Сборник задач электрика 1 - Камышинский технологический

А. Г. СОШИНОВ, О. О. АХМЕДОВА
Сборник задач и тестовых заданий
для практических занятий
по дисциплине «Электротехника»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. Г. Сошинов, О. О. Ахмедова
Сборник задач и тестовых заданий
для практических занятий
по дисциплине «Электротехника»
Учебное пособие
Волгоград
2010
1
УДК 621.3 (075.3)
С 69
Рецензенты: д. т. н., профессор Саратовского государственного технического университета Г. Г. Угаров; кафедра «Электротехника и электроника» Саратовского государственного технического университета
Сошинов, А. Г. СБОРНИК ЗАДАЧ И ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА»: учеб. пособие /
А. Г. Сошинов, О. О. Ахмедова; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград,
2010. – 140 с.
ISBN 978-5-9948-0473-5
Предназначено для изучения дисциплины «Электротехника» студентами специальности 110214.51 «Электроснабжение (по отраслям)».
Приведены задачи, тестовые задания и примеры по расчёту электрических и магнитных полей и электрических цепей постоянного тока.
Ил. 214.
Табл. 4.
Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Учебное издание
Анатолий Григорьевич Сошинов, Ольга Олеговна Ахмедова
СБОРНИК ЗАДАЧ И ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА»
Учебное пособие
Редактор Л. В. Попова
Компьютерная верстка Н. М. Сарафановой
Темплан 2010 г., поз. № 43К.
Подписано в печать 20. 05. 2010 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 8,75. Усл. авт. л. 8,63. Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5

ISBN 978-5-9948-0473-5
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2010
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель учебного пособия – помочь студентам среднего профессионального образования специальности «Электроснабжение (по отраслям)»
освоить методику расчёта электрических и магнитных полей и цепей и
способствовать глубокому пониманию явлений, происходящих в электрических и магнитных полях и цепях, а также в различных электротехнических устройствах.
Помещённые в учебном пособии задачи предназначены для решения
на практических занятиях, а также для самостоятельной работы. Также
пособие может быть использовано для контроля знаний студентов с помощью ЭВМ или путём личного опроса их преподавателем.
Большая часть времени, необходимого для решения приведённых в
учебном пособии задач, требуется собственно для проработки электротехнической стороны вопроса, математические же операции сведены к
минимуму. Решение задач с минимальным цифровым расчётом способствует тому, что студент глубже познает взаимосвязь между различными
величинами и явлениями и развивает свое логическое мышление. Подобные задачи повышают интерес к изучаемой дисциплине и активность
студентов, нацеливают их не на заучивание теоретического материала, а
использование его для анализа и решения практических вопросов.
Учебное пособие состоит из отдельных задач с практическим техническим содержанием, распределённых по главам в соответствии с программой курса электротехники.
3
Глава 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1.1. Основные формулы и уравнения
Закон Кулона.
Рис. 1
Можно полагать, что два заряженных тела окружены общим электрическим полем, которое получается в результате наложения двух полей, каждое из которых связано со своим заряженным телом, когда последнее уединено.
В таком случае силу Fэ можно рассматривать как результат силового действия общего электрического поля на каждое из заряженных тел
(рис. 1). Количественно это действие определяется по формуле закона
Кулона, которая справедлива для точечных заряженных тел.
Величина силы, с которой на каждое из двух точечных заряженных
тел, расположенных в среде, действует их общее электрическое поле,
пропорциональна произведению зарядов этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Закон Кулона можно записать так:
Qq
F k 2 ,
r
где Q, q – первый и второй точечные заряды, Кл; r – расстояние
между зарядами, м; k – коэффициент пропорциональности.
В системе СИ
1 ,
k
4a
где ε а – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;.
Абсолютная диэлектрическая проницаемость пустоты называется
электрической постоянной ε 0 . В системе СИ
1
 8,86 10 12 Ф / м .
4 9 109
Для оценки электрических свойств среды ее абсолютную диэлектрическую проницаемость сравнивают с электрической постоянной. Результат сравнения выражают относительной величиной, которая называется
относительной диэлектрической проницаемостью:
0 
r 
a .
0
4
Относительная диэлектрическая проницаемость является табличной
величиной.
Эта величина является безразмерной и показывает, во сколько раз
изменится сила взаимодействия точечных зарядов в данной среде по
сравнению с пустотой.
Таким образом, в окончательном виде закон Кулона и его векторная
форма будут иметь вид:
F k
Qq
.
4a r 2
Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля – векторная величина, характеризующая электрическое поле и определяющая силу, действующую на
заряженную частицу (тело) со стороны электрического поля.
В численном выражении напряженность электрического поля равна
отношению силы, действующей на заряженную частицу (пробное тело), к
ее заряду:
Е
Fэ
.
Q
Единица напряженности электрического поля
ньютон вольт
[E] 

( В / м) .
кулон
метр
Напряженность электрического поля точечного заряда
Q .
E
4a r 2
Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами Q1 , Q2 ..., Qn , то напряженность результирующего поля в произвольной точке М определяется геометрической суммой векторов напряженностей, которые бы имели место при действии каждого из зарядов в
отдельности:
  

E  E1  E2  ...  En .
Электрическое поле называется однородным (равномерным), если
напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению.
Работа сил электрического поля
Эта частица будет перемешаться по направлению действующей на
нее силы Fэ (рис. 2). При перемещении частицы на пути l между точками
1 и 2 затрачивается энергия (совершается работа):
W1, 2  A1, 2  Fэ l .
5
Учитывая формулу, выразим энергию через напряженность электрического поля Е:
W1, 2  A1, 2  EQl .
Рис. 2
Работа при перемещении заряженной частицы совершается в результате силового взаимодействия частицы с внешним полем. Численно она
пропорциональна напряженности поля и величине заряда.
Работа считается положительной, если заряженная частица перемещается по направлению сил поля, и отрицательной, если перемещение
вызывается действием посторонних сил против направления сил электрического поля.
Общая величина работы А на замкнутом пути 1-4-2-5-1 равна
нулю:
A  Q En dl  0 .

Оба пути (1-4-2 и 1-5-2) выбраны произвольно. Отсюда следует, что
работа, совершаемая силами поля при перемещении заряженной частицы
между двумя точками, не зависит от выбранного пути, а определяется
положением начальной и конечной точек пути (1 и 2), т. е. расстоянием l.
Разность потенциалов и потенциал электрического поля
С энергетической точки зрения поле вдоль рассматриваемого пути
характеризуется работой, приходящейся на единицу заряда
U 1, 2 
A1, 2
.
Q
Это отношение называется электрическим напряжением.
Электрическое напряжение есть энергетическая характеристика поля
вдоль рассматриваемого пути из одной точки в другую, которой оценивается возможность совершения работы при перемещении заряженных частиц между этими точками.
6
Нетрудно найти связь напряженности равномерного поля с напряжением между двумя любыми точками:
A EQl
U 
;
U  E l .
Q
Q
Разностью потенциалов между двумя точками электрического поля
называется работа, совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую, взятая с обратным знаком. Если эти точки расположены на бесконечно малом расстоянии друг от друга, то
 
d  dA   Edl .
Разность потенциалов между точками 1 и 2, расположенными на конечном расстоянии (рис. 2), будет
2
 
 2  1   A12    Edl .
Из формулы следует, что:
1
 
    Ed l  K .
Обычно потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным
нулю (φ 2 = φ  = 0). Тогда постоянная интегрирования К = 0, а потенциал
любой точки поля
  
1   Edl .
1
Следовательно, потенциал электрического поля в данной точке равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность.
Если электрическое поле создается системой точечных зарядов, то
потенциал произвольной точки поля равен алгебраической сумме потенциалов, которые имели бы место при действии каждого из зарядов в отдельности:
  1  2  ...  n .
Из определения разности потенциалов следует, что
El  
d
,
dl
т. е. скорость падения потенциала вдоль произвольного направления равна проекции вектора напряженности на это направление. Вектор напряженности всегда направлен в сторону падения потенциала.
Ёмкость
Характеристикой системы, состоящей из двух проводящих тел, разделенных диэлектриком, является емкость. В технике такая система
7
называется конденсатором, а сами проводящие тела – обкладками, которые могут иметь форму пластин, цилиндров, секторов (рис. 3).
Рис. 3
При подключении конденсатора к источнику на его обкладках
накапливаются электрические заряды, равные по величине, но обратные
по знаку, а между обкладками имеется разность потенциалов. При этом величина зарядов оказывается пропорциональной разности потенциалов:
Q  C(1  2 )  CU .
Коэффициент пропорциональности, входящий в эту формулу,
называется емкостью:
Q
Q
C
 .
1   2
U
Отсюда следует, что емкость характеризует способность системы
проводящих тел, разделенных диэлектриком, накапливать электрические
заряды.
Емкость зависит от формы, геометрических размеров обкладок, расстояния между ними и свойств диэлектрика и не зависит ни от величины
заряда, ни от напряжения, а определяется их отношением.
В системе СИ емкость измеряется в фарадах (Ф), но так как фарада
является очень крупной единицей, то на практике используются доли
этой единицы, такие как микрофарада (1 мкФ = 10–16Ф) и пикофарада
(1 пФ = 10–12Ф).
Емкость плоского конденсатора.
Для определения емкости воспользуемся формулой напряженности
между двумя бесконечными плоскостями
 ,
Е
0
в которой электрическую постоянную ε0 заменим диэлектрической проницаемостью εа диэлектрика. С учетом формулы U  E  l получим
E
 U.

a l
Умножим обе части равенства на S – площадь одной пластины
S US Q .


a
l
a
8
Ёмкость плоского конденсатора:
Q  S
C  a .
U
l
Электрическая ёмкость проводника:
Q
С ,


где С – ёмкость проводника в фарадах; Q – заряд в кулонах;
– потенциал проводника в вольтах.
Ёмкость шара:
С   r 0 R ,
где R – радиус шара в метрах;
r
– относительная диэлектрическая
проницаемость среды вне шара;  0 – диэлектрическая проницаемость
вакуума в фарада/метр.
Ёмкость одиночного проводника без учёта влияния земли:
20l ,
С
l
ln
r0
где l – длина провода в метрах; r0 – радиус провода в метрах.
Ёмкость однопроводной линии по отношению к земле:
20l ,
С
2h
ln
r0
где h – высота подвеса проводов над землёй в метрах.
Ёмкость между проводами двухпроводной линии без учёта влияния
земли:
С
0l ,
ln
d
r0
где d – расстояния между проводами в метрах.
Ёмкость между проводами двухпроводной линии с учётом влияния
земли:
0l
С
ln
.
2hd
r0 4h 2  d 2
Ёмкость плоского многопластиночного конденсатора:
С
 r  0 S (n  1) ,
d
9
где n – число пластин (обкладок) конденсатора.
Ёмкость плоского двухпластиночного конденсатора с несколькими
диэлектрическими прослойками (слоистый диэлектрик)
S
,
C
d1
d2
(

 ...)
 r1 0
 r 2 0
где d1, d2 – толщина отдельных слоёв диэлектрика в метрах;
 r1 ,  r 2 – относительная диэлектрическая проницаемость отдельных
слоёв диэлектрика.
Ёмкость цилиндрического конденсатора:
2r  0 l ,
С
r
ln 2
r1
где r2 – радиус большего (внешнего) цилиндра в метрах; r1 – радиус
меньшего (внутреннего) цилиндра в метрах;
Обратная величина общей ёмкости группы последовательно соединённых конденсаторов равна сумме обратных величин ёмкостей отдельных конденсаторов:
1
1
1
1
1 .
 

 ... 
Собщ С1 С2 С3
Сn
В том случае, когда все конденсаторы имеют одинаковые ёмкости,
очевидно, что
1
n
 ,
Собщ C
Cобщ 
C
.
n
Общая ёмкость системы параллельно соединённых конденсаторов
равна сумме емкостей отдельных конденсаторов
Собщ  С1  С2  С3  ...  Сn .
Энергия электрического поля заряженного конденсатора
Wc 
CU 2
.
2
1.2. Типовые задачи с решениями
1.2.1. Определить потенциал точки В электрического поля, если известно, что при переносе из-за пределов поля в данную точку В его положительного заряда q = 2.10-8 Кл сила поля совершила работу А = 3.10-6 Дж.
10
Дано:
q = 2.10-8 Кл
А = 3.10-6 Дж
Найти:
φв -?
Решение:
Так как в рассматриваемом случае работала
сила поля, то работа ее связана с убылью энергии электрического поля, т. е. она является отрицательной величиной
WB = AB = — 3.10-6 Дж.
В соответствии с этим потенциал точки В поля
W
 3  10 6
В  B 
 150 В
q
2  10 8
Ответ:  В  150В
1.2.2. Два заряда q1 = + 10-9 и q2 = + 8.10-10 Кл расположены в воздухе
на расстоянии r = 10 см один от другого. Определить напряженность
электрического поля в точке А, расположенной от заряда q1 на расстоянии r1 = 6 см и от заряда q2 на расстоянии r 2 = 8 см.
Дано:
Система СИ Решение:
q1 = + 10-9 К
Напряженность электрического поля
q2 = + 8.10-10 Кл
в точке А от первого точечного заряда
r = 10 см
= 0,1 м
q1
109  36
Е1 

 2500 B / м
r1 = 6 см
= 0,06 м
4r1 0 4  0,062 109
r 2 = 8 см.
= 0,08 м
Напряженность электрического поля
Найти:
в точке А от второго точечного заряда
Е -?
А
Рис. 4
q2
8 109  36

 1250 B / м
4r2 0 4  0,082 109
.
Результирующая напряженность электрического поля в точке А:
Е А  Е1  Е2 .
Е2 
В данном случае векторы
другу (рис. 4), поэтому
Е1 и Е2 направлены под углом 90° друг к
Е А  Е12  Е22  25002  12502  2700 В / м .
Ответ: Е А  2700В / м
11
1.2.3. Рассчитать плоский конденсатор емкостью С = 2 мкФ с диэлектриком из парафинированной бумаги (  r  3,7 ), если он должен работать при напряжении U = 500 В, площадь обкладки S не должна превышать 200 см2. Электрическая прочность диэлектрика E = 18,75.106 В/м
(запас прочности m = 3).
Дано:
Система Решение:
СИ
С = 2 мкФ
= 2.10-6Ф
Расчетное напряжение
 r  3,7
U = 500 В
S < 200 см2
E = 18,75.106 В/м
m=3
Найти:
n-?
U   U  m  500  3  1500B
Толщина диэлектрика
= 0,02 м
2
U
1500
d

 8 105 м  0,08 мм
E 18,75 106
Определим число пластин конденсатора:
n
dC
 r 0S
1 
4 8 10 5  2 10 6
 1  245 шт .
1
4
3,7

