Ф И З И К А МЕХАНИКА Методические указания

ФИЗИКА
МЕХАНИКА
Методические указания
К выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов дневного
отделения специальностей 280101, 200500, 200503, 220200, 250201, 250203,
190500, 190603, 230200, 230201, 550100
Санкт-Петербург
2011
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования
С А Н К Т - П ЕТ ЕР Б У Р Г СК АЯ Г О С УД АР СТ В ЕН Н А Я
Л ЕСО Т ЕХН И Ч Е СК АЯ АК АД ЕМИ Я
Кафедра физики
ФИЗИКА
МЕХАНИКА
Методические указания
К выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов
дневного отделения специальностей 280101, 200500, 200503, 220200, 250201,
250203, 190500, 190603, 230200, 230201, 550100
Санкт-Петербург
2011
2
Рассмотрены и рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией
факультета химической технологии и биотехнологии Санкт-Петербургской
государственной лесотехнической академии
.
. 201 г.
Составители
ст.преп. В.С.Каневская,
кандидат технических наук, доцент И.А.Обухова
Отв. редактор
доктор физико-математических наук, профессор
С . М. Гс р а с ют а
Рецензент
к а фе др а фи з ики СП б ГЛ Т А
М е х а н и к а . : методические
указания
по
выполнению
индивидуальных
домашних заданий / сост.: В. С.Каневская, И.А.Обухова . - СПбГЛТА,
2 0 1 1 . - 4 3 с.
Темплан 2 0 1 1 г. И зд . №
.
3
Аннотация
Методические
указания
предназначены
для
выполнения
индивиду-
альных заданий в практикуме по физике для студентов, обучающихся на
дневном
отделении
по
направлениям
280101, 200500, 200503, 220200,
250201, 250203, 190500, 190603, 230200, 230201, по курсу физики.
4
в ве де н ие
Предлагаемые студентам дневного отделения всех специальностей методические
указания представляют собой индивидуальные задания по четырем темам:
кинематика, динамика поступательного движения, динамика вращательного движения, колебания и волны. По каждой теме даны 15 вариантов по 3 задачи в каждом.
Номер варианта каждому студенту выдает преподаватель на вводном занятии.
Студентам предлагается самостоятельно решить в отдельной тетради 3 задачи по
каждой из четырех тем. Перед каждой темой приводится краткое теоретическое
введение, облегчающее решение задач.
Тема1.
КИНЕМАТИКА
Кинематика — раздел механики, который изучает движение. Кинематическими
параметрами, характеризующими движение, являются: путь, скорость, ускорение.
В случае прямолинейного движения скорость
v  dS ,
dt
ускорение
a=
dv d 2 S
 2 .
dt
dt
В случае прямолинейного равномерного движения v =
s
и а = 0.
t
В случае прямолинейного равнопеременного движения
S=v0t±at 2 / 2.
v=v0±at.
а = const,
где v 0 — скорость в момент времени t = 0; ускорение положительно, если
движение ускоренное, отрицательно, если движение замедленное.
В случае криволинейного движения полное ускорение
5
а=
a2  an2 ,
а  и а n - тангенциальное и нормальное (центростремительное) ускорения:
dv
а  = dt . а n = v 2 / R,
г д е v — скорость в данный момент времени; R— радиус кривизны траектории в данной
точке.
В случае вращательного движения угловая скорость
=d  /dt, a n  v 2 / R,
где  — угол поворота, выраженный в радианах; угловое ускорение
 =d  /dt= d 2 / dt 2 ;
угловая скорость связана с периодом обращения и частотой:
= 2 / T = 2  ,
г д е  — число оборотов в единицу времени.
Линейная скорость связана с угловой: v = R. Тангенциальное и нормальное
ускорение можно выразить так:
a  =  R ; ап = v 2 /R=  2 R.
Вариант 1
1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением
x=A + Bt + Ct 3 , г д е А =2 м , В=1 м / с ,
С = 0 ,5 м / c 2 . Найти скорость v и
ускорение а тела в момент времени t = 2 с.
Ответ: 7 м/с; 6 м/с .
2
2. Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если прекратить подачу пара, то поезд, двигаясь
равнозамедленно, останавливается через 20 с. Найти: 1) отрицательное ускорение поезда, 2) на
каком расстоянии до остановки надо прекратить доступ пара?
Ответ: —0,5 м/с2. 100 м.
3. Колесо радиусом R= 0,3 м вращается согласно уравнению =At+Bt3. где A = 1 рад/с,
B=0,1 рад/с3. Определить полное ускорение точек на окружности колеса в момент времени t =
2 с.
Ответ: 1,5 м/с .
2
6
Вариант 2
1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями:
X1=A1 + B1t + C1t2 и x2=A2+ B2t + C2t2,
где A1=20 м; B1 = 2 м/с; С1=4 м/с2; А2 = 2 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,5 м/с2. В какой момент времени
скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот
момент?
Ответ: 0 с; 2 м/с; —8 м/с2; 1 м/с2.
2. Скорость поезда, при торможении двигающегося равнозамедленно, уменьшается в
течение 1 мин от 40 км/ч до 28 км/ч. Найти: 1) отрицательное ускорение поезда, 2) расстояние,
пройденное им за время торможения.
Ответ: —0.055 м/с2; 566 м.
3. По дуге окружности радиуса R=10 м вращается точка. В некоторый момент времени
нормальное ускорение точки an =4,9 м/с2, вектор полного ускорения в этот момент образует с
вектором нормального ускорения угол =60°. Найти скорость о и тангенциальное ускорение а
точки.
Ответ: 7 м/с; 8,5 м/с .
2
Вариант 3
1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:
X1= A1+ B1t2 + C 1 t 3 и x2=A2t + B2t2 + C2t .
2
где A1 = 4 м/с; B1= 8 м/с2: С2=- 16 м/с3; A2 = 2 м/с; В2= = —4 м/с ; С2=1 м/с3. В какой момент
2
времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.
Ответ: 0.235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с.
2.
Вагон движется равнозамедленно с отрицательным ускорением —0,5 м/с2. Начальная
скорость вагона 54 км/ч. Через сколько времени и на каком расстоянии от начальной точки
вагон остановится?
Ответ: 30 с; 225 м.
7
3.
Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося
колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного
ускорения этой точки составляет угол 30° с вектором ее линейной скорости.
Ответ: 0.58.
