
B
B


– магнитная проницаемость вещества;
B0  0 H

  pm
J
– намагниченность вещества;
V


pm  JV – магнитный момент прямого магнита;
W
2
2
32


B 
H
 J – напряженность поля в магнетике;
0
Примеры решения задач
Задача 12
Обмотка соленоида с железным
сердечником содержит 500 витков.
Длина сердечника равна 0.5 м. Как и во
сколько раз изменится индуктивность
соленоида,
если
сила
тока,
протекающего по обмотке, возрастет от
0.1 до 1 А? Использовать график
зависимости
индукции
от
напряженности магнитного поля для
железа (рис.12).
Дано:
N=500
I1=0.1 А
I2=1 А
l=0.5 м
Найти:
L2
?
L1
Решение
По определению индуктивность катушки равна L 

I
, где
  N
– полное потокосцепление, то есть суммарный
магнитный поток через все N витков катушки,   BS –
магнитный поток через один виток, S – площадь сечения
соленоида. Индукцию магнитного поля
соленоида
с
ферромагнитным сердечником найдём по графику (ри.12),
рассчитав предварительно напряжённость поля соленоида по
формуле H  n  I 
графику
Рис.12.
B1  0.5Тл
;
N
N
500
 I : H1   I 
 0.1  0.1  10 3 А / м , тогда по
l
l
0.5
500
 1  10 3 А / м , и B1  1.45Тл . Таким образом,
0.5
L2  2 I1 B2 I1
. Подставим численные значения:

 
L1 1 I 2 B1 I 2
H2 
L2  2 /I 2
N 2 I1


 , или
L1 1 / I 1 N 1 I 2
L2 1.45  1

 29 .
L1 0.5  0.1
Ответ: индуктивность соленоида увеличится в 29 раз.
181. Определить индуктивность катушки, имеющей 800 витков. Длина катушки
25 см, диаметр витков 4 см. По катушке идет ток 1 А. Чему равен
магнитный поток сквозь виток катушки? Чему равно потокосцепление?
Какова энергия магнитного поля?
182. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит 1200 витков
провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 4 А магнитный
поток сквозь виток катушки равен 6 мкВб. Определить индуктивность
соленоида и энергию магнитного поля.
33
183. В соленоиде без сердечника, содержащем 720 витков, сила тока
увеличивается на 10 А за 0.12 с и при этом возрастает магнитный поток от
1.6 до 4.1 мВб. Определить индуктивность соленоида, ЭДС самоиндукции
и энергию магнитного поля внутри соленоида при силе тока в нем 6 А.
184. Обмотка электромагнита имеет сопротивление 10 Ом и индуктивность 0.2
Гн и находится под постоянным напряжением. В течение какого
промежутка времени в обмотке выделится количество теплоты, равное
энергии магнитного поля?
185. Магнитный поток в соленоиде, содержащем 1000 витков, равен 0.210-3 Вб.
Определить энергию магнитного поля соленоида, если сила тока,
протекающего по виткам соленоида, 1 А. Сердечник отсутствует.
Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.
186. Диаметр тороида (по средней линии) 0.50 м. Тороид содержит 2000 витков
и имеет площадь сечения 210-3 м2. Вычислить энергию магнитного поля
тороида при силе тока 5 А. Считать магнитное поле тороида однородным.
Сердечник выполнен из немагнитного материала.
187. По проводнику, изогнутому в виде кольца радиусом 0.20 м, содержащему
500 витков, течет ток силой 1 А. Определить объемную плотность энергии
магнитного поля в центре кольца.
188. Соленоид имеет длину 0.6 м и сечение 10-3 м2. При некоторой силе тока,
протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток 0.110-3
Вб. Чему равна энергия магнитного поля соленоида? Сердечник выполнен
из немагнитного материала, магнитное поле однородно.
189. Магнитный поток в соленоиде, содержащем 1000 витков, равен 0.210-3 Вб.
Определить энергию магнитного поля соленоида, если сила тока,
протекающего по виткам соленоида, 1 А. Сердечник отсутствует.
Магнитное поле считать однородным.
190. Обмотка тороида имеет 10 витков на каждый сантиметр длины (по средней
линии тороида). Вычислить объемную плотность энергии магнитного поля
при силе тока 10 А. Сердечник выполнен из немагнитного материала и
магнитное поле во всем объеме однородно.
191. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет 10 витков на каждый
см длины. Определить плотность энергии поля, если по обмотке течет ток
силой 16 А.
192. Обмотка тороида содержит 10 витков на каждый сантиметр длины.
Сердечник немагнитный. При какой силе тока в обмотке плотность
энергии магнитного поля равна 1 Дж/м3?
193. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой
провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20
витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида,
если сила тока в обмотке 0.5 А. Воспользоваться графиком зависимости
B(H) (рис.12).
194. При индукции поля, равной 1 Тл плотность энергии магнитного поля в
железе равна 200 Дж/м3. Определить магнитную проницаемость железа в
этих условиях. Зависимость В=f(H) неизвестна.
34
195. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла с
0.5 Тл. до 1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объемная плотность
энергии магнитного поля. Воспользоваться графиком зависимости B(H)
(рис.12).
196. Вычислить плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике
замкнутого соленоида, если напряженность намагничивающего поля равна
1.2103 А/м. Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
197. Напряженность магнитного поля тороида со стальным сердечником
возросла от 200 А/м до 800 А/м. Определить, во сколько раз изменилась
объемная плотность энергии магнитного поля. Воспользоваться графиком
зависимости B(H) (рис.12).
198. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида
без сердечника 0.2 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность энергии
поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный
сердечник? Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
199. Найти плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике
соленоида, если напряженность намагничивающего поля равна 1.6103 А/м.
Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
200. На соленоид длиной 144 см и диаметром 5 см надет проволочный виток.
Обмотка соленоида имеет 2000 витков и по ней течет ток силой 2 А.
Соленоид имеет железный сердечник. Какая средняя ЭДС индуцируется в
надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение 2
мс? Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
201. Площадь поперечного сечения соленоида с железным сердечником равна
10 см2. Найти магнитную проницаемость материала сердечника, если
магнитный поток через его поперечное сечение равен 1.4 мВб. Найти силу
тока, текущего через соленоид, если индуктивность соленоида при этих
условиях равна 0.44 Гн. Длина соленоида 1 м. Воспользоваться графиком
зависимости B(H) (рис.12).
202. Имеется соленоид с железным сердечником длиной 50 см, площадью
поперечного сечения 10 см2 и числом витков 1000. Найти индуктивность
этого соленоида, если по обмотке течет ток: 1) 0.1 А; 2) 0.2 А; 3) 2 А.
Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
203. На постоянный магнит, имеющий форму тонкого цилиндра длиной 15 см,
намотали равномерно 300 витков тонкого
провода. При пропускании по нему тока 3 А
поле
вне
магнита
исчезло.
Найти
коэрцитивную силу материала магнита.
204. На рис.13 показана основная кривая
намагничивания
железа.
Построить
с
помощью этого графика кривую зависимости
магнитной проницаемости от напряженности
поля. При каком значении напряженности
проницаемость максимальна? Чему равна
Рис.13.
максимальная магнитная проницаемость?
35
205. # Определить величину магнитной индукции в железном сердечнике
достаточно длинного соленоида, если длина соленоида 50 см, число витков
500, сила тока 10 А. Воспользоваться графиком зависимости B(H) (рис.12).
206. # Определить индуктивность катушки с неферромагнитным сердечником,
имеющей 800 витков. Длина катушки 25 см, диаметр витков 4 см. Сила
тока в катушке 1 А. Чему равен магнитный поток сквозь поперечное
сечение катушки? Какова энергия магнитного поля катушки?
207. # В катушке без сердечника за 0.01 с ток возрос от 1 А до 2 А, при этом в
катушке возникла ЭДС самоиндукции 20 В. Определить индуктивность
катушки и изменение энергии магнитного поля катушки.
208. # Соленоид содержит 1000 витков. Сила тока в его обмотке равна 1 А,
магнитный поток через поперечное сечение соленоида 0.110-3 Вб.
Вычислить энергию магнитного поля.
209. # В соленоиде сечением 0.0510-2 м2 создан магнитный поток 210-7 Вб.
Определить объемную плотность энергии магнитного поля соленоида.
Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать
однородным.
210. # В соленоид длиной 50 см вставлен сердечник из такого сорта железа, для
которого зависимость В=f(H) неизвестна. Число витков на единицу длины
соленоида равно 400 м-1, площадь поперечного сечения соленоида 10 см2.
Найти магнитную проницаемость сердечника при силе тока 5 А и
индуктивность соленоида, если при этих условиях магнитный поток через
сечение соленоида равен 1.6 мВб.
6. Переходные процессы в электрических цепях (R-L – цепочка)
Электромагнитные колебания и волны.
R
 t 


I  I 0 1  e L  – сила тока при замыкании цепочки, I0= /R;


ε
I  I 0e

R
t
L
– сила тока при размыкании цепочки, I0=ε/R.
Колебательный контур
а) Свободные колебания
q 2 LI 2 CU 2 LI 2 q02 CU 02 LI 02






– закон сохранения энергии;
2C
2
2
2
2C
2
2
1
q  
q  0 – дифференциальное уравнение свободных колебаний;
LC
q  q0 cos( 0 t   0 ) – зависимость заряда на конденсаторе от времени при
свободных незатухающих колебаниях в колебательном контуре;
T  2 LC – период колебаний в колебательном контуре;
0 
1
LC
– круговая частота свободных колебаний в колебательном контуре;
36
  cT –
длина волны, на которую настроен колебательный контур (c –
скорость света в вакууме);
б) Затухающие колебания
R
1
q 
q  0 – дифференциальное уравнение затухающих колебаний;
L
LC
q  q 0 e  t cos( Зат t   0 ) – зависимость заряда на конденсаторе от времени при
q  
затухающих колебаниях в колебательном контуре;