200

10
9 10 9
Ответ: n  245 шт.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1.3.1. В результате трения с поверхности шарообразного тела было
удалено 8,177.1010 электронов. Определить величину и знак заряда этого
тела в кулонах.
1.3.2. На поверхности металлического шарика было помещено
1,887.109 избыточных электронов. Определить знак и величину заряда
шарика в кулонах.
1.3.3. Определить напряжение между двумя точками электрического
поля, если при переносе электрического заряда q =3 Кл из одной точки
поля в другую силами поля была совершена работа А = 660 Дж.
1.3.4. Определить работу, произведенную силами электрического
поля при переносе электрического заряда q = 8.10-3 Кл из одной точки поля в другую, если разность потенциалов между этими точками (напряжение) U = 400 В.
1.3.5. Найти потенциал в точке А электрического поля, если при переносе заряда q = +2 Кл из-за пределов поля в данную точку А силы
электрического поля произвели работу А = 120 Дж.
1.3.6. Потенциал в точке А электрического поля  А  100 В. Найти
работу, совершаемую сторонними силами при переносе заряда q = 3 Кл
из-за пределов поля в данную точку поля А.
1.3.7. Найти напряжение между двумя точками поля, если потенциал
одной из них 1  70 В, а другой  2  50 В.
12
1.3.8. Потенциал  электростатического поля на расстоянии r = 30 см
от точечного заряда, создавшего это поле, равен 200 В. Определить величину заряда q, если относительная диэлектрическая проницаемость среды
r  3.
1.3.9. Определить силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов q1 = 12.10-6 Кл и q2 = 5.10-6 Кл, помещенных в среду с относительной диэлектрической проницаемостью  r  2,5 на расстоянии r = 0,3 м
один от другого.
1.3.10. Решить предыдущую задачу при условии, что заряды будут
помещены в пустоту.
1.3.11. Сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 = 2.10-4 Кл и
q2 = 10-5 Кл, находящихся в пустоте, равна F=50 Н (ньютонов). Определить, на каком расстоянии находятся заряды один от другого.
1.3.12. Два электростатических заряда, расположенных в парафине на
расстоянии r = 10 см один от другого, отталкиваются с силой F = 0,4 Н.
Определить величину электростатического заряда q2, если q1 = 4.10-6 Кл, а
относительная диэлектрическая проницаемость парафина  r  2,2 .
1.3.13. Два заряда q1 = 0,4 мкК (микрокулона) и q2 = 0,2 мкК разделены воздухом и находятся на расстоянии r = 3 см. Определить силу их
взаимодействия.
1.3.14. Как изменится сила взаимодействия двух электростатических
зарядов, если расстояние между ними уменьшается в 3 раза, а величина
каждого заряда увеличивается в 3 раза?
1.3.15. Определить силу, действующую на заряд q = 4.10-4 Кл, помещенный в данную точку электрического поля, если напряженность в
этой точке Е = 1200 В/м.
1.3.16. Определить напряженность электростатического поля в воздушном пространстве, создаваемую точечным зарядом q = 4.10-8К, на
расстоянии r = 1,2 м от него.
1.3.17. На поверхности шара радиусом R = 20 см равномерно распределен заряд q = 3.10-9 Кл. Определить напряженность электростатического поля в точках, расположенных от центра на расстояниях
r1 = 10 см, r 2 = 20 см, r 3 = 30 см, если относительная диэлектрическая
проницаемость  r  2 .
1.3.18. По условию задачи 18 определить потенциал в точке, расположенной на поверхности шара.
1.3.19. Напряженность поля на поверхности шара Е = 450 В/м. Определить радиус шара, если заряд на нем q = 10-9 К, а относительная диэлектрическая проницаемость  r  2 .
13
1.3.20. Определить напряженность электрического поля в диэлектрике плоского конденсатора, если разность потенциалов между его обкладками U=100 В, а расстояние между ними r = 0,1 см.
1.3.21. Определить напряженность и потенциал электрического
поля в центре квадрата, если в вершинах его расположены четыре одинаковых положительных заряда q = 2.10-9 Кл. Стороны квадрата а = 0,1 м.
Решить задачу 21 для случая, когда все заряды заменены зарядами
– q = 2.10-9 Кл.
1.3.22. Два положительных точечных заряда q1 = 5.l0-11 Кл и q2 =
7 .10-11 Кл расположены в воздухе на расстоянии r = 8,94 см один от другого. Определить в точке, расположенной от заряда q1 на расстоянии
r1 = 8 см, а от заряда q2 – на расстоянии r2 = 4 см:
а) напряженности электрических полей E1 и Е2, созданные зарядами;
б) результирующий вектор напряженности общего поля Е;
в) потенциалы 1 и  2 , созданные зарядами q1 и q2.
г) результирующий потенциал общего поля  .
1.3.23. Ha уединенном металлическом шаре равномерно распределен
электрический заряд q = 1.10 -7 Кл. Потенциал шара  = 10 кВ. Найти
электрическую емкость шара.
1.3.24. Сплошной металлический шар с радиусом r = 45 см находится в изолирующей среде, относительная диэлектрическая проницаемость которой  r  2 . Определить емкость этого шара.
1.3.25. Определить емкость земного шара. Длина окружности земного шара 2R  40 10 6 м.
1.3.26. Емкость конденсатора С = 2.10-6 Ф. Выразить ее в микрофарадах.
1.3.27. Определить емкость одиночного горизонтального провода
радиусом r0 = 2 мм при длине l = 40 м, если вокруг него на близком расстоянии нет никаких предметов.
1.3.28. Определить емкость однопроводной телефонной линии протяженностью l = 20 км, если провод ПТГ-7 имеет диаметр 2r0 = 3 мм и
средняя высота подвеса кабеля над землей h = 3 м.
1.3.29. Определить емкость однопроводной телеграфной линии длиной l = 15 км, если телеграфный кабель ПТГ-19 имеет диаметр 2r0 = 4,4
мм и средняя высота подвеса кабеля над землей h = 4 м.
1.3.30. Определить емкость воздушной двухпроводной линии длиной l = 1000 м, если диаметр проводов 2r0 = 4 мм, а расстояние между
ними d = 0,6 м.
1.3.31. Найти емкость 1 км двухпроводной линии передачи, провода которой имеют радиус r0 = 0,6 см и подвешены на высоте h = 8 м
над землей на расстоянии d = 1,2 м один от другого.
14
1.3.32. Определить емкость двухлучевой горизонтальной антенны,
длина каждого луча которой l = 50 м и радиус r0 = 0,25 см. Антенна расположена над землей на высоте h = 25 м; расстояние между лучами d = 0,1 м.
1.3.33. Определить емкость плоского двухпластинчатого конденсатора, если длина пластины 20 см, ширина 20 см, расстояние между пластинами (обкладками) d = 0,2 см. Диэлектрик – слюда с относительной
диэлектрической проницаемостью  r  6 .
1.3.34. Определить поверхность одной стороны каждой из обкладок
плоского двухпластинчатого конденсатора с воздушным диэлектриком,
если расстояние между обкладками d = 1 мм, а емкость конденсатора
С = 100 пФ.
1.3.35. Как изменится емкость конденсатора предыдущей задачи, если
между его обкладками вставить пластинку слюды толщиной d = 1 мм
(  r  6 ).
1.3.36. Определить расстояние d между обкладками двухпластинчатого плоского конденсатора, если его емкость С = 0,02 мкФ, поверхность одной стороны каждой из обкладок S = 1220 см2, а диэлектриком
служит бумага, пропитанная парафином (  r  3,7 ).
1.3.37. Какое количество электричества накопит конденсатор емкостью 3 мкФ, присоединенный к источнику тока с напряжением на зажимах U = 120 В?
1.3.38. Конденсатор присоединен к источнику тока с напряжением
на зажимах U = 160 в. Определить емкость конденсатора, если величина
его заряда q = 32. 10-5 К.
1.3.39. Определить емкость плоского многопластинчатого конденсатора, состоящего из п = 46 листков фольги, разделенных диэлектриком
толщиной d = 0,02 мм, с  r  2,5 . Поверхность одной стороны каждого
листка S = 80 см2.
1.3.40. Определить емкость бумажного конденсатора, представляющего собой рулон, в который свернуты две станиолевые ленты, между
которыми уложена бумага, пропитанная парафином, толщиной d = 0,02
см и  r  3,7 . Размеры каждой из лент 5×1225 см2.
1.3.41. В плоском конденсаторе расстояние между обкладками
d = 2 мм. Между ними помещена слюдяная пластина толщиной d1 = 1 мм
(  r  6 ). Определить емкость конденсатора, если поверхность одной
стороны каждой из обкладок S = 88.10-4 м2.
1.3.42. Найти емкость плоского конденсатора с двухслойным диэлектриком. Толщина первого слоя d1 = 1 мм (стеклянная пластинка,
 r  8 ); толщина второго слоя d2 = 1 мм (слюдяная пластинка,  r  6 ).
Поверхность одной стороны каждой из обкладок S = 8.10-3 м2.
15
1.3.43. Определить емкость цилиндрического конденсатора со стеклянным диэлектриком, относительная диэлектрическая проницаемость
которого  r  6 . Длина конденсатора l = 20 см, радиус внутренней обкладки п = 7,4 см, радиус внешней обкладки r2 = 7,63 см.
1.3.44. Определить внутренний радиус цилиндрического бакелитового конденсатора (  r  6 ), если С = 1375 пФ, его внешний радиус
r2 = 10,2 см, длина l = 20 см.
1.3.45. Определить емкость цилиндрического конденсатора, если
его длина l = 50 см, радиус внутреннего цилиндра r1 = 4 см, радиус внешнего цилиндра r2 = 9 см, а полость между цилиндрами по всей длине конденсатора заполнена трансформаторным маслом, диэлектрическая проницаемость которого  r  2,2 .
1.3.46. Найти общую емкость и заряд трех параллельно включенных конденсаторов C1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, C3 = 4 мкФ, если напряжение
на зажимах источника тока U = 380 В.
1.3.47. К зажимам источника тока с напряжением U = 120 В присоединены два конденсатора, соединенные между собой параллельно.
Определить общую емкость и заряд всей батареи, если C1 = 2 .105 пФ, С2
= 0,8 мкФ.
1.3.48. Последовательно соединены три конденсатора емкостью
C1 = 3 мкФ, С2 = 6 мкФ, С3 = 2 мкФ. Найти общую емкость.
1.3.49. Общая емкость двух последовательно соединенных конденсаторов Собщ = 240 пФ. Определить емкость второго конденсатора С2, если емкость первого С1 = 400 пФ.
1.3.50. Определить общую емкость батареи конденсаторов, соединенных по схеме на рис. 5, если С1 = 2 мкФ, С2 = 8 мкФ, С3 = 4 мкф, С4 = 6
мкФ.
Рис. 5
1.3.51. Определить общую емкость батареи конденсаторов, соединенных по схеме на рис. 6, если С1 = 6000 пФ, С2 = 2000 пФ, С3 = 2000 пФ,
С4 = 1000 пФ, С5 = 3000 пФ.
Рис. 6
16
1.3.52. Определить общую емкость батареи конденсаторов, соединенных по схеме на рис. 7, если C1 = C3 = C5 = C7 = 4 мкФ, а С2 = С4 =
С6 = 1 мкФ.
Рис. 7
1.3.53. Найти напряжение на зажимах цепи и общую емкость пяти
конденсаторов, включенных по схеме, изображенной на рис. 8, если
C1 = 4 мкФ, С2 = 3 мкФ, С3 = 5.106 пФ, С4 = 2 мкФ, С5 = 4 мкФ, а напряжение между точками а и б цепи Ua6 = 100 В.
Рис. 8
1.3.54. По данным предыдущей задачи определить емкость батареи
конденсаторов, если произошел пробой диэлектрика конденсатора емкостью Сз.
1.3.55. На рис. 9 изображена схема соединения конденсаторов.
Определить общую емкость и напряжение на зажимах цепи при включенном рубильнике, если С1 = 2 мкФ, С2 = 3 мкФ, С3 = 5 мкФ, а заряд
первого конденсатора равен Q1 = 2.10-4 К.
Рис. 9
1.3.56. По данным предыдущей задачи определить общую емкость и
напряжение между обкладками первого и второго конденсаторов, если
произошел пробой диэлектрика конденсатора емкостью С3.
1.3.57. Определить общую емкость и напряжение на конденсаторах
по условиям задачи 55 при выключенном рубильнике. Подводимое
напряжение остается тем же.
1.3.58. К конденсатору емкостью С = 1 мкФ подведено напряжение
U = 160 В. Определить энергию, запасенную в электрическом поле.
17
1.3.59. Чему равна разность потенциалов между обкладками конденсатора емкостью С = 1 мкФ, если энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, Wc = 2 Дж?
1.3.60. Конденсатор постоянной емкости присоединен к зажимам
источника тока с напряжением U = 220 В. Определить емкость конденсатора и величину заряда на его обкладках, если энергия, запасенная в
электрическом поле конденсатора, Wc = 1,21.10-2 Дж.
1.3.61. Напряжение между обкладками первого конденсатора по
условиям задачи 1.3.60 Ux = 132 В. Найти напряжение на втором конденсаторе и энергию, запасенную в электрических полях первого и второго конденсаторов.
1.3.62. Два конденсатора емкостью С1 = 2 мкФ и C2 = 4 мкФ соединены последовательно. Определить энергию, запасенную в электрическом поле каждого конденсатора, если они присоединены к источнику
тока с напряжением на зажимах U = 120 В.
1.3.63. К последовательной цепи из конденсатора емкостью С1 = 6
мкФ и двух конденсаторов емкостью С2 = 2 мкФ и С3 = 4 мкФ, соединенных параллельно, приложено постоянное напряжение U = 220 В.
Определить:
а) эквивалентную емкость Сэ цепи;
б) количество электричества на каждом конденсаторе (q1,q2,q3);
в) напряжение на каждом конденсаторе (U1, U 2, U3);
г) электрическую энергию, запасенную в электрическом поле каждого конденсатора (WC1, WC2, WC3), и общую энергию всей цепи (WЭ).
1.3.64. Плоский многопластинчатый конденсатор состоит из пластин фольги, разделенных слюдяным диэлектриком (  r  6 ) толщиной
d = 0,05 мм. К конденсатору подведено напряжение U = 200 В, и энергия,
запасенная при этом в его электрическом поле, Wc = 76,44.10-5 Дж.
Определить емкость конденсатора и число пластин в нем, если поверхность одной стороны каждой пластины S = 20 см2.
1.3.65. Имеющиеся конденсаторы емкостью С = 0,5 мкФ каждый
рассчитаны на рабочее напряжение Uр = 1000 В. Необходимо составить
батарею конденсаторов общей емкостью Собщ = 1 мкФ, которую можно
было бы присоединить к источнику тока с напряжением на зажимах
U = 2000 В. Сколько нужно для этого конденсаторов и как они должны
быть включены? Начертить схему.
1.3.66. Плоский слюдяной конденсатор должен работать при напряжении U = 300 В и запасать в электрическом поле энергию Wc =
4,5.10-4 Дж. Определить толщину диэлектрика конденсатора и поверхность одной стороны каждой из обкладок его, если электрическая прочность слюды E = 10.107 В/м,  r  6 , а расчетное напряжение U = 1000 В.
18
1. 4. Тестовые задания
Определение и изображение электрического поля
1.4.1. На рис. 10 показана модель атома водорода. В какой области
пространства действует электрическое поле?
Рис. 10
1. В области В.
2. И в области А, и в области В.
3. В области А.
1.4.2. Какое из приведенных утверждений вы считаете правильным?
1. Поле и силовые линии существуют реально.
2. Поле существует реально, а силовые линии – условно.
3. Поле существует условно, а силовые линии – реально.
4. И поле, и силовые линии существуют условно.
1.4.3. Где существует поле уединенного заряженного тела?
1. Только в плоскости.
2. В пространстве.
1.4.4. В каком из приведенных на рис. 11 случаев взаимодействующие заряженные тела можно считать точечными?
Рис. 11
1. В обоих случаях.
2. В случае а).
3. В случае б).
4. Ни в том, ни в другом случае.
1.4.5. На рис. 12 показано электрическое поле системы разноименно
заряженных тел. В какой точке поля сила F, с которой поле действует на
пробный заряд, расположена правильно?
Рис. 12
19
1. В точке А.
2. В точке В.
3. В точке С.
Закон Кулона. Напряжённость эл. поля
1.4.6. Как изменится сила взаимодействия между двумя заряженными телами с зарядами Q и q, если при q = const заряд Q увеличить в 2
раза, причем расстояние между зарядами также удвоится?
1. Остается неизменной.
2. Увеличится в 2 раза.
3. Уменьшится в 2 раза.
4. Уменьшится в 4 раза.
1.4.7. Как изменится сила взаимодействия между двумя заряженными телами, если разделяющий их воздух заменить дистиллированной водой?
1. Увеличится.
2. Уменьшится.
3. Останется неизменной.
1.4.8. В какой зоне на рис. 13 находится точка, напряженность поля
которой равна нулю?
Рис. 13
1. В зоне С.
2. В зоне А.
3. Не существует.
4. В зоне В.
1.4.9. Какой из приведенных на рис. 14 графиков соответствует
изменению напряженности поля уединенного заряженного тела?
а.
б.
в.
Рис. 14
1.4.10. Изменится ли напряженность поля уединенного точечного
заряженного тела в данной точке, если знак заряда тела изменить на
противоположный, а значение заряда оставить неизменным?
1. Изменится.
2. Не изменится.
20
Потенциал. Электрическое напряжение
1.4.11. Найти на рис. 15 правильное соотношение между
В
А
и
, если RA = RB (каждый случай рассматривается отдельно).
Рис. 15
2.  А >  В
3.  А <  В
1.4.12. Совершается ли работа при перемещении пробного
заряженного тела по поверхности сферы, в центре которой находится
точечное заряженное тело?
1. Совершается.
2. Не совершается.
3. Это зависит от формы траектории движения пробного заряженного тела.
1.4.13. Какая из формул может быть использована для определения
разности потенциалов на рис. 16 между точками А и В?
1.
 А = В
Рис. 16
1.  А  В  ЕА  l АВ .
2.  А  В  ЕВ  l АВ .
3. Обе формулы не верны.
1.4.14. Какое из приведенных выражений правильно для рис. 17?
Рис. 17
1. U ABI  U ABII  U ABIII .
2. U ABI  U ABII  U ABIII .
3. U ABI  U ABII  U ABIII .
1.4.15. Даны два поля: неоднородное I и однородное II, причем
EAI = EAII, lABI = lABII (рис. 18). Каково соотношение между UABI и UABII?
21
а)
б)
Рис. 18
2. U ABI  U ABII
3. U ABI  U ABII
1. U ABI  U ABII
Проводники в электрическом поле. Электростатическая индукция.
1.4.16. Может ли существовать электрическое поле в металлическом
проводнике?
1. Может.
2. Не может.
1.4.17. Какие заряды перемещаются в металле в процессе электростатической индукции?
1. Положительные ионы.
2. Электроны.
3. И электроны, и ионы.
1.4.18. Под действием электрического поля Ф в металлическом
бруске произошло разделение зарядов (рис. 19).
Существует ли разность потенциалов между поверхностями А и В?
Рис. 19
1. Существует.
2. Не существует.
1.4.19. Сохранится ли поле разделенных зарядов внутри металла,
если убрать внешнее поле?
1. Не сохранится.
2. Сохранится.
1.4.20. Будет ли защищено внешнее пространство на рис. 20 от поля
заряда Q, заключенного в металлический экран?
Рис. 20
1. Будет.
2. Не будет.
3. Будет при условии заземления экрана.
22
Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектрика
1.4.21. Может ли поле поляризованного диэлектрика полностью
компенсировать внешнее электростатическое поле?
1. Может.
2. Не может.
3. Это зависит от типа диэлектрика.
1.4.22. В пространство между двумя разноименно заряженными
пластинами введена металлическая пластина (рис. 21). Как изменится
напряжен-ность поля в пространстве между пластинами, если расстояние
и напря-жение между ними останутся неизменными?
Рис. 21
1. Увеличится.
2. Уменьшится.
3. Останется неизменным.
1.4.23. К пластинам, разделенным воздухом, приложено напряжение U. Затем в слой b вводится диэлектрик из слюды (рис. 22). Как
изменится напряженность поля в слоях а и b после введения слюды
(  rb
  ra )?
Рис. 22
1. В слое а не изменится, в слое b увеличится.
2. В слое а увеличится, в слое b уменьшится.
3. В слое а не изменится, в слое b уменьшится.
1.4.24. Какая из приведенных на рис. 23 молекул является полярной?
Рис. 23
а
б
в
1.4.25. Какими признаками характеризуется твердый диэлектрик в
состоянии пробоя?
1. Наличием свободных ионов.
2. Наличием свободных электронов.
23
3. Наличием свободных ионов и электронов.
Электрическая ёмкость. Плоский конденсатор
1.4.26. Нужно ли изменять емкость конденсатора, чтобы при неизменном напряжении между его пластинами заряд увеличился? Если да,
то как?
1. Уменьшить.
2. Оставить без изменения.
3. Увеличить.
1.4.27. Как изменятся емкость и заряд на пластинах конденсатора,
если напряжение на его зажимах повысится?
1. Емкость и заряд увеличатся.
2. Емкость уменьшится, заряд увеличится.
3. Емкость останется неизменной, заряд увеличится.
4. Емкость останется неизменной, заряд уменьшится.
1.4.28. При неизменном напряжении увеличится расстояние между
пластинами конденсатора. Как изменится при этом заряд конденсатора?
1. Увеличится.
2. Не изменится.
3. Уменьшится.
1.4.29. Конденсатор образован тремя пластинами, как показано на
рис. 24. Площадь каждой пластины S. Какую площадь следует подставить в формулу для определения емкости?
Рис. 24
1. 3S
2. S
3. 2S
1.4.30. Расстояние между пластинами конденсатора d на рис. 25.
Какой параметр нужно подставить в формулу для определения емкости?
Рис. 25
1. 2d
2. d
Соединение конденсаторов. Энергия электрического поля
1.4.31. Три конденсатора, подключенные к источнику питания,
соединены последовательно. Как распределяется напряжение на конденсаторах?
1. U1  U 2  U 3 .
2. U1  U 2  U 3 .
3. U1  U 2  U 3 .
24
4. Недостаточно данных для ответа на вопрос.
1.4.32. При последовательном соединении двух конденсаторов, подключенных к источнику питания, один из них оказался пробитым. Как
изменится запас прочности другого конденсатора?
1. Увеличится.
2. Уменьшится.
3. Останется неизменным.
1.4.33. Как изменятся энергия последовательно включенных конденсаторов и их заряд при замыкании ключа К (рис. 26)?
Рис. 26
1. Энергия увеличится, заряд уменьшится.
2. Энергия увеличится, заряд не изменится.
3. Энергия увеличится, заряд увеличится.
4. Энергия уменьшится, заряд не изменится.
1.4.34. В данной на рис. 27 схеме С1  C2 . Какой из этих емкостей
можно пренебречь при приближенном определении Собщ?
Рис. 27
1. С1
2. С2
1.4.35. В приведенной на рис. 28 схеме С1  C2 . Какой из этих емкостей
можно пренебречь при приближенном определении общей емкости?
1. С1
2. С2
Рис. 28
25
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Основные формулы и уравнения
Электрический ток
Явление направленного движения носителей заряда, сопровождаемое магнитным полем, называют полным электрическим током.
Сила тока численно равна количеству электричества, проходящего
через поперечное сечение проводника в единицу времени:
i
q
t
.
Таким образом, сила тока характеризует расход электричества в единицу времени через данное сечение электрической цепи. Единицей силы
тока является ампер (А).
Ток, неизменный во времени по значению и направлению,
называют постоянным:
I
q
.
t
За положительное направление тока принимают направление, в котором перемещаются положительные заряды, т. е. направление, противоположное движению электронов.
Наряду с силой тока важное значение имеет плотность тока J, равная
количеству электричества, проходящего за 1 с через единицу перпендикулярного току сечения проводника. В однородном проводнике ток равномерно распределяется по сечению, так что
I
J ,
S
где J – в А/мм2.
Плотность тока позволяет охарактеризовать проводник с точки зрения способности выдерживать ту или иную нагрузку.
ЭДС и напряжение
ЭДС Е численно равна работе, которую совершают сторонние силы
при перемещении единичного положительного заряда внутри источника
или сам источник, проводя единичный положительный заряд по замкнутой цепи.
Единицей ЭДС является вольт (В). Таким образом, ЭДС равна 1 В,
если при перемещении заряда в 1 Кл по замкнутой цепи совершается работа в 1 Дж:
[Е] = 1 Дж/1 Кл = 1 В.
Положительное направление ЭДС совпадает с направлением, в котором сторонние силы действуют на частицы с положительным зарядом.
26
Это соответствует и положительному направлению тока в цепи. Перемещение зарядов по участку цепи сопровождается затратой энергии.
Величину, численно равную работе, которую совершает источник,
проводя единичный положительный заряд по данному участку цепи,
называют напряжением U.
Электрическая работа и мощность.
Найдем работу, которую совершает источник тока для перемещения
заряда q по всей замкнутой цепи (рис. 29).
Рис. 29
Исходя из определения ЭДС получим
Аи  Е  q .
Но так как q  I  t , E  U  U вт , то
Аи  (U  U вт )  It или Аи  UIt  U вт It ,
А – работа, совершаемая источником на внешнем участке
UIt 
цепи; U вт It  Авт – потеря энергии внутри источника.
где
Используя закон Ома для участка цепи, можно записать
U2
A  I 2  Rt 
t.
R
Величину, характеризуемую скоростью, с которой совершается работа, называют мощностью:
A
P
t .
Соответственно мощность, отдаваемая источником,
Рн  EIt t  EI .
Величина энергии, вырабатываемой за единицу времени, т. е. скорость преобразования энергии в источнике, называется мощностью источника.
Мощность потребителей
P  UIt t  UI  I 2 R  U 2 R .
Мощность потерь энергии внутри источника
2
Pвт  U вт I  I 2 Rвт  U вт
Rвт .
Единица мощности – ватт (Вт):
27
[Р] = 1 Дж/1 с = 1 Вт, т. е. мощность равна 1 Вт, если за 1 с совершается работа в 1 Дж.
Электрическая работа выражается в джоулях, но согласно формуле
P  A / t , имеем A  P  t .
Закон Ома
Рассмотрим участок цепи длиной l и площадью поперечного сечения
S (рис. 30).
Рис. 30
U .
l S
Введя понятие сопротивления проводника через соотношение
l S  R (R – сопротивление проводника), окончательно получим
U
I .
R
Выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на
участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к
этому участку.
Приведенные рассуждения справедливы при условии, что γ, а следовательно, и R – постоянные величины, т. е. для линейной цепи, характеризуемой зависимостью I  (1 R)U ток линейно зависит от напряжения,
отсюда следует важный вывод: закон Ома справедлив для линейных цепей (R – const).
Рассмотрим полную цепь (рис. 31).
I
Рис. 31
Согласно закону Ома для участка цепи, U  I  R,
U вт  I  Rвт.
Тогда в соответствии с E  IR  IR вт . Отсюда E  I ( R  R вт) .
Выражение является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи
прямо пропорциональна ЭДС источника.
28
Из выражения E  U  U вт следует, что, U  E  IRвт т. е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше ЭДС источника на
значение падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника.
Электрическое сопротивление и проводимость
При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается сопротивлением цепи. По закону Ома для
участка цепи I = U/R, откуда R = U/I. За единицу сопротивления принято
сопротивление такого участка цепи, в котором устанавливается ток в 1 А
при напряжении в 1 В:
B
[ R] = 1 I А = 1 Ом.
Ранее нами была получена формула, выражающая зависимость сопротивления R от геометрии и свойств материала проводника:
l
R .
S
RS
.
l
По определению, удельное сопротивление ρ численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м, площадью поперечного сечения 1 м 2
при температуре 20 °С.
Единица удельного сопротивления Ом*м. Значение ρ для металлов
при такой единице очень мало. Поэтому для удобства расчетов поперечное сечение проводника берут в квадратных миллиметрах. Тогда единицей ρ будет Ом*мм2/м.
При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не
сопротивлением, а величиной, обратной сопротивлению, т. е. электрической проводимостью:
1  S I ,
G 

Преобразовав её, получим  
R
где y 
1

l
U
– удельная проводимость.
Единицей электрической проводимости является сименс (См):
[G] = 1/1 Ом = 1 См.
Законы Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрических цепей:
В ветвях, образующих узел электрической цепи, алгебраическая
сумма токов равна нулю:
I 0.

29
В эту сумму токи входят с разными знаками в зависимости от
направления их по отношению к узлу. На основании первого закона
Кирхгофа для каждого узла можно составить уравнение токов. Например,
для точки 3 схемы (рис. 32) такое уравнение имеет вид
I1  I 2  I 4  I 7  0 .
Рис. 32
В этом уравнении токи, направленные к узлу, условно взяты положительными, а токи, направленные от узла, – отрицательными:
I1  I 2  I 4  I 7 .
Уравнение позволяет дать другую формулировку первого закона
Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна
сумме токов, направленных от того же узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на
его ветвях равна нулю:
U  0 .
Другая формулировка закона Кирхгофа: в контуре электрической
цепи алгебраическая сумма падений напряжения в пассивных элементах
равна алгебраической сумме ЭДС этого контура:
 IR   E .
Для этого можно пользоваться следующим правилом: в левую часть
уравнения следует записать алгебраическую сумму падений напряжения
в пассивных элементах контура, а в правую – алгебраическую сумму
ЭДС, встречающихся при обходе контура.
При этом положительными считаются токи и ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода.
Согласно этому правилу, запишем уравнения для двух других контуров схемы, представленной на (рис. 32):
для 1-2-3-6-1
I1R1  I 7 R7  I 3 R3  E1  E2 ;
для 3-4-6-3
I 4 R4  I 5 R5  I 7 R7   E2 .
30
Основой второго закона Кирхгофа является закон сохранения энергии.
Общий пример последовательного соединения
Рассмотрим общий пример последовательного соединения источников и приемников электрической энергии (рис. 33), пренебрегая внутренними сопротивлениями источников.
Рис. 33
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, произвольно задавшись направлениями тока в цепи и направлением обхода контура
(например, по часовой стрелке):
IR1  IR2  IR3  E1  E2  E3 .
Ток в цепи
E  E2  E3 .
I 1
R1  R2  R3
При обходе контура видно, что относительно направления обхода
ЭДС Е1 и Е3 направлены одинаково, т. е. согласно, а ЭДС Е2 – им навстречу.
Ток в цепи определяется действием всех трех ЭДС, и при заданных
направлениях ЭДС и тока нетрудно установить, что элементы с ЭДС Е1 и
Е3 вырабатывают электрическую энергию, а элемент с ЭДС Е2 ее потребляет. Если в качестве источников ЭДС в данном случае предположить аккумуляторы, то источники Е1 и Е3 разряжаются, а источник Е2 заряжается.
В элементах цепи, характеризующихся сопротивлениями R1, R2 и R3,
электрическая энергия преобразуется в тепловую. Рассматривая в качестве примера схему (рис. 33), нетрудно убедиться в том, что второй закон
Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии в применении
его к контуру электрической цепи.
Для этого достаточно умножить уравнение на I, перенеся предварительно Е2 в левую часть:
E2 I  I 2 R1  I 2 R2  I 2 R3  E1 I  E3 I .
Получим уравнение баланса мощности для рассматриваемой цепи;
сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей приемников.
Ток в цепи с последовательным соединением элементов (см. рис. 33)
не изменится и баланс мощностей сохранится, если произвести перестановку элементов цепи, сгруппировав ЭДС и сопротивления, как показано
на (рис. 34).
31
Последовательное соединение пассивных элементов
Участок цепи 4-5-6-1 представляет собой последовательное соединение резисторов. На рассматриваемом участке действует напряжение U,
равное алгебраической сумме ЭДС левой части схемы. Это напряжение
равно также сумме падений напряжения в правой части схемы:
U  IR1  IR2  IR3  U1  U 2  U 3 .
Рис. 34
Вынеся I за скобку, получим
U  I ( R1  R2  R3 ) или
U
I
 R1  R 2  R3 .
U
 R есть некоторое сопротивление, эквивалентное по
I
своему действию всем трем сопротивлениям:
R  R1  R2  R3 .
Это равенство позволяет на участке 4-5-6-1 три сопротивления заменить одним (эквивалентным) и получить более простую схему (рис. 35)
при условии неизменности тока в цепи и сохранении того же баланса
мощностей.
Отношение
Рис. 35
Этот вывод можно распространить на любое число последовательно
включенных пассивных элементов:
n
R   Rn ,
1
32
т. е., общее сопротивление неразветвленной цепи равно сумме сопротивлений ее участков.
Последовательное соединение источников ЭДС
Участок 1-2-3-4 цепи на (см. рис. 34) представляет собой последовательное соединение источников ЭДС. Напряжение между точками 4-1
U = Е1 - Е2 + Е3..
Последнее равенство позволяет на участке 1-2-3-4 три ЭДС заменить
одной (эквивалентной)
E  E1  E2  E3 ,
и получить более простую схему (рис. 36), в которой только одна (эквивалентная) ЭДС Е.
Рис. 36
Этот вывод можно распространить на любое число последовательно
включенных источников. Если ЭДС всех источников равны и направлены
согласно, как это имеет место при включении аккумуляторных элементов
в батарее, то общая ЭДС может быть определена по формуле:
E  nE ,
где Еn – ЭДС одного элемента; n – число элементов в батарее.
Согласно составленной эквивалентной схеме (см. рис. 36)
I
E E1  E2  E3 .

