1 Задача для подготовки к экзамену по курсу Кратные и криволинейные интегралы, ряды и ТФКП (для РКТ1-31) МОДУЛЬ 1: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1. Преобразовать двойной интеграл f ( x, y)dxdy в двукратный и перейти к полярным D координатам, если область D ограничена кривыми или задана неравенствами: а) y x 2 , x y 2 ; б) x y , y x ; в) y 2 1 x, x 1, y 1 ; г) x 2 y 2 1, ( x 1)2 y 2 1, y 0 ; д) x 2 y 2 4 y 0, y 4 x, x 0 ; е) x 2 y 2 4, y 2 x ; ж) x 2 y 2 1, 2y 2 3x 2. Изменить порядок интегрирования и перейти к полярным координатам: 1 2x 0 x2 а) dx f ( x, y )dy ; 1 4 x2 1 4 0 dx б) f ( x, y )dy ; 8 x в) dx f ( x, y )dy ; 0 x 2 x 3 г) dx 0 д) f ( x 2 y 2 )dy ; x 1 2 y 2 y2 dy f ( x, y )dx . Вычислить площадь поверхности сферы x 2 y 2 z 2 4 , вырезанной цилиндром x2 y 2 2 x . 4. Вычислить массу тела с плотностью , задаваемого неравенствами: а) x 2 y 2 z 2 8, x 2 y 2 4, z 0, =2z; 1 2 2 2 9 x y z 36, ; б) x2 y 2 z 2 3. 2 2 2 2 2 в) x y z 16, x y 4, =2|z | . 5. Вычислить центр масс однородного тела, задаваемого неравенствами: а) x 2 y 2 z 2 R 2 , 0 z; 2 2 2 2 2 2 б) x y z 4, x y 3z , z 0. 2 в) z 0, x 2 y 2 z 2 R 2 2 2 6. Найти момент инерции кривой x y 1, y 0 с плотностью относительно начала координат. 7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями или задаваемого неравенствами: а) z x 2 y 2 1, x 1, z 5 ; б) z x 2 y 2 , y x 2 , y 1, z 0 ; R 2 R 2 , (z ); 2 2 г) x 2 y 2 z 2 R2 , x 2 y 2 Rx, (z 0) ; в) x 2 y 2 z 2 R 2 , z д) x 2 y 2 2 z, x 2 y 2 4 z, z 4; 2 2 2 2 е) x y 2 z, z 2 4 x y ; 2 2 2 2 2 2 ж) x y z 2az, x y z ; з) x y z a, 0 z a / 2, x 0, y 0; 2 2 2 2 2 2 2 и) 3( x y ) z 0, x y z a ; 2 2 2 2 к) x y 3z, x y 6 z, z 3; 2 2 л) x y 2 x, 2 x z, z 4 x; 2 2 м) x y 4, x y z 10 0, z 0; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 н) x y z a , x y z , 3( x y ) z ( z 0); 2 2 2 о) 0 z x y , x y 1; 2 2 п) 0 z x y , 0 y 2 x, y 6 x. 8. Вычислить интеграл: а) ( x y )dx ( y 2 x)dy , где О(0,0), А(1;1), В( 2 ;0), ОА – отрезок прямой, OAB АВ – дуга окружности x 2 y 2 2 (меньшая); б) (2 x y)dx ( x 1)dy , где О(0,0), А(1;2), В(2;1), ОА – отрезок прямой, АВ – OAB дуга гиперболы y 9. 2 . x Вычислить по формуле Грина интеграл: а) xy 2 dx x 2 ydy , где ОАВО – контур треугольника с вершинами О(0;0), А(-2;0), OABO В(2;3); б) ( x y)dx xdy , где О(0;0), А(2;0), В(0;2), ОА и ВО – отрезки, АВ – дуга OABO окружности x 2 y 2 4 ; в) (2 x y)dx ( x 1)dy , где О(0;0), А(1;0), В(0;1), ОА и ВО – отрезки, АВ – дуга OAB окружности x 2 y 2 1; 3 г) ( x y)dx xdy . x2 y 2 1 (0;5) 10. Проверить, что под знаком интеграла ( y 4 x3 1)dx (4 xy 3 y 2 )dy стоит полный (4;0) 11. дифференциал и вычислить этот интеграл. Найти циркуляцию векторного поля F по замкнутой кривой Г в направлении возрастания параметра: а) F yi (2 x 2 z ) j ( y z 2 )k , {x cos t , y sin t , z cos t 4sin t 1} б) F x3 i y 3 j z 3k , Г – линия пересечения гиперболоида 2x 2 y 2 z 2 a 2 с плоскостью x y 0 ; в) F 2 yi 5 zj 3xk , Г – линия пересечении цилиндра 2 x 2 2 y 2 1 и плоскости x y z 3; г) F x 2 i y 2 j z 2 k , Г – треугольник с вершинами А(0,0,0), В(0,1,1), С(1,0,0), обход: A B C A . 