Вариант 4
1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением:
3
S = A + Bt + Ct2+Dt ,
где С = 0,14 м/с2; D = 0,01 м/с3. 1) Через сколько времени после начала движения ускорение
тела будет равно 1 м/с2? 2) Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?
Ответ: 12 с; 0,64 м/с2.
2. Тело брошено со скоростью v0 под углом к горизонту. Продолжительность полета t =
2,2 сек. Найти наибольшую высоту поднятия этого тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 5.9 м.
3.
Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости  = 20 рад/с через
N=10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Ответ: 3,2 рад/с2.
Вариант 5
1. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид x =
At+Bt , где A = 3 м/с; В = 0.06 м/с . Найти скорость v и ускорение точки в моменты времени
2
3
t1= 0 и t2=3 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 3 сек движения?
Ответ: 3 м/с; 0; 4,62 м/с; 1,08 м/с2; 3,54 м/с; 0,54 м/с2.
2. С какой скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад, чтобы
пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе?
Ответ: 1660 км/ч.
3. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v
точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на
8
5 см ближе к оси колеса.
Ответ: R = 8.33 см.
Вариант 6
1.Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 0,5 сек после начала движения
численное значение скорости камня стало в 1,5 раза больше его начальной скорости.
Найти начальную скорость камня. Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 4.4 м/с.
2.Материальная точка движется по окружности, диаметр которой 40 м. Зависимость
пути от времени определяется уравнением S = t + 4t2—t + 8. Определить пройденный
3
путь, скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки через 2 с после
начала движения.
Ответ: 30 м; 27 м/с; 36,4 м/с2; 20 м/с2; 41,6 м/с2.
3.
Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин.
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки
75 об. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его
остановки?
Ответ: 10 с.
Вариант 7
1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ= A + Bt + Ct , где А = 10 рад,
2
В = 20 рад/с, С= 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии
r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.
Ответ: 1,65 м/с .
2
2. Маховое колесо, спустя t=1 мин после начала вращения, приобретает
скорость, соответствующую n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и
число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
Ответ: 1,26 рад/с2; 360 об.
3. С башни высотой H = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v0=5
м/с. Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком
расстоянии от основания башни он упадет на землю? 3) с какой скоростью он
9
упадет на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 2,26 с; 33.9 м; 26,7 м/с.
Вариант 8
1. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения
выражается уравнением S=A + Bt 2 , где B = 8 м; В=—2 м/с 2 . Найти момент
времени t, когда нормальное ускорение точки
тангенциальное ускорение а
аn=9 м/с 2 ; скорость v,
и полное ускорение точки а в этот момент
времени.
Ответ: 1,5 с; —6 м/с; —4 м/с 2 ; 9,84 м/c 2 .
2. Камень, брошенный со скоростью v0=12 м/с под углом  = 45° к горизонту,
упал на землю на расстоянии S от места бросания. С какой высоты H надо
бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной
скорости v0 он упал на то же место?
Ответ: 7,4 м.
3. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1
точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки,
лежащей на 5 см ближе к оси колеса.
Ответ: 8,33 см.
Вариант 9
1. Точка движется по прямой согласно уравнению х = =At + Bt 2 , где A = 6 м/с;
В=—0,125 м/с 2 . Определить среднюю скорость точки в интервале времени от
t1= 2 с до t2 = 6 с.
Ответ: 5 м/с.
2. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус кривизны
траектории камня через 3 сек после начала движения. Сопротивление воздуха
не учитывать.
Ответ: 305 м.
3. Тело падает вертикально с высоты Н=19,6 м с нулевой начальной скоростью.
Какой путь пройдет тело: за первую 0,1 сек своего движения, 2) за последнюю
10
0.1 сек своего движения? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 0,049 м; 1.9 м.
Вариант 10
1. Камень брошен горизонтально со скоростью v0=5м/c. Найти нормальное и
тангенциальное ускорения камня через 1 сек после начала движения.
Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 8,2 м/с2; 5.4 м/с2.
2. Точка движется так, что
зависимость пути от времени дается уравнением
S=A + Bt + Ct 2 , где В = —2 м/с; С=1 м/с 2 . Найти линейную скорость точки, ее
тангенциальное, нормальное и полное ускорения через t = 3 сек после начала
движения, если известно, что нормальное ускорение точки при t’ = 2 с равно
а’n = 0,5 м/с 2 .
Ответ: 4 м/с; 2 м/с2; 2,83 м/с2.
3. Тело падает с высоты H=19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое
время тело пройдет: 1) первый 1 м своего пути? 2) последний 1 м своего пути?
Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 0,45 с; 0.05 с.
Вариант 11
1. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит
половину всего пути. Найти: 1) с какой высоты h падает тело?
2) продолжительность его падения.
Ответ: 57 м; 3.4 с.
2. Зависимость пройденного телом пути S от времени дается уравнением
S = A + Вt + Сt 2 +Dt 3 , где С = 0,14 м/с 2 и D = 0,01 м/с 3 . 1) Через сколько
времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с2? 2) Чему
равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?
Ответ: 12 с ; 0.64 м / с 2 .
3. Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что завиcимость угла поворота радиуса
колеса от времени дается уравнением  = A + Bt + Ct2 + Dt 3 , г д е D = l рад/с3.
11
Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциальное ускорения a
за каждую секунду движения.
Ответ: 0,3 м/с .
3
Вариант 12
1. Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнению  = A + B t + С t 3 ,
где A= 3 р а д ; В = -1 р а д / с , С = 0 .1 р а д / с 2 . Определить тангенциальное а,
нормальное аn
и полное ускорения точек на окружности диска через t=10 с после
начала движения.
Ответ: 1.2 м/с2; 168,2 м/с2; 168,2 м/с2.
2. Стрела, выпущенная вертикально вверх со скоростью30 м/с. поражает цель через 2
с. На какой высоте находится цель и с какой скоростью стрела ее достигла?
Ответ: 40 м; 10 м/с
3. Колесо радиусом R= 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости
точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением
v = At + Bt2, где A=3 см/с; В=0,2 см/с . Найти угол, составляемый вектором полного
2
ускорения с радиусом колеса в моменты времени t=0, 1, 2, 3, 4, 5 сек после начала
движения.
Ответ: 900; 70217'; 350; 15032'; 7058'; 4038'; 00.
Вариант 13
1. Тело брошено со скоростью v0 = 14,7 м/с под углом = 30° к горизонту. Найти
нормальное и тангенциальное ускорения камня через t = 1,25 с после начала движения.
Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 9.15 м/с2; 3,52 м/с2.
2. С вертолета, находящегося на высоте 75 м над Землей и поднимающегося
вертикально вверх со скоростью 10 м/с, выронили предмет. Через сколько времени
12
предмет окажется на Земле?
Ответ: 5 сек.
3. Определить полное ускорение а в момент времени t = 3 с точки, находящейся на
ободе колеса радиусом R= 0,5 м, вращающейся согласно уравнению =At+Bt3 , где А
= 2 рад/с; В = 0.2 рад/с3.
Ответ: 27,44 м/с2.
Вариант 14
1. Тело брошено со скоростью v0 под углом  к горизонту. Найти величины v0 и ,
если известно, что наибольшая высота подъема тела H = 3 м и радиус кривизны
траектории тела в верхней точке траектории R = 3 м. Сопротивление
воз
духа не учитывать.
Ответ: 9,4 м/с; 54°44'.
2. Точка обращается по окружности радиусом R=1,2 м. Уравнение движения точки  =
At+Bt3, где A=0,5 рад/с; В =- 0.2 рад/с3. Определить тангенциальное а, нормальное аn
и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.
Ответ: 5.76 м/с2; 122,4 м/с2; 122.5 м/с2.
3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением  = 2 рад/с2. Через t = 0,5 сек
после начала движения полное ускорение колеса стало равно а=13,6 см/с2. Найти
радиус колеса.
Ответ: 6,1 м.
Вариант 15
1. Точка движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным
ускорением а. Найти это ускорение, если известно, что к концу пятого оборота после
начала движения скорость точки стала v = 79,2 см/с.
Ответ: 0,1 м/с2.
13
2; Тело брошено со скоростью v0=10 м/с под углом  = 45° к горизонту. Найти радиус
кривизны траектории тела через t=1 с после начала движения. Сопротивление воздуха
не учитывать.
3. Камень бросили вверх на высоту 10 м. I) Через сколько времени он упадет на
землю? 2) На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость
камня
увеличить вдвое? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 2,9 с; 40 м.
Тема 2
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Основным законом динамики является второй закон Hьютона, который в случае
поступательного движения выражается уравнением
Fdt = d(mv). Если масса постоянна, то
F=mdv/dt=ma.
В изолированной системе импульс остается величиной постоянной, т. е.
m 1 v 1 + m2v2+ . . . = const.
При неупругом центральном ударе двух тел массами m1 и m2 общая скорость
движения этих тел после удара может быть найдена по формуле:
u
m1v 1  m2 v 2
,
m1  m2
где v 1 и v 2 — скорости тел до удара.
При упругом центральном ударе скорости, тел после удара
u1 
(m1  m2 )v 1  2m2 v 2
,
m1  m2
u2 
(m2  m1 )v 2  2m2 v 2
m1  m2
При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку,
может быть разложена на две составляющие: тангенциальную и нормальную.
14
Нормальная составляющая Fn =
mv 2
является центростремительной силой,
R
здесь v — линейная скорость движения тела массой m и R — радиус кривизны
траектории в данной точке.
Сила, вызывающая упругую деформацию х, пропорциональна величине
деформации, т. с. F = kx, где k — коэффициент упругости.
Потенциальная энергия упругой деформации W n 
kx 2
.
2
Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой
F 
где 
=
m1 m2
,
R
6,67-10 11 м3/кг.с2 — постоянная тяготения; m1 и m2—массы
взаимодействующих материальных точек; R — расстояние между их центрами.
Вариант 1
1. Какую силу надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы он стал
двигаться равноускоренно и за 30 сек прошел путь 11 м? Масса вагона 16 т.
Коэффициент сил трения равен 0.05.
Ответ:8,23 10 3 Н.
2.Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом = 30о к
горизонту, равна A = 216 Дж. Через сколько времени и на каком расстоянии от
места бросания ядро упадет на землю? Масса ядра
2 кг. Сопротивление
воздуха не учитывать.
Ответ: 15 с, 19.1 м.
3.
Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления
дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?
Ответ: 47 км/ч.
15
Вариант 2
1.
Масса лифта и пассажиров в нем равна 800 кг. С каким ускорением
и в каком направлении движется лифт, если трос, на котором висит лифт,
натянут с силой: 1) 12-103 Н; 2) 6 1 0 3 Н?
Ответ: 5,2 м/с 2 ; —2,3 м/с?.
2.
Человек весом 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет
тележку весом 80 кг. движущуюся со скоростью 2,9 км/ч и вскакивает на нее. 1 )
С какой скоростью
станет двигаться тележка? 2) С какой скоростью будет
двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?
Ответ 1,41 м/с; 0,49 м/с.
3. Груз массой 1 кг, висящий на нити, отклоняется на угол 30°. Найти натяжение
нити в момент пpoxождения положения равновесия.
Ответ: 12,4 Н.
Вариант 3
1. К одному концу веревки, перекинутой через блок, подвешен груз массой 10 кг. С
какой силой нужно тянуть за другой конец веревки,
чтобы груз поднимался
с
ускорением 1 м/с2?
Ответ. 108 Н.
2. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший
осколок, вес которого составлял 60% от веса всей гранаты, продолжал двигаться в
прежнем
направлении, но с увеличенной скоростью,
равной 25 м/с . Найти
скорость меньшего осколка.
Ответ: —12,5 м/с.
3. На невесомом стержне висит груз, сила тяжести которого равна Р . Груз отклоняют
на угол 90° и отпускают. Найти натяжение стержня при прохождении им' положен и я
равновесия.
Ответ: 3 Р.
16
Вариант 4
1. На автомобиль массой 1000 кг во время движения действует сила трения, равная
0,1 его веса. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемая мотором,
чтобы
автомобиль двигался: 1) равномерно; 2) с ускорением, равным 2 м/c 2 .
Ответ: 9.8.102 Н: 2.98.103 Н.
2. Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с. догоняет второе
тело весом 0.5 кг и неупруго сталкивается с ним. Какую скорость получат тела,
если
1)
второе
тело
стояло
неподвижно;
со скоростью 0.5 м/с в том же направлении, что
2)
второе
тело
двигалось.
и первое тело; 3) второе тело
двигалось со скоростью 0,5 м/с навстречу первому телу.