R R1  R2  R3
Потенциальная диаграмма
В схеме, представленной на рис. 33, при переходе от точки 1 к точке 2
потенциал повышается на величину Е1, при переходе от точки 3 к точке 4
– снижается на величину U 3.4   E2 . При переходе от точки 5 к точке 6
потенциал повышается на величину Е3.
Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно
изобразить графически в виде потенциальной диаграммы.
Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямой системе координат, в
которой по оси абсцисс описываются в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек.
33
Изобразим потенциальную диаграмму схемы, представленной на
рис. 33, на рис. 37.
Потенциалы точек цепи найдены согласно равенствам:
 2  1  Е1 ;  3   2  IR1 ;  4   3  Е2 ;
 5   4  IR2 ;  6   5  Е3 ; 1   6  IR3 ;
причём потенциал точки 1 принят равным нулю.
Рис. 37
Так как внутренние сопротивления источников ЭДС приняты равными нулю, при переходе через эти элементы потенциалы изменяются
скачком.
Однако в большинстве случаев источники обладают внутренним сопротивлением r отличным от нуля. Эти сопротивления учитываются при
определении тока цепи и в построении потенциальной диаграммы.
Величина тока определяется алгебраической суммой ЭДС всех источников, деленной на полное сопротивление цепи:
E .
I
 (R  r)
Для определения величины и направления тока в неразветвленной
цепи с несколькими источниками произвольно выбирают направление
обхода контура цепи (по часовой или против часовой стрелки).
Тогда ЭДС, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода, в алгебраической сумме берут со знаком плюс, а несовпадающие — со знаком минус. Если при расчете результат получился
положительный, то ток совпадает с произвольно выбранным направлением обхода. Если же результат получился отрицательным, то ток имеет
направление противоположное выбранному.
Параллельное соединение пассивных элементов
Разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких ветвей. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, включены параллельно (рис. 38).
Отличительной особенностью параллельного соединения является то, что
ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение.
34
Рис. 38
Приемники электрической энергии, представленные на схеме (рис. 38)
сопротивлениями R1, R2, R3 и источник электрической энергии Е с внутренним сопротивлением r подключены к одной паре узлов (точки А и Б).
Составим уравнения токов для узла А в соответствии с первым законом
Кирхгофа
I  I1  I 2  I 3 .
Токи приемников можно выразить, используя напряжение между узлами и проводимости ветвей:
где G1 
1
;
R1
I1  UG1; I 2  UG2 ; I 3  UG3 ;
1
1
G2 
; G3  ;
R2
R3
I  UG1  UG2  UG3  U (G1  G2  G3 ) .
Разделим это уравнение на U:
I / U  (G1  G2  G3 ) .
Отношение I/U есть проводимость G, соответствующая общему
току цепи и общему напряжению:
G  G1  G2  G3 .
Этот вывод можно распространить на любое число п параллельно
соединенных приемников: G 
n
G
n
.
1
При параллельном соединении пассивных ветвей общая проводимость между двумя узлами равна сумме проводимостей всех ветвей.
Исходя из формул, можно заменить три проводимости (в общем
случае п проводимостей) одной (эквивалентной) проводимостью G и получить более простую схему (рис. 39).
Рис. 39
35
Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении нескольких ветвей определяется из равенства
1
1
1
1
1



 ... 
.
R R1 R2 R3
Rn
Очень часто встречается параллельное соединение двух ветвей. В
этом случае эквивалентное сопротивление определяется по формуле:
1
1
1


R R1 R2
или
R
R1 R2
.
R1  R2
Схема на (рис. 39), полученная после замены трех проводимостей
одной (эквивалентной), представляет собой простейшую схему электрической цепи.
Ток в этой схеме, равный току в неразветвленной части (рис. 39),
определяется по формуле:
E .
I
rR
Целью расчета электрической цепи является не только определение
общего тока, но и тока в каждой ветви.
Если заданы ЭДС и все сопротивления, то после определения общего тока по формуле I  E /( r  R) нужно определить напряжение между
узловыми точками и токи в ветвях по закону Ома:
U .
U  IR; I1  U ; I 2  U ;
I3 
R1
R2
R3
Расчет электрических цепей методом эквивалентных сопротивлений
Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчёта таких
электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, включенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.
Рис. 40
На схеме (рис. 40) сопротивления R3 и R4 включены последовательно: между ними (в точке 3) нет ответвления с током, поэтому I3 = I4. Эти
36
два сопротивления можно заменить одним (эквивалентным), определив
его как сумму R3 + R4 = R3.4 .
После такой замены получается более простая схема (рис. 41).
Рис. 41
Сопротивления R2 и R3.4 соединены параллельно, их можно заменить
одним (эквивалентным), определив его по формуле:
R2.4 
R2 R3.4
R2  R3.4
и получить более простую схему (рис. 42).
Рис. 42
В схеме (рис. 42) сопротивления R1, R2.4, R5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним (эквивалентным) сопротивлением между точками 1 и 5, получим простейшую схему (рис. 43).
Рис. 43
Подобными преобразованиями схему смешанного соединения пассивных элементов с одним источником энергии в большинстве случаев
можно привести к простейшей схеме. В более сложных схемах методом
эквивалентных сопротивлений достигается упрощение, которое значительно облегчает расчет.
В простейшей схеме (см. рис. 43) ток I определяется по закону Ома.
Токи в других ветвях первоначальной схемы определяют, переходя от
схемы к схеме в обратном порядке.
37
Из схемы (рис. 42) видно, что
I 5  I1  I 2  I 3 .
Кроме того, напряжения между точками 2 и 4
U 2.4  I1 R2.4 .
Зная это напряжение, легко определить токи I2 и I3 = I4
I2 
U 2.4
;
R2
I3  I4 
U 2.4
.
R3.4
После определения токов I1 и I5 напряжение U2.4 можно найти как
разность потенциалов между точками 2 и 4. Для этого предположим, что
φ4 известно (например, равно нулю), а φ2 найдем так же, как при построении потенциальной диаграммы, обойдя от точки 4 неразветвленный участок цепи с током I1 = I5
2  4  I 5 R5  E  I1r  I1R1;
U 2.4  2  4  E  I ( R5  r  R1 ).
Метод преобразования треугольника и звезды сопротивлений
Пассивные элементы в электрических цепях соединяются не только
последовательно или параллельно. Во многих схемах можно выделить
группы из трех элементов, образующих треугольник или звезду сопротивлений.
При расчете подобных цепей упрощение схем выполняют известным
методом эквивалентных сопротивлений, но предварительно проводят
преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
или наоборот.
Рассмотрим в качестве примера схему (рис. 44), которая применяется для
измерения сопротивлений (схема моста Уитстона).
Рис. 44
В этой схеме нет элементов, соединенных последовательно или параллельно, но имеются замкнутые контуры из трех сопротивлений (треугольник сопротивлений), причем точки, разделяющие каждую пару
смежных сопротивлений, являются узловыми.
К узловым точкам а, b, с присоединен треугольник сопротивлений
RаЬ, RЬс, Rса. Его можно заменить эквивалентной трёхлучевой звездой со38
противлений Ra, Rь, Rс (на рис. 44 изображены штриховыми линиями),
присоединенных, с одной с троны, к тем же точкам а, Ь, с, а с другой – в
общей (узловой) точке е.
Смысл замены становится понятным при рассмотрении эквивалентной схемы (рис. 45), где сопротивления Rь и Rbd соединены между собой
последовательно, так же как и сопротивления Rс и Rdc.
Рис . 45
Две ветви между узловыми точками е и d с этими парами сопротивлений соединены параллельно. Соответствующими преобразованиями
схему можно привести к простейшему виду.
Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
Ra 
Rab Rca
;
Rab  Rbc  Rca
Rc 
Rb 
Rbc Rab
;
Rab  Rbc  Rca
Rca Rbc
.
Rab  Rbc  Rca
Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник
Для расчета некоторых схем применяется преобразование трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник, которое показано на рис. 46.
а)
б)
Рис. 46
При этом для определения параметров треугольника по заданным
параметрам звезды пользуются формулами
Gad 
Ga Gd
;
Ga  Gd  Gc
Gdc 
Gd Gc
;
Ga  Gd  Gc
39
Gca 
Gc Ga
,
Ga  Gd  Gc
где Gad , Gdc , Gca – проводимости сторон треугольника; Ga,, Gd,, Gc
– проводимости лучей звезды.
Зная проводимости, нетрудно определить сопротивления треугольника, если это необходимо.
Метод узловых и контурных уравнений
Методы анализа с применением законов Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т. е. являются основными.
Рассматривая схему любой разветвленной электрической цепи, можно отметить в ней электрические узлы и выделить контуры. Например, в
схеме (рис. 47) имеются четыре узла (точки I, 3, 4, 6) и несколько контуров (1-2-3-1; 1-3-6-1 и др).
Рис. 47
Для каждой узловой точки можно составить уравнения токов по
первому закону Кирхгофа (узловые уравнения), например, для узла 3 –
I1  I 2  I 4  I 7 . Для каждого контура – уравнение напряжений по второму
закону Кирхгофа (контурные уравнения), например для контура 1-3-6-1:
В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которых составляет ближайшую цель расчета, которая достигается совместным решением системы узловых и контурных уравнений; их число должно быть равно числу неизвестных токов.
Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам
Кирхгофа, необходимо выбрать условно положительное направление тока в каждой ветви (число неизвестных токов, как нетрудно видеть, равно
числу ветвей).
Положительные направления токов выбирают произвольно. Действительные направления токов могут не совпадать с условно положительными. Ошибка в выборе направления тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится
отрицательным. Изменив его направление, в дальнейших расчетах можно
считать его положительным.
Узловые уравнения
Запишем систему узловых уравнений для рассматриваемой схемы.
40
Для узлов
1 – I3 + I1 + I2;
3 – I1 + I2 = I4 + I7;
4 – I4 + I6 = I5;
6 – I5 + I7 = I3 + I6.
В этой системе уравнений любые три уравнения являются независимыми, так как в каждое из них входит хотя бы один новый ток по сравнению с другими уравнениями.
Четвертое уравнение не содержит нового тока, поэтому его можно
получить из предыдущих трех несложными подстановками.
При наличии в схеме п узлов можно составить по первому закону
Кирхгофа (n – 1) независимых уравнений.
Число независимых уравнений, составленных по первому закону
Кирхгофа, недостаточно для определения всех неизвестных токов.
В схеме (см. рис. 47) насчитывается семь неизвестных токов, а независимых узловых уравнений только три. Еще четыре уравнения составим по
второму закону Кирхгофа.
Контурные уравнения
Из всех контуров схемы выбирают те, для которых можно составить
наиболее простые независимые уравнения.
При этом можно руководствоваться таким правилом: каждое последующее уравнение будет независимо от предыдущих, если в данный контур
входит хотя бы одна ветвь схемы, которая не входила в уже использованные контуры.
Можно доказать, что число независимых контурных уравнений для схемы, содержащей т ветвей и п узлов, составляет m-n+1.
Для десяти контуров, при m = 7, в данном случае независимых контурных уравнений можно составить четыре, т. е. столько, сколько
необходимо для определения всех токов для контуров:
1  2  3 1 I1R1  I 2 R2  E1 ;
1  3  6  1 I 2 R2  I 3 R3  I 7 R7  E2 ;
6  3  4  6 I 4 R4  I 5 R5  I 7 R7   E2 ;
6  4  5  6 I 5 R5  I 6 R6   E3 .
Правильность определения токов в цепи можно проверить, подставив их найденные величины в одно из уравнений, которые составлены
для схемы этой цепи, но не вошли в систему уравнений, взятых для решения. С этой же целью можно составить баланс мощностей цепи.
Метод двух узлов
Метод двух узлов применяется для расчета сложных электрических
цепей, имеющих всего лишь два узла. Он является частным случаем метода узловых потенциалов.
В сложной цепи с двумя узлами (рис. 48) известны ЭДС источников и
сопротивления приемщиков. Необходимо определить токи в ветвях цепи.
41
Рис. 48
Примем за опорный нижний узел А и направим токи во всех ветвях к
узлу В. После этого составим уравнение изменения потенциала вдоль
всех ветвей цепи. Для первой ветви оно примет вид
(*)
B   A  R1I1  E1 .
Так как в узле А объединены начала всех ветвей, а в узле В – их концы, то между этими узлами устанавливается одинаковое для всех ветвей
напряжение U0, которое называется узловым напряжением. Оно определяется разностью потенциалов узлов В и А;
B   A  U 0 .
Подставив узловое напряжение в уравнение (*), получим
U 0   R1I1  E1 ,
отсюда
E U0
I  1
 ( E  U )G .
1
1
R1
0
1
Аналогично определяются токи и в остальных ветвях цепи:
E U0
U0
I2  2
 ( E2  U 0 )G2 ;
I3 
 (0  U 0 )G3 ;
R2
R3
 E4  U 0
I4 
 ( E4  U 0 )G4 .
R4
Так как структура этих формул одинакова, то в общем виде формула
для определения тока в любой ветви имеет вид
I k  ( Ek  U 0 )Gk .
В этой формуле ЭДС положительна, если направления тока и ЭДС в
ветви совпадают. В противном случае ЭДС будет отрицательной.
Величина узлового напряжения U0 определяется с помощью первого
закона Кирхгофа, который применительно к узлу А записывается:
n
n
I  
k 1
k
k 1
( Ek  U 0 )Gk  0 ,
42
отсюда
n
U0 
 E G
k
k 1
n
k
.
G
k 1
k
Следовательно, узловое напряжение равно дроби, числитель которой
равен алгебраической сумме произведений ЭДС источников, включенных в ветви, на проводимости тех же ветвей, а знаменатель – сумме проводимостей всех ветвей.
Приведем последовательность расчета сложных цепей методом двух
узлов.
Сначала выбираем опорный узел и задаемся направлениями токов во
всех ветвях (обычно от опорного узла). Затем определяем: проводимости
всех ветвей G k  1 ; узловое напряжение U0; токи во всех ветвях цепи Ik.
Rk
После этого наносим на схему действительные направления этих токов.
Метод двух узлов используется не только для расчета, но и для преобразования сложных электрических цепей.
Метод эквивалентного генератора
В практических расчетах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследовать режим работы одной определенной ветви.
Для определения тока, напряжения, мощности этой ветви можно
воспользоваться одним из ранее описанных методов расчета.
При расчете сложной электрической цепи приходится выполнять
значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объем этой работы в несколько раз
увеличивается, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно проводить несколько раз, задаваясь различными величинами сопротивления.
При анализе и расчете сложных цепей иногда необходимо знать ток
в какой-нибудь одной ветви. Такую ветвь можно выделить из сложной
цепи. Однако при этом она остается подключенной к остальной части цепи в двух точках, которые называются полюсами.
Часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемая относительно выделенной ветви с двумя полюсами (зажимами),
называется двухполюсником. Двухполюсник вне зависимости от его
структуры изображается прямоугольником.
На (рис. 49) показана сложная цепь.
43
Рис. 49
Если из нее выделить ветвь с источником G1 и приемником R1, то
остальную часть цепи (она на рис. 6, а обведена пунктиром) относительно полюсов 1–1' можно рассматривать как пассивный двухполюсник,
который показан на рис. 50.
Рис. 50
Если же выделить ветвь с приемником R2, то относительно зажимов
2–2' остальную часть цепи можно рассматривать как активный двухполюсник (рис. 51).
Рис. 51
Таким образом, двухполюсник является обобщенным наименованием части электрической цепи, которая подключена с помощью двух
зажимов (полюсов) к остальной части цепи.
Решение такой задачи значительно упрощается при использовании
метода эквивалентного генератора.
Исследуемая ветвь с сопротивлением Rаb (рис. 52) присоединяется к
остальной части схемы (внутри прямоугольника А) в двух точках а и b.
Рис. 52
Эту часть схемы можно рассматривать относительно исследуемой
ветви как источник с некоторой эквивалентной ЭДС Еэк и некоторым эквивалентным внутренним сопротивлением Rэк (рис. 53).
44
Рис. 53
Такой условный источник энергии называется эквивалентным генератором или активным двухполюсником (А). Если в части схемы, относящейся к двухполюснику, нет источников энергии, то двухполюсник
называется пассивным (II).
Ток в исследуемой ветви можно найти в эквивалентной схеме (рис.
45, б) по известной формуле:
(*)
I ab  Eэк ( Rэк  Rab ) .
Таким образом, решение задачи по определению тока Iab сводится к
определению ЭДС Еэк эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления rэк, которое называется также входным сопротивлением активного двухплюсника.
После определения Еэк и Rэк дальнейшее исследование режима работы ветви аb при изменении сопротивления Rаb не требует громоздких
вычислений, так как ЭДС Еэк и внутреннее сопротивление rэк эквивалентного генератора не изменяются.
Ток в ветви аb определяют по формуле (*) для любого значения Rаb.
Определение ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора
Для определения ЭДС и внутреннего сопротивления рассмотрим два
крайних режима эквивалентного генератора – режим холостого хода и
режим короткого замыкания.
Отсоединим исследуемую ветвь Rаb в точках а и b, тогда эквивалентный генератор будет находиться в режиме холостого хода.
Напряжение холостого хода Uх на его внешних зажимах а к b согласно схеме, представленной на рис. 53, равно эквивалентной ЭДС:
Eэк  U х .
Напряжение холостого хода Uх можно измерить (рис. 54)
Рис. 54
или определить с помощью расчета (рис. 55).
45
Рис. 55
Для рассматриваемой цепи
U x  IR2  ER2 ( R1  R2  R3 ) .
Сопротивление R4 в расчет не вошло, так как при отключенном сопротивлении Rаb ток в сопротивлении R4 также равен нулю.
Сопротивление Rэк эквивалентного генератора можно определить,
используя режим короткого замыкания.
В режиме короткого замыкания эквивалентного генератора (рис. 56)
ток короткого замыкания Iк выражается отношением
E эк
.
Rэк
E
U
Rэк  эк  ч .
Iк
Iк
IK 
Отсюда
Для измерения тока Iк можно применить схему, изображенную на
рис. 56, если короткое замыкание между точками а и b реальной цепи не
вызовет опасного увеличения токов в ее элементах.
Рис. 56
При наличии такой опасности нужно измерить ток Iab нагрузки эквивалентного генератора и падение напряжения Uаb в нагрузочном сопротивлении Rаb (рис.45, б), а внутреннее сопротивление
Rэк = (Еэк – Uab) / Iab = (Ux – Uab) / Iab.
Ток Iк можно определить, применив один из известных методов расчета. Для рассматриваемого примера расчетная схема приведена на (рис. 57).
Рис. 57
Однако определение Iк может оказаться громоздким, поэтому в
сложных схемах Rэк определяется как входное сопротивление пассивного
двухполюсника между точками а и b.
Для того чтобы получить расчетную схему для определения Rэк,
нужно все ЭДС активного двухполюсника принять равными нулю, за46
мкнув накоротко точки цепи, к которым присоединены источники этих
ЭДС. Тогда активный двухполюсник превращается в пассивный.
Справедливость этого приема следует из схемы, представленной на
(рис. 53); при Еэк = 0 сопротивление Rэк является входным сопротивлением этой схемы. Таким образом, входное сопротивление пассивного
двухполюсника Rаb со стороны зажимов а и b (рис. 58) определяет внутреннее сопротивление Rэк эквивалентного генератора.
Рис. 58
Равенство Еэк = 0 соответствует тому, что все ЭДС активного двухполюсника равны нулю, поэтому расчетная схема для определения Rэк
имеет вид, как на (рис. 59).
Рис. 59
Для этой схемы
Rэк 
R1  R3 R2  R .
4
R1  R2  R3
Метод наложения токов
В некоторых случаях расчёт электрических цепей можно провести
относительно просто, используя принцип наложения.
Этот принцип применяется только к линейным системам, а в данном
случае – для расчёта линейных электрических цепей.
Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис. 60, и
составим для неё систему уравнений по законам Кирхгофа:
Рис. 60
;
;
47
.
Ток каждой ветви из этой системы линейных уравнений определяется однозначно.
Решение системы дает выражения для токов:
;
;
.
где А = R1R2 + R1R3 + R2R3.
Как и следовало ожидать, значения токов определяются действием
ЭДС, имеющихся в схеме, т. е. каждая ЭДС вносит в величину тока каждой ветви свою определенную долю. Предположим, что в схеме действует только ЭДС Е1, а Е2 = 0. Тогда получим величины токов, вызываемых
ЭДС Е2:
;
;
.
Полагая Е1 = 0, получим величины частных токов от действия ЭДС Е2:
R
R  R3 ;
R
I1''  E2 3 ;
I 2''  E2 1
I 3''  E2 1 .
A
A
A
Для любой схемы с линейными элементами можно провести подобные рассуждения, из которых следует метод расчета электрических цепей: определяются частные токи в ветвях от действия каждой ЭДС; действительный ток каждой ветви равен алгебраической сумме частных токов этой ветви:
I k   I k(n) ,
(n )
где I k
– ток k-й ветви от n-й ЭДС.
Порядок расчета
1. На основе исходной схемы составляют частные расчетные схемы (рис.
61 а, б), в каждой из которых действует только одна ЭДС. Все другие
ЭДС исключают и от каждого источника в схеме остается только его
внутреннее сопротивление.
а)
б)
Рис. 61
2. Любым подходящим методом определяют токи в частных схемах,
которые чаще всего оказываются относительно простыми.
48
Для частных схем (см. рис. 61 а, б) выражения для токов, найденные
путем свертывания, совпадают с теми, которые были записаны ранее из
уравнений Кирхгофа, например:
I1' 
E1 ( R2  R3 )
E ( R  R3 )
E1

 1 2
R2 R3
.
R
R

R
R

RR
A
1
2
1
3
3
R1 
R2  R3
3. Алгебраическим сложением (наложением) частных токов определяют токи в исходной схеме. В рассматриваемом примере
I1  I1'  I1'' ;
I 3  I 3'  I 3''
I 2   I 2'  I 2'' ;
При определении общих токов необходимо правильно учесть
направления частных токов: в исходной схеме намечают условноположи-тельные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он направлен одинаково с положительным током в
той же ветви исходной схемы. Частный ток противоположного направления считают отрицательным.
При таком подходе общие токи в ветвях исходной схемы могут получиться положительными или отрицательными. В последнем случае
надо изменить направление тока и считать его положительным в дальнейших расчетах.
Метод контурных токов
Число узловых и контурных уравнений для сложной схемы оказывается большим, а решение системы т уравнений – громоздким. Число
уравнений можно уменьшить до т-n+1 и тем существенно упростить
расчет, если ввести понятие контурных токов и применить их для решения задачи.
Рассмотрим в качестве примера схему, приведенную на рис. 47, и
выделенные в ней ранее четыре независимых контура, для которых записаны уравнения
(*)
1  2  3 1
I1R1  I 2 R2  E1
1  3  6 1
I 2 R2  I 3 R3  I 7 R7  E2
6 3 4 6
I 4 R4  I 5 R5  I 7 R7   E2
6456
I 5 R5  I 6 R6   E3
Заметим, что, применяя метод контурных токов, источники энергии
удобнее представлять в схемах их ЭДС и внутренними сопротивлениями.
В данной схеме внутренние сопротивления источников энергии равны
нулю (или отнесены к приемникам).
Контурный ток — это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи на схеме обозначены I I ; I II ; I III ; I IV .
49
Нетрудно заметить, что контурный ток равен действительному току
ветви, которая принадлежит только данному контуру:
(**)
I1  I I ; I 3  I II ; I 4  I III ; I 6   I IV
Некоторые ветви схемы относятся к двум смежным контурам (ветви
1-3; 3-6; 4-6).
Действительный ток в такой ветви определяется наложением контурных токов, т. е. равен алгебраической сумме контурных токов тех
контуров, в которые эта ветвь входит:
(***)
I 2  I II  I I ; I 5  I III  I IV ; I 7  I II  I III .
В уравнениях (*) заменим токи ветвей их выражениями через контурные токи (**), (***):
I . I I ( R1  R2 )  I II R2  E1 .
II . I II ( R2  R3  R7 )  I I R2  I III R7  E2 .
III . I III ( R4  R5  R7 )  I IV R5  I II R7   E2 .
IV . I IV ( R5  R6 )  I III R5   E3 .
В правую часть этих уравнений входят ЭДС источников, встречающихся при обходе данного контура.
Алгебраическая сумма ЭДС данного контура называется контурной
ЭДС.
В данном примере в каждом контуре по одной ЭДС, поэтому контурные ЭДС:
EI  E1; EII  E2 ; EIII   E2 ; EIV   E3 .
Если в данный контур не входят источники ЭДС, то контурная ЭДС
его равна нулю.
Собственные и общие сопротивления контуров
В левую часть уравнений входят падения напряжения, обусловленные контурными токами.
Сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур,
называется собственным сопротивлением контура.
Для схемы, приведенной на рис. 47, собственные сопротивления
контуров:
R1.1  R1  R2 ; R2.2  R2  R3  R7 ; R3.3  R4  R5 ; R4.4  R5  R6 .
Сопротивления ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими сопротивлениями контуров. Такими сопротивлениями в схеме
(см. рис. 47) являются R1. 2 = R2; R2.3 = R7; R3.4 = R5
При определении собственных и общих сопротивлений внутренние
сопротивления источников ЭДС учитываются как и сопротивления приемников энергии.
50
С учетом новых понятий и обозначений перепишем уравнения:
I . I I R1.1  I II R1.2  EI .
II . I II R2.2  I I R1.2  I III R2.3  EII .
III . I III R3.3  I II R2.3  I IV R3.4  EIII .
IV . I IV R4.4  I III R3.4  EIV .
Решая эту систему уравнений любым способом, известным из алгебры, определяют контурные токи, а по формулам находят токи в ветвях.
В данном примере вместо семи узловых и контурных уравнений для
расчета достаточно четырех уравнений с четырьмя контурными токами.
Из всего сказанного следует порядок составления уравнения с контурными токами.
1. В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно).
2. Намечают независимые контуры и выбирают направление контурных токов, например по часовой стрелке.
3. Определяют контурные ЭДС, собственные и общие сопротивления контуров, обходя контуры в направлении контурных токов.
4. Записывают систему уравнений; в левой части их слагаемые с
собственными сопротивлениями контуров берут со знаком плюс, а слагаемые с общими сопротивлениями – со знаком минус.
2.2. Типовые задачи с решениями
2.2.1. Определить ЭДС генератора и его внутреннее сопротивление,
если при мощности нагрузки P1 = 2,7 кВт напряжение на зажимах генератора U = 225 В, при мощности Р2 = 1,84 кВт напряжение U = 230 В.
Дано:
Система СИ Решение:
P1 = 2,7 кВт
= 2700 Вт
Определим токи, проходящие в
U = 225 В
нагрузке, для обоих случаев:
Р2 = 1,84 кВт
= 1840 Вт
P
2,7 103
I1  1 
 12 A .
U = 230 В
U1
225
Найти:
P
1,84 103
Е-?
I2  2 
 8A .
U
230
2
r-?
Воспользуемся законом Ома для всей цепи: I = E/(R + r) или E = IR + Ir
и запишем два уравнения (для двух режимов работы цепи):
E = I1R + I1r = 225 + 12r;
E = I2R + I2r = 230 + 8r;
225 + 12r = 230 + 8r;
51
225 - 230 = 8r - 12r;
-5 = -4r;
r = 5/4 = 1,25Ом.
Решая эту систему уравнений, определяем Е и r: E = 240 В, r = 1,25 Ом.
Ответ: E = 240 В, r = 1,25 Ом
2.2.2. К источнику постоянного тока напряжением U = 150 В подключена нагрузка, состоящая из четырех параллельных ветвей. Мощность,
потребляемая каждой ветвью, соответственно P1 = 90 Вт, Р2 = 270 Вт, Р3 =
157,5 Вт, Р4 = 360 Вт. Определить проводимость и ток каждой ветви, общую проводимость и эквивалентное сопротивление нагрузки, ток в неразветвленной части цепи.
Дано:
Решение:
U = 150 В
Зная мощность и ток каждой ветви, при заданP1 = 90 Вт
ном значении входного напряжения можно заР2 = 270 Вт
писать равенство P = UI = U2G, так как ток в
Р4 = 360Вт
каждой параллельной ветви I = UG.
Тогда
Найти:
157,5
G1, G2, G3, G4, G - ?
90
G3 
 7 10 3 См;
G1 
 4 10  3 См;
2
I1, I2, I3, I4, I - ?
150 2
150
R-?
360
270
3
3
G2 
150 2
 12 10 См;
G4 
150 2
 16 10 См.
Эквивалентная проводимость нагрузки
G  G1  G2  G3  G4  39  10 3 Ом 1 .
Эквивалентное сопротивление нагрузки
R  1 / G  1 /(39 103 )  25,6 Ом
Токи в ветвях определим по формуле I = UG
I1  UG1  150  4 103  0,6 A,
I 2  UG2  150 12 103  1,8 A,
I 3  UG3  150  7  10 3  1,05 A,
I 4  UG4  150  16  10 3  2,4 A.
Ток в неразветвленной части цепи
I  UG  150  39 10 3  5,85 A.
или
I  I 1  I 2 I 3 I 4 0,6  1,8  1,05  2,4  5,85 A
Ответ: G1 = 4.10-3 См, G2 = 12.10-3 См, G3 = 7.10-3 См, G4 = 16.10-3 См,
G = 39.10-3 См;
I1 = 0,6 А, I2 = 1,8 А, I3 = 1,05 А, I4 = 2,4 А, I = 5,85 А;
R = 25,6 Ом.
52
2.2.3. На нагревательном элементе в течение 0,5 ч работы выделилось 550 ккал теплоты. Определить сопротивление элемента, потребляемый им ток, его мощность и затрачиваемую энергию при напряжении
U = 220 B
Дано:
Система СИ Решение:
t = 0,5 ч
= 1800 мин
По закону Джоуля-Ленца,
Q = 550 ккал
= 550000 кал Q = 0,24 UIt,
U = 220 B
= 1840 Вт
откуда
Найти:
Q
550 103
I