R
– коэффициент затухания;
2L
 Зат   02   2 – циклическая частота затухающих колебаний;
A(t )
– определение логарифмического декремента затухания;
A(t  T )
  T – связь логарифмического декремента и коэффициента затухания;

Q
– добротность колебательного контура;

  ln
в) Вынужденные колебания (цепь переменного тока)
q 
U
R
1
q 
q  0 cos(t )
L
LC
L
– дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний для последовательной цепи переменного тока;
I  I 0 cos(t   ) – зависимость силы тока от времени для последовательной
цепи переменного тока;
U0
– закон Ома для переменного тока;
Z
1
RC 
– емкостное сопротивление;
C
RL  L – индуктивное сопротивление;
I0 
2
1 

Z  R   L 
 – полное сопротивление цепи переменного тока;
C 

1
L 
C – тангенс сдвига фаз между током и напряжением в цепи
tg 
R
2
переменного тока.
г) Мощность в цепи переменного тока
P  I эфф .U эфф . cos  – мощность в цепи переменного тока;
I эфф . 
I0
2
,
U эфф . 
U0
2
– эффективные
(действующие) величины тока и
напряжения.
37
Примеры решения задач
Задача 13
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2.66 нФ и
катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0.5 мм
(витки вплотную, толщиной изоляции пренебречь). Длина
Дано:
катушки 20 см. Найти логарифмический декремент
C=2.66.10-9 Ф
затухающих колебаний. Удельное сопротивление меди
d=0.5.10-3 м
равно 1.7.10-8 Ом.м.
l=0.2 м
Решение
ρ=1.7.10-8 Ом.м
Логарифмический декремент затухания выразим через
μ=1
период затухающих колебаний
2
Найти:
T
(1)
З
λ =?
и коэффициент затухания
R
:
2L
   T ,

(2)
(3)
а циклическую частоту ωЗ затухающих колебаний – через собственную частоту
контура
0 
1
:
(4)
З  02   2 .
(5)
LC
Здесь R – активное сопротивление катушки, а L – её индуктивность:
L   0
Число витков катушки равно N 
N2
S.
l
(6)
l
, так как витки расположены вплотную и
d
изоляция провода ничтожно мала. Площадь сечения катушки выразим через её
радиус r: S    r 2 . Тогда из (6) получим: L   0
L   0
Активное сопротивление R
lПР  N  2  r
R
( 2  r
l2
  r 2 , или
2
d l
l
 r2.
2
d
(7)
катушки определяется длиной провода
– длина одного витка) и его сечением
S ПР 
 d2
4
:
l ПР
N 8 r
l 8  r 8  l  r
N  2  r
  2 
, или R  
. Таким образом, из (2) и

2
2
d d
d
d3
S ПР
  d /4
(7) получим:  
R 1 8  l  r
d2
 

; или
2L 2
d3
0l    r 2
4

.
d  0    r
(8)
38
Теперь
0 
1
LC

выразим
частоту
собственных
колебаний
из
(4)
и
(7):
2
d
d
; 0 
; а затем – частоту затухающих колебаний
2
C 0 l  r
r  C 0 l  
из (5) и (8):  З   02   2 
d2
16  2

;
r 2 C 0 l   d 0 2  r 2
З 
1
d2
16  2

.
r C 0 l   d 0 2
Уравнения (1), (3) и (9) дают:     T  
2
З
(9)
, 
4

d  0    r
2  r
d
2
C 0 l
Окончательно:  
8

d  0
1
d
2
C 0 l
численные значения:  

16 
2

, или
d 0 2
8
5 10 
4 4
 4  10

d 0
16
 2
2
Cl

16 
d 0 2
. Подставим
 0.0198 .
7
2.66  10 -9  0.2 1.7  10
8
4

.
2

8 2

16
2
Ответ:   0.0198  0.02 .
Задача 14
В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены
последовательно емкость 35.4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и
индуктивность 0.7 Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости,
активном сопротивлении и индуктивности.
Решение
Дано:
U
По закону Ома для переменного тока: I 0  0 , где
UЭФФ=220 В
Z
ν=50 Гц
2
1 

C=35.4.10-6 Ф
Z  R 2   L 
–
полное
сопротивление
цепи

C 

R=100 Ом
переменного тока. Амплитудные значения напряжения и тока
L=0.7 Гн
Найти:
IЭФФ=?
U0С=?
U0R=?
U0L=?
связаны с эффективными формулами: U ЭФФ 
U0
2
и I ЭФФ 
а циклическая частота равна:   2 . Тогда I ЭФФ 
I ЭФФ 
U ЭФФ
1 