Ответ: 0.67 м/с; 0.83 м/с; 0.5 м/с
3. Акробат прыгает на сетку с высоты Н = 8 м. На какой предельной высоте h над
полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно,
что сетка прогибается на h1 =0,5 м, если акробат прыгает в нее с высоты H 1 = 1 м.
Ответ 1,24 м.
Вариаит5
1. Поезд массой 5-105 кг после прекращения тяги паровоза под действием силы трения
останавливается через 1 мин. Сила трения равна 105 Н. Найти начальную скорость.
Ответ: 12 м/с.
2. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает н горизонтальном
направлении камень весом в 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние
откатится конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0.02.
Ответ: 0.3 м.
3. Найти работу, которую надо совершить, чтобы
сжать пружину на 20 см, если
известно, что сила пропорциональна деформации и пол действием силы 29.4 Н
пружина сжимается на 1 см.
Ответ 58.8 Дж.
17
Вариант 6.
1. Стальная проволока некоторого диаметра выдерживает груз до 4500 Н. С каким
наибольшим ускорением можно поднимать груз массой 400 кг, подвешенный на этой
проволоке, чтобы она не разорвалась?
Ответ: 1,45 м/с2.
2. Тело массой в 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2.5 кг, которое после удара
начинает двигаться с кинетической энергией в 5 Дж. Считая удар центральным и
упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.
Ответ: 5,62 Дж, 0,62 Дж.
3. На чашку весов падает груз массой 1 кг с высоты 10 см. Каковы показания весов в
момент удара. Известно, что под действием этого груза после успокоения качаний
чашка весов опускается на 0,5 см.
Ответ:72,5 см.
Вариант 7
1. Вагон массой 20 т движется с начальной скоростью 15 м/с. Определить среднюю
силу, под действием которой вагон останавливается в течение 1 мин 40 с.
Ответ: — 3 103 Н.
2. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой m2=1.5 кг и
неупруго сталкивается с ним. Скорости тел непосредственно перед столкновением
v1=1 м/c, v2 = 2 м/с. Сколько времени будут двигаться эти тела после столкновения,
если коэффициент трения равен = 0.05?
Ответ: 0.58 с.
3. Льдина площадью поперечного сечения S=l м2 и высотой Н = 0.4 м плавает в воде.
Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?
Ответ: 7.84 Дж.
Вариант 8
1. Масса поезда 3 .106 кг. Какова должна быть сила тяги паровоза, чтобы поезд развил
скорость 17 м/с через 2 мин после начала движения, если коэффициент трения равен
0,02?
18
Ответ: 1,01.105Н.
2. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком
стержне, и застревает в нем. Масса пули m= 5 г, масса шара М=0,5 кг. Скорость пули
v = 500 м/с. При какой предельной длине стержня шар от удара пули поднимается до
верхней точки окружности?
Ответ: 0.64 м.
3. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны с ускорением
свободного падения у поверхности Земля.
Ответ: 0,166gЗ.
Вариант 9
1. Определить ускорение, с которым трактор ведет прицеп, если сопротивление
движению 1500 Н, масса прицепа 0,5 т. а сила тяги на крюке трактора 1600 Н.
Ответ 0.2 м/с2.
2. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар
центральным и неупругим, найти, какая часть первоначальной кинетической энергии
переходит при ударе в тепло. Рассмотреть случаи: 1) m1 = m2; 2) m1 = 9m2.
Ответ: 0.5; 0.1.
3. С какой линейной скоростью v будет двигаться искусственный спутник Земли по
круговой орбите: 1) у поверхности Земли (сопротивлением воздуха пренебречь), 2) на
высоте h1|= 200 км и h2 = 7000 км? Найти период обращения Т искусственного
спутника вокруг Земли при этих условиях.
Ответ:
h,км
V, км/c
T
0
7.91
I ч 25 мин
200
7,79
7000
5,46
1 ч 28 мин
4 ч 16 мин
19
Вариант 10
1.Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом
пути S от времени t дается уравнением S=A-Bt+Ct2-Dt3, где С=5 м/с2 и
D=1 м/c2. Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
Ответ: 2 H.
2.Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар
упругим и центральным, найти, какую часть своей первоначальной кинетической
энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решить сначала в общем
виде, а затем рассмотреть случаи: 1) m1 = m2; 2) m1 = 9m2.
Ответ: 1;0,36.
3. Найти центростремительное ускорение, с которым движется по круговой орбите
искусственный спутник Земли, находящийся на высоте 200 км от поверхности Земли.
Ответ: 9,2 м/с2.
Вариант 11
1.В пружинном ружье пружина сжата на 10 см. При взводе её сжали до 20 см. С
какой скоростью вылетит из ружья стрела массой 30 г, если жесткость пружины
144 Н/м?
Ответ: 6,92 м/c .
2. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. I) Чему
должно равняться отношение
m1
, чтобы при центральном упругом ударе скорость
m2
первого тела уменьшилась в 1,5 раза? 2) С какой кинетической энергией начнет
двигаться
при
этом
второе
тело,
если
первоначальная
кинетическая энергия Wk первого тела равна 1 кДж?
Ответ: 5; 5/9 кДж.
3. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения
равно 1 м/с 2 ?
Ответ: 13 600 к м .
20
В а р и а н т 12
1. Тело массой m= 0.5 кг движется так, что зависимость пройденного телом пути S от
времени t дается уравиеиием S = Asint, где A = 5 см и  =  рад/с. Найти
силу, действующую на тело через t = 1/6 с после начала движения.
Ответ:—0.123 I I
2. Трамвайный вагон массой 5 т идет по закруглению радиусом 128 м. Найти силу
бокового давления колес на рельсы при скорости движения 9 км/ч.
Ответ: 245 Н
3. Каково соотношение между высотой H горы и глубиной h шахты, если период
качания маятника на вершине горы и на дне шахты одинаков?
Ответ: h = 2 H.
Вариант 13
1. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозится, и его
скорость равномерно изменяется время t=3 с от v1 =18 км/ч до v 2 = 6 км/ч.
На какой угол отклонится при этом нить с шаром?
Ответ: 6°30'
2. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости.
Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и
минимальным натяжениями веревки равна 1 кг.
Ответ: 0,5 кг.
3. Груз массой m = 0,5 кг, привязанный к резиновому шнуру длиной l = 9,5 см,
отклоняют на угол  = 90° и отпускают. Найти длину резинового шнура в момент
прохождения грузом положения равновесия. Коэффициент деформации резинового
шнура =980 Н/м.
