Программа зачета

Программа зачета по курсу
«Случайные процессы»
для студентов 4 курса специальности
«Прикладная математика»
1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов.
2. Основные характеристики случайных процессов. Одномерный и многомерный закон
распределения, мат. ожидание, начальный и центральный моменты.
3. Корреляционная функция, нормированная корреляционная функция, взаимная
корреляционная функция. Их свойства.
4. Потоки событий. Пуассоновский поток.
5. Потоки Пальма.
6. Потоки Эрланга.
7. Сложение потоков.
8. Редеющие потоки
9. Марковские процессы. Цепи Маркова. Определение, матрица перехода, классификация
состояний.
10. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения
Колмогорова.
11. Решение уравнений Колмогорова для простейших систем с использованием
преобразования Лапласа.
12. Теорема Маркова (Эргодическая теорема).
13. Марковские процессы гибели и размножения с непрерывным временем.
14. Дифференциальные уравнения для характеристик Марковских процессов гибели и
размножения с неограниченным числом состояний.
15. Дифференциальные уравнения для характеристик Марковских процессов гибели и
размножения с ограниченным числом состояний.
16. Канонические разложения случайных процессов.
17. Белый шум.
18. Линейные преобразования случайных процессов. Дифференцирование случайных
процессов. Интегрирование случайных процессов.
19. Квадратичное преобразование случайных процессов.
20. Преобразования векторных случайных процессов. Комплексные случайные процессы.
21. Стационарные (в широком и в узком смысле) случайные процессы.
22. Эргодические стационарные процессы.
23. Случайная телеграфная волна. Стационарный белый шум.
24. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
25. Непрерывный случайный процесс. Непрерывность стационарного случайного процесса.
26. Линейные преобразования стационарных случайных процессов. Дифференцирование и
интегрирование стационарных случайных процессов.
27. Стохастический интеграл.
28. Теорема Слуцкого. Теорема Хинчина ( без доказательств)
29. Случайные процессы с независимым приращением. Свойства характеристической
функции. Кумулянта процесса. Винеровский случайный процесс
30. Стационарные процессы. Корреляционная функция случайного процесса. Свойства
корреляционной функции непрерывного стационарного процесса. Спектральная функция
процесса.
31. Процессы не зависящие от будущего. Теорема Колмогорова -Прохорова. Тождество
Вальда.
32. Процессы восстановления. Функция восстановления и ее свойства.
33. Теорема восстановления. Закон больших чисел для процесса восстановления.
34. Свертка функций распределения.
35. Уравнение восстановления.
36. Локальная теорема восстановления.
37. Примеры процессов с Г- распределениями и показательным распределением.
Распределение Эрланга
38. Классическая модель риска. Вероятность банкротства. Пример вычисления вероятности
банкротства в случае распределения выплат по показательному закону.
Задачи 1
1. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию, дисперсию случайного процесса
X t   Usht  3e 3tV  t 2 , где U,V – некоррелированные случайные величины, U  R 3;3,
V  P1.2 .
2. Найти корреляционную функцию
K Z t1 ,t 2  и дисперсию DZ t  , если X(t), Y(t) –
некоррелированные с.п., Z t   t X t   Y t sin 2t  cos t , и даны корреляционные функции
2
K X t1 , t 2   1  cost 2  t1