R 2   2  L 

2  C 

2
.
I0
2
,
U ЭФФ
, или
Z
(1)
Падение напряжения на каждом участке цепи можно найти по закону Ома
для данного участка, используя формулы ёмкостного RC 
1
и индуктивного
C
RL  L сопротивлений:
39
2  I ЭФФ
;
2  C
 I 0  RL  2  I ЭФФ  2  L ;
U 0C  I 0  RC 
U 0L
U 0R  I 0  R .
(2)
(3)
(4)
Подставим численные значения в (1)-(4):
I ЭФФ 
220
1


100 2   2  50  0.7 
6 
2  50  35.4  10 

U 0C 
2
 1.34 А ;
2  1.34
 170 В ;
2  50  35.4  10 6
U 0 L  2  1.34  2  50  0.7  417 В ;
U 0 R  1.34  100  134 В .
Ответ: I ЭФФ  1.34 А ; U 0C  170В ; U 0 L  417 В ; U 0 R  134В .
Задача 15
В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены катушка индуктивности,
амперметр и ваттметр. Показания приборов соответственно 120 В, 10 А, 900 Вт.
Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление и сдвиг фаз
между током и напряжением.
Решение
Дано:
Цепь не содержит ёмкости, поэтому формула закона Ома
ν=50 Гц
U ЭФФ
для переменного тока I ЭФФ 
не содержит
UЭФФ=120 В
2
1 

IЭФФ=10 А
R 2    L 

 C 

P=900 Вт
ёмкостного сопротивления:
Найти:
L=?
U ЭФФ
U ЭФФ
I ЭФФ 

.
(1)
2
2
2
2
R=?
R    L 
R  2   L 
φ=?
Мощность переменного тока равна: P  I эфф .U эфф . cos  , откуда
cos  
P
.
I ЭФФ U ЭФФ
(2)
Сдвиг фаз между током и напряжением определяется формулой:
tg 
1
C  2   L .
R
R
L 
(3)
Преобразуем (3):
2   L  R  tg
(4)
40
и подставим в (1): I ЭФФ
Поскольку
R
1  tg   
2
U ЭФФ
R 2  R  tg 
1
,
cos 2 
U
. Отсюда получим: R 1  tg    ЭФФ
 I ЭФФ
2
2
U
R
 ЭФФ .
cos  I ЭФФ
то
С

2


 .

учётом
(2)
2
U ЭФФ
U
P
. Таким образом,
 cos   ЭФФ 
I ЭФФ
I ЭФФ I ЭФФU ЭФФ
P
R 2 .
I ЭФФ
(5)
Наконец, найдём индуктивность из (4):
L
R  tg
.
2 
Подставим численные значения в (2), (5) и (6): cos  
(6)
900
 0.75 , откуда
10  120
900
9  tg 42 0