Ответ: 10.8 см.
Вариант 14
1. Железнодорожный вагон тормозится, и его скорость равномерно изменяется за
время t = 3,3 с от v 1 =47,5 км/ч до v2=30 км/ч. При каком предельном значении
21
коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начинает
скользить по полке?
Ответ: 0.15.
2. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший
осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в
прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найти скорость
меньшего осколка.
Ответ: —12,5 м/с.
3. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот
радиусом кривизны 100 м. На сколько градусов при этом он должен накрениться,
чтобы не упасть при повороте?
Ответ: 22°.
Вариант 15
1. На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его
силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль
движется с постоянной скоростью: 1) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути, 2) под
гору с тем же уклоном.
Ответ: 1,37 кН, 590 Н.
2. Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, делает «мертвую петлю». Каков должен
быть радиус «мертвой петли», чтобы наибольшая сила, прижимающая летчика к
сиденью, была равна: 1) пятикратной силе тяжести летчика, 2) десятикратной силе
тяжести летчика?
Ответ: 1600 м. 711 м.
3. С какой скоростью движется вагон массой 20 т, если при ударе о стенку каждый
буфер сжался на 10 см? Известно, что пружина каждого буфера сжимается на 1 см под
действием силы 10 кН.
Ответ: 3,6 км/ч.
22
Тема 3
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Основное уравнение динамики вращательного движения
Mdt=Jd,
где J— момент инерции твердого тела.
Если момент инерции постоянен, то
M=Jd/dt=J, J=  r 2 dm .
Интегрирование производится по всему объему и дает следующие выражения
относительно центральных осей:
1)
момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска)
1
2
J= mR 2 ,
где R— радиус цилиндра; m — его масса;
2) момент инерции полого цилиндра (обруча)
m( R12  R22 )
J=
,
2
для тонкостенного цилиндра R 1 = R 2 =R
J=mR 2 ;
3) момент инерции шара
J=
2
mR 2 ;
5
4) момент инерции однородного стержня
J=
1
ml 2 .
12
Момент инерции относительно любой оси, параллельной: оси, проходящей через
центр тяжести, определяется по формуле Штейнера
J = J 0 +md 2 ,
где J0 — момент инерции тела относительно центральной оси; m — масса тела; d —
расстояние от центра тяжести до оси вращения.
23
Кинетическая энергия вращающегося тела
Wвр 
J 2
.
2
Мерой изменения энергии является работа,
J 22 J12
A  M 

,
2
2
где 1 и  2 — угловые скорости вращения в соответствующие моменты времени.
В изолированной системе остается постоянным момент импульса:



J 1 1 + J 1  2 + … . . + J N  N
=CONST.
Вариант 1
I. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0.5 кг вращается в вертикальной
плоскости
вокруг
горизонтальной проходящей через середину стержня. С каким
угловым ускореннем вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81 10-2
Н.м?
Ответ: 2.35 рад/с2.
2.Шар массой m=1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается
от нее. Скорость шара до удара о стену v1 = 10 см/с, после удара v2=8 см/с. Найти
количество теплоты Q, выделившееся при ударе.
Ответ: 2,51. 10-2 Дж.
3. На какой угол надо отклонить однородный
стержень, брошенный на
горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец
стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость 5 м/с? Длина
стержня 1 м.
Ответ: 81°22'..
Вариант 2.
1. Якорь электромотора делает 10 об/с, развивая мощность 0,5 кВт. Определить
вращающий момент.
Ответ: 7,96 Нм.
24
2. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью,
соответствующей частоте 5 об/с, равна 60 Дж. Найти момент количества
движения этого вала.
Ответ: 3,8 кг • м2/с.
3. Какую работу совершает человек при переходе от края платформы к ее
центру, если масса платформы 100 кг, масса человека 60 кг. Платформа
вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через центр, делая 10
об/мин. Радиус платформы 1,5 м.
Ответ: 162 Дж.
Вариант 3
1. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг.м2, вращается, делая 20
об/с. Через минуту после того как на колесо перестал действовать вращающий
момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения, 2) число оборотов,
которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.
Ответ: 513 Н .м; 600.
2. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой
линейной скоростью v. Кинетическая энергия обруча W1=40 Дж. Найти
кинетическую энергию W2 диска.
Ответ: 29,4 Дж.
3. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращаетcя вокруг вертикальной
оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 60
кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться
платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать
платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой.
Ответ: 22 об/с.
Вариант 4
1. Молотильный барабан, момент инерции которого 20 кг.м2, делает 10 об/с.
Определить тормозящий момент, действующий на барабан, если он останавливается
25
через 30 мин 20 с после прекращения действия вращающего момента.
Ответ: —6,28 Н .м.
2. К ободу диска массой m = 5 кг приложена постоянная касательная сила F=19.6 Н.
Какую кинетическую энергию будет иметь диск через t = 5 с после начала действия
силы?
Ответ: 1.92 кДж.
3. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с угловой
скоростью, соответствующей частоте 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и
держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать
платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 до
0.98 кг.м2? Считать платформу круглым однородным диском.
Ответ: 21 об/мин.
Вариант 5
1. Диск массой 0,5 кг и диаметром 0.4 м вращается, делая 25 об/с. При торможении он
останавливается в течение 20 сек. Ось вращения проходит через центр тяжести.
Определить тормозящий момент.
Ответ: —0.079 Нм.
2. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со
скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.
Ответ: 24 Дж.
3. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. Какое
число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по
окружности радиусом 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека
относительно платформы 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу
однородным диском, а человека — точечной массой.
Ответ: 0.49 об/мин.
26
Вариант 6
1. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом 0.5 м и массой m= 50 кг
приложена касательная сила 98,1 Н. Найти: 1) угловое ускорение колеса. 2) через
сколько времени после начала действия силы колесо будет иметь скорость,
соответствующую частоте 100 об/с.
Ответ: 7.8 рад/с2; 1 мин 20 с.
2. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью v = 9 км/ч.
Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем на массу колес
приходится ml == 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
Ответ: 253 Дж
3. Карандаш, поставленный вертикально, надает на стол. Какую угловую и линейную
скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша. 2) верхний его конец?
Длина карандаша 15 см.
Ответ: 1= 2=14 рад/с; v1= 1,05 м/с; v2=2,10 м/с.
