математический факультет удгу - Удмуртский государственный

Утверждена
председателем приемной
комиссии УдГУ Бунтовым С.Д.
_____________________
«___» ___________ 2010 г.
Программа вступительного испытания в форме собеседования для абитуриентов,
поступающих в Удмуртский государственный университет для обучения по сокращенным
программам специальности:
«Математика»
Алгебра
1.
Свойства функции y  ax  b и ее график.
2.
Свойства функции y  ax 2  bx  c и ее график.
3.
Свойства функции y 
4.
Формула корней квадратного уравнения.
5.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
6.
Свойства числовых неравенств.
7.
Логарифм произведения, степени, частного.
8.
Определение и свойства функций y  sin x и y  cos x и их графики.
9.
Определение и свойства функции y  tg x и ее график.
10.
Решение уравнений вида sin x  a , cos x  a , tg x  a .
11.
Формулы приведения.
12.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
13.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
14.
Производная суммы двух функций.
15.
Уравнение касательной к графику функции.
k
и ее график.
x
Геометрия
1.
Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
2.
Теорема Пифагора.
3.
Признаки подобия треугольников.
4.
Измерение угла, вписанного в окружность.
5.
Касательная к окружности и ее свойства.
6.
Окружность, вписанная в треугольник.
7.
Окружность, описанная около треугольника.
8.
Признаки параллелограмма.
9.
Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
10.
Признаки параллельности прямых.
11.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
12.
Свойства равнобедренного треугольника.
13.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
14.
Перпендикулярность двух плоскостей.
15.
Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
16.
Признак параллельности плоскостей.
17.
Признак параллельности прямой и плоскости.
18.
Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА
x
; б) f x   sin x .
x
1.
Построить график функции a) f x  
2.
Что больше
3.
Верно ли, что если два треугольника имеют по две равные стороны и по три равных угла,
2
3
или
2
3
то такие треугольнику равны?
Куб ABCDA1 B1C1 D1 осветили. Какова будет его тень на плоскость, перпендикулярную
4.
AC1 ?
5.
Решить уравнение cos 9 x  2 cos 6 x  2 .
6.
2 x 2  3xy  y 2  2,
Решить систему уравнений  2
 x  xy  y 2  5.
7.
Решить неравенство log 3 x  4  1 .
8.
При каких значениях a и b множество решений неравенства
x  a  x  b совпадает с
промежутком [1,5)?
9.
В правильный треугольник со стороной, равной 7 см., вписана окружность, в которую
вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника.
10.

x2  1 

  0 .
Решить неравенство log 1 5  log 5
x

3


11.
В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность на три
части в отношении 2:3:7. Найти площадь треугольника.
 22 
.
x 1
12.
Решить неравенство x 2 4
13.
Решить неравенство 2 x  2  2 x  3  2 x  4  5 x 1  5 x  2 .
14.
Решить неравенство log 3
15.

2 1
 ,
sin x  cos y 
4 2
Решить систему уравнений 
cos x  sin y  2  1 .

4 2
16.
Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой
x
x
2

 3x  7  log 1 3
3
x 2  3x  x  2  4
1.
стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.
17.
Около окружности радиуса г описан равнобедренный треугольник с углом 120 градусов
при вершине. Найти длины сторон треугольника и его площадь.
18.
Данный квадрат со стороной 7см срезан по углам так, что образовался правильный
восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.
19.
В трапеции ABCD с длинами оснований AD= 12 см, ВС = 8 см на луче ВС взята такая точка
М, что AM делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найти СМ.
20.
В трапеции ABCD даны основания AD =7, ВС=5 см. На продолжении ВС выбрана такая
точка М, что прямая AM отсекает от площади трапеции
21.
1
ее часть. Найти длину отрезка СМ.
4
Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника; площади трех
из них равны 10, 20 и 30 см2, и каждая меньше площади четвертого треугольника. Найти площадь
данного четырехугольника.
22.
В некоторый угол вписана окружность радиуса R, а длина хорды, соединяющей точки
касания, равна а. Параллельно этой хорде проведены две касательные, в результате чего
получилась трапеция. Найти площадь этой трапеции.
Собеседование с абитуриентами оценивается по 100-балльной шкале. Минимальное
количество
баллов,
составляет 21 балл.
подтверждающее
успешное
прохождение
вступительного
испытания