Муниципальное общеобразовательное учреждение основная общеобразовательная школа д. Сухой Семенёк Измалковкого муниципального района Липецкой области Конспект урока алгебры 9 класс «Числовые последовательности» тема Учитель: Крылова Галина Анатольевна 2015 год Цели урока: - закрепить знание способов задания числовой последовательности; - изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в ходе выполнения упражнений - развить логическое мышление учащихся; - проверить знания учащихся (самостоятельная работа в виде теста). Оборудование: интерактивная доска, ПК, презентация, доска, мел, указка. Урок - закрепления по теме «Числовые последовательности. Определение числовой последовательности и способы её задания», поэтому ведущая роль принадлежит учащимся. Ход урока. I. Сообщение темы и цели урока. 1) закрепить знание способов задания числовой последовательности; 2) изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в ходе выполнения упражнений; 3) Самостоятельная работа в виде теста. II.Вопросы. Вопросы проектируются на экран: 1. Назовите способы задания числовой последовательности и опишите каждый из способов Ответ: - Аналитический (Последовательность задана аналитически, если указана формула её n-го члена уn = f(n) - Словесный (Последовательность описана словами, а не формулами) - Рекуррентный (Он состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены) Тест (Тест выполняется в течении урока на листочках. В ответ записывать букву, которая соответствует правильному решению. В результате получится задуманное слово) Вопросы проектируются на экран: 1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом уn = 1, yn = yn-1 + 2 (n = 2,3,4, …) И (2) Ф (3) М (5) 2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за yn+9 Е (у10) О (уn+8) И (yn+10) 3. Выберите член последовательности (уn ), который предшествует члену y2n Б (у2n -1) О (у2n +1) Р (уn) III. Устные упражнения. Работа устно: Задание 1 Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью? Ответ: y = 5n y1 = 5*1 = 5 y2 = 5*2 = 10 y3 = 5*3 = 15 y4 = 5*4 = 20 эта математическая модель является последовательностью Задание 2 Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-ый члены. Ответ: х = 7n х1 = 7*1 = 7 х8 = 7*8 = 56 х2 = 7*2 = 14 х10 = 7*10 = 70 х3 = 7*3 = 21 х37 = 7*37 = 256 х4 = 7*4 = 28 Тест 4. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые 3 члена последовательности yn = n2 – 4 О (-3, 0, 5) Н (-2, 0, 2) Д (3, 0, 5) 5. Найти третий член последовательности yn = n + 1 n2 – 8 Н (4) О (-2) К 1 4 6. Найти четвёртый член последовательности уn = 2n О (8) А (16) С (20) Задание 3 Подобрать формулу n-го члена последовательности 2, 3, 4, 5, … Ответ: yn = n + 1 y1 = 1 + 1 = 2 y2 = 2 + 1 = 3 y3 = 3 + 1 = 4 y4 = 3 + 1 = 5 Тест 7. Подберите формулу n-го члена последовательности 3, 6, 9, 12, 15, … Ч (3n) В (n + 3) Т (2n + 1) IV. Работа по теме урока. (отображается на экране) Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Ограничимся свойством монотонности. Н-р: 1, 3, 5, 7, … ,2n – 1, … последовательность возрастающая Вопрос: Какая последовательность называется возрастающей? Опр.1 Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего: y1 < y2 < y3 < . . . < yn < yn+1 < . . . Пример 1 (на доске) Доказать, что последовательность является возрастающей yn = 2n Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, … Н-р: 1, 1 , 1 , 1 , … , 1 , … последовательность убывающая 2 3 4 n Опр.2 Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > . . . >yn > yn+1 > . . . Пример 2 (на доске)Доказать, что последовательность является убывающей yn= 1 n 3 Ответ: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , … 3 9 27 81 Н-р: 1, _ 1 , 1 , _ 1 , … , (- 1)n-1 1 , … немонотонная последовательность 2 3 4 n Вывод: (обобщим примеры 1 и 2и сделаем вывод) 1. Если n >1, то последовательность yn = an возрастает 2. Если 0< n < 1, то последовательность yn = an убывает. №564 (стр.140)(Работа оформляется на доске и в тетрадях.) №565 (а,в) (Работа оформляется на доске и в тетрадях.) а). Решение: yn = 3n + 4 в). Решение: yn = 7n - 2 y1 = 3*1 + 4 = 7 y1 = 7*1 - 2 = 5 y2 = 3*2 + 4 = 10 y2 = 7*2 - 2 = 12 y3 = 3*3 + 4 = 13 y3 = 7*3 - 2 = 19 y4 = 3*4 + 4 = 16 y4 = 7*3 - 2 = 26 Ответ: 7, 10, 13, 16, … возрастающая Ответ: 5, 12, 19, 26, … возрастающая №565(б,г) (самостоятельно с проверкой) а). Решение: yn = - 2n - 3 в). Решение: yn = 4 - 5n y1 = - 2*1 - 3 = - 5 y1 = 4 - 5*1 = - 1 y2 = - 2*2 - 3 = - 7 y2 = 4 - 5*2 = - 6 y3 = - 2*3 - 3 = - 9 y3 = 4 - 5*3 = - 11 y4 = - 2*4 - 3 = - 11 y4 = 4 - 5*3 = - 16 Ответ: - 5, - 7, - 9, -11, … убывающая Ответ: - 1, - 6, - 11, - 16, … убывающая Задание Исследовать на монотонность числовые последовательности а). хn = n2 + 1 Ответ: 2, 5, 10, 17, … возрастающая б). хn = - 6n + 3 Ответ: - 3, - 9, - 15, - 21, … убывающая в). хn = (- 1)n Ответ: - 1, 1, - 1, 1, … немонотонная Тест 8. Исследовать на монотонность последовательность yn = 2n - 2 Ь (убывающая) И (немонотонная) Ч (возрастающая) 9. Какая из следующих последовательностей является убывающей И n+1 М 1- 1 Ч 5n n 2n n+1 ОТВЕТЫ ТЕСТА ФИБОНАЧЧИ Леонардо Фибоначчи - Это итальянский математик XIII в. Автор «Книги абака» (1202г.), в которой говорилось о десятичной системе счисления. Позже он установил связь с последовательностью чисел, которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов. Здесь первые два числа единицы, а каждое последующее равно сумме двух предыдущих. Поэтому рекуррентную последовательность ещё называют последовательностью Фибоначчи. Дополнительно № 569(а) , № 570(а) VI. Итог урока Учитель предлагает ученикам ответить письменно на вопросы: - Приведите пример последовательности, заданной: а) формулой n – го члена; б) рекуррентной формулой Найдите пять членов этой последовательности. - Где испытывали трудности? VII. Домашнее задание. П. 24, №№ 565(д,е), 568(а),571.