Вариант 7
1. Однородный диск радиусом R=0.2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси,
проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от
времени дается уравнением  = A+Вt. где В = 8 рад/с2. Найти величину касательной
силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.
Ответ: 4 Н.
2. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4
об/с. Масса шара 0.25 кг. Найти кинетическую энергию шара.
Ответ: 0.1 Дж.
3. Однородный стержень длиной 85 см подвешен на горизонтальной оси. проходящей
через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему
концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
Ответ: 7,1 м/с.
27
Вариант 8
1. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная
сила F=49,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Мтр=4,9 Нм.
Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым
ускорением =100 рад/с2.
Ответ :7,36 кг.
2. На барабан радиусом R= 20 см, момент инерции которого 0,1 кг м2 намотан шнур, к
которому привязан груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза
I м. Найти: 1) через сколько времени груз опускается до пола. 2) кинетическую
энергию груза в момент удара о пол, 3) натяжение нити. Трением пренебречь.
Ответ: t=1,1 c, 0.82 Дж: 4,1 Н.
3. Мальчик катит обруч но горизонтальной дороге со скоростью 7,'2 км/ч. На какое
расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон
горки равен 10 м каждые 100 м пути.
Ответ: 4,1 м.
Вариант 9
1. Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг.м2, вращается с постоянной
угловой скоростью ω= 31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М. под действием
которого маховик останавливается через  = 20 с.
Ответ:490 Дж.
2. С какой наименьшей высоты Н должен съехать велосипедист, чтобы по
инерции (без трения) проехать
дорожку, имеющую форму «мертвой петли»
радиусом R = 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней гонке петли. Масса
велосипедиста с| велосипедом m = 75 кг, причем на массу колес приходится m1
= 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами
Ответ: 7.56 м.
3.Маховое колесо начинает
вращаться с постоянным угловым ускорением
=0.5 рад/с2 и через t=15 с после
начала приобретает
28
момент
количества
движения L=73,5кг.м2/с. Найти кинетическую энергию колеса через t1=20 c
после начала вращения.
Ответ: 490 Дж.
Вариант 10
I. Маховнк радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединили с мотором при
помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения,
постоянно и равно T=14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать
маховик через t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным
диском. Трением пренебречь.
Ответ: 23.4 об/с.
2. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси. проходящей через
центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 об/с. Какую работу надо
совершить, чтобы остановить диск?
Ответ: 355 Дж.
3. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте
n=10 об/с; его кинетическая энергия Wк= 7.85 кДж. За сколько времени
вращающий момент М=50 Н.м, приложенный к этому маховику, увеличит
угловую скорость маховика в два раза?
Ответ: 5 сек.
Вариант II
1. Две гири с массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью и перекинуты через блок
массой m = 1 кг. Найти: I) ускорение a, с которым движутся гири. 2) натяжения Т1 и T2
нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением
пренебречь.
Ответ: 14 Н, 12.6 Н
2. Найти линейные ускорения движения центров масс: 1) шара. 2) диска. 3) обруча,
скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости
равен 300, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные ускорения с
29
ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии
трения.
Ответ: 3.5 м/с2 ,3.27 м/с2, 2.44 м/с2.
3. Маховое колесо, имеющее момент инерции J=245 кг.м2. вращается, делая 20 об/с.
После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно
остановилось, сделав 1000 об. Найти: 1) момент сил трения, 2)время, прошедшее от
момента прекращения действия вращающего момента до полной остановки колеса.
Ответ: 308 Нм; 100 сек
Вариант 12
I. На барабан массой М = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой
m = 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением
пренебречь.
Ответ: 3 м/с2.
2. Медный шар радиусом R=10см вращается со скоростью, соответствующей частоте
n = 2 об/с, вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить,
чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое?
Ответ: 34.1 Дж.
3. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к
концу которой подвешен груз массой I м. На какое расстояние должен опуститься
груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую частотe 60
об/мин? Момент инерции колеса со шкивом 0,42 кг . м2, радиус шкива 10 см.
Ответ: 0,865 м
Вариант 13
I. На барабан радиусом R = 0.5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз
массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается
с ускорением а =2.04 м/с2.
Ответ: 9.5 кг . м2.
30
2. Найти линейные скорости движения центра масс: 1) шара, 2) диска, 3) обруча,
скатывающихся без скольжения наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости
h = 0,5 м, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со
скоростью тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии
трения.
Ответ: 2.65 м/с; 2,56 м/с; 2.21 м/с; 3.13 м/с.
3. Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за 1 мин частоту
вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг.м2. Найти: I)
угловое ускорение колеса, 2) тормозящий момент, 3) работу сил торможения. 4) число
оборотов, сделанных колесом за эту минуту
Ответ: -0.21 рад/с2; 0.42 Н • м; 630 Дж; 240 об.
В а р и а н т 14
1. Две гири разной массы соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции
которого J=50 кг.м2 и радиус R = 20 см. Блок вращается с трением и момент сил трения
М = 98,1 Н.м. Найти разность натяжений нити Т1—Т2 по обе стороны блока, если
известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением =2,36 рад/с2.
Ответ: 1080 Н.
2. Найти относительную ошибку при вычислении кинетической энергии катящегося
шара, если не учитывать вращения шара.
Ответ: 40%.
3. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) —
одинакового радиуса R = 6 см и одинаковой массы m= 0,5 кг. Поверхности цилиндров
окрашены одинаково. 1) Как, наблюдая поступательные скорости цилиндров у
подножия наклонной плоскости, можно различить их? 2) Найти моменты инерции
этих цилиндров. 3) За сколько времени каждый цилиндр скатится без скольжения с
наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, угол наклона плоскости
 = 30°, начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.
Ответ: 0,78 с; 0.88 с.
31
Вариант 15
1. Блок массой m= 1 кг укреплен на конце стола (см. рис. 1) Гири A и B равной массы
m1 = m2=l кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири В
о стол =0,1. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.
Найти: 1) ускорение с которым движутся гири; 2) натяжение Т1 и T2 нитей.
Рис.1.
Ответ: 3.53 м/с 2 ; 6,3 Н; 4,5 Н.
2. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После
выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об.
Работа сил торможения равна 44.4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора; 2)
момент сил торможения.
Ответ: 0,01 кг.м2; 9.4.10-2 Н .м.
3.Шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой 2,8 м. Определить
скорость шара у подножия наклонной плоскости.