 5,8 A.
R-?
0,24Ut 0,24  220 1800
P- ?
Сопротивление нагревателя
I-?
R  U / I  220 / 5,8  38 Ом.
Мощность нагревателя
W- ?
P = UI = 220.5,8 = 1270 Вт = 1,27 кВт.
Энергия, потребляемая за 0,5 ч работы,
W = Pt = 1,27.0,5 = 0,635 кВт.ч.
Ответ: R  38Ом. I  5,8 A.
P = 1,27 кВт, W = 0,635 кВт.ч.
2.2.4. Два источника постоянного тока, соединённые параллельно,
имеют и нагрузочный резистор сопротивлением Rн = 30 Ом.
E1  11,5 B,
r1  2,5 Ом,
E2  16,5 B, r2  6 Ом .
Определить значения и направления токов через источники и
нагрузку. Составить баланс мощностей. Указать режим работы каждого
источника и определить падение напряжения на зажимах источников.
Дано:
Решение:
E1  11,5 B
r1  2,5 Ом
E2  16,5 B
r2  6 Ом
Rн =30 Ом
Рис. 62
Найти:
I-?
U- ?
На рис. 62 представлена схема соединения указанных
элементов. Выбранное направление токов показано
стрелками.
В соответствии с первым законом Кирхгофа
I 2 = I 1 + I н.
Для двух независимых контуров составим два уравнения по второму
закону Кирхгофа.
53
Для контура, включающего в себя два источника Е1 и Е2, выбираем
направление обхода против часовой стрелки и записываем
Е2 -Е1 = I1r1 + I2r2.
Для контура с источником Е2 и сопротивлением нагрузки Rн при обходе по часовой стрелке
Е2 = IнRн + I2r2.
Имеем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
I1, I2 и Iн. Подставив в них значение ЭДС и сопротивлений и решив эту
систему, находим: I1 = 0,3 А, I2 = 0,71 А, Iн = 0,41 А.
Источник Е1 работает в режиме потребителя, а E2 – генератора.
Поэтому при составлении баланса мощностей необходимо помнить,
что мощность ЭДС E1 отрицательна.
Баланс мощностей – это равенство мощностей, отдаваемых генераторами, и мощностей потребителей, т. е.
E2 I 2  E1 I1  I12 r1  I 22 r2  I н2 rн ,
16,5  0,71  11,5  0,3  (0,3) 2  2,5  (0,71) 2  6  (0,41) 2  30 ,
11,7 Вт  11,72 Вт .
Падение напряжения на зажимах источников можно определить
тремя способами:
а) U = IнRн = 0,41∙30 = 12,3 В;
б) U = E2 – I2r2 = 16.5 – 0.71∙6 =12,24 B;
в) U = E1+I1r1 = 11,5 + 0,3∙2,5 = 12,24 B. .
Ответ: I1 = 0,3 А, I2 = 0,71 А, Iн = 0,41 А, U = 12,24 B.
2.2.5. Двухпроводная линия питается от источника мощностью Р =
2,5 кВт при токе потребления I = 12 А. Определить мощность нагрузки,
потерю напряжения и КПД линии, если ее длина составляет l = 1200 м, а
диаметр медных проводов d = 4,5 мм.
Дано:
Р = 2,5 кВт
I = 12 А.
l = 1200 м
d = 4,5 мм
Найти:
∆U- ?
P н- ?
η- ?
Система СИ
= 2500 Вт
Решение:
Определим сопротивление проводов линии:
Rпр  
2l
2l  4
2 1200  4

 0,0175
 2,64 Ом
S
d 2
3,14  4,52
Зная ток в линии, определим потерю
напряжения в ней:
U  Rпр I  2,64 12  31,7 В .
Мощность в линии:
Рл  UI  31,7 12  380Вт
Мощность, потребляемая нагрузкой,
Рн  Рист  Рл  2500  380  2120 Вт  2,21кВт .
54
Коэффициент полезного действия линии
Р
2,12
  н 100% 
100%  85% .
Рист
2,5
Ответ: ∆U = 31,7 В, Pн = 2,21 кВт, η = 85%.
2.2.6. Построить потенциальную диаграмму для цепи (рис. 63), если
известны ЭДС аккумуляторных батарей Е1 = 80В; Е2 = 120 В и Е3 = 165В,
сопротивление приёмников R1 = 2; R2 = 4; R3 = 5; R4 = 6; R5 = 8 Ом.
Внутренними сопротивлениями источников ввиду их малости можно
пренебречь.
Рис. 63
Дано:
Е1 = 80В
Е2 = 120В
Е3 = 165В
R1 = 2Ом
R2 = 4 Ом
R3 = 5 Ом
R4 = 6 Ом
R5 = 8 Ом
Найти:
потенциальная
диаграмма- ?
Решение:
Для определения потенциалов точек электрической
цепи необходимо найти ток
E2  E3  E4
80  120  165
I

 5A .
R1  R2  R3  R4
2 4568
Ток направлен по часовой стрелке. Обход контура
начнём в направлении тока от точки А, потенциал
которой примем равным нулю (точка А соединена с
землёй).
При перемещении к точке В проходим через приёмник с сопротивлением R1 в направлении тока I. Так
как ток протекает в сторону падения потенциала, то
потенциал точки В ниже потенциала точки А на величину падения напряжения в сопротивлении R1:
В   А  R1I  2  5  10В .
Потенциал точки С определяется аналогично:
С   В  R2 I  10  4  5  30В .
Потенциал точки D выше потенциала точки С на величину ЭДС, так
как направление обхода совпадает с направлением ЭДС:
 D  C  E1  30  80  50В .
Потенциалы остальных точек цепи
 Е   D  R3 I  50  5  5  25В .
55
 F   E  E3  25  120  95В .
G   F  R4 I  95  6  5  125В .
 H  G  E4  125  165  40В .
Потенциал точки А после обхода контура равен нулю, что и следовало ожидать, так как мы вернулись в исходную точку.
 A   H  R5 I  40  8  5  0 .
На основании расчётных данных построена потенциальная диаграмма цепи (рис. 64).
Рис. 64
2.2.7. Определить токи в ветвях, если известно, что ЭДС аккумуляторной батареи Е = 115 В, а сопротивление приёмников, включённых по
мостовой схеме (рис. 65) R12 = 10 Ом; R23 = 50 Ом; R31 = 40 Ом; R24 = 5 Ом;
R34 = 10 О м.
Рис. 65
56
Дано:
Е1 = 115 В
R12 = 10 Ом
R23 = 50 Ом
R24 = 5 Ом
R34 = 10 Ом
Найти:
Решение:
В состав цепи входит два треугольника: 12-3 и 2-3-4 (см. рис. 65). Расчёт её может
быть выполнен с помощью законов
Кирхгофа или методом контурных токов. В
обоих случаях расчёт будет трудоёмким.
I 24 , I 34 , I12 , I 31 , I 23  ?
Упрощение расчёта достигается преобразованием одного из треугольников сопротивлений (например, 1-2-3) в эквивалентную звезду,
лучи которой включены в вершины треугольника, а сопротивления R1, R2,
R3 (рис. 65,б) подобраны так, что потенциалы вершин треугольника
остаются неизменными.
После замены треугольника эквивалентной звездой сопротивлений
схема цепи упрощается и становится схемой со смешанным соединением
приёмников.
Определение сопротивления лучей эквивалентной звезды:
R12  R31
10  40
R1 

 4Ом ;
R12  R23  R31 10  50  40
R12  R23
10  50
R2 

 5Ом ;
R12  R23  R31 10  50  40
R23  R31
40  50
R3 

 20Ом .
R12  R23  R31 10  50  40
Эквивалентное сопротивление цепи
( R  R24 )( R3  R34 )
(5  5)( 20  10)
Rэк  R1  2
 4
 11,5Ом .
R2  R24  R3  R34
5  5  20  10
Ток в неразветвлённой части цепи
E 115
I

 10 А .
Rэк 11,5
Токи в параллельных ветвях цепи
R3  R34
I 24  I
 7,5 A ;
R2  R24  R3  R34
R2  R24
I 34  I
 2,5 A .
R2  R24  R3  R34
Для определения тока I23 в сопротивлении R23 произвольно зададимся направлением этого тока и для замкнутого контура 2-3-4-2 (рис. 65,а)
составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
R23 I 23  R24 I 24  R34 I 34  0 .
57
Отсюда ток в ветви 2-3 будет
R I  R24 I 24 10  2,5  5  7,5
I 23  34 34

 0,25 A .
R23
50
Знак минус показывает, что действительное направление тока – обратное.
Для определения токов в сопротивлениях R12 и R34 составим уравнения по первому закону Кирхгофа:
для узла 2:
 I12  I 24  I 23  0;
I12  7,75 A ;
для узла 3:
 I  I  I  0;
I 31  2,25 A .
. 31 34 23
Ответ: I24 = 7,5 A, I34 = 2,5 A, I12 = 7,75 A, I31 = 2,25 A, I23 = 0,25 A.
2.2.8. Вычислить токи в ветвях схемы (рис. 66,а), если известно, что
ЭДС источников Е1 = 150 В и Е3 = 75 В, их внутренние сопротивления
R01 = 0,2 Ом и R03 = 0,5 Ом, сопротивления приёмников R1 = 14,8 Ом;
R2 = 30 Ом; R3 = 14,5 Ом. Решить задачу методом наложения.
Рис. 66
Дано:
Е1 = 150 В
Е3 = 75 В
R01 = 0,2 Ом
R03 = 0,5 Ом
R1 = 14,8 Ом
R2 = 30 Ом
R3 = 14,5 Ом
Найти:
I1 , I 2 , I 3  ?
Решение:
Токи в ветвях схемы определим методом наложения.
Предположим, что в схеме действует только ЭДС Е1, а
Е2 = 0. При этом сопротивление третьей ветви будет R03
+ R3. Тогда получим схему, изображённую на рис. 66, б,
'
'
'
по ветвям которой проходят частичные токи I1 , I 2 , I 3 .
I1' 
E1
150

 6А
R2 ( R03  R3 )
30(0,5  14,5)
(0,2  14,8) 
( R01  R1 ) 
30  0,5  14,5
R2  R03  R3
58
Токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорционально сопротивлениям ветвей:
R03  R3
0,5  14,5
I'  I'
 6
 2А ;
R2  R03  R3
30  0,5  14,5
R
30
2
I 3'  I1'
 6
 4А .
R2  R03  R3
30  0,5  14,5
2
1
Теперь предположим, что в схеме действует только ЭДС Е3, а Е2 = 0.
Тогда получим схему, изображённую на (рис. 66, в), по ветвям которой
''
''
''
проходят токи I1 , I 2 , I 3 .
Ток в неразветвлённой части этой схемы
.
E3
''
I3 
 3А
R2 ( R01  R1 )
( R03  R3 ) 
R01  R1  R2
Токи в параллельных ветвях
R01  R1
R2
''
 1А .
I1  I 3''
 2 А ; I 2''  I 3''
R01  R1  R2
R01  R1  R2
Действительные токи в ветвях заданной схемы определяются путём
алгебраического суммирования частных токов в каждой ветви:
I1  I1'  I1''  8 A ;
I 2  I 2'  I 2''  1A ; I 3  I 3'  I 3''  7 A .
Ответ: I1 = 8A, I2 = 1A, I3 = 7A.
2.2.9. Определить токи в ветвях цепи, если ЭДС источников Е1
=120; Е2 = 100 и Е3 = 155 В, сопротивления приёмников R1 = 10; R2 = 0,25;
R3 = 2 и R4 = 2,5 Ом.
Рис. 67
Дано:
Е1 = 120В
Е2 = 100 В
Е3 = 155В
R1 = 10Ом
R2 = 0,25Ом
R3 = 2 Ом
R4 = 2,5Ом
Найти:
I1 , I 2 , I 3 , I 4  ?
Решение:
Токи в ветвях цепи определим методом двух узлов.
Находим проводимости ветвей цепи:
G1 
1
1

 0,1См;
R1 10
G3 
1
 0,5См;
R3
G2 
G4 
1
 4См;
R2
1
 0,4См;
R4
Произвольно зададимся направлениями токов во всех
ветвях к верхнему узлу А, как показано на рис. 67, и
определим узловое напряжение
59
U0 
E1G1  E2G2  E4G4 120  0,1  100  4  155  0,4

 70 B .
G1  G2  G3  G4
0,1  4  0,5  0,4
После этого вычислим токи в ветвях:
I1  ( E1 U 0)G1  (120  70)  0,1  5 A ;
I 2  ( E2 U 0)G2  (100  70)  4  120 A ;
I 3  U 0G3  70)  0,5  35 A ;
I 4  ( E4 U 0)G4  (155  70)  0,4  90 A .
Знаки минус у токов I3 и I4 показывают, что принятые направления
не соответствуют действительным направлениям и их необходимо изменить на обратные.
Проверку правильности решения производим с помощью первого
закона Кирхгофа:
I1  I 2  I 3  I 4  5  120  35  90  0 .
Ответ: I1 = 5 A, I2 = 120 A, I3 = 35 A, I4 = 90 A
2.2.10. Определить токи в ветвях цепи (рис. 68), если ЭДС источников Е1 = 100 и Е5 = 200 В, сопротивления приёмников R1 = R4 = 2 Ом;
R2 = 2О м; R3 = 10О м; R5 = R6 = 8 Ом..
Рис. 68
Дано:
Е1 = 100 В
Е5 = 200 В
R1 = 2 Ом
R2 = 2 Ом
R3 = 10 Ом
R4 = 2 Ом
R5 = 8 Ом
R6 = 8 Ом
Найти:
I 1 , I 2 , I 3 , ?
Решение:
Токи в ветвях цепи находим методом контурных токов.
Для этого определяем число независимых контуров: n
= p – g + 1 = 6 – 4 + 1 = 3. Затем произвольно задаёмся
направлениями обхода контуров, которые совпадают с
направлениями контурных токов, и по методу контурных токов составляем систему уравнений:
( R1  R5  R4 ) I11  R6 I 22  R4 I 33   E5  E4 ;
( R2  R6  R4 ) I 22  R5 I11  R6 I 33  E5 ;
( R3  R4  R6 ) I 33  R4 I11  R6 I 22   E4 .
I 4 , I 5 , I 6 , ?
60
Подставив в уравнение значения сопротивлений и ЭДС, получим
12I11  8I 22  2I 33  100 ;
 8I11  20I 22  8I 33  200 ;
 2I11  8I 22  20I 33  100 .
Решаем эту систему уравнений с помощью определителей:
I11 
11
;

I 22 
 22
;

I 33 
 33
.

Главный определитель системы
12  8  2
  8
20
 2 8
 8  4800  128  128  80  768  1280  2416 .
20
Определитель 11 получается из главного путём замены в нём первого столбца коэффициентов правой частью уравнений:
 100  8  2
11  200
20
 8  40000  6400  3200  4000  6400  3200  8800
 100  8 20
Тогда контурный ток

8800
I11  11  
 3,64 А .

2416
Знак минус указывает, что в действительности ток I11 имеет обратное направление.
Аналогично вычисляем определители и контурные токи:
12  100  2
12  8  100
 22   8 200  8  18400 ;
 33   8 20 200  5600 ;
 2  100 20
 2  8  100

18400

5600
I 22  22 
 7,62 А ;
I 33  33  
 2,32 А .

2416

2416
После этого находим действительные токи в ветвях цепи:
I 4  I11  I 33  1,32 A;
I1  I11  3,64 A;
I 5  I11  I 22  11,26 A;
I 2  I 22  7,62 A;
I 6  I 22  I 33  9,94 A;
I 3  I 33  2,32 A;
Ответ: I1 = 3,64A, I2 = 7,62A, I3 = 2,32A, I4 = 1,32A, I5 = 11,26A, I6 = 9,94A.
61
2.2.11 Определить ток в ветви с приёмником R2 (рис. 69,а), если известно, что ЭДС источников Е3 = 100; Е4 = 50; Е5 = 25В, а сопротивления
приёмников R1 = R3 = 2; R2 = R4 = 4; R5 = R5 = 6Ом.
Рис. 69
Дано:
Решение:
Е3 = 100 В
В соответствии с методом эквивалентного генератора
Е4 = 50 В
ток во второй ветви
Е5 = 25 В
U bcx .
I2 
R1 = 2 Ом
R2  Rв х
R2 = 4 Ом
Отсюда следует, что определение тока I2 сводится к
R3 = 2 Ом
решению двух задач:
R4 = 4 Ом
a) определение напряжения холостого хода на зажимах
R5 = 6 Ом
цепи при разомкнутой ветви с сопротивлением R2;
R6 = 6 Ом
определение входного сопротивления пассивного
Найти:
двухполюсника относительно зажимов bc.
I2 ?
Разомкнём ветвь с сопротивлением R2 и найдём токи в ветвях цепи
(рис. 69,б) методом контурных токов:
12 I 11  4 I 22  25;
 4 I 11  12 I 22  50. .
Решаем эту систему с помощью определителей:
25  4
50 12
300  200
I11 

 3,91A ;
12  4
144  16
 4 12
62
12
I 22 
25
 4 50 600  100

 5,47 A .
12  4 144  16
 4 12
Токи в ветвях цепи:
I 5  I11  3,91A; I 6  I 22  5,47 A;
Напряжение холостого хода между зажимами b и c вычисляется следующим образом:
в  с  R6 I 6  E5  R5 I 5 ,
откуда
U bcx  6  5,47  25  6  3,91  81,28В .
Для определения входного сопротивления Rвх замыкаем накоротко все
источники ЭДС и преобразуем схему относительно зажимов bc (рис. 69, в).
Затем в схеме (см. рис. 69, в) треугольник сопротивлений bad заменяем эквивалентной звездой сопротивлений
R1  R5
26
R1 

 1Ом;
R1  R4  R5 2  4  6
R1  R4
R4  R5
R8 
 0,67 Ом;
R9 
 2 Ом..
R1  R4  R5
R1  R4  R5
б) определение входного сопротивления
( R  R3 )( R9  R6 )
2,67  8
Rвх  R7  8
 1
 3 Ом .
R8  R3  R9  R6
2,67  8
Ток в сопротивлении R2
U bcx
81,28
I2 