12. Проверить, применимость формулы Ньютона-Лейбница к интегралу (1;0) (e y 2e2 x )dx ( xe3 3)dy и вычислить его по этой формуле. ( 1; 2) 13. Найти поток векторного поля F : а) F ( x y) i y 2 j (2 yz z )k через боковую поверхность цилиндра x 2 y 2 1, 0 z 1 (нормаль внешняя); б) F xi 4 yj (5z 1)k через боковую поверхность цилиндра x 2 y 2 4, 0 z 5 (нормаль внешняя); в) F ( z 3x) i y3 j ( xy z 2 )k через часть плоскости XOY , определяемую неравенствами x 2 y 2 1, 0 y (нормаль – k ); г) F 2i 2 yj ( y 3z )k через полную поверхность цилиндра x 2 y 2 r 2 , 0 z H ( нормаль внешняя); д) F ( x y) i (2 z y) j 2 xzk через поверхность тетраэдра в направлении внешней нормали, если уравнения его граней x 2 y 3z 6, x 0, y 0, z 0 ; е) F (6 x y) i 5( z x) j 4 yzk в направлении внешней нормали поверхности, определяемой неравенствами 0 z x 2 y 2 , x y 2 x, y 2 ; z ж) F xi 4 yj (5z 1)k через часть плоскости x 2 y 1 , расположенную в 2 первом октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с k ; з) F ( z x 2 y) j через часть плоскости 3x y z 3 ,ограниченную координатными плоскостями, в направлении нормали, образующей острый угол с k ; и) F 2 xi yj zk через часть поверхности сферы x2 y 2 z 2 a 2 , лежащую в октанте 0 x, y 0, z 0 ( нормаль внешняя); к) F xi yj sin zk через часть поверхности x 2 y 2 4 , вырезаемую плоскостями z 0 и z 5 (нормаль внешняя); л) F x 2 i ( x y) j ( xz 2 z )k через полную поверхность тетраэдра в направлении внешней нормали, если уравнения его граней x 2 y z 2, x 0, y 0, z 0 . 4 Модуль 2: Ряды и ТФКП 14. Вычислить интеграл: 3 а) z 3ch dz ; z | z i| 2 б) 3 z 2 sh dz ; z | z i| 2 в) z 1 dz ; ( z i )2 ( z 3) | z| 4 г) 1 dz ; ( z 2) ( z 3)3 | z 2| 1 2 ez д) 2 dz ; z ( z 1) | z| 4 е) ж) z 1 dz ; ( z i)2 ( z 3) | z| 2 ch 2 z dz ; z ( z 2)( z 1) 2 | z 1| 3 2 з) sh2 z dz ; 2 ( z 3 i ) z | z i| 5 и) ez z 2 ( z 4) dz ; | z | 3 к) chz dz ; ( z 2i ) 2 z | z 3i | 2 л) sin 2 z dz ; ( z 3i) 2 z | z i| 5 м) | z| н) 1 dz ; z ( z 2i )( z i ) 2 3 2 1 dz . z 16 | z 1i| 2 4 1 1 cos 2 по степеням ( z 1) . z 1 z 1 z 1 16. Разложить f ( z ) 2 по степеням ( z 1) . z 2z 2 17. Разложить f ( z ) в ряд Лорана 2 z а) f ( z ) в кольце 1 | z | 2 ; ( z 2i) ( z 1) 15. Разложить f ( z ) 5 1 в кольце 2 | z | 4 ; ( z 2i) ( z 4) 2z в) f ( z ) в кольце 1 | z | 3 ; ( z i ) ( z 3) 1 г) f ( z ) 2 в кольце 1 | z | 3 ; z 2z 3 z 1 д) f ( z ) в кольце 2 | z | 3 ; ( z 2i ) ( z 3) z е) f ( z ) в кольце 1 | z | 2 . ( z 2i) ( z 1) 18. Найти область сходимости степенного ряда и выяснить, как ведет себя ряд в точках z1 , z2 , z3 : f ( z) б) ( z i)n ln n , z1 0, z2 2 i, z3 2i ; 2n n n 1 ( z i)n ln n , z1 1, z2 3i, z3 2 ; 2n n n 1 ( z 1 i)2 n , z1 1 i, z2 2, z3 2i ; 4n n 4 n 1 ( z 2i) n , z1 0, z2 2 i, z3 i ; n n n 1 (2i ) n i ( z i)n 1 , z1 1 i, z2 2i, z3 i . 2 2 n 2 n ln n а) б) в) г) д) 19. Найти особые точки (включая бесконечно удаленную) функции f ( z ) , определить их тип и найти вычеты в них: 1 sin а) f ( z ) 2 z ; z ( z 1) cos z б) f ( z ) ; (2 z ) 2 z 1 ch в) f ( z ) z ; z 1 1 cos z. г) f ( z ) z 1 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 7.1. Основная литература 1. 2. 3. 4. 5. Горяинов В.Б., – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с. . – М.: Высшая школа, 1972. – 368 с. Исследование операций; Т.ХХ – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 560 с. Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Вся высшая математика. Т. 3 и 4. – М.: УРСС, 2001 Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 386 с 6 6. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. – 584 с.