Ответ: 2 м/c.
Тема 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Уравнение гармонического колебательного движения X= А sin (
32
2
+  о ),
T
где х – смещение точки от положения равновесия в разные моменты времени, А –
амплитуда, Т - период,  0 —начальная фаза,  
1
—частога
T
колебаний;

2
T
угловая частота.
Скорость колеблющейся точки:
v
dS 2
2

A cos( t   0 ) .
dt
T
T
Ускорение:
a=
dv
4 2
2
 d 2 x / dt 2   2 A sin(
t   0 ).
dt
T
T
Сила, под действием которой точка массы m совершает гармоническое
колебание:
4 2
2
4 2
F  ma  m 2 A sin(
t   0 )  m 2 x  kx,
T
T
T
где k= m
4 2
m
 m 2 , отсюда T  2
; k – коэффициент деформации.
2
k
T
Кинетическая энергия колеблющейся точки
Wk 
mv 2 2 2 A 2 m
2

cos 2 ( t   0 ).
2
2
T
T
WП 
kx2 2 2 A 2 m 2 2

sin ( t   0 ).
2
T
T2
Потенциальная энергия
Полная энергия
WП 
2 2 A 2 m
.
T2
Период колебаний математического маятника
T  2 l / g ,
где l — длина маятника, g — ускорение силы тяжести. Период колебаний
физического маятника
T  2 J / mgd ,
33
где J— момент инерции
колеблющегося тела относительно любой оси,
параллельной оси, проходящей через центр тяжести, d — расстояние от оси до
центра тяжести. Уравнение волны имеет вид
X= А sin (
2
2
t- l ),
T

где — длина волны, при этом  =vT.
Две точки, лежащие на луче на расстояниях l1 и l2 от источника колебаний,
имеют разность фаз
2 -1= 2
l 2  l1

.
При интерференции волн максимум амплитуды получается при условии:

2
разность хода лучей (l2 –l1) =2k , где (k=0, 1, 2, 3, ...).
Минимум амплитуды получается при условии
l2 –l1 =(2k+1)

(k = 0, 1, 2, 3, ...).
2
Вариант 1
1. Струна колеблется с частотой 200 Гц. Середина ее имеет амплитуду 3 мм.
Найти отношение максимального ускорения средней точки струны к
ускорению силы тяжести.
Ответ: 483.
2. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия груза равна
1 Дж, амплитуда колебания 5 см. Найти коэффициент упругости пружины.
Ответ: 800 Н/м.
3. Cмещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см
от источника колебаний в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды.
Найти длину бегущей волны.
Ответ: 0.48 м.
Вариант 2
34
I. Амплитуда точки, совершающей гармонические
колебания, равна 5 см,
период 4 сек. Найти максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки.
Ответ: 7,85 см/с; 12,2 см/с2.
2. Однородный диск радиусом 30 см колеблется около горизонтальной оси,
проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска.
Определить период колебаний диска.
Ответ: 1.34 с.
3. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со
скоростью v = 50 м/с. Период колебания T= 0,5 с, расстояние между точками 50
см. Найти разность фаз колебаний  в этих точках.
Ответ:7,2 0 .
Вариант 3
I. Конец ножки звучащего камертона колеблется с амплитудой 1 мм и частотой
600 Гц. Найти максимальную скорость конца ножки.
Ответ: 3,74 м/с.
2. Стержень длиной l=40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню
и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого
маятника.
Oтвет: 1.04 с.
3.
Mатериальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические
колебания, уравнение которых имеет вид х = Аsint, где A=0.8 м,
=8  рад/c. Найти возвращающую силу F в момент времени t=0,1 сек, а также
полную энергию W точки.
Ответ: 0,I 2 Н; 0.2 Дж.
Вариант 4
1. Струна колеблется с частотой 200 Гц. Отношение максимального ускорения
средней точки струни к ускорению силы тяжести равно 483. Найти амплитуду
35
середины струны.
Ответ: 3 мм.
2. Однородный диск колеблется около горизонтальной оси, проходящей через
одну из образующих цилиндрической поверхности диска с периодом Т = 0,67 с.
Найти радиус диска.
Ответ: 30 см.
3. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, уравнения которых: x=А1sin1t и y =A2cos2t, где A1 = 2 см;
A2 =1 см; 1 =2= 1 с-1. Написать уравнение траектории и построить ее на
чертеже; показать направление движения точки.
Вариант 5
1. Материальная точка совершает колебания по закону синуса. Наибольшее
смещение точки A = 20 см. наибольшая скорость vmax = 40 см/с. Написать
уравнение колебаний и найти максимальное ускорение.
Ответ. 80 см/с2.
2. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей
через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
Определить частоту  колебаний такого физического маятника.
Ответ: 0,83 c-1.
3. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность
фаз  колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на 10 см, равна 60°.
Частота колебании ν = 25 Гц.
Ответ: 15 м/с.
Вариант 6
1. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость равна
7,85 см/с, максимальное ускорение 12,2 см/с2. Найти амплитуду и период
колебаний.
Ответ: 5 см, 4 с.
2. Два маятника в одном и том же месте Земли за одинаковое время совершают
один 30, а второй 40 колебаний. Какова длина каждого маятника, если разность
36
их длин 0,07м.
Ответ: 16 см; 9 см.
3. Тело массой 20 г совершает гармоническое колебание с амплитудой 5 см и
частотой 100 Гц. Определить
кинетическую, потенциальную и полную
энергии колеблющегося тела в момент, когда смещение равно половине
амплитуды.
Ответ: 7,35 Дж; 2,45 Дж; 9,8 Дж.
Вариант 7
1. Тонкий стержень совершает гармонические колебания горизонтальной оси,
проходящей через его конец. Какова длина стержня, если он делает 39 полных
колебаний в минуту?
Ответ: 0.88 м.
2. К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия
колебаний груза равна 1 Дж, найти коэффициент деформации пружины.
Амплитуда колебаний 0,05 м.
Ответ: 800 Н/м.
3. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v=20 м/с. Две
точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1 = 12 м и x2 =15 м от
источника волн, колеблются с одинаковыми амплитудами А=0.1 м и с
разностью фаз =0,75 Найти длину волны , написать уравнение волны и
найти смещение указанных точек в момент времени t=1,2 с.
Ответ:8 м; 7,1 см.