 11,61A .
R2  Rвх 4  3
Ответ: I2 = 11,61A
2.3. 3адачи для самостоятельного решения
2.3.1. Через проводник в течение 0,5 ч проходит заряд Q = 2700 Кл.
Определить ток в электрической цепи.
2.3.2. Определить время прохождения заряда Q = 0,6 Кл по проводнику при заданном значении тока: 1) I = 0,5A; 2) I = 0,03 А; 3) I = 2A;
4) I = 15A; 5) I =50A; 6) I = 2A.
2.3.3. Через поперечное сечение проводника S = 2,5 мм2 за время
t = 0,04 с прошел заряд Q = 20.10-3Кл. Определить плотность тока в проводнике.
2.3.4. По проводнику с поперечным сечением S  0,25 мм 2 проходит ток,
плотность которого J = 5 А/мм. Определить ток и заряд, прошедшие через
проводник за время: 1) 0,005 с; 2) 1 с; 3) 100 мкс; 4) 20 мс; 5) 0,4 с; 6) 5 с.
63
2.3.5. Определить сопротивление провода имеющего длину l = 150 м
и диаметр d = 0,2 мм, выполненного из:1) константана; 2) латуни; 3) стали; 4) фехраля; 5) платины; 6) алюминия.
2.3.6. Определить длину медного изолированного провода, если его
диаметр d = 0,3 мм, а сопротивление R = 82 Ом.
o
2.3.7. Сопротивление манганинового провода при   20 C R1  500 Ом ,
o
а при   280 C R 2  500,8 Ом . Определить температурный коэффици-
ент манганина.
2.3.8. Сопротивление R датчика, выполненного из медного провода,
при  = 20 °С составляет 25 Ом. Определить измеренную с его помощью
температуру, если сопротивление датчика возросло до 32,8 Ом.
2.3.9. Определить материал проводника, если его сопротивление
при  = 20 °С составляет 400 Ом а при  = 75 °С равно 503,2 Ом.
2.3.10. Сопротивление провода R = 2,35 Ом при длине l = 150 м
и диаметре d = 1,5 мм. Определить материал провода.
2.3.11. Определить длину провода диаметром d = 0,5 мм для нагревательного элемента при включении его в сеть с напряжением U = 220 В
при токе потребления I = 6,5 А, выполненного из: 1) нихрома; 2) константана; 3) стали; 4) фехраля; 5) алюминия; 6) манганина. Определить плотность тока.
2.3.12. Определить длину медного провода, намотанного на катушку, если при подаче на выводы этой катушки напряжения U = 27 В значение тока I составило 5 А. Диаметр провода d = 0,8 мм. Определить
плотность тока.
2.3.13. Определить необходимую длину нихромового провода диаметром d = 0,1 мм для изготовления паяльника мощностью Р = 80 Вт на
напряжение U = 220 B.
2.3.14. Медный провод диаметром d = 1,2 мм имеет длину l = 120 м.
Определить его сопротивление при  = 20 °С и  = 80 °С.
2.3.15. Сопротивление R обмотки трансформатора до его включения в сеть при  = 20 °С было равно 2,0 Ом. Определить температуру
нагрева его обмотки в процессе работы, если ее сопротивление увеличилось до 2,28 Ом. Обмотка выполнена из медного провода.
2.3.16. При испытании двигателя постоянного тока измерили сопротивление обмотки якоря до начала работы двигателя при  = 18 °С. Обмотка выполнена из меди, и ее сопротивление R = 0,52 Ом. По окончании
работы сопротивление якоря увеличилось до 0,58 Ом. Определить температуру нагрева якорной обмотки.
64
2.3.17. При нагревании сопротивление провода из: 1) алюминия;
2) латуни; 3) нихрома; 4) стали; 5) фехраля; 6) вольфрама – изменилось
на 5 %. Определить, до какой температуры был нагрет каждый проводник, если  1 = 20 °С.
2.3.18. Определить сопротивление резистора и напряжение, подведенное к нему, если потребляемый ток I = 3,5 А, а количество теплоты,
выделившееся на резисторе в течение 1ч, Q = 81,65 ккал.
2.3.19. Нагревательный элемент сопротивлением R = 15 Ом подключен к источнику напряжением U =120 В. Определить время, на которое необходимо его включить, чтобы выделилось 1200 кДж теплоты.
Определить также потребляемый им ток и стоимость электроэнергии, если 1 кВт.ч стоит 4 руб.
2.3.20. Электропечь, работающая при напряжении U = 200 В, потребляет мощность Р = 3 кВт. Определить сопротивление и ток в обмотке, количество теплоты и стоимость электроэнергии, если печь работала в
течение 8 ч. Стоимость 1 кВт.ч электроэнергии – 2 руб.
2.3.21. При зарядке аккумуляторной батареи в течение времени
t = 4ч 45 мин при напряжении U = 220 В была затрачена энергия
W = 5,5кВт.ч. Определить ток зарядки батареи и потребляемую ею мощность.
2.3.22. Определить время, необходимое для зарядки аккумулятора с
внутренним сопротивлением r = 10 Ом, если напряжение, подведенное
к батарее, U = 24 В, а энергия W = 0,37 кВт.ч.
2.3.23. Определить эквивалентное сопротивление на зажимах АВ
электрической цепи (рис. 70), где R1 = 0,5 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 9 Ом.
Рис. 70
2.3.24. Определить эквивалентное сопротивление электрической цепи, представленной на рис. 71, если R1 = 2,5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 2 Ом,
R4 = 1,5 Ом, R5 = 3 Ом.
Рис. 71
2.3.25. На рис. 72 представлена схема электрической цепи, где R1 =
R2 = 15 Ом, R3 = R6 = 20 Ом, R4 = R5 = 17,5 Ом, R7 = 12 Ом. Определить эквивалентное сопротивление цепи между зажимами АВ,CD.
65
Рис. 72
2.3.26. Определить в общем виде сопротивление электрической цепи, представленной на рис. 73, относительно зажимов АВ, ВС, CD.
Рис. 73
2.3.27. В схеме на рис. 74 значения сопротивлений резисторов
одинаковы и равны R. Определить в общем виде значения сопротивлений
между зажимами АВ, AC, AD, CD, EF.
Рис. 74
2.3.28. Для электрической цепи, представленной на рис. 75, определить сопротивления на участках цепи АВ,ВЕ,АЕ, в общем виде, если R1 =
R2 = R3 = R4 = R..
Рис. 75
2.3.29. Определить сопротивление электрической цепи между зажимами АВ (рис. 76), если R1 = R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 10 Ом. Как изменится эквивалентное сопротивление цепи, если закоротить точки: а) С и D;
б) А и С; в) С и В; г) D и B?
Рис. 76
66
2.3.30. Определить эквивалентное сопротивление электрической цепи, представленной на рис. 77, где R1 = R5 = 3 Ом; R2 = 2,8 Ом; R3 =1 Ом;
R4 = 6,2 Ом; R6 = 2 Ом.
Рис. 77
2.3.31. При заданных проводимостях четырех параллельных ветвей
G1 = 0,11 Ом-1; G2 = 0,03Oм-1; G3 = 0,07 Ом -1; G4 = 0,04 Ом -1 определить
эквивалентную проводимость и эквивалентное сопротивление цепи.
2.3.32. Для электрической цепи, представленной на рис. 78, определить общую проводимость цепи, если R1 = 25 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 40 Ом
и R4 = 60 Ом.
Рис. 78
2.3.33. В схеме электрической цепи, представленной на рис. 79, задано значение эквивалентной проводимости цепи G = 0,025 Ом-1. Определить проводимость G1 если G2 = 0,01 Ом-1, G3 = 0,04 Ом-1.
Рис. 79
2.3.34. Определить проводимости G2 и G3 электрической цепи, представленной на рис. 80, если G1 = 0,05 Ом-1, G4 = 0,2 Ом-1, G5 = 0,l Ом-1 и
G = 0,17 Ом-1. Проводимости G2 = G3.
Рис. 80
2.3.35. На рис. 81 представлена схема делителя. Определить напряжение между зажимами 1–2, 1–3, 1–4, если на вход делителя (зажимы 1–
5) подано напряжение U = 100 В.
Рис. 81
67
2.3.36*. Определить коэффициенты деления делителя, представленного на рис. 82, при отключенном тумблере Кл. Сопротивления резисторов делителя R1 = 2 кОм, R2 = 18 кОм; R3 = 180 кОм, R4 = 225 кОм.
Определить коэффициенты деления делителя K1-2 и K1-3 при включенном
тумблере Кл.
Рис. 82
Примечание. Коэффициент деления делителя определяется отношением общего сопротивления делителя к сопротивлению указанного
участка цепи.
2.3.37. К источнику постоянного тока с ЭДС E = 1,5 В и внутренним
сопротивлением r = 2,5 Ом подключен резистор сопротивлением R = 10 Ом.
Определить ток в цепи и падение напряжения на источнике.
2.3.38. Напряжение на зажимах источника, нагруженного сопротивлением R = 250 Ом, U = 4,5 В. Напряжение на зажимах того же источника без нагрузки U = 4,77 В. Определить внутреннее сопротивление источника.
2.3.39. Ток короткого замыкания источника Iк = 48 А. При подключении к источнику резистора сопротивлением R = 19,5 Ом ток I в цепи
уменьшился до 1,2 А. Определить ЭДС источника и его внутреннее сопротивление.
2.3.40. Источник напряжения имеет ЭДС E = 4,5 В и ток короткого замыкания Iк = 3,6 А. Определить падение напряжения на нем и ток
нагрузки, если он нагружен на резистор сопротивлением R = 5 Ом.
2.3.41. Напряжение на зажимах источника при холостом ходе Uх = 250 В.
Напряжение на тех же зажимах при нагруженном источнике U = 242 В.
Внутреннее сопротивление источника r = 2,5 Ом. Определить ток, сопротивление нагрузки и мощность, отдаваемую источником. Составить баланс мощностей.
2.3.42*. Источник постоянного тока с ЭДС E = 12 В и внутренним
сопротивлением r = 2 Ом нагружен на резистор с переменным сопротивлением, изменяющимся от нуля до 30 Ом. Построить графики: 1) изменения мощности нагрузки Рн; 2) изменения относительной мощности Рк/Риcт
– при следующих значениях RH: 0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 14; 18; 22; 28; 30 Ом.
Найти графически максимальное значение потребляемой мощности.
2.3.43. Источник ЭДС с внутренним сопротивлением г = 0,10 Ом
нагружен на потребитель, на котором за 1 ч работы выделилось 729 кал
при токе потребления I = 0,75 А. Определить ЭДС источника.
2.3.44*. Мощность, отдаваемая источником питания в режиме короткого замыкания, Рк = 344 Вт. Его внутреннее сопротивление r = 2,2 Ом.
Определить значение ЭДС источника, сопротивление нагрузки при токе I =
0,6 А и мощность нагрузки. Составить баланс мощностей.
68
2.3.45. На резистор сопротивлением Rн = 120 Ом подано напряжение
от источника ЭДС E = 300 В через реостат сопротивлением Rр = 480 Ом
(рис. 83). Определить, в каких пределах можно изменять ток и напряжение в нагрузке с помощью реостата при: 1) замкнутом и 2) разомкнутом
тумблере Кл. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Рис. 83
2.3.46. К источнику постоянного тока с ЭДС Е =125 В подключены
последовательно три резистора сопротивлениями R1 = 100 Ом, R2 = 30 Ом,
R3 = 120 Ом. Определить ток в цепи, падение напряжения и мощность на
каждом резисторе. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
2.3.47. Резисторы R1, R2 и R3 соединены последовательно, и к ним
подведено напряжение U = 24 В. На резисторе R1 = 8 Ом выделяется
мощность Р = 4,5 Вт. Определить сопротивления резисторов R2 и R3 и
падение напряжения на каждом из них, если R1 = 0,5R2.
2.3.48*. Нагрузкой источника с ЭДС E = 27 В (r = 0) является делитель, состоящий из трех резисторов: R1, R2 и Rд. Ток, потребляемый цепью, I = 2 мА, падение напряжения на добавочном резисторе Rд равно 5 В
и R1 = 10 R2. Определить сопротивления всех резисторов и потребляемую мощность.
2.3.49* Источник постоянного тока с ЭДС E = 300 В нагружен на резистор сопротивлением R =2,5 кОм. Ток потребителя необходимо менять
от 10 до 100 мА с помощью последовательно включенного реостата.
Определить максимальное и минимальное сопротивления реостата, мощность потребителя и реостата при максимальном и минимальном токах.
Составить баланс мощностей.
2.3.50. Мощность, потребляемая последовательно соединенными
резисторами R1, R2, R3, P = 25 Вт при токе цепи I = 0,2 А. На участке,
где включены резисторы R1 и R2, падение напряжения U1-2 = 55 В. Сопротивление резистора R1 = 130 Ом. Определить сопротивления R2 и
R3, напряжение на входе цепи и составить баланс мощностей.
2.3.51. Проводимости трех параллельных ветвей G1 = 0,012 Ом-1,
G2 = 0,02 Ом-1, G3 = 0,016 Ом-1. Ток в неразветвленной части цепи I = 4,8 А.
Определить приложенное напряжение, токи в ветвях и потребляемую
мощность.
2.3.52*. На вход электрической цепи, состоящей из четырех параллельных ветвей, подана мощность P = 1200 Вт. Ток в первой ветви
I1 = 0,7 А, проводимости остальных ветвей: G2 = 0,002 Ом-1, G3 = 0,0005
Ом-1, G4 = 0,00325 Ом-1. Определить приложенное напряжение, ток в не69
разветвлённой части цепи и во всех ветвях и проводимость первой ветви.
Составить баланс мощностей.
2.4. Тестовые задания
Электрический ток
2.4.1. Является ли движение электрона вокруг ядра электрическим
током?
1. Является.
2. Не является.
2.4.2. Какой из приведенных графиков (рис. 84) является графиком
постоянного тока?
Рис. 84
1. Правый.
2. Левый.
3. Оба.
2.4.3. За 1 ч при постоянном токе был перенесен заряд в 180 Кл.
Определить силу тока.
1. 180 А.
2. 0,05 А.
2.4.4. Можно ли, пользуясь графиком постоянного тока, определить,
какое количество электричества прошло через проводник за данное время?
1. Нельзя.
2. Можно.
2.4.5. Проводник имеет форму, показанную на рис. 85. В каком сечении скорость упорядоченного движения свободных электронов, обеспечивающих данный ток I, больше?
1. В сечении S1.
2. В сечении S2.
3. Скорости в обоих сечениях одинаковы.
Рис. 85
70
ЭДС и напряжение
2.4.6. Какой характеристикой источника является ЭДС – силовой
или энергетической?
1. Силовой.
2. Энергетической.
2.4.7. Встречают ли сторонние силы противодействие в процессе
разделения зарядов внутри источника?
1. Встречают.
2. Не встречают.
2.4.8. Почему при разомкнутой цепи источника разделение зарядов
прекращается в определенный момент?
1. Энергия источника иссякает.
2. Возникшее электрическое поле уравновешивает поле сторонних
сил.
2.4.9. Для какой из приведенных схем (рис.86) справедливо равенство Е = Uвт?
Рис. 86
Для левой.
Для правой.
2.4.10. Будет ли проходить в цепи постоянный ток, если вместо источника ЭДС включить заряженный конденсатор?
1. Не будет.
2. Будет, но недолго.
3. Будет.
Закон Ома
2.4.11. При каком условии справедлив приведенный график
(рис. 87)?
1. R = const.
2. R  const.
1.
2.
Рис. 87
2.4.12. В результате изменения сопротивления нагрузки ток в цепи
увеличился. Как это влияет на напряжение на зажимах цепи (рис. 88)?
71
Рис. 88
1. Напряжение U растет.
2. Напряжение U уменьшается.
3. Напряжение U остается неизменным.
2.4.13. Какая из приведенных формул для определения тока I1 на
схеме (рис. 89) не верна?
Рис. 89
1. I  U ;
1
R1
2. I  U ob ;
1
R1
3. I  U ;
1
Rob
1.4.14. Что можно сказать о соотношении между показаниями вольтметров на рис. 90, если RV2 > RVI; E1 = E2; Rвт1 = Rвт2
1. U1  U 2 .
2. U1  U 2 .
3. U1  U 2 .
Рис. 90
2.4.15. В одинаковых схемах включены различные амперметры
(рис. 91), причем RAI > RA2. Какой амперметр сильнее влияет на режим
работы цепи?
Рис. 91
1. Второй.
2. Первый.
72
3. Оба амперметра одинаково влияют на режим работы цепи.
Электрическое сопротивление и проводимость
2.4.16. Длину и диаметр проводника увеличили в 2 раза. Как изменится сопротивление проводника?
1. Не изменится.
2. Уменьшится в 2 раза.
3. Увеличится в 2 раза.
2.4.17. Известно сопротивление проводника R при t = 20 °С, его
длина l и площадь поперечного сечения S: R = 4,2 Ом; l = 10 м; S = 1 мм2.
Определить материал проводника.
1. Фехраль.
2. Алюминий.
3. Манганин.
4. Нихром.
2.4.18. Почему спираль ползункового реостата не изготовляют из
медного провода?
1. Его сопротивление незначительно.
2. Он будет громоздким.
2.4.19. Обязательно ли в качестве материала для изготовления резисторов использовать металлы?
1. Не обязательно.
2. Обязательно.
2.4.20. Как изменится проводимость проводника при увеличении
площади его поперечного сечения S?
1. Увеличится.
2. Уменьшится.
ъ
Зависимость сопротивления от температуры
2.4.21..Каким признаком характеризуются металлические проводники?
1. Наличием свободных ионов.
2. Наличием свободных электронов.
3. Наличием свободных электронов и ионов.
4. Отсутствием свободных электронов и ионов.
2.4.22. Какое явление приводит к увеличению сопротивления металлического проводника?
1. Изменение напряженности электрического поля.
2. Уменьшение расстояния между ионами кристаллической решетки.
3. Увеличение амплитуды колебаний ионов в узлах кристаллической решетки.
4. Изменение концентрации зарядов (числа заряженных частиц в
единице объема).
73
2.4.23. Какой из факторов больше влияет на изменение сопротивления проводников второго рода?
1. Изменение концентрации зарядов.
2. Изменение числа столкновений зарядов.
2.4.24. Зависит ли сопротивление катушки, изготовленной из медного провода, от приложенного к ней напряжения?
1. Не зависит.
2. Сильно зависит.
3. Почти не зависит.
2.4.25. Существуют ли химически чистые металлы, у которых температурный коэффициент сопротивления α = 0?
1. Существуют.
2. Не существуют.
Параллельное соединение сопротивлений
2.4.26. Как изменится напряжение на параллельном разветвлении
(рис. 92), подключенном к источнику с Rвт  0 , если число ветвей увеличить?
Рис. 92
1. Не изменится.
2. Увеличится.
3. Уменьшится.
2.4.27. Каким должно быть сопротивление вольтметра (рис. 93), чтобы он не влиял на режим работы цепи?
Рис. 93
1.
Rу  0 .
2. RV  Rab .
3. RV  Rab .
2.4.28. Найти эквивалентное сопротивление данного разветвления
(рис. 94), если R1 = 4 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 3 Ом.
1. Rэк  1,1 Ом.
74
2.
3.
Rэк  0,9 Ом.
Rэк  2,7 Ом.
Рис. 94
2.4.29. Дано: R1 = 10 Ом; R 2 = 20 Ом; R3 = 70 Ом; U = 100 В. Сопротивления цепи заменили на R1 = 20 кОм; R 2 = 40 кОм; R3 = 140 кОм
(U = const). Как изменится напряжение на участках цепи (рис. 95)?
Рис. 95
1. Увеличится.
2. Не изменится.
3. Уменьшится.
2.4.30. Для измерения напряжения сети последовательно соединили
два вольтметра (рис. 96) с номинальным напряжением 150 В и сопротивлениями 28 и 16 кОм. Определить показания каждого вольтметра.
Рис. 96
1. 110 В.
2. 140 В и 80 В.
2.4.31. Каким должно быть сопротивление амперметра RА, чтобы он
не влиял на режим работы цепи (рис. 97)?
Рис. 97
75
1. RA  R1  R2 .
3. RA  R1  R2 .
2. RA  R1  R2 .
Смешанное соединение сопротивлений
2.4.32. Какое соединение представлено на схеме (рис 98)?
Рис. 98
1. Параллельное.
2. Смешанное.
2.4.33. Как изменится напряжение на участке АВ, если параллельно
ему включить еще одно сопротивление (U = const)? (рис. 99)
Рис. 99
1. Не изменится.
2. Уменьшится.
3. Увеличится.
2.4.34. Можно ли считать, что сопротивления R1 и R2 включены параллельно (рис. 100)?
Рис. 100
1. Можно.
2. Нельзя.
2.4.35. Можно ли считать, что сопротивления R2 и R4 включены последовательно (рис. 101)?
Рис. 101
1. Нельзя.
2. Можно.
76
2.4.36. Выберите правильную формулу для определения тока I1 (рис. 102).
Рис. 102
1. I  U .
1
R1
2.
I1 
U
RR .
R1  3 4
R3  R4
Электрическая работа и мощность.
Преобразование электрической энергии в тепловую
2.4.37. Изменятся ли потери энергии сопротивления внешнего участка цепи при условии, что ЭДС E = const?
1. Изменятся.
2. Не изменятся.
2.4.38. Два источника имеют одинаковые ЭДС и токи, но различные
внутренние сопротивления. Какой из источников имеет больший КПД?
1. КПД источников равны.
2. С меньшим внутренним сопротивлением.
3. С большим внутренним сопротивлением.
2.4.39. Как изменится количество теплоты, выделяющейся в нагревательном приборе, при ухудшении контакта в штепсельной розетке?
1. Не изменится.
2. Увеличится.
3. Уменьшится.
2.4.40. Какая из формул для определения количества теплоты, выделяющейся в проводнике, является наиболее универсальной?
1. Q  I 2 Rt ;
2
2. Q  U t ;
R
3. Q  UIt ;
4. Q  W .
2.4.41. Для нагревания воды в баке применяют электрическую печь,
ток которой равен 10 А при напряжении 120 В. Определить КПД печи,
если для нагревания воды затрачивается 250 кДж и нагревание продолжается 4,5 мин.
1. 77 % .
2. 4,6 %.
77
Токовая нагрузка проводов и защита их от перегрузок
2.4.42. Какой из проводов одинакового диаметра и длины сильнее
нагреется – медный или стальной – при одном и том же токе?
1. Медный.
2. Стальной.
3. Оба провода нагреваются одинаково.
2.4.43. Какой из проводов одинаковой длины из одного и того же материала, но разного диаметра, сильнее нагревается при одном и том же токе?
1. Оба провода нагреваются одинаково.
2. Сильнее нагревается провод с большим диаметром.
3. Сильнее нагревается провод с меньшим диаметром.
2.4.44. Какой из проводов одинакового диаметра и из одного и того же
материала, но разной длины, сильнее нагревается при одном и том же токе?
1. Более короткий.
2. Более длинный.
3. Оба провода нагреваются одинаково
2.4.45. Каким должно быть соотношение между температурой плавления плавкой вставки предохранителя tпред и температурой плавления
проводов tпр?
1. t пред  t пр ;
2. t пред  t пр ;
3. t пред  t пр .
Потери напряжения в проводах
2.4.46. Сопротивление одного провода линии R = 0,025 Ом. Через
нагрузку проходит постоянный ток 20 А (рис. 103). Определить потерю
напряжения в линии.
Рис. 103
1. 0,5 В.
2. 1 В.
2.4.47. При каком напряжении выгоднее передать энергию в линии
при заданной мощности?
1. При пониженном.
2. При повышенном.
3. Безразлично.
2.4.48. Каково соотношение между напряжениями U1 и U2 в середине
и в конце линии (рис. 104)?
Рис. 104
78
1. U1  U 2
3. U1  U 2
2. U1  U 2
2.4.49. Как изменится напряжение U1 в середине линии (рис. 105),
если нагрузка в конце линии увеличится?
Рис. 105
1. Увеличится.
2. Не изменится.
3. Уменьшится.
2.4.50. Как изменится напряжение в конце линии, если в ее середине
произойдет короткое замыкание?
1. Уменьшится.
2. Не изменится.
3. Станет равным нулю.
Два режима работы источника питания
2.4.51. Являются ли приведенные схемы эквивалентными (рис. 106)?
Рис. 106
1. Не являются.
2. Являются.
2.4.52. Ток в данной схеме выражается формулой I 
( E1  E2 )
R1  RBT 1  RBT 2
или в иной форме записи I 
E1
Е2

R1 RВТ 1  RВТ 2
79
Отражает ли эта запись приведенные схемы (рис. 107)?
Рис. 107
1. Отражает.
2. Не отражает.
2.4.53. Как изменятся напряжения U1 и U2 на зажимах источников
при уменьшении сопротивления R (рис. 108)?
Рис. 108
1. U1 увеличится, U2 уменьшится.
2. U1 и U2 увеличатся.
3. U1 уменьшится, U2 увеличится.
4. U1 и U2 уменьшатся.
2.4.54. Как изменятся напряжения U1 и U2 на зажимах источников
при уменьшении тока I (рис. 109)?
Рис. 109
1. U1 уменьшится, U2 увеличится.
2. U1 увеличится, U2 уменьшится.
2.4.55. Имеет ли значение направление обхода цепи для определения
разности потенциалов между любыми ее точками?
1. Не имеет.
2. Имеет.
Расчет сложных электрических цепей
2.4.56. Является ли схема данной цепи сложной (рис. 110)?
2. Является
3. Не является
80
Рис. 110
2.4.57. Можно ли применить уравнения Кирхгофа для расчета цепей
смешанного соединения?
1. Можно.
2. Нельзя.
2.4.58. Сколько узловых и контурных уравнений необходимо составить для определения неизвестных токов в этой схеме (рис. 111)?
Рис. 111
1. 4 узловых, 4 контурных.
2. 3 узловых, 4 контурных.
3. 4 узловых, 3 контурных.
2.4.59. Можно ли рассматривать уравнение закона Ома для всей цепи I 
E
R  Rвт 
как частный случай уравнения, составленного на основа-
нии второго закона Кирхгофа?
1. Можно.
2. Нельзя.
2.4.60. Являются ли контурные токи реальными токами ветвей?
1. Да.
2. Нет.
3. Это зависит от расположения ветви (внешнее или внутреннее).
2.4.61. Насколько сокращается число уравнений при использовании
метода контурных токов?
1. На число узлов в схеме.
2. На число независимых контуров в схеме.
3. На число узлов в схеме без одного.
4. На число независимых контуров в схеме без одного.
2.4.62. Как выбирается направление контурных токов?
1. По часовой стрелке.
81
2. Против часовой стрелки.
3. Произвольно.
2.4.63. Когда можно воспользоваться методом узлового напряжения?
1. Когда сложная цепь содержит всего два источника.
2. Когда сложная цепь содержит всего два узла.
3. Для расчета любой сложной цепи.
2.4.64. Выберите правильную формулу для определения I2 в этой
цепи (рис. 112).
Рис. 112
1. I 2  ( E2  U ab )G2 .
2. I 2  ( E2  U ab )G2 .
3. I 2  ( E2  U ab )G2 .
1.
Нелинейные электрические цепи
2.4.65. Было установлено, что закон Ома неприменим к нелинейным
цепям. Применимы ли к нелинейным цепям законы Кирхгофа?
1. Нет.
2. Да.
2.4.66. Какую из приведенных здесь формул можно использовать для
определения мощности нелинейного элемента?
1 P = I2R..
2. P = UI.
3. P = U2/R.
2.4.67. Можно ли применить графический метод расчета к линейным
цепям?
1. Можно.
2. Нельзя.
2.4.68. Можно ли так подобрать два нелинейных элемента, чтобы их
общая вольтамперная характеристика стала линейной?
1. Нельзя.
2. Можно.
2. 4.69. При изменении тока, проходящего через проволочное сопротивление, меняется температура этого сопротивления. Применим ли закон Ома к такому сопротивлению?
1. Да.
2. Нет.
3. Это зависит от значения температурного коэффициента сопротивления.
82
Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
3.1. Основные формулы и уравнения
Характеристики магнитного поля
Магнитное поле – одна из двух сторон электромагнитного поля, характеризующаяся воздействием на электрически заряженную частицу с
силой, пропорциональной заряду частицы и её скорости.
Рассмотрим количественные характеристики магнитного поля.
Магнитная индукция В – векторная величина, характеризующая
магнитное поле и определяющая силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля. Эта характеристика является основной характеристикой магнитного поля, так как определяет
электромагнитную силу, а также ЭДС индукции в проводнике, перемещающемся в магнитном поле.
Единицей магнитной индукции является вебер, деленный на
квадратный метр, или тесла (Тл): [В] =1Вб/1 м2=1 Тл.
Абсолютная магнитная проницаемость среды μ0 – величина, являющаяся коэффициентом, отражающим магнитные свойства среды:
 a  0  r ,
где  0  4 10 7 (Ом  с) м – магнитная постоянная, характеризующая магнитные свойства вакуума.
Единицу Ом-секунда (Ом-с) называют генри (Гн). Таким образом,
[μ0] = Гн/м.
Величину μr, называют относительной магнитной проницаемостью
среды. Она показывает, во сколько раз индукция поля, созданного током
в данной среде, больше или меньше, чем в вакууме, и является безразмерной величиной.
Для большинства материалов проницаемость μr постоянна и близка к
единице. Для ферромагнитных материалов μr является функцией тока, создающего магнитное поле, и достигает больших значений (102–105).
Напряженность магнитного поля Н – векторная величина, которая не
зависит от свойств среды и определяется только токами в проводниках,
создающими магнитное поле.
Направление вектора Н для изотропных сред совпадает с вектором В
и определяется касательной, проведенной в данной точке поля к силовой
линии. Напряженность связана с магнитной индукцией соотношением.
В  а Н .
Единица напряженности магнитного поля — ампер на метр:
[Н]=1 А/1 м.
Приведенные характеристики магнитного поля являются основными. Теперь рассмотрим производные характеристики.
Магнитный поток Ф – поток магнитной индукции.
83
На (рис. 113) показано однородное магнитное поле, пересекающее
площадку S. Магнитный поток Ф через площадку S в однородном магнитном поле равен произведению нормальной составляющей вектора индукции Вп на площадь S площадки:
Ф  Вn S  BS cos  .
Рис.113
Магнитное напряжение Uм на участке АВ (рис. 114) в однородном
магнитном поле определяется как произведение проекции Нl вектора Н
на отрезок АВ и длину этого отрезка l:
U м  Hll .
Рис.114
Единица магнитного напряжения – ампер (А).
В том случае, когда поле неоднородное или участок, вдоль которого
определяется Uм, не прямолинейный (рис. 115, б), необходимо разбить
этот участок на элементарные отрезки ∆l. Тогда в пределах малого участка ∆l поле можно считать однородным или сам участок прямолинейным
и найти ∆ Uм на участке ∆l.
U м  H l l .
Полное магнитное напряжение на участке СD
U мCD  Hl l .