9
Ом
;
L

 0.16 Гн .
2  50
10 2
Ответ:   420 ; R  9Ом ; L  0.16Гн .
  arccos 0.75  42 0 ; R 
211. В цепи шел ток силой 50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не
разрывая ее. Определить силу тока в этой цепи через 0.01 с после
отключения ее от источника тока. Сопротивление цепи равно 20 Ом, ее
индуктивность 0.1 Гн.
212. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением 10 Ом и
индуктивностью 1 Гн. Через сколько времени сила тока достигнет 0.9
предельного значения?
213. Цепь состоит из катушки индуктивностью 1 Гн и сопротивления 10 Ом.
Источник тока можно отключить, не разрывая цепи. Определить время, по
истечении которого сила тока уменьшится до 0.001 первоначального
значения.
214. К источнику тока с внутренним сопротивлением 2 Ом подключают
катушку индуктивностью 0.5 Гн и сопротивлением 8 Ом. Найти время, в
течение которого ток в катушке, нарастая, достигнет значения,
отличающегося от максимального на 1%.
215. Катушка имеет индуктивность 0.014 Гн и сопротивление 10 Ом. Через
какое время после включения в катушке потечет ток, равный половине
установившегося?
216. По замкнутой цепи с сопротивлением 20 Ом течет ток. По истечении
времени 810-3 с после отключения источника без размыкания цепи сила
тока в ней уменьшилась в 20 раз. Определить индуктивность цепи.
217. В электрической цепи, содержащей резистор с сопротивлением 20 Ом и
катушку индуктивностью 0.06 Гн, течет ток силой 20 А. Определить силу
тока в цепи через 0.210-3 с после отключения источника без размыкания
цепи.
218. Цепь состоит из катушки индуктивностью 0.1 Гн и источника тока.
Источник тока отключили, не разрывая цепи. Время, по истечении
41
которого сила тока уменьшилась до 0.001 первоначального значения, равно
0.07 с. Определить сопротивление катушки.
219. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением 20 Ом. По истечении
0.1 с сила тока в катушке достигла 0.95 предельного значения. Определить
индуктивность катушки.
220. В электрической цепи, состоящей из сопротивления 20 Ом и
индуктивности 0.06 Гн, течет ток силой 20 А. Определить силу тока в цепи
через 0.2 с после отключения источника без размыкания цепи.
221. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением 20 Ом. По истечении
времени 0.1 с сила тока замыкания достигла 0.95 предельного значения.
Определить индуктивность катушки.
222. Катушка индуктивностью 1 мГн и воздушный конденсатор, состоящий из
двух круглых пластин диаметром 20 см каждая, соединены параллельно.
Расстояние между пластинами 1 см. Определить период колебаний.
223. Конденсатор электроемкостью 510-10 Ф соединен параллельно с катушкой
длиной 0.4 м и площадью сечения 510-4 м2. Катушка содержит 1000
витков. Сердечник немагнитный. Найти период колебаний.
224. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью 8.10-12 Ф и
катушку индуктивностью 0.510-3 Гн. Каково максимальное напряжение на
обкладках конденсатора, если максимальный ток 410-2 А?
225. Катушка (без сердечника) длиной 0.50 м и площадью сечения 310-4 м2
имеет 1000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Конденсатор
состоит из двух пластин площадью 7510-4 м2 каждая. Расстояние между
пластинами 0.005 м. Диэлектрик - воздух. Определить период колебаний
контура.
226. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с площадью
пластин 100 см2 и катушки с индуктивностью 10 мкГн. Период колебаний
в контуре 0.1 мкс. Определить расстояние между пластинами
конденсатора.
227. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 2.5 мкГн и
двух конденсаторов, соединенных между собой параллельно, емкостью
0.005 мкФ каждый. Определить период колебаний в контуре и длину
излучаемых контуром электромагнитных волн.
228. Определить частоту собственных колебаний колебательного контура,
состоящего из конденсатора емкостью 2 мкФ и катушки длиной 10 см и
радиусом 1 см. Катушка без сердечника, содержит 500 витков.
229. Катушка индуктивностью 9 мГн присоединена к плоскому конденсатору с
площадью пластин 200 см2 и расстоянием между ними 2 см. Каким
диэлектриком надо заполнить пространство между пластинами
конденсатора, чтобы колебательный контур резонировал на волны длиной
750 м?
230. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10 мкГн и
конденсатора. Максимальный заряд конденсатора 2.5 мкКл, максимальная
разность потенциалов на его обкладках 100 В. Определить длину волны, на
которую будет резонировать контур.
42
231. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
Максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 100 В.
Максимальная сила тока в цепи 0.05 А. Определить емкость конденсатора
и индуктивность катушки, если период колебаний 6.28 мс.
232. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0.5 мкФ и
катушки с индуктивностью 0.5 Гн. Конденсатору сообщили заряд 2.5
мкКл. Определить период колебаний, максимальные значения напряжения
и силы тока в контуре.
233. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при
емкости в 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротивлением
пренебречь.
234. Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы с катушкой
индуктивностью 25 мкГн обеспечить настройку на длину волны 100 м?
235. # Определить силу тока в цепи через 0.01 с после размыкания.
Сопротивление цепи 20 Ом и индуктивность 0.1 Гн. Сила тока до
размыкания цепи 50 А.
236. # Источник тока замкнули на катушку сопротивлением 10 Ом и
индуктивностью 0.2 Гн. Через сколько времени сила тока в цепи достигнет
50% максимального значения?
237. # Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 210-5 Гн и
конденсатора емкостью 810-8 Ф. Величина емкости может отклоняться от
указанного значения на 2%. Вычислить, в каких пределах может
изменяться длина волны, на которую резонирует контур.
238. # Колебательный контур имеет индуктивность 1.610-3 Гн. Электроемкость