Вариант 8
1. Написать уравнение гармонического колебания с амплитудой 0.1 м,
периодом 4 сек и начальной фазой, равной 0.
2. К пружине подвешен груз 98 Н. Зная, что пружина под влиянием силы в
9,8 Н растягивается на 1,5 см, определить период вертикальных колебании
груза.
Ответ: 0.78 с.
3. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одного
37
периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуда колебаний 20 и 21 мм.
Найти амплитуду результирующего колебания.
Ответ: 29 мм.
Вариант 9
1. Начальная фаза гармонического колебания равна 0. Через какую долю периода
скорость точки будет равна половине се максимальной скорости?
Ответ. 1/6 Т.
2. Груз, подвешенный к пружине, колеблется с амплитудой 1 см. Чему равна
максимальная кинетическая энергия груза, если коэффициент упругости пружины
980 Н/м?
Ответ: 0,049 Дж.
3. Найти длину волны колебания, период которого равен 10-14 сек. Скорость
распространения колебаний 3.108 м/с.
Ответ: 3 10-6 м.
В а р и а н т 10
1. Частота колебаний тела 20 Гц. В какой момент времени потенциальная энергия
колебаний в 4 раза меньше кинетической? Колебания происходят по закону синуса.
Начальная фаза равна 0.
Ответ: 0,025 с.
2. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на
расстояниях соответственно 10 и 16 м от источника колебаний. Период колебаний 0,04
сек и скорость распространения колебаний 300 м/с.
Ответ: =.
3. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во
сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых
колебаний математического маятника с таким же расстоянием от точки подвеса до
центра тяжести?
38
Ответ: 1,05 раза.
Вариант 11
1. Написать уравнение гармонического колебания тела при условии, что кинетическая
энергия колебаний тела в момент времени 0.0125 сек в 4 раза больше потенциальной
энергии, период колебания равен 0,05 сек, амплитуда колебаний 0,5 м.
2.Начальная фаза гармонического колебания равна 0. При смещении точки от
положения равновесия, равном 2,4 см, скорость точки равна 3 см/с, а при смещении,
равном 2,8 см, равна 2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания.
Ответ: 3,1 см; 4,1 с.
3. Матернальная точка участвует в двух колебаниях, проходящих по одной прямой и
выражаемых уравнениями: x=А1sin1t и y =A2cos2t, где A1 = 3 см; A2 =4 см;
1 =2= 2 с-1. Найти амплитуду результирующего колебания, его частоту  и
начальную фазу 0. Написать уравнение движения.
Вариант 12
I. Уравнение гармонического колебания тела массой 0,2 кг записывается так:
x= 0,1 sin (20π t +/4). За
сколько времени кинетическая энергия тела
уменьшится от 0,2 до 0,1 Дж?
Ответ: 0,03 с.
2. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных
колебаний равен 0,5 сек. После того как на чашку весов положили еще добавочные
гири, период вертикальных колебаний стал равен 0,6 сек.
пружина от прибавления этого добавочного груза.
Ответ: 2.7 см.
39
На сколько удлинилась
3.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярныx колебаниях x =
cost и y=cos
t
2
. Найти траекторию результирующего колебания точки.
Вариант 13
1. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда
50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда
смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.
Ответ: 0,136 м/с.
2. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна
3 . 1 0 - 5 Д ж , максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5.10-3 Н. Написать
уравнение движения этого тела, если период колебаний 2 сек и начальная фаза 6 0 ° .
Ответ: х=0,04 sin (t+/3) м .
3 . Материальная
точка
участвует
одновременно
в
двух
взаимно
перпендикулярных колебаниях, уравнения которых: x=3cost, y=2sint. Найти
траекторию точки, построить ее и указать направление движения точки.
Вариант 14

1. Уравнение движения точки дано в виде x=sin t . Найти моменты времени, в
6
которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.
Ответ: максимальная скорость t=0, 6, 12 с…, максимальное ускорение t= 3, 9, 15 с.
2. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия
колебаний W = 3 .10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на
колеблющуюся точку действует сила F =2,25. 10-5 Н?
Ответ: x = 1,5-10-2 м.
3. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=
2sint , м и y = 2cost, м. Найти траекторию движения точки.
Ответ:
x2 y2
=1—уравнение окружности радиусом 2 м.

4
4
Вариант 15
40
1. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательное
движение по уравнению х = 7 sin 0,5t, проходит путь от положения равновесия до
максимального смещения?
Ответ: через 1 с.
2. Чему равно отношение кинетической энергии точки, coвершающей гармоническое
колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: 1) t = Т/12, 2) t=Т/8,
3) t=T/6. Начальная фаза колебаний равна нулю.
Ответ:1) 3; 2) 1; 3) 1/3.
3. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда yглублений,
находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую
коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см
под действием груза массой 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков
на углублениях коляска, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса
коляски 10 кг.
Oтвет: 1.7 км/ч.
41
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Некоторые физические постоянные (округленные значения)
Физическая постоянная
Ускорение свободного падения
Гравитационная постоянная
2. Греческий алфавит
Обозначения
Названия
букв
букв
альфа
,
бета
,
гамма
,
дельта
 ,
эпсилон
,
дзета
,
Эта
,
тэта
,
йота
,
каппа
,
ламбда
,
мю
,
Обозначение
g
G
Обозначения
букв
,
,
,
,
,
,
T,
,
,
,
,
,
Значение
9,81 м/с2
6,67.10-11 м3/(кг.с2)
Названия букв
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега
3. Некоторые соотношения между единицами измерения
физических величин
Физическая
величина
Время
Плоский угол
Соотношение
между
измерения
1 сутки = 8,64 . 104 сек
1 год = 3,16 . 107 сек
1о = 1,75.10-2 рад
1' = 2,91.10-4 рад
1'' = 4,85.10-6 рад
1 рад = 57,3о = 3438' = 206265''
единицами
4. Некоторые астрономические величины
Наименование
Радиус Земли
Масса Земли
Радиус Луны
Масса Луны
Расстояние от центра Земли
до центра Луны
Значение
6400 км
5,93∙1024 кг
1,74∙106 м
7,33∙1022 кг
3,84∙108 м
Литература
1.И р о д о в И . Е . Задачи по общей физике. М.: Наук а, 2004.
2.Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.:
Наука, 2008.
3.Трофимова Т.И. .Курс физики. М: Высшая школа, 200 4.
4.Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с
решениями. М: Высшая школа, 2002.
43
44