(*)
Закон полного тока
Закон полного тока в ряде случаев позволяет установить зависимость
между напряженностью магнитного поля и создающими его токами.
Рассмотрим произвольный контур длиной l (рис. 115), ограничивающий поверхность S. Через эту поверхность проходят токи I1 и I2, создающие магнитное поле.
84
Алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называют полным током и обозначают  I .
Рис.115
Выберем положительное направление обхода контура, как показано
на (рис. 115). Тогда, в соответствии с правилом буравчика, ток I1 положителен, а ток I2 отрицателен. Для нашего случая полный ток  I  I1  I 2 .
Так как магнитное поле неоднородно, магнитное напряжение определяется по формуле (*).
Следует помнить, что произведение Нl∆l берут со знаком плюс, если
направление проекции Hl совпадает с выбранным направлением обхода.
Магнитное напряжение, вычисленное вдоль замкнутого контура,
называют магнитодвижущей силой (МДС) или намагничивающей силой
(НС) F.
Опытным путем установлено, что
 
F  I  H l l .
Намагничивающая сила вдоль контура равна полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную контуром. В этом заключается смысл закона полного тока.
Расчет магнитной цепи
Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую цепь, в которой при наличии магнитодвижущей силы
образуется магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называют магнитной цепью.
Первый закон Кирхгофа.
Рис. 116
85
За счет тока, протекающего через катушку, показанную на (рис. 116),
возникает магнитное поле и в левом стержне создается магнитный поток Ф.
Этот поток в точке А сердечника разветвляется на потоки Ф1и Ф2. Так как
силовые линии магнитного поля непрерывны и замкнуты, должно выполняться соотношение
Ф  Ф1  Ф2 или Ф  Ф1  Ф2  0 .
Следовательно, алгебраическая сумма магнитных потоков для любого узла магнитной цепи равна нулю.
Это уравнение выражает первый закон Кирхгофа для магнитной цепи.
Второй закон Кирхгофа. Применим закон полного тока к контуру
АВСD (см. рис. 116). Полный ток, проходящий через поверхность, ограниченную этим контуром,  I  I . Намагничивающая сила вдоль этого
контура F = H(l1 + 2l2) + H1l1, где H – напряженность магнитного поля на
участке ВСDА, в пределах которого оно однородно, так как магнитный
поток Ф и площадь поперечного сечения сердечника S на этом участке
неизменны; H1 – напряженность магнитного поля на участке АВ. На основании закона полного тока
I  H (l1  2l2 )  H1l1 ,
т. е. для данного контура НС катушки равна сумме магнитных напряжений на отдельных участках. Если имеется не одна, а несколько катушек и
во всех стержнях напряженность поля различна, то уравнение приобретает вид
I11  I 22  ...  I nn  H1l1  H 2l2  ...  H mlm .
Таким образом, алгебраическая сумма НС для любого замкнутого
контура магнитной цепи равна алгебраической сумме магнитных напряжений на отдельных его участках..
Это определение является вторым законом Кирхгофа для магнитной
цепи. Знак НС катушки определяют по правилу буравчика, а знак магнитного напряжения – по направлению напряженности поля; если
направление напряженности совпадает с выбранным направлением обхода контура, то магнитное напряжение берут со знаком плюс, и наоборот.
Закон Ома.
Магнитное напряжение на данном участке цепи Uм = Н1. Если
Uм
учесть, что H  B ( r 0 ) , B  Ф S , то U м Фl ( r 0 S ) , Ф 
.
l (r 0 S )
Введем обозначение l (  r 0 S )  Rм , где Rм – магнитное сопротивление участка цепи. Тогда окончательное выражение закона Ома для
участка магнитной цепи примет вид
Ф
Uм
.
Rм
86
Магнитный поток для участка цепи прямо пропорционален магнитному напряжению на этом участке.
Из выражения для Rм следует, что магнитное сопротивление ферромагнитных материалов мало. Необходимо отметить, что закон Ома справедлив только для линейных участков магнитной цепи.
Закон электромагнитной индукции
Суть закона электромагнитной индукции: всякое изменение магнитного поля, в котором помещен проводник произвольной формы, вызывает в последнем появление ЭДС электромагнитной индукции.
Рассмотрим этот закон с количественной стороны при движении прямолинейного проводника в однородном магнитном поле.
Это напряжение равно ЭДС электромагнитной индукции и в общем случае выражается формулой
Е  Вl sin  .
Направление ЭДС определяется по правилу правой руки: правую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец совмещают с направлением скорости; тогда вытянутые четыре пальца покажут направление ЭДС.
ЭДС индукции в контуре
e
Ф
.
t
Таким образом, ЭДС, индуцируемая в контуре при изменении магнитного потока, проходящего сквозь поверхность, ограниченную этим
контуром, равна скорости изменения потока, взятой с отрицательным
знаком.
Эта формулировка закона электромагнитной индукции справедлива
для контуров любой произвольной формы.
Если контур состоит из ω последовательно соединенных витков и магнитный поток Ф для каждого витка один и тот же, то индуцированная ЭДС.
 .
e  
t
Отрицательный знак в выражении свидетельствует о том, что ЭДС,
индуцируемая в контуре, стремится вызвать токи, препятствующие изменению магнитного потока. Следовательно, индуцированная в контуре
ЭДС и ток всегда имеют такое направление, при котором они препятствуют причине, их вызывающей.
Это положение выражает сформулированный Ленцем закон о
направлении индуцированного тока.
ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля
eL  
Lidi
.
di
87
ЭДС еL называют ЭДС самоиндукции, а рассмотренное явление возникновения ЭДС в катушке вследствие изменение тока в этой катушке –
самоиндукцией.
ЭДС самоиндукции, согласно принципу Ленца, препятствует изменению тока в катушке, поэтому ток достигает установившегося значения
U постепенно (рис. 117).
I
RK
Рис. 117
Для нахождения всей энергии, которая накопится в магнитном поле
катушки при изменении тока от 0 до I  U , проинтегрируем выражение
RK
для
Lidi :
1
WL   Lidi  LI 2 2 .
0
ЭДС взаимоиндукции. Вихревые токи
а)
б)
Рис. 118
В том случае, когда переменное магнитное поле, созданное током
одной катушки, пересекает витки другой катушки (рис. 118), и наоборот,
на зажимах последней катушки возникает ЭДС, которую называют ЭДС
взаимоиндукции.
Найдем выражение для ЭДС взаимоиндукции, которая индуцируется
в катушках 1 и  2 .
88
 2 , создает магнитное поле,
часть которого сцеплена с витками катушки  2 (рис. 118, а), и количеТок i1, проходящий через катушку
ственно
 1, 2
определяется
потокосцеплением
взаимоиндукции:
 2 1, 2 . Соответственно ток I2 катушки  2 (рис. 119, б) создает
потокосцепление взаимоиндукции  2 ,1  1 2 ,1 .
Здесь Ф1.2 и Ф2.1 – магнитные потоки взаимоиндукции, пропорциональные токам, их создающим. Следовательно, и потокосцепление взаимоиндукции пропорционально этим токам:
 1, 2  М 1, 2i1 ;  2,1  М 2,1i2 .
Коэффициенты пропорциональности М1.2 и М2.1, называют взаимными индуктивностями. В том случае, когда катушки не содержат ферромагнитных сердечников, М1.2 = М2.1 = М.
Взаимная индуктивность М зависит от числа витков катушек, их
размеров и взаимного расположения, а также от магнитных свойств среды.
Единица взаимной индуктивности М – генри (Гн).
При изменении потокосцепления взаимоиндукции первой катушки
во второй катушке наводится ЭДС взаимоиндукции:
d
Mdt1
e1, 2   1, 2  
.
dt
dt
Соответственно изменение потокосцепления взаимоиндукции второй катушки вызывает ЭДС взаимоиндукции в первой катушке:
d2,1
Mdt 2
e 2,1  

.
dt
dt
3.2. Типовые задачи с решениями
3.2.1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл на
подвесе помещен проводник длиной l = 70 см перпендикулярно линиям
поля (рис. 119). Определить электромагнитную силу при токах I = 0,5;
1,0; 1,5; 2,0 и 2,5 А. При каком значении тока произойдет разрыв нити,
если сила натяжения для ее разрыва Fн = 0,08 Н, сила тяжести проводника Р = 0,018 Н? Определить минимальный ток для разрыва нити подвеса.
Рис. 119
Дано:
Система СИ
Решение:
89
В = 0,04 Тл
l = 70 см
I = 0,5; 1,0; 1,5;
2,0 и 2,5 А
Fн = 0,08 Н
Р = 0,018 Н
Найти:
F1, F2, F3- ?
I-?
На проводник с током действует сила F = IBl. Определяем F для указанных значений токов:
F1 = 0,5 . 0,04 . 70 . 10-2 = 0,014 Н,
F2 = l . 0,04 . 70 . 10-2 = 0,028 H,
F3 = 0,042 Н, F4 = 0,056 Н, F5 = 0,07 H.
Разрыв нити произойдет при Fн = P
+ F; следовательно, электромагнитная сила разрыва F = FH-P = 0,080,018 = 0,062 H.
Тогда
I = 0,062/(0,04 . 0,7) = 2,2 А,
т. е. минимальный ток разрыва нити подвеса составляет 2,2 А.
Ответ: F1 = 0,014Н, F2 = 0,028Н, F3 = 0,07Н, I = 2,2А
3.2.2. На половину длины каркаса с наружным диаметром D = 240 мм
и внутренним d = 190 мм, имеющим прямоугольное сечение площадью
S = 400 мм2, равномерно нанесена обмотка медным проводом. Определить число витков, индуктивность, сопротивление обмотки и необходимую длину провода (для намотки в один ряд), если магнитная индукция
катушки на ее оси составляет B = 1,6 . 10 -3 Тл при токе катушки I = 3,6 А.
Плотность тока J = 2 А/мм2.
Дано:
Система СИ Решение:
D = 240 мм
= 0,24м
В связи с тем что намотка произвеd = 190 мм
= 0,19м
дена на половину длины каркаса,
S = 400 мм2
= 0,4.10-3 м2
расчет надо вести по формулам для
B = 1,6 . 10 -3 Тл
прямолинейной катушки.
I = 3,6 А.
Напряженность поля катушки
J = 2 А/мм2
1
Iw 2 Iw
где
I к  I ср ;
H 

,
Найти:
2
Iк
I ср
L–?
w–?
I ср  Dср , где
l–?
D  d 240  190
R–?
Dср 

 215 мм;
2
2
lср  3,14  215  675 мм .
= 0,7 м
Напряженность поля можно определить из соотношения
В   0 Н ,
откуда
В
1,6 103
Н

 1274 А / м .
0 1,256 106
Тогда
90
1274  675 103
 120витков .
2I
2  3,6
Определим индуктивность катушки:
wФ wBS 120 1,6 103  400 106
L


 21,4 106 Гн
I
I
3,6
или
 w2 S 1,256 10 6 120 2  400 10 6
L a

 21,4 10 6 Гн .
lср
0,5  675 10 3
Найдем необходимую длину провода для намотки этой катушки.
Длина одного витка lвит = 82 мм. Длина провода
l пр  l витw  82  120  9840 мм  9,84 м .
w
Hlcp

Определим диаметр и сечение медного провода, примененного для
намотки катушки:
S пр
I 3,6


 1,8 мм 2 ; d пр 
J
2

Тогда его сопротивление
l
9,84
R    0,0176 
 0,096 Ом .
S
1,8
S пр 
1,8
3,14
 0,57 мм.
Ответ: L = 21,4.10-6 Гн, w = 120 витков, l = 9,84 м, R = 0,096 Ом.
3.2.3. Катушка, имеющая w = 500 витков, внесена в однородное магнитное поле, индукция которого возросла при этом от 0 до 0,8 Тл за время t =
0,1 с. К катушке подключен резистор сопротивлением R = 20 Ом. Определить ток и мощность, выделившуюся в резисторе, если сечение катушки S = 12 см2 и ее сопротивление RK = 4, Ом.
Дано:
Система СИ Решение:
w = 500 витков
Определим ЭДС, наведенную в каt = 0,1 с
тушке:
S = 400 мм2
= 0,4.10-3 м2
dB
0,8
e   wS
 500 12 104
 4,8В
B = 0 – 0,8 Тл
dt
0,1
R = 20 Ом.
Зная сопротивление всей цепи R = 24
S = 12 см2
= 12.10-4м
Ом, определим ток в катушке:
RK = 4, Ом.
U
I  = 4,8/24 = 0,2 А.
Найти:
R
I–?
Мощность, выделившаяся на резиP–?
сторе,
P = I2R = (0,2)2 . 20 = 0,8 Вт
Ответ: I = 0,2 А, P = 0,8Вт
3.2.4. Через центр кольца с площадью поперечного сечения S =1 см2,
средним диаметром d = 3 см и числом витков w = 100 пропущен провод.
91
Определить ЭДС, наведенную в нем, если магнитная проницаемость сердечника µ = 3000, а ток I в обмотке кольца за t = 0,03 с изменился на 12 А.
Дано:
Система СИ
Решение:
S = 1 см2
= 1.10-4м
ЭДС, наведенная в проводнике,
d = 3 см
= 0,03м
I .
e  М
w = 100 вит.
t
µ = 3000
Для ее определения необходимо
t = 0,03 с
найти значение взаимной индуктивноНайти:
сти:
е- ?
  w w S
M  0 1 2 .
I
lср
3000  1,256  106  100  1  1  104
 0,4  10 3 Гн
3,14  3  10 2
12
Тогда e  0,4 103 
 0,16 B  160 мВ
0,03
Ответ: е = 160 мВ
3.2.5. На стальное кольцо с магнитной проницаемостью w = 4000
равномерно намотаны две обмотки с числом витков w = 800 и 300. Сечение
кольца круглое, площадью S = 0,8 см2, его наружный диаметр D = 50 мм.
Определить энергию магнитного поля внутри кольца, если токи I1 = 2 А
и I2 = 4,5 А проходят: а) в одном направлении; б) в противоположном.
Дано:
Система СИ Решение:
W = 4000 вит.
Энергия магнитного поля двух связанw1 = 800 вит
ных катушек
w2 = 300 вит.
L I2 L I2
W  1 1  2 2   МI1I 2 .
S = 0,8 см2
= 80 мм2
2
2
D = 50 мм
Прежде чем определить эту энергию,
I1 = 2 А
найдем L1, L2 и М. Найдем индуктивI1 = 4,5 А
ность первой катушки:
Найти:
w2
W1- ?
L1   0 1 S ,
М
lср
где lср  D ; ( Dср  D  d ) .
Найдем диаметр поперечного сечения кольца d из выражения S = πd2 /4:
4S
4  80
d

 10,4 мм и Dср  50  10,4  39,6 мм .

3,14
Индуктивность
92
800 2  0,8  10 4
 2,06 Гн .
3,14  39,6  10 3
Рассчитаем индуктивность второй катушки:
300 2  0,8  10 4
L2  4000  1,256  10 6
 0,29 Гн .
3,14  39,6  10 3
Определим взаимную индуктивность двух катушек:
L1  4000  1,256  10 6
w1 w2
800  0,8  10 4
S  4000  1,256  10 6  300
 0,7775 Гн .
l ср
3,14  39,6  10 3
Зная L1, L2 и М, найдем значение энергии двух катушек:
а) при токах, проходящих в одном направлении,
2,06  2 2 0,29  4,5 2
W1 

 0,775  2  4,5  14,07 Дж .
2
2
б) при токах, проходящих в противоположных направлениях,
М   0
2,06  2 2 0,29  4,5 2