конденсатора 0.0410-6 Ф и максимальное напряжение на его зажимах 200
В. Определить максимальную силу тока в контуре. Сопротивление контура
ничтожно мало.
239. # Зависимость напряжения от времени на обкладках конденсатора с
емкостью 26 нФ в колебательном контуре имеет вид: U=10 cos(2000πt).
(Время – в секундах, напряжение – в вольтах.) Определить период
электромагнитных колебаний, индуктивность контура, максимальную
энергию электрического и магнитного полей.
240. # Радиоприемник настроен на прием радиоволн длиной 25 м. В какую
сторону и во сколько раз нужно изменить расстояние между пластинами
плоского конденсатора, если нужно перестроить радиоприемник на прием
волн длиной 200 м?
241. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с
пластинами, расположенными на расстоянии 3.6 мм друг от друга, и
катушки с индуктивностью 1 мкГн, резонирует на волны длиной 10 м.
Определить площадь пластин конденсатора.
242. Сила тока в колебательном контуре со временем изменяется по закону:
I=-0.02sin(400πt) (время – в секундах, сила тока – в амперах).
Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость
конденсатора; 3) максимальную разность потенциалов на обкладках
конденсатора.
43
243. Катушка без сердечника длиной 50 см и сечением 5 см2 имеет 1000 витков
и соединена параллельно с воздушным конденсатором. Конденсатор
состоит из двух пластин площадью 75 см2 каждая, расстояние между
которыми 5 мм. Определить период колебаний контура.
244. Определить частоту собственных колебаний контура, состоящего из
конденсатора емкостью 2 мкФ и катушки длиной 10 см и радиусом 1 см,
имеющей 500 витков.
245. Колебательный
контур
радиоприемника
состоит
из
катушки
индуктивностью 1.0 мГн и переменного конденсатора, емкость которого
может меняться в пределах от 9.7 пФ до 92 пФ. В каком диапазоне длин
волн может принимать радиостанции этот приемник?
246. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 0.5 нФ и катушку
индуктивностью 0.4 мГн. Определить длину волны излучения,
генерируемого контуром.
247. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую
настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках
конденсатора 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1.5А. Активным
сопротивлением контура пренебречь.
248. Длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен
колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением
контура, определить максимальный заряд на обкладках конденсатора, если
максимальная сила тока в контуре 1 А.
249. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках
конденсатора в колебательном контуре дано в виде U  50 cos10 4   t  В.
Емкость конденсатора равна 10-7 Ф. Найти: 1) период колебаний; 2)
индуктивность контура; 3) закон изменения со временем силы тока в цепи;
4) длину волны, соответствующую этому контуру.
250. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем
дается в виде I  0.02 sin400    t  А. Индуктивность контура 1 Гн. Найти:
1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальную разность
потенциалов на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию
магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.
251. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2.66 нФ и
катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0.5
мм (витки вплотную, толщиной изоляции пренебречь). Длина катушки 20
см. Найти логарифмический декремент затухающих колебаний, считая β
<<ω0.
252. Батарея, состоящая из двух конденсаторов емкостью по 2 мкФ каждый,
разряжается через катушку индуктивностью 1 мГн и сопротивлением 50
Ом. Возникнут ли при этом колебания, если конденсаторы соединены: а)
параллельно; б) последовательно?
253. Какое сопротивление может содержать колебательный контур, состоящий
из катушки с индуктивностью 10 мГн и конденсатора емкостью 4 мкФ,
чтобы в нем могли еще возникнуть электромагнитные колебания?
44
254. Колебательный контур имеет емкость 1.1 нФ и индуктивность 5 мГн.
Логарифмический декремент затухания 0.005. За какое время вследствие
затухания потеряется 99% энергии контура?
255. Какова относительная погрешность, которая будет сделана, если
воспользоваться формулой T0  2 LC для вычисления периода колебаний
контура, состоящего из конденсатора емкостью 5.5 нФ и катушки с
обмоткой из медной проволоки сечением 0.2 мм2? Длина катушки 50 см.
Диаметр катушки мал по сравнению с ее длиной.
256. Добротность колебательного контура 5.0. Определить, на сколько
процентов отличается частота свободных колебаний контура от его
собственной частоты.
257. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки с
индуктивностью 38 мкГн и сопротивлением 5.3 Ом. Добротность контура
равна 110. Определить длину волны, на которую настроен контур.
258. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 68 пФ и
катушки с активным сопротивлением 1.2 Ом. Контур настроен на длину
волны 27 м. Определить добротность контура.
259. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки с
индуктивностью 590 мкГн. Добротность контура равна 65. Контур
настроен на длину волны 380м. Определить активное сопротивление
катушки.
260. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 3600 пФ и
катушки с активным сопротивлением 9.6 Ом. Добротность контура равна
40. Определить длину волны, на которую контур.
261. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 810 пФ и
катушки. Добротность контура равна 95. Контур настроен на длину волны
170 м. Определить активное сопротивление катушки.
262. Параметры некоторого колебательного контура имеют значения: ёмкость
равна 4.0 мкФ, индуктивность – 0.10 мГн, сопротивление – 1.0 Ом. Чему
равна добротность контура? Какую относительную ошибку мы сделаем,
вычислив добротность контура по приближенной формуле Q 
1 L
?
C
R
263. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10 мГн,