 0,775  2  4,5  0,11 Дж .
2
2
Ответ: W1 = 0,11 Дж.
W1 
3.3. Задачи для самостоятельного решения
3.3.1. В однородное магнитное поле с индукцией B = 1,4 Тл внесена
прямоугольная рамка площадью S = 150 см2 перпендикулярно линиям
магнитного поля. Определить магнитный поток, пронизывающий эту рамку, и магнитный поток при ее повороте на углы 25 и 55° от вертикали.
3.3.2. В однородное магнитное поле под углом 60° к линиям магнитного поля помещена прямоугольная рамка с размерами сторон 30 и 50
см. Определить поток, пронизывающий эту рамку, если B = 0,9 Тл.
3.3.3. Определить диаметр рамки, помещенной в однородное магнитное поле с магнитной индукцией B = 0,6 Тл под углом 45° к линиям
магнитного поля, при этом Ф = 0,0085 Вб.
3.3.4. Магнитный поток Ф = 0,002 Вб пронизывает рамку в форме
равностороннего треугольника со стороной 24 см. Определить магнитную индукцию однородного магнитного поля, если рамка расположена
под углом 75° к линиям магнитного поля.
3.3.5. Прямолинейный проводник длиной l = 0,3 м, по которому
проходит ток I = 12 А, помещен в однородное магнитное поле с магнитной индукцией B = 0,5 Тл. Определить силу, действующую на проводник,
если он расположен: а) перпендикулярно линиям поля; б) вдоль линий поля.
3.3.6. В однородном магнитном поле находится прямолинейный
проводник с током I = 25 А и длиной l = 80 см под углом 30° к вектору
магнитной индукции. Определить магнитную индукцию поля, если сила,
действующая на проводник, F = 3,2 Н.
93
3.3.7. Определить угол между проводником длиной l = 1,2 м, по которому проходит ток I = 30 А, и вектором магнитной индукции B = 1,2 Тл
однородного магнитного поля, если сила, действующая на этот проводник, F = 8,5 Н.
3.3.8. Однородное магнитное поле с агнитной индукцией B = 1,0 Тл
действует на прямолинейный проводник с током с силой F = 0,5 H. Длина проводника l = 20 см. Определить ток, проходящий по проводнику,
расположенному перпендикулярно линиям магнитного поля.
3.3.9*. Напряженность однородного магнитного поля H = 6,5.104 А/м.
В это поле перпендикулярно магнитному потоку внесен проводник с током I = 3,5 А. Проводник подвешен на двух нитях (массой которых можно пренебречь). Определить угол отклонения нитей от вертикали, если
сила тяжести Р = 0,2 Н при длине проводника l = 30 см. Окружающая
среда – воздух.
3.3.10*. В однородном магнитном поле на двух токоподводящих нитях горизонтально подвешен проводник с током длиной l = 0,5 м, на который действует сила тяжести Р = 0,65 Н. Вектор магнитной индукции
B = 0,25 Тл направлен вертикально. Определить, какой ток необходимо
пропустить через проводник, чтобы нити отклонились от вертикали на
угол 60°. Определить совершенную при этом работу, если длина каждой
нити l = 0,4 м.
3.3.11. В однородное магнитное поле, имеющее горизонтальное
направление вектора напряженности H = 9,4.104 А/м, внесен прямолинейный проводник длиной l = 10 см с действующей на него силой тяжести Р = 0,08 Н. Проводник подвешен на двух нитях и расположен перпендикулярно линиям поля. Определить наименьшее значение тока в проводнике для разрыва нитей, если каждая нить разрывается при FH = 0,06 Н.
3.3.12. В однородное магнитное поле, имеющее горизонтальное
направление вектора напряженности H = 9,4.104 А/м, внесен прямолинейный проводник длиной l = 10 см с действующей на него силой тяжести Р = 0,08 Н. Проводник подвешен на двух нитях и расположен перпендикулярно линиям поля. Определить минимальное значение тока в
проводнике, необходимое для разрыва одной из нитей подвеса (рис. 120),
причем длина нитей подвеса равна длине проводника. Каждая нить разрывается при FH = 0,06 Н.
Рис. 120
94
3.3.13. По прямолинейному проводнику проходит ток I = 50 А.
Определить напряженность и индукцию поля в точке, отстоящей на расстоянии R = 25 мм от проводника. Окружающая среда – воздух. Определить те же значения при токах 10, 30, 60, 80 и 100 А.
3.3.14. Магнитная индукция в точке, отстоящей от прямолинейного
проводника, находящегося в воздушной среде, на расстоянии R = 10 мм,
составляет B = 0,002 Тл. Определить ток в проводнике.
3.3.15. Определить, на каком расстоянии от прямолинейного проводника, находящегося в воздушной среде, при токе I = 100 А, напряженность H = 400 А/м. Определить индукцию поля в этой точке.
3.3.16. По прямолинейному медному проводнику с поперечным сечением S = 16 мм2 проходит ток I = 100 А. Определить напряженность
поля и магнитную индукцию в точках, находящихся на расстояниях
а = 0; 1; 2,5; 4; 5; 8; 10 мм от оси проводника. Определить Н и В на поверхности проводника. Построить зависимости H = F(a) и B = F(a).
3.3.17. Внутри медного прямолинейного проводника, по которому
проходит ток I = 150 А, на расстоянии а = 1,5 мм от оси проводника индукция магнитного поля В = 0,004 Тл. Определить площадь сечения проводника и плотность тока.
3.3.18. Ток I = 80 А, проходящий по прямолинейному алюминиевому проводнику сечением S = 25 мм2, создает напряженность магнитного
поля внутри проводника H1 = 4000 А/м и вне проводника H2 = 510 А/м.
Определить расстояние этих точек от оси проводника.
3.3.19. По кольцевому проводнику проходит ток I = 12 А. Определить напряженность магнитного поля в его центре, если диаметр кольца
d = 25 мм.
3.3.20. В центре кольцевого проводника с током напряженность магнитного поля H = 1500 А/м. Радиус кольца R = 15 мм. Определить ток,
проходящий по проводнику.
3.3.21. Ток, проходящий по кольцевому проводнику, I = 25 А создает напряженность магнитного поля в центре H = 400 А/м. Определить
диаметр кольца.
3.3.22. По кольцевой катушке, намотанной на каркас из гетинакса,
проходит ток 1,5 А. Катушка имеет w = 250 витков. Наружный диаметр
ее D = 52 мм, внутренний d = 42 мм. Определить максимальную и минимальную напряженности поля внутри катушки и напряженность поля на
расстоянии r = 4 мм от наружного диаметра.
3.3.23. Кольцевая катушка питается от источника с ЭДС E = 4,5 В и
внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом. Катушка намотана медным изолированным проводом сечением S = 0,5 мм2 на текстолитовый каркас
квадратного сечения площадью S = 25 мм и имеет 850 витков. Наружный
диаметр каркаса D = 100 мм. Определить максимальную и минимальную
напряженности и индукцию поля внутри катушки.
95
3.3.24*. Кольцевая катушка, имеющая w = 400 витков, намотана
медным проводом сечением S = 0,1 мм2 на эбонитовый каркас с наружным диаметром D = 170 мм и внутренним d = 110 мм. Каркас имеет
круглое сечение. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника, питающего эту катушку, если максимальное значение напряженности
поля внутри катушки H = 4350 А/м, а полное сопротивление всей цепи R =
7,2 Ом.
3.3.25. На кольцевой стальной сердечник (µ = 650) с квадратным сечением площадью S = 1 см2 и наружным диаметром D = 6 см равномерно
намотано 540 витков. Определить напряженность на средней магнитной линии, магнитную индукцию и поток, если по катушке проходит ток I = 0,5 А.
3.3.26. В центре цилиндрической катушки длиной l = 500 мм и
диаметром d = 60 мм при прохождении по ней тока I = 2,5 А создается
напряженность магнитного поля H = 680 А/м. Определить сопротивление
и длину медного провода при намотке в один ряд, если J = 0,5 А/мм2.
3.3.27. Определить число витков и длину провода для намотки цилиндрической катушки, если длина катушки l = 20 см, а ее диаметр
d = 1,6 см. При токе в обмотке I = 3 А магнитный поток Ф = 3.10-7Вб.
Определить напряженность в центре катушки.
3.3.28. В центре цилиндрической катушки длиной lк = 350 мм и диаметром dк = 12 мм создается напряженность магнитного поля Н = 6000 А/м.
Определить ток в катушке, ее сопротивление и магнитный поток, если
известно, что катушка намотана в один ряд медным изолированным проводом диаметром dм = 0,25 мм и сечением Sм = 0,0416 мм2.
3.3.29. Определить магнитный поток Ф и магнитную проницаемость
µ стального сердечника цилиндрической катушки длиной l = 80 см и
диаметром d = 4 см, имеющей 200 витков, если при токе I = 1 А в центре
цилиндрической катушки создается магнитная индукция B = 0,68 Тл.
3.3.30*. Для цилиндрической катушки задано значение НС Fm = 2000 A.
Катушка намотана в один ряд медным изолированным проводом диаметром d = 0,2 мм и имеет w = 1250 витков. Определить напряженность поля
в центре катушки, магнитную индукцию, ток катушки и необходимую ее
длину для двух случаев: а) катушка без сердечника; б) катушка со стальным сердечником (µ = 180).
3.3.31*. Цилиндрическая катушка длиной l = 15 см и площадью поперечного сечения S = 6,5 см2 имеет w = 600 витков. Определить индуктивность этой катушки без сердечника и с сердечником (µ = 800). Как
изменится индуктивность катушки с сердечником, если длину сердечника увеличить в три раза, число витков уменьшить вдвое, а сердечник
взять с магнитной проницаемостью в четыре раза большей?
3.3.32. Сопротивление обмотки цилиндрической катушки с сердечником R = 1,2 Ом. Провод медный диаметром d = 0,5 мм, длина сердеч96
ника l = 200 мм. Определить индуктивность катушки, если магнитная
проницаемость µ = 300.
3.3.33. Магнитная проницаемость сердечника цилиндрической катушки µ = 1600. Площадь сечения сердечника катушки S = 2,8 см2 при
длине l = 5,6 см. Определить необходимое число витков катушки и ток для
получения магнитного потока Ф = 0,02 Вб и индуктивности L = 0,4 Гн.
3.3.34. Определить силу взаимодействия двух проводников с током,
расположенных на расстоянии а = 5 мм друг от друга в воздухе, по которым проходят токи I1 = 30 А, I2 = 75 А. Проводники имеют длину l = 200 мм
каждый.
3.3.35. Два проводника, по которым проходят токи I1 = 60 А и I2 = 48 А,
расположены параллельно друг другу. Определить минимальное расстояние между ними при условии, что сила их взаимодействия не должна
превышать 0,1 Н. Длина каждого из проводников l = 75 см.
3.3.36. Два проводника с токами I1 = 35 А и I2 = 16 А. одного
направления длиной l = 1500 мм каждый расположены на расстоянии
а = 60 мм друг от друга в воздухе. Определить, как изменится расстояние между ними, если в первом проводнике произошло короткое замыкание и ток возрос до 150 А, при этом сила взаимодействия увеличилась
в восемь раз.
3.3.37. Два параллельных провода укреплены на изоляторах, расстояние между которыми 1,5 м. По ним проходят токи I1 = I2 = 150 А в одном направлении. Определить значение и направление силы, действующей
на каждый изолятор, если расстояние между проводами а = 50 мм.
3.3.38*. Три проводника длиной l = 500 мм каждый расположены в
одной плоскости. По ним проходят токи I1 = 18 A, I2 = 24 A и I3 = 35 А,
причем токи I2 и I3 направлены в одном направлении, а ток I1 – в противоположном, как указано на рис. 121. Расстояния между проводниками
а1 = 25 мм, a2 = 20 мм. Определить значения и направления сил F1 и F2
взаимодействия третьего проводника соответственно с первым и вторым
проводниками, а также результирующую силу.
Рис. 121
3.3.39. Три проводника длиной l = 120 см каждый расположены
друг относительно друга на расстояниях а1 = 35 см, а2 = 20 см (рис. 121).
Токи в проводах проходят в одном направлении и равны I1 = 30 А, I2 = 75 А
и I3 = 50 А. Определить значение и направление результирующей силы,
действующей на третий проводник со стороны первого и второго проводников.
97
3.3.40. В прямолинейном проводнике с активной длиной l = 0,8 м
при его перемещении в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,7 Тл перпендикулярно линиям этого поля наводится ЭДС
Е = 8,4 В. Определить скорость перемещения проводника и путь; пройденный за время t = 0,06 с.
3.3.41. В однородном магнитном поле с индукцией B = 1,2 Тл под
углом 45° к линиям поля со скоростью υ = 25 м/с перемещается прямолинейный проводник с активной длиной l = 0,3 м. Определить наведенную в нем ЭДС.
3.3.42. На концах прямолинейного проводника, перемещающегося в
однородном магнитном поле с индукцией B = 0,9 Тл перпендикулярно
линиям поля со скоростью υ = 20 м/с, наводится ЭДС E = 7,2 В. Определить активную длину проводника.
3.3.43. Определить активную длину проводника по условию задачи
3.47, если проводник перемещается под углом 55° к линиям поля. Какой
путь пройдет проводник за время t = 0,02 с?
3.3.44. Прямолинейный проводник с активной длиной l = 0,45 м перемещается в однородном магнитном поле со скоростью υ = 36 м/с под
углом 70° к линиям поля. ЭДС, наведенная в нем, E = 14,6 В. Определить
напряженность магнитного поля.
3.3.45. Прямолинейный проводник с активной длиной l = 0,2 м перемещается в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям
магнитного поля. Напряженность поля H = 1500 А/м, скорость перемещения проводника υ = 50 м/с. Как надо изменить скорость перемещения
проводника для получения того же значения наведенной ЭДС, если проводник перемещать под углом 30° к линиям поля; то же, если а = 45, 60,
80, 0, 15°?
3.3.46. Магнитная индукция В однородного магнитного поля за время t = 0,02 с линейно изменилась на 0,6 Тл. Определить ЭДС, наведенную в витке площадью S = 4,8 см2, расположенном перпендикулярно линиям этого магнитного поля.
3.3.47. В равномерное магнитное поле, перпендикулярно линиям
поля, помещен виток прямоугольного сечения. Определить площадь витка, если при линейном изменении магнитной индукции В = 0,9 Тл за
время t = 0,05 с наведенная ЭДС составила 70 мВ.
3.3.48. Виток круглого сечения с диаметром d = 8 см помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям этого поля. При линейном изменении магнитной индукции на В = 1,2 Тл наведенная в
витке ЭДС E = 24 мВ. Определить время изменения потока.
3.3.49. Катушка, имеющая 2500 витков, помещена в однородное
магнитное поле, которое за время t = 0,3 с уменьшилось равномер98
но до нуля. При этом на концах катушки была наведена ЭДС E = 18 В.
Определить первоначальное значение магнитного потока.
3.3.50. Катушка, имеющая 140 витков, нагружена на резистор сопротивлением R = 2,5 Ом, на котором выделилась мощность Р = 0,4 Вт
при изменении магнитной индукции равномерного магнитного поля на
В = 1 Тл за время t = 0,2 с. Определить поперечное сечение катушки. Сопротивлением катушки пренебречь.
3.3.51. Контур, по которому проходит ток I = 10,5 А, имеет потокосцепление самоиндукции  L = 0,008 Вб. Определить индуктивность контура.
3.3.52. Индуктивность контура, по которому проходит ток I = 3,5 A,
L = 3,5 мГн. Определить потокосцепление самоиндукции контура.
3.3.53. Контур, по которому проходит ток, имеет потокосцепление
самоиндукции  L = 0,01 Вб. Определить ток в контуре, если его индуктивность L = 1,8 мГн.
3.3.54. По кольцевой катушке со стальным сердечником (µ = 120)
проходит ток I = 4 А. Определить индуктивность катушки, если она имеет 800 витков, сердечник с прямоугольным сечением со сторонами 2,5 и
1,8 см и напряженность поля на средней магнитной линии Н = 12 800 А/м.
3.3.55. Магнитная индукция в центре цилиндрической катушки со
стальным сердечником (µ = 500) B = 1,45 Тл. Длина катушки l = 180 мм,
площадь поперечного сечения сердечника S = 78,5 мм2. Определить ток в
катушке, напряженность в центре и ее индуктивность, если катушка имеет 540 витков.
3.3.56. В катушке, имеющей 200 витков и находящейся в однородном магнитном ноле, ток изменился равномерно с 16 до 3,5 А в результате линейного изменения магнитной индукции от 0,1 до 0,05 Тл. Определить коэффициент самоиндукции катушки, если площадь ее витка
S = 350 мм2.
3.3.57. Измерительная катушка в течение t = 0,5 с была удалена
из однородного магнитного поля с магнитным потоком Ф = 2,5 .10-4 Вб.
Наведенное значение ЭДС E = 120 мВ, скорость изменения тока в катушке (линейный закон) I = 3 А/с. Определить число витков катушки и ее
индуктивность.
3.3.58. В катушке индуктивностью L = 0,08 мГн ток равномерно изменился в течение времени t = 0,015 с от 11 до 2 А. Определить наведенную ЭДС.
3.3.59. На зажимах катушки при линейном изменении тока I = 5А
появилась ЭДС E = 1,6 В. Время изменения тока в катушке t = 0,02 с.
Определить индуктивность катушки и скорость изменения тока в ней.
99
3.3.60. Определить скорость изменения тока в катушке с индуктивностью L = 0,4 Гн, если наведенная ЭДС на ее зажимах за время t = 0,3 с;
E = 300 мВ.
3.3.61. На зaжимах катушки с индуктивностью L = 100 мГн наведенная ЭДС E = 25 мВ при равномерном изменении в ней тока от 1 А
до 200 мА. Определить время и скорость изменения тока в катушке.
3.3.62. В измерительной катушке, имеющей длину l = 20 мм, площадь поперечного сечения S = 100 мм2 и w = 150 витков, скорость изменения тока составляет 110 А/с. Определить значение ЭДС самоиндукции.
3.3.63. По катушке с индуктивностью L = 0,5 Гн проходит ток I = 3,6 А.
Определить потокосцепление самоиндукции и энергию, запасенную в катушке.
3.3.64. Энергия магнитного поля катушки W = 12,8 Дж. Определить потокосцепление самоиндукции и индуктивность катушки, если ток
в ней I = 6,4 А.
3.3.65. Энергия, запасенная в катушке, W = 5,2 Дж. Определить ток
в катушке, если ее индуктивность L = 0,3 Гн.
3.3.66. Определить наведенную ЭДС в индуктивной катушке при
соединении двух катушек с L1 = 50 мГн и L2 = 100 мГн (взаимная индуктивность отсутствует): а) последовательно; б) параллельно, если скорость
изменения тока в обоих случаях составляет 80 А/с.
3.3.67*. На зажимах двух катушек с индуктивностями L1 = 300 мкГн
и L2 = 750 мкГн, соединенных последовательно и обтекаемых током I =
20 А, при разрыве цепи ЭДС самоиндукции E = 42 мВ. Определить время
t разрыва цепи и ЭДС самоиндукции, если параллельно этим двум катушкам подключить катушку с индуктивностью L3 = 850 мкГн, а время
коммутации оставить тем же. Катушки индуктивно не связаны.
3.3.68. Три индуктивные катушки с L1 = 60 мГн, L2 = 100 мГн и
L3 = 50 мГн соединены параллельно и на зажимах катушек при линейном
изменении тока в цепи от 3,4 до 1 А наведенное значение ЭДС Е = 1,7 В.
Определить время изменения тока в цепи.
3.3.69. На рис. 122 представлена схема соединения индуктивных катушек (не связанных индуктивно) Ll, L2, L3. Определить эквивалентную
индуктивность для положений 0, 1 и 2 ключа Кл, если Ll = 320 мГн,
L2 = 130 мГн, L3 = 450 мГн.
Рис. 122
100
3.3.70. Определить взаимную индуктивность двух катушек, включённых последовательно, если при встречном включении их общая индуктивность L = 12 мГн, а при согласном L = 62 мГн.
3.3.71. Две индуктивные катушки L1 и L2 соединены последовательно.
При согласном включении их эквивалентная индуктивность L = 0,08 Гн,
при встречном L = 0,016 Гн. Определить индуктивность катушки L2, если
L1 = 0,025 Гн.
3.3.72. Две параллельно включенные индуктивные катушки с
L1 = 100 мГн и L,2 = 60 мГн имеют взаимную индуктивность М = 40 мГн.
Определить их эквивалентную индуктивность при согласном и встречном включении.
3.3.73. Две индуктивные катушки соединены параллельно. При согласном включении их эквивалентная индуктивность L = 125,5 мГн при
взаимной индуктивности М = 60 мГн. Определить индуктивность одной
из катушек и их эквивалентную индуктивность при встречном включении, если индуктивность другой катушки равна 150 мГн.
3.3.74. По двум включенным встречно индуктивным катушкам с
L1 = L2 = 0,22 Гн с взаимной индуктивностью М = 0,01 Гн проходит ток
I = 4,8 А. Определить ЭДС, наведенную на зажимах этой цепи при ее отключении, если t = 0,5 с.
3.3.75. Две параллельно включенные индуктивные катушки с L1 = L2
= 40 мГн, имеющие М = 0,01 Гн, соединены согласно и подключаются в
течение 0,02 с к источнику. Наведенная при этом ЭДС Е = 1,2 В. Определить установившееся значение тока в цепи.
3.3.76. Взаимная индуктивность двух контуров М = 20 мГн. Определить потокосцепление второго контура с первым при токе в первом
контуре I1 = 6,3 А.
3.3.77. Определить взаимную индуктивность двух контуров, если
потокосцепление второго контура с первым  21 = 80.10-3 Вб, а ток в первом контуре I1 = 1,6 А.
3.3.78. Взаимная индуктивность двух контуров М = 2,2 мГн. Потокосцепление первого контура со вторым  21 = 1,45.10-2 Вб. Определить
ток во втором контуре.
3.3.79. Взаимная индуктивность двух контуров М = 50 мГн. В первом контуре за 0,8 с ток изменился от 5 до 1 А. Определить изменение
потокосцепления второго контура с первым  21 .
3.3.80. Изменение потокосцепления второго контура с первым
 21 = 0,15 Вб. Определить взаимную индуктивность контуров, если
при подключении первого контура к источнику постоянного тока
установившееся значение тока в первом контуре I1 = 12 А.
101
3.3.81. Изменение потокосцепления второго контура с первым
 21 = 45.10-3 Вб. Определить изменение тока в первом контуре, если
взаимная индуктивность М = 18.10-3 Гн.
3.3.82. Для двух индуктивно связанных контуров с М = 4.10-3 Гн
ЭДС, наведенная во втором контуре, при изменении тока в первом контуре составляет 250 мВ. Определить изменение тока в первом контуре, а
также время и скорость его изменения, если  21 = 008 Вб.
3.3.83. Определить потокосцепление самоиндукции и энергию, запасенную в магнитном поле контура, по которому проходит ток I = 12 А,
если индуктивность контура L = 150 мГн.
3.3.84. Потокосцепление самоиндукции контура  L = 30.10-3 Вб,
ток I = 28 А. Определить энергию, запасенную в магнитном поле контура.
3.3.85. Энергия, запасенная в магнитном поле контура, W = 6,3 Дж.
Определить индуктивность и потокосцепление контура, если I = 5,5 А.
3.3.86. Потокосцепление самоиндукции контура, по которому проходит
ток,  L = 0,12 Вб. Энергия, запасенная в магнитном поле, W = 0,66 Дж.
Определить индуктивность контура.
3.3.87. Энергия, запасенная в магнитном поле контура, W = 1,8 Дж.
Потокосцепление самоиндукции  L = 0,54 Вб. Определить ток в контуре и его индуктивность.
3.3.88. Энергия магнитного поля контура изменилась на 0,8 Дж при
изменении тока в нем от 3 до 6,5 А. Определить время изменения тока и
индуктивность контура, если ЭДС самоиндукции E = 340 мВ.
3.3.89*. Катушка обладает индуктивностью L = l,2 Гн. Определить
изменение энергии, запасенной в магнитном поле катушки, наведенную
ЭДС при линейном изменении тока в ней от 16 до 10 А за время t = 0,4 с,
а также энергию магнитного поля при указанных значениях токов.
3.3.90. На немагнитный кольцевой каркас сечением S = 1 см2 намотано 1200 витков. Определить энергию магнитного поля катушки, если
по катушке проходит ток I = 2,5 А, а средняя ее длина l = 18,9 см. Как
изменятся энергия магнитного поля катушки и ее индуктивность, если
ток уменьшить в 1,5 раза?
3.3.91. На кольцо, имеющее квадратное сечение площадью S = 16 см
и внутренний диаметр d = 80 мм, намотано 600 витков. Определить индуктивность и энергию, запасенную в магнитном поле катушки, при токе
I = 12 А. Сердечник стальной, µ = 4000.
3.3.92*. Кольцевая катушка со стальным сердечником (µ = 1000)
имеет индуктивность L = 0,5 Гн. Энергия, запасенная в магнитном поле
катушки, W = 5,6 Дж. Определить число витков и ток в катушке, если
внешний диаметр тороида D = 40 мм, сечение круглое диаметром 5 мм.
102
Как изменится энергия, если число витков уменьшить в два раза, а ток
увеличить в три раза?
3.3.93. Энергия магнитного поля цилиндрической катушки W = 3,8 Дж.
Определить индуктивность катушки и магнитную проницаемость сердечника, если I = 6А, число витков катушки w > = 150, длина ее l = 40 мм,
площадь сечения 5 = 1 см2.
3.3.94. Индуктивность цилиндрической катушки L = 1,2 Гн. Сердечник
катушки стальной, имеет длину l = 65 мм и площадь сечения S = 200 мм2.
Определить магнитный поток катушки, если энергия ее магнитного поля
W = 85 Дж, а w = 500 витков.
3.3.95. Цилиндрическая катушка без сердечника диаметром D = 20 мм
и длиной l = 100 мм, по обмотке которой проходит ток I = 3,5 А, имеет
600 витков. Определить энергию магнитного поля катушки, ее индуктивность и магнитный поток.
3.3.96. Соленоид имеет 250 витков при длине l = 300 мм и поперечном сечении S = 18 см2. На него надета катушка с десятью витками.
Определить ЭДС, наведенную во второй катушке соленоида, если за
время t = 0,02 с ток в первой обмотке изменился на 8 А (по линейному
закону).
3.3.97. Первичная обмотка соленоида имеет 1200 витков. Длина его
l = 40 мм, диаметр D = 30 мм. На соленоид надет один виток. Определить
ЭДС, наведенную в этом витке, при подключении первичной обмотки
соленоида к источнику. Время включения источника t = 0,05 с, установившееся значение тока в обмотке I = 1 А. Сердечник соленоида стальной, µ = 500 (ток изменяется по линейному закону).
3.3.98. В сердечнике, представленном на рис. 123 необходимо создать магнитный поток Ф = 2,2.10-4Вб при токе в обмотке I = 1,2 А. Толщина пакета магнитопровода b = 2 см. Определить необходимое число
витков, если сердечник выполнен из листовой электротехнической стали
(рис. 123).
Рис. 123
3.3.99*. Из условия предыдущей задачи определить необходимое
число витков для создания такого же потока; но при наличии в одной из
боковых сторон зазора S = 0,05 см.
103
3.3.100*. На рис. 123 представлены геометрические размеры сердечника, имеющего зазоры  = 2 мм каждый. Верхняя часть выполнена из листовой электротехнической стали, нижняя – из литой стали (см. рис. 123).
Определить, какой ток надо пропустить по обмотке с числом витков w =
1750, нанесенной на магнитопровод, для создания магнитного потока
Ф = 2,5.10-4Вб.
3.4. Тестовые задания
Характеристики магнитного поля
3.4.1. Какое поле возникает вокруг движущихся электрических зарядов?
1. Магнитное.
2. Электрическое.
3. Электромагнитное.
3.4.2. Какой величиной является магнитный поток Ф?
1. Векторной.
2. Скалярной.
3.4.3. Каково соотношение между магнитными потоками в этих случаях (рис. 124), если Ва = Вб
а)
б)
Рис. 124
1. Фа = Фб.
2. Фа > Фб.
3. Фа < Фб.
3.4.4. Имеется однородное магнитное поле напряженностью Н = 5 А/см.
Определить магнитное напряжение на пути АВ, если lАВ = 10 см (рис. 125).
Рис. 125
1. 50 А.
2. 0.
3.4.5. В однородном магнитном поле определяется магнитное
напряжение на участках АВ и ABC (рис. 126). Каково соотношение между
этими напряжениями?
104
Рис. 126
1. UмАВ > UмАСВ.
2. UмАВ = UмABC.
3. UмАВ < UмАВС.
Закон полного тока
3.4.6. Заданы токи: I1 = 2 А; I2 = 3 А; I3 = 5 А. Определить полный
ток, пронизывающий поверхность S (рис.127)
Рис. 127
1.
2.
 I  10 A .
I  0 .
3.4.7. Заданы токи: I1 = 2 А; I2 = 3 А; α = 60°. Найти полный ток,
пронизывающий поверхность S (рис.128).
Рис. 128
1.
2.
 I  5A .
 I  2,5A .
3.4.8. Поверхности S1 и S2 пронизываются токами I1– I4, причем S1 < S2,
I1 = 3 A; I2 = 4 А; I3 = 4 А; I4 = 3 А.(рис. 129)
Каково соотношение между НС для контуров а и b?
Рис. 129
1. F a Fb .
2. F a Fb .
105
3. F a Fb .
3.4.9. Влияет ли направление обхода контура на конечный результат
при использовании закона полного тока?
1. Не влияет.
2. Влияет.
3.4.10. Известно, что НС F   H l l . Какое значение l нужно выбирать, чтобы точность определения F была выше в случае неоднородного поля или произвольного контура (рис. 130)?
Рис. 130
1. Значение
2. Значение
3. Значение
l
l
l
должно быть большое.
не влияет на результат.
должно быть как можно меньше.
Магнитное поле прямолинейного тока
3.4.11. При известном токе I рассчитаны НС F1 и F2 вдоль концентрических окружностей радиусов r1 и r2 (рис. 131). Определить соотношение между НС F1 и F2.
Рис. 131
1. F1  F2 .
2. F1  F2 .
3. F1  F2 .
3.4.12. Зависит ли напряженность поля в точке А (рис. 132), равноудаленной от оси проводника, от диаметра проводника при I = const?
Рис. 132
1. Зависит.
2. Не зависит.
3.4.13. Для какой точки будет больше ошибка в определении Н при
использовании приближенной формулы (рис. 133)?
106
Рис. 133
1. Для точки А.
2. Для точки В.
3. Для обеих точек ошибка одинакова.
3.4.14. Можно ли пользоваться приближенной формулой для расчета
напряженности поля Н в точках А, В и т. д., расположенных на краю проводника (рис.134?
Рис. 134
1. Можно.
2. Нельзя.
3. Это зависит от расстояния точек до провода.
3.4.15. Ток I проходит по тонкостенной длинной медной трубе радиусом R.(рис. 135). Какой из приведенных графиков соответствует зависимости напряженности Нr, от расстояния до оси проводника r (рис. 136)?
Рис. 135
а)
б)
в)
Рис. 136
Магнитное поле кольцевой и цилиндрической катушек
107
3.4.16. Каково соотношение между напряженностями поля в точках
А и В кольцевой катушки (рис. 137)?
Рис. 137
1. НА = НВ.
2. НА > НВ.
3. НА < НВ.
3.4.17. У кольцевой катушки изменили диаметр каркаса, не изменяя
НС и средний радиус кольца. Как это повлияет на магнитное состояние
катушки?
1. Изменится значение Н для средней линии.
2. Изменится значение В для средней линии.
3. Изменится Ф.
3.4.18. Какой из приведенных графиков (рис. 138) правильно отражает зависимость напряженности Н, от расстояния до центра катушки r
(рис. 139)?
а)
б)
в)
Рис. 138
Рис. 139
108
3.4.19. У цилиндрической катушки l = 100 мм, D = 20 мм (рис. 140).
Можно ли использовать приближенную формулу для определения
напряженности Н в точке A?
Рис. 140
1. Можно.
2. Нельзя.
3.4.20. У цилиндрической катушки l = D (рис. 141). Какой формулой следует воспользоваться для расчета напряженности H в точке А?
1. Приближенной.
2. Точной.
Рис. 141
Намагничивание ферромагнитных материалов
3.4.21. Какой из приведенных материалов не проявляет ферромагнитных свойств?
1. Кобальт.
2. Никель.
3. Платина.
4. Железо.
3.4.22. Какой из приведенных графиков (рис. 142) соответствует
зависимости В(Н) для катушки с латунным сердечником?
а)
109
б)
в)
г)
Рис. 142
3.4.23. Какой из приведенных графиков соответствует процессу
намагничивания катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 143)?
а)
б)
в)
Рис. 143
3.4.24. Отличается ли природа магнитного поля катушки с током от
природы магнитного поля, возникшего в ферромагнитном сердечнике
под действием поля катушки?
1. Отличается.
2. Не отличается.
3.4.25. Отличается ли характер изменения индукции В в катушке с
ферромагнитным сердечником и без сердечника при I > Iнас (рис. 144)?
Рис. 144
1. Отличается.
2. Не отличается.
110
Циклическое перемагничивание
3.4.26. Может ли петля гистеризиса иметь вид, показанный на графике (рис. 145)?
Рис. 145
1. Может.
2. Не может.
3.4.27. Из рассмотрения петли гистеризиса (рис. 146) следует, что
при Н = НС В = 0. Означает ли это, что
Рис. 146
1. Магнитные поля катушки и сердечника равны нулю?
2. Магнитные поля катушки и сердечника имеют равные значения,
но направлены в разные стороны?
3. Магнитное поле сердечника отсутствует, магнитное поле катушки не равно нулю?
3.4.28. Затрачивается ли энергия для перемагничивания материала, представленного данной кривой (рис.147)?
1. Затрачивается.
2. Не затрачивается.
3. Для ответа недостаточно данных.
Рис. 147
3.4.29. Какая из приведенных кривых не соответствует физике процесса перемагничивания (рис. 148)?
111
Рис. 148
1. Кривая 1.
2. Кривая 2.
3. Обе кривые.
3.4.30. Какие свойства не присущи процессу перемагничивания
ферромагнитных материалов?
1. Остаточная индукция.
2. Потери на перемагничивание.
3. Двузначная зависимость В(Н).
4. Линейная зависимость В(Н).
Расчет магнитной цепи
3.4.31. Какое свойство магнитной цепи является главным?
1. Нелинейная зависимость В (Н).
2. Способность насыщаться.
3. Малое магнитное сопротивление.
4. Способность сохранять остаточную намагниченность.
3.4.32. Какое уравнение соответствует внешнему контуру данной
магнитной цепи (рис. 149)?
Рис. 149
1. Iw  H1l1  H 2l2 .
2. H1l1  H 2l2  0 .
3. H1l1  H 2l2  0 .
4. Iw  H1l1  H 2l2 .
3.4.33. Для приведения магнитной цепи S1 < S2 < S3. выберите правильное соотношение для Ф и Н на соответствующих участках цепи (рис. 150).
112
Рис. 150
1. Ф1  Ф2  Ф3
Н1  Н 2  Н 3
3. Ф1  Ф2  Ф3
Н1  Н 2  Н 3
Ф
4. 1  Ф2  Ф3
Н1  Н 2  Н 3
2. Ф1  Ф2  Ф3
Н1  Н 2  Н 3
3.4.34. Какое соотношение является ошибочным для данной магнитной цепи (рис. 151)?
Рис. 151
1. Ф  Ф1  Ф2 .
2. Ф2  Ф1 .
3. Ф2  Ф1 .
3.4.35. Как изменится общий магнитный поток Ф, если увеличить
воздушный зазор в сердечнике (рис. 152)?
Рис. 152
1. Не изменится.
2. Увеличится.
3. Уменьшится.
Электрон в магнитном поле
3.4.36. На рис. 153 показано сечение электронно-лучевой трубки с
магнитным управлением. Электроны в луче движутся к нам. Определить
направление отклонения электронного луча (рис. 154).
113
Рис. 153
а)
б)
в)
г)
Рис. 154
3.4.37. Электрон влетает в однородное магнитное поле индукцией В
со скоростью υo.(рис. 155). По какой траектории будет двигаться электрон под действием возникшей силы Лоренца Fo (рис. 156)?
Рис. 155
а) по линии действия силы Лоренца.
б) по окружности.
114
в) по параболе.
Рис. 156
3.4.38. Может ли электрон, движущийся в магнитном поле, получить
ускорение в направлении движения за счет силы Лоренца?
1. Может
2. Не может.
3. Это зависит от начального положения вектора скорости относительно поля.
3.4.39. Что изменится, если в магнитном поле вместо электрона движется протон под прямым углом к нолю и с той же скоростью, что и
электрон?
1. Направление силы Лоренца.
2. Значение силы Лоренца.
3. И направление, и значение силы Лоренца.
4. Ничего не изменится.
3.4.40. По какой траектории будет двигаться электрон (рис. 158), если его скорость имеет направление, показанное на рис. 157?
Рис. 157
а)
по окружности
б) по прямой линии
в) по параболе
115
Рис. 158
Проводник с током в магнитном поле. Взаимодействие параллельных проводников с током
3.4.41. В электромагнитном поле, как показано на рис. 159, находятся проводник с током А и электронный пучок Б. В каком случае электромагнитную силу можно уравновесить электрической?
Рис. 159
1. В случае А.
4. Ни в том, ни в другом
2. В случае Б.
случае.
3. В обоих случаях.
3.4.42. По какой формуле определяется сила, действующая на проводник с током (рис. 160)?
Рис. 160
1. F  BlI .
2. F  Bl I .
3.4.43. Исходное положение рамки с током показано на рис. 161. Какое положение займет рамка после окончания движения?
Рис. 161
1. Останется в исходном положении.
2. Повернется на угол α =180°.
3. Повернется на угол α = 90°.
4. Будет непрерывно вращаться.
3.4.44. На рис. 162, А изображены электронные пучки, на рис. 162, Б
– пучок и проводник с током, на рис. 162, В – два проводника с током. В
116
каком случае между токами возникает и электрическое, и магнитное взаимодействие?
Рис. 162
1. В случае А.
3. В случае В.
2. В случае Б.
4. Во всех случаях.
3.4.45. В исходном положении подвижная рамка с током h расположена под углом 45° к неподвижной рамке с током I (рис. 163). Какое
положение займет подвижная рамка после окончания движения?
Рис. 163
1.
2.
3.
4.
Повернется на 45° против часовой стрелки.
Повернется на 135° по часовой стрелке.
Повернется на 45° по часовой стрелке.
Повернется на 135° против часовой стрелки.
Закон электромагнитной индукции
3.4.46. Будет ли наводиться ЭДС индукции в проводнике, если он неподвижен, а магнитное поле перемещается относительно этого проводника?
1. Не будет.
2. Это зависит от взаимного расположения проводника и поля.
3. Будет.
3.4.47. Брусок из меди перемещается в магнитном поле так, как показано на рис. 164. Определить направление ЭДС индукции в бруске
(рис. 165).
Рис. 164
117
а)
б)
в)
Рис. 165
3.4.48. Как следует перемещать брусок в магнитном поле (рис. 166),
чтобы в нем возникала ЭДС?
а)
б)
в)
Рис. 166
3.4.49. Желая измерить ЭДС в проводнике, перемещающемся в однородном магнитном поле, к нему подключили вольтметр (рис. 167). Что
покажет прибор?
Рис. 167
1. Напряжение, пропорциональное скорости перемещения проводника.
2. Нулевое напряжение.
3.4.50. Будет ли наводиться ЭДС индукции в диэлектрическом
стержне, который перемещается в магнитном поле под прямым углом к
полю?
1. Будет.
2. Не будет.
ЭДС индукции в контуре
3.4.51. Две рамки перемещаются в однородном магнитном поле: одна с постоянной скоростью υo, другая с переменной скоростью υ. Какие
из приведенных соотношений являются правильными (рис. 168)?
Рис. 168
а)
1. еа  0; еб  0 .
б)
2. еа  0; еб  0 .
118
3. еа  0; еб  0 .
3.4.52. В однородном магнитном поле находится контур (рис. 169),
который подвергается деформации. Будет ли при этом индуцироваться
ЭДС в контуре?
Рис. 169
1. Будет.
2. Не будет.
3. Будет, если площадь ограниченная контуром изменяется.
3.4.53. Магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром, изменяется по закону Ф  Фm sin t . По какому закону
изменяется ЭДС?
1. е = const.
2. e  Em sin t .
3. e   Em sin t .
3.4.54. Рамка вращается в однородном магнитном поле, как показано
на рис. 170. Укажите положение рамки, при котором индуцируемая в ней
ЭДС максимальна (рис. 171).
Рис. 170
а)
б)
Рис. 171
3. 4.55. Магнитный поток изменяется так, как показано на рис. 172.
Как изменяется ЭДС в контуре (рис. 173), который пронизывается таким
потоком?
119
Рис. 172
а)
б)
в)
г)
Рис. 173
Принцип Ленца
3.4.56. Какое из приведенных утверждений является неверным? Индуцированный ток препятствует:
1. Увеличению магнитного потока.
2. Изменению магнитного потока.
3. Магнитному потоку.
4. Уменьшению магнитного потока.
3.4.57. В однородном магнитном поле находится раздвижная рамка
(рис. 174). Определить направление тока при раздвижении рамки (рис.
175).
Рис. 174
а)
б)
Рис. 175
120
3.4.58. Относительно катушки перемещается постоянный магнит
(рис. 176). Определить направление перемещения магнита при заданном
направлении индуцированного тока.
а)
б)
Рис. 176
3.4.59. Катушку подключают к источнику постоянного тока сначала
с сердечником из меди, а затем без него (рис. 177). В каком случае магнитный поток катушки быстрее достигнет установившегося значения?
Рис. 177
1. С сердечником.
2. Без сердечника.
3. В обоих случаях скорость одинакова.
3.4. 60. Проявляет ли себя принцип Ленца, если переменное магнитное поле пронизывает несплошное кольцо (рис. 178), изготовленное из
проводящего материала, наводя в нем постоянную ЭДС?
Рис. 178
1. Проявляет.
2. Не проявляет.
Преобразование механической энергии в электрическую
3.4.61. Какое соотношение между силой С и электромагнитной силой F невозможно (рис. 179)?
121
Рис. 179
1. G  F .
2. G  F .
3. G < F.
3.4.62. Каков характер движения груза в устройстве (рис. 180), после
того как электромагнитная сила сопротивления F уравновесит силу G?
Рис. 180
1. Равнозамедленный.
2. Равноускоренный.
3. Равномерный.
3.4.63. Как зависит установившаяся скорость движения груза от сопротивления нагрузки R?
1. Равномерно.
2. Равнозамедленно.
3. Равноускоренно.
3.4.64. Какое из приведенных уравнений достаточно полно характеризует режим работы генератора: E = Blυ; Е = BlI; E  IR  IRвт .
1. E = Blυ; Е = BlI.
2. E = Blυ.
3. Е = BlI.
4. E  IR  IRвт ; E = Blυ; Е = BlI.
Преобразование электрической энергии в механическую
122
3.4.65. При каком соотношении между F и G проводник длиной l
вместе с грузом (пуск двигателя) придет в движение (рис. 181)?
Рис. 181
1. I  U  E  ;
Rвт
2. I  U ;
Rвт
3. I  E  U  .
Rвт
3.4.66. Каков характер движения груза под действием электромагнитной силы после пуска двигателя?
1. Сначала равноускоренный, а затем равномерный.
2. Все время равноускоренный.
3. Все время равномерный.
3.4.67. Как зависит скорость движения груза в рассматриваемом устройстве от его массы?
1. Не зависит от массы груза.
2. При увеличении массы уменьшается.
3. При увеличении массы увеличивается.
3.4.68. Из какого уравнения можно определить скорость движения
проводника, если груз отсутствует (холостой ход двигателя)?
3. E  U .
1. U  E  IRвт ;
2. E  Bl ;
Потокосцепление и индуктивность катушки
3.4.69. Какое из приведенных утверждений является правильным
применительно к катушке без ферромагнитного сердечника?
1. Индуктивность катушки не зависит ни от I, ни от  L .
2. Индуктивность катушки зависит и от I, и от  L .
3. Индуктивность катушки зависит от I
4. Индуктивность катушки зависит от  L .
3.4.70. Какой из параметров сильнее всего влияет на ее индуктивность?
1. Длина l.
2. Площадь сечения S.
123
3. Число витков w.
3.4.71. Два прямолинейных проводника расположены в непосредственной близости друг от друга (рис. 182). В одном случае одинаковые
токи идут в противоположных направлениях, в другом – в одном направлении. Каково соотношение между Lа и Lб
Рис. 182
1.
La  Lб .
2.
La  Lб .
3.
La  Lб .
3. 4.72. Укажите единицу потокосцепления в СИ
1. А/м.
3. Вб/м2.
2. Вб.
4. Мкс.
3.4.73. Для катушки с ферромагнитным сердечником связь между Ф
и I задается кривой намагничивания (рис. 183). Как зависит L от I (рис.
184)?
Рис. 183
а)
б) L = const
Рис. 184
ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля
3.4.74. Как изменяется ЭДС самоиндукции при подключении катушки к источнику постоянного напряжения?
1. Увеличивается.
2. Остается неизменной.
3. Уменьшается.
124
3.4.75. Найти правильное соотношение для ЭДС самоиндукции в цепи в момент времени t1 в результате изменения токов i1 и i2 (рис.185)
Рис. 185
1.
e1  e2 .
2.
e1  e2 .
3.
e1  e2 .
3.4.76. Будет ли возникать ЭДС самоиндукции в катушке с постоянным током (рис. 186), если в нее вводить ферромагнитный сердечник?
Рис. 186
1. Будет.
2. Не будет.
3.4. 77. Как изменится ток в катушке при введении сердечника?
1. Увеличится.
2. Останется неизменным.
3. Уменьшится.
3. 4.78. Каково соотношение между энергиями магнитного поля для
двух катушек с одинаковыми значениями установившегося тока, если
одна катушка со стальным сердечником, а другая без сердечника?
1. Wc  W .
2. Wc  W .
3. Wc  W .
ЭДС взаимоиндукции. Вихревые токи
3.4.79. Каково соотношение между потоком самоиндукции Ф1.1 и потоком взаимоиндукции Ф1.2 (рис. 187)?
125
Рис. 187
1. Ф1.1  Ф1.2
2. Ф1.2  Ф1.1
3. Ф1.2  Ф1.1
3.4.80. Возможно ли практически обеспечить Ф1.2  Ф1.1 ; Ф2.1  Ф2.2 ?
1. Нет.
2. Да.
3.4.81. При каком расположении катушек ЭДС взаимоиндукции максимальна (рис. 188)?
а)
б)
в)
Рис. 188
3.4.82. Наводит ли вихревые токи ЭДС взаимоиндукции в катушке
рис. 189?
Рис. 189
1. Да.
2. Нет.
3. Это зависит от характера изменения тока.
3.4.83. От каких свойств сердечника зависят вихревые токи?
1. Только от электрических.
2. Только от магнитных.
3. И от электрических, и от магнитных.
3.4.84. Какой из перечисленных материалов не проявляет ферромагнитных свойств?
126
1. Кобальт.
2. Никель.
3. Платина.
4. Железо.
3.4.85. Какая из приведенных кривых 1... 3 на рис. 190 соответствует
зависимости В = ƒ(Н) для катушки с латунным сердечником?
Рис. 190
3.3.86. Какая из приведенных кривых 1...3 на рис. 191 соответствует
процессу намагничивания катушки с ферромагнитным сердечником?
Рис. 191
3.4.87. Какое поле возникает вокруг движущихся электрических зарядов?
1. Магнитное.
2. Электрическое.
3. Электромагнитное.
3.4.88. Каково при известном токе I соотношение между магнитодвижущими силами F1 и F2 вдоль концентрических окружностей соответственно с радиусами r1 и r2, показанными на рис. 192?
Рис. 192
1. F1  F2 .
2. F1  F2 .
127
3. F1  F2 .
3.4.89. Какое соотношение магнитной индукции В и напряженности
магнитного поля Н справедливо для магнитных силовых линий с радиусами r1 и r2, показанными на рис. 192?
1. В и H больше на линии с радиусом r1.
2. В и H больше на линии с радиусом r2.
3. В и H одинаковы на линиях с радиусами r1 и r2.
3.4.90. Какой из трех приведенных на рис. 193, б графиков правильно отражает зависимость напряженности Н от расстояния r до центра катушки, показанной на рис. 193, a?
а)
б)
Рис. 193
3.4.91. Из рассмотрения петли гистерезиса на рис. 194 следует, что
при напряженности катушки H, равной напряженности сердечника Hс,
магнитная индукция В = 0. Что это означает?
Рис. 194
1. Магнитные поля катушки и сердечника равны нулю.
2. Магнитные поля катушки и сердечника имеют равные значения,
но направлены в разные стороны.
3. Магнитное поле сердечника отсутствует, магнитное поле катушки
не равно нулю.
3.4.92. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией
В со скоростью  (рис. 195, а). По какой из трех траекторий, показанных на рис. 195, б, будет двигаться электрон под действием возникшей
силы Лоренца F?
128
Рис. 195
1. По линии действия силы F.
2. По окружности.
3. По параболе.
3.4.93. Исходное положение рамки с током показано на рис. 196. Какое положение займет рамка в результате взаимодействия с магнитами?
Рис. 196
1. Останется в исходном положении.
2. Повернется на угол а = 180°.
3. Повернется на угол а = 90° против часовой стрелки.
4. Повернется на угол а = 90° по часовой стрелке.
5. Будет непрерывно вращаться.
3.4.94. Какое из приведенных соотношений соответствует явлению
электромагнитной индукции?
di
1.
F  BlI .
4.
e  L .
dt
2.
e  Bl .
5.
.
B