конденсатора емкостью 0.1 мкФ и резистора сопротивлением 20 Ом.
Определить, через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре
уменьшается в е раз.
264. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн,
конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом.
Конденсатор имеет заряд 1 мКл. Определить: 1) период колебаний
контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3)
уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора
от времени.
265. Определить добротность колебательного контура, состоящего из катушки
индуктивностью 2 мГн, конденсатора емкостью 0.2 мкФ и резистора
сопротивлением 1 Ом.
45
266. # Три одинаково заряженных конденсатора емкостью 5 мкФ каждый
соединяют в батарею и подключают к катушке, активное сопротивление
которой 20 Ом и индуктивность 0.02 Гн. Во сколько раз будет отличаться
частота затухающих колебаний, если конденсаторы один раз соединить
параллельно, а второй – последовательно?
267. # Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2 мкФ и
катушки индуктивностью 0.1 Гн и сопротивлением 10 Ом. Определить
логарифмический декремент затухающих колебаний.
268. # В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены
последовательно емкость 35.4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и
индуктивность 0.7 Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости,
активном сопротивлении и индуктивности.
269. # В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно
емкость, активное сопротивление и индуктивность. Найти падение
напряжения на активном сопротивлении, если падение напряжения на
конденсаторе Uc=2UR и падение напряжения на индуктивности UL=3UR.
270. # Для определения индуктивности дросселя его сначала включают в цепь
постоянного тока, а затем в цепь переменного тока частотой 50 Гц.
Определить индуктивность дросселя, если при прохождении через него
постоянного тока силой 3 А напряжение равно 15 В, а при переменном
токе 2 А напряжение 120 В.
271. Частота затухающих колебаний в колебательном контуре с добротностью
2500 равна 550 кГц. Определить время, за которое амплитуда тока в этом
контуре уменьшится в 4 раза.
272. Колебательный контур состоит из индуктивности 10-2 Гн, ёмкости 0.405
мкФ и сопротивления 2 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится разность
потенциалов на обкладках конденсатора за время одного периода.
273. Ток холостого хода в первичной обмотке трансформатора, питаемой от
сети переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 220 В, равен 0.2 А.
Активное сопротивление первичной обмотки 100 Ом. Определить ее
индуктивность.
274. Обмотка катушки сделана из медного провода площадью сечения 1 мм2.
При какой частоте переменного тока полное сопротивление этой катушки
вдвое больше ее активного сопротивления? Диаметр катушки 5 см.
275. Цепь переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц состоит из
активного сопротивления 10 Ом, емкости 50 мкФ и индуктивности 0.01 Гн,
соединенных последовательно. Найти: 1) эффективную силу тока в цепи;
2) частоту, при которой в данном контуре наступит резонанс напряжений.
276. Конденсатор емкостью 1 мкФ и реостат с активным сопротивлением 3000
Ом включены последовательно в цепь переменного тока 220 В и частотой
50 Гц. Найти полное сопротивление цепи; падение напряжения на
активном и емкостном сопротивлениях; сдвиг фаз между током и
напряжением.
277. Мгновенное значение напряжения дано выражением: U=100sin(800πt)
(время – в секундах, напряжение – в вольтах). Найти амплитудное
46
значение напряжения; эффективное напряжение; частоту; период
колебаний. Записать выражение для мгновенного значения силы тока, если
активное сопротивление контура 25 Ом, емкости и индуктивности нет.
278. Дуга Петрова питается током промышленной частоты с эффективным
напряжением 127 В. Найти индуктивность дросселя с активным
сопротивлением 1 Ом, который нужно включить последовательно с дугой,
чтобы получить эффективный ток 20 А при сопротивлении горячей дуги 2
Ом.
279. В сеть с эффективным напряжением 220 В включены последовательно
катушка с индуктивностью 0.16 Гн, активное сопротивление 2 Ом и
конденсатор емкостью 64 мкФ. Определить эффективный ток в цепи, если
частота его 200 Гц. При какой частоте наступит резонанс напряжений и
каковы будут при этом амплитудные значения тока и напряжения на
зажимах катушки и конденсатора?
280. Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и
включены в цепь переменного тока с эффективным напряжением 440 В и
частотой 50 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор для того, чтобы
через лампочку протекал эффективный ток 0.5 А, а падение напряжения на
лампочке было равно 110 В?
281. Два конденсатора емкостями 0.2 мкФ и 0.1 мкФ включены
последовательно в цепь переменного тока с напряжением 220 В и частотой
50 Гц. Найти силу тока в цепи; падение напряжения на каждом
конденсаторе.
282. В цепь переменного тока с эффективным напряжением 30 В включены
последовательно емкость 0.5 мкФ, активное сопротивление 20 Ом и
индуктивность 1 мГн. При какой частоте наступит резонанс? Определить
падение напряжения на каждом участке.
283. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены последовательно
емкость 1 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 1 Гн.
Чему равен сдвиг фаз между током и напряжением на концах всей цепи? В
какую сторону сдвинута фаза?
284. Цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц состоит из
активного (10 Ом), емкостного (50 мкФ) и индуктивного (0.01 Гн)
сопротивлений, включенных последовательно. Найти: 1) эффективный ток;
2) частоту переменного тока, при которой наступит резонанс напряжений.
285. В сеть переменного тока напряжением 110 В и частотой 100 Гц
последовательно включены конденсатор емкостью 0.5 мкФ, катушка с
индуктивностью 0.2 Гн и активное сопротивление 4 Ом. Найти: 1) силу
тока в цепи; 2) резонансную частоту; 3) силу тока и напряжение на
конденсаторе и катушке при резонансе напряжений.
286. Ртутно-кварцевая лампа ПРК-2 подключается к источнику переменного
напряжения с частотой 50 Гц через дроссель, рабочее напряжение на
котором 180 В, а эффективная сила тока 4 А. Найти активное
сопротивление дросселя, если его индуктивность 0.1 Гн.
47
287. Определить действующее значение силы тока в цепи, состоящей из
последовательно соединенных конденсатора емкостью 2 мкФ, катушки с
индуктивностью 0.51 Гн и активным сопротивлением 100 Ом, если к цепи
подводится переменное напряжение 220 В и частотой 50 Гц. Найти
эффективное напряжение на отдельных участках цепи. При какой емкости
конденсатора наступил бы резонанс напряжений?
288. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены
последовательно конденсатор, активное сопротивление 100 Ом и катушка с
индуктивностью 0.7 Гн. Определить емкость конденсатора, если
эффективный ток в цепи 1.34 А. Найти емкость конденсатора, при которой
возникнет резонанс напряжений, и силу тока в этом случае.
289. В цепь переменного тока частотой 50 Гц последовательно включены
резистор 628 Ом и катушка индуктивности. При этом сдвиг фаз между
током и напряжением равен π/4. Найти индуктивность катушки. Какую
емкость нужно включить в цепь последовательно, чтобы сдвиг фаз стал
равен нулю?
290. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора
сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивностью 1.0 мГн и конденсатора
емкостью 0.10 мкФ, действует синусоидальная ЭДС. Определить частоту
ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти также эффективные
значения силы тока и напряжений на всех элементах цепи при резонансе,
если при этом эффективное значение ЭДС равно 30 В.
291. В цепь переменного тока с эффективным напряжением 220 В подключены
последовательно катушка индуктивностью 0.5 Гн и активным
сопротивлением 10 Ом и конденсатор емкостью 0.5 мкФ. Определить
величину эффективного тока и эффективную мощность.
292. Конденсатор емкостью 5 мкФ и активное сопротивление 150 Ом включены
последовательно в цепь переменного тока с эффективным напряжением
120 В и частотой 50 Гц. Найти максимальное и эффективное значения силы
тока; сдвиг фаз между током и напряжением; эффективную мощность.
293. Катушка индуктивностью 0.3 Гн с активным сопротивлением 100 Ом
включается в цепь переменного тока частотой 50 Гц и эффективным
напряжением 127 В. Определить амплитуду тока, сдвиг фаз между током и
напряжением и выделяемую в цепи мощность.
294. Конденсатор емкостью 5 мкФ и сопротивление 150 Ом включены
последовательно в цепь переменного тока с эффективным напряжением
120 В и частотой 50 Гц. Найти максимальное и эффективное значение силы
тока, сдвиг фаз между током и напряжением, а также эффективную
мощность.
295. Определить эффективное значение силы тока, эффективную мощность и
сдвиг фаз между током и напряжением, если сопротивление 150 Ом и
конденсатор емкостью 5 мкФ включены последовательно в цепь
переменного тока с напряжением 120 В и частотой 50 Гц.
296. Определить
логарифмический
декремент
затухания
контура,
электроемкость которого 2.2 нФ и индуктивность 150 мкГн, если на
48
поддержание в этом контуре незатухающих колебаний с максимальным
напряжением 0.9 В требуется мощность 10 мкВт.
297. # Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см2
включена в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Число витков катушки
3000. Найти активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между током
и напряжением равен 600.
298. # Какую энергию необходимо подвести к колебательному контуру с
логарифмическим декрементом затухания 0.03, чтобы поддерживать в нем
незатухающие колебания в течение 1 часа, если контур состоит из
конденсатора емкостью 0.05 мкФ и катушки 2 мГн, а максимальный ток в
катушке 5 мА?
299. # Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью включена
в цепь переменного тока с напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти
индуктивность катушки, если катушка поглощает мощность 400 Вт.
300. # В цепь переменного тока с эффективным напряжением 220 В
подключены последовательно катушка с индуктивностью 0.5 Гн и
активным сопротивлением 10 Ом и конденсатор емкостью 0.5 мкФ. Найти
эффективный ток и эффективную мощность.
49
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Библиографический список
Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики /
В.С.Волькенштейн. – СПб.: Лань, 1999. – 328 с.
Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учебное пособие / И.Е.Иродов. – СПб.:
Лань, 2001. – 416 с.
Калашников, Н.П. Основы физики: учеб. для вузов: в 2 т. / Н.П.Калашников,
М.А.Смондырев. - 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003.
Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф, В.М.
Яворский. - М.: Высш.шк., 1989.- 608 с.
Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. Т. 1 / под ред. В.Н.Лозовского. – СПб.:
Лань, 2000. – 576 с.
Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова.-М.: Высш. шк., 1999.-542 с.
Содержание
Требования к оформлению и общие методические указания по выполнению
индивидуальных домашних заданий …………………………………………….…..2
1. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон полного тока..…..………….…….…..….3
2. Магнитный момент.…………………………….…………………………..…8
3. Сила Ампера. Сила Лоренца. Эффект Холла………………………………14
4. Магнитный поток. Индуктивность. Явление электромагнитной индукции.
Самоиндукция. Взаимная индукция. Ток смещения………………………………22
5. Энергия магнитного поля. Магнетики…………………………….……..…32
6. Переходные процессы в электрических цепях (R-L – цепочка)
Электромагнитные колебания и волны………………………………………….....36
Библиографический список…………………….…………………….……..…50
50