H
3.
H d l  Iw .


3.4.95. Какое из приведенных соотношений соответствует явлению
электромагнитной индукции?
dФ .
Iw .
1.
4.
e  w
Ф
dt
Rм
2.
F  BlI .
di
5.
e  L .
3.
H d l   Iw .
dt

3.4.96. Какое из приведенных соотношений соответствует явлению
самоиндукции?
1.
Hl   I .
2.
e  Bl .
129
BH
dФ .
5.
F  0 0 S.
2
dt
di
4.
e  L .
dt
3.4.97. Какое из приведенных соотношений соответствует закону
Ампера?
1.
Ф  ВS .
w2 S .
4.
L


2.
.
B  H
l
Iw .
5.
F  BlI .
3.
H
l
3.4.98. Какое из приведенных соотношений соответствует закону
полного тока?
dФ .
Iw .
1.
4.
e  w
Ф
dt
Rм
2.
F  BlI .
di
5.
e  L .
3.
.
H
d
l

Iw

dt

3.4.99. Какое из приведенных соотношений соответствует закону
Ома для магнитной цепи?
dФ .
Iw .
1.
4.
e  w
Ф
dt
Rм
2.
F  BlI .
di
5.
e  L .
3.
.
H
d
l

Iw
dt


3.
e  w
3.4.100. Какой из параметров сильнее всего влияет на индуктивность
L кольцевой катушки?
1. Длина катушки l.
2. Площадь сечения S.
3. Число витков катушки w.
4. Абсолютная магнитная проницаемость µа среды.
3.4.101. Для катушки с ферромагнитным сердечником связь между
потоком Ф и током I задается кривой намагничивания, показанной на
рис. 197, а. Какова зависимость индуктивности L от тока I (рис. 197,б, в).
а
а
б
в
б
Рис.а197
б
130
в
а
б
в
в
а
б
в
1. Имеет вид кривой 1 на рис. 197, б.
2. Индуктивность постоянна.
3. Имеет вид кривой 2 на рис. 197, в.
3.4.102. Каково соотношение между энергиями магнитных полей
двух катушек с одинаковыми значениями установившегося тока: со
стальным сердечником Wc и без сердечника W?
1. Wc = W. 2. Wc > W. 3. Wc < W.
3.4.103. Магнитный поток какой катушки, подключенной к источнику постоянного напряжения, быстрее достигнет установившегося
значения: с ферромагнитным сердечником (рис. 198, а) или без него (рис.
198, б)?
Рис. 198
1. С сердечником.
2. Без сердечника.
3. Обеих катушек с одинаковой скоростью.
3.4.104. Каково правильное направление перемещения постоянного
магнита относительно катушки при заданном направлении индуцированного тока на рис. 199?
Рис. 199
1. На рис. 199, a.
2. На рис. 199, 6.
3. Направление перемещения определить невозможно.
3.4.105. Магнитный поток Ф, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром, изменяется по закону Ома. Как при этом изменяется
ЭДС в контуре?
1. е = const. 2. е   Emax sin t . 3. е   Emax cos t .
3.4.106. Указать на рис. 200 положение рамки, вращающейся в однородном магнитном поле, при котором индуктируемая в ней ЭДС максимальна.
131
Рис. 200
3.4.107. Магнитный поток изменяется, как показано на рис. 201, а.
Указать по рис. 201, б, как будет изменяться ЭДС в контуре, который
пронизывается этим магнитным потоком.
Рис. 201
3.4.108. Брусок из меди перемещается в магнитном поле, как показано на рис. 202, а. Указать направление ЭДС индукции в этом бруске
по рис. 202, б.
Рис. 202
132
3.4.109. Указать при каком взаимном расположении катушек на рис.
203 ЭДС взаимной индукции максимальна.
Рис. 203
3.4.110.** Диэлектрический стержень перемещается под прямым углом к магнитному полю с индукцией В (рис. 204). Будет ли наводиться
ЭДС индукции е в этом стержне и будет ли протекать ток I в цепи?
Рис. 204
1. e  0; i  0 .
2. e  0; i  0 . 3. e  0; i  0 .
3.4.111. В каком случае не индуцируется ЭДС электромагнитной индукции?
1. Ток измененяется в одной из магнитосвязанных катушек.
2. Катушка движется относительно другой катушки, по которой протекает ток.
3. Магнит движется относительно катушки.
4. Контур движется в неоднородном магнитном поле.
5. Проводник пересекает магнитные силовые линии.
6. Проводник скользит по магнитным силовым линиям.
3.4.112. Какая из приведенных формул для определения магнитной
индукции В и напряженности магнитного поля Н в точке т, находящейся
на расстоянии а от центра проводника (рис. 205), правильная?
Рис. 205
1. B 
I
2a 
. 2. B 
I
I
I . 5. B   I .
. 3. H   . 4. H  
2
2a
a
(2a 2 )
2a


133
3.4.113. Подвижная катушка А находится внутри неподвижной катушки С (рис. 206). На оси катушки А укреплен блок В, к которому подвешен груз G. При указанном на рисунке положении движка реостата R
груз находится в покое. Что будет происходить с грузом, если движок
реостата переместить вниз?
Рис. 206
1. Груз останется в покое.
2. Груз будет опускаться.
3. Груз будет подниматься.
3.4.114. На рис. 207 изображена схема модели генератора, в которой
проводник А длиной 0,5 м находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 1Тл. С помощью гибкой нити и блока В проводник связан с
грузом G. С какой установившейся скоростью будет опускаться груз, если сопротивление R, на которое замкнут проводник, равно 2 Ом, а сила,
развиваемая грузом, равна 5 Н?
1. 20 м/с.
2. 40 м/с.
3. 60 м/с.
4. 80 м/с. 5. 100 м/с.
Рис. 207
3.4.115. В схеме модели электродвигателя, изображенной на рис. 208,
проводник А находится в магнитном поле и связан с помощью гибкой
нити и блока В с грузом G. Ток в проводнике имеет значение, при котором груз находится в покое. Что будет происходить с грузом, если замкнуть ключ К?
134
Рис. 208
1. Груз останется в покое.
2. Груз будет подниматься.
3. Груз будет опускаться.
3.4.116. При каком токе в катушке, изображенной на рис. 209, магнитная индукция В в воздушном зазоре равна 1,256 Тл, если l0 = 2 мм,
число витков w = 2000? (Потоком рассеяния и выпучиванием магнитного
потока в воздушном зазоре пренебречь. Принять магнитную проницаемость ферромагнитного сердечника µ = ∞, а магнитную проницаемость
воздушного зазора µo = 4π.10-7 Гн/м.).
Рис. 209
1. 2 А.
2. 0,2 А.
3. 0,1 А.
4. 1 А.
5. 4 А.
3.4.117. Какова индуктивность L катушки с ферромагнитным сердечником, изображенной на рис. 210, если I = 0,2 A, S = 5 см2, l = 20 см,
В = 0,8 Тл, w = 1000 витков?
Рис. 210
1. 0,2 Гн.
2. 0,02 Гн.
3. 0,1 Гн.
135
4. 2 Гн.
5. 1 Гн.
3.4.118. Как изменится энергия магнитного поля катушки, если ток в
ней увеличится вдвое, а индуктивность останется прежней?
1. Увеличится в четыре раза.
2. Уменьшится в четыре раза.
3. Увеличится в два раза.
4. Уменьшится в два раза.
3.4.119. Сила F, действующая на якорь электромагнита при постоянной МДС обмотки, показанной на рис. 211, а, зависит от размера
воздушного зазора l0. Какой из четырех графиков на рис. 211, б правильно отражает эту зависимость? (Считать, что сердечник не насыщен.)
Рис. 211
3.4.120.** Каков момент, развиваемый рамкой с током, расположенной в магнитном поле на рис. 212, если I = 5 А, l = 0,2 м, r = 0,1 м,
В = 0,6 Тл, а плоскость рамки совпадает с направлением силовых линий?
Рис. 212
1. 0,24Н.м.
2. 2,4Н.м.
3. 0,12 Н.м.
4. 1,2 Н.м.
3.4.121. Вариометр на рис. 213, а состоит из двух последовательно
соединенных катушек: неподвижной А и подвижной В, индуктивности
которых одинаковы, т. е. LA = LB. Какой из четырех графиков на рис. 213, б
правильно отражает зависимость общей индуктивности вариометра от
угла поворота α?
136
Рис. 213
3.4.122. Показанное на рис. 214, а устройство, состоящее из ферромагнитного сердечника 1, поворотного ферромагнитного якоря 2 и обмотки 3, используется как элемент электромагнитного реле, шагового
двигателя и т.п. Какой из четырех графиков на рис. 214, б правильно
отображает зависимость момента М, действующего на якорь, от угла поворота якоря α?
Рис. 214
137
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Волков, П. П. Задачник по электротехнике / П. П. Волков, Г. Н. Данилов, И. И. Черняков. – М. : Высш. шк., 1981. – 288 с.
2. Данилов, И. А. Общая электротехника с основами электроники / И. А. Данилов,
П. М. Иванов. – М. : Высш. шк., 1998. – 752 с.
3. Берёзкина, Т. Ф. Задачник по общей электротехнике с основами электроники /
Т. Ф. Берёзкина, Н. Г. Гусев, В. В. Масленников. – М. : Высш. шк., 1998. – 368 с.
4. Фармаковский, В. Л. Теоретические основы электротехники / В. Л. Фармаковский. – ЛВВИСУ. Л., 1975. – 125 с.
5. Вишняков, Н. П. Сборник задач по теоретическим основам электротехники /
Н. П. Вишняков. – ЛВВИСУ. Л., 1989. – 260 с.
6. Полещук, В. И. Задачник по электротехнике и электронике / В. И. Полещук. – М. :
Издательский центр «Академия», 2006. – 224 с.
138
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица 1
Плотность некоторых веществ
Твёрдые тела, 103 кг/м3
2,7
Олово
19,3
Свинец
8,5
Серебро
0,9
Сталь (железо)
8,9
Цинк
8,9
Стекло
0,2
Жидкости, 103 кг/м3
0,88
Нефть
0,7
Ртуть
1
Спирт
0,8
Солёная вода
0,9
Газы, 103 кг/м3
1,29
Углекислый газ
Алюминий
Золото
Латунь
Лёд
Медь
Никель
Пробка
Бензол
Бензин
Вода
Керосин
Касторовое масло
Воздух
7,3
11,3
10,5
7,8
7,1
2,4
0,9
13,6
0,79
1,03
1,98
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица 2
Удельное сопротивление некоторых металлов и сплавов ρ и
температурный коэффициент сопротивления α при 20 °С.
Материал
Алюминий
Вольфрам
Константан
Латунь
Медь
Нихром
Манганин
ρ, Ом.мм2/м
0,029
0,056
0,48
0,071
0,0175
1,1
0,42
α, °С-1
0,004
0,005
0,00004
0,002
0,004
0,0001
0,000006
Материал
Платина
Ртуть
Свинец
Серебро
Сталь
Фехраль
139
ρ, Ом.мм2/м
0,1
0,958
0,21
0,016
0,12
1,4
α, °С-1
0,004
0,0009
0,004
0,004
0,006
0,0002
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица 3
Относительная диэлектрическая проницаемость ε ряда
электроизоляционных материалов
Воздух
Вода
Керосин
Парафиновая бумага, парафин
Масло трансформаторное
Бумага кабельная:
сухая
пропитанная маслом
Лакированная ткань
Мрамор
Электрокартон:
сухой
пропитанный маслом
1,00058
81
2,1
2,1
2…2,5
2,3…3,5
3,4…3,7
3,5…5
8…10
Плексиглас
Слюда
Спирт
Стекло
Эбонит
Фарфор
Янтарь
Текстолит
Гетинакс
Фибра
Шифер
3,3
4…6
33
5,5…10
4,3
5…7,5
2,8
7
3,8…6
3…5
4…16
2,5…4
4…5
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица 4
Характеристики намагничивания стали
В, Тл
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
2,0
ЭН,Э12,Э21
1,4
1,71
2,11
2,61
3,18
3,97
5,02
6,47
8,40
11,40
15,40
25,00
43,7
77,8
-
Н, А/см, некоторых марок стали
Э41,Э42
Литая сталь
0,4
0,8
0,5
1,6
0,6
2,4
0,7
3,2
0,85
4,0
1,1
4,88
1,45
5,84
1,85
6,82
2,35
7,98
3,0
9,2
3,95
10,9
5,4
12,9
7,7
15,9
13,0
20,9
27,5
28,9
51,5
41,0
89,0
57,5
-
140
Пермендюр
0,57
0,7
0,73
0,76
0,82
0,85
0,88
0,91
0,94
0,97
1,05
1,15
1,25
1,4
1,62
2,0
2,6
6,2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................................................................................
Глава 1. Электрическое поле...............................................................
1.1. Основные формулы и уравнения.............................................
1.2. Типовые задачи с решениями...............................................
1.3. Задачи для самостоятельного решения…………...…………
1.4. Тестовые задания……………………………………...……..
Глава 2. Линейные электрические цепи постоянного тока..............
2.1. Основные формулы и уравнения……………………...……..
2.2. Типовые задачи с решениями…………………………….…
2.3. 3адачи для самостоятельного решения……………………..
2.4. Тестовые задания…………………………………………….
Глава 3. Электромагнетизм.................................................................
3.1. Основные формулы и уравнения……………………………
3.2. Типовые задачи с решениями………………………….…….
3.3. Задачи для самостоятельного решения...................................
3.4. Тестовые задания......................................................................
Список использованной и рекомендуемой литературы................
Приложения........................................................................................
141
3
4
4
10
12
19
26
26
51
63
70
83
83
89
93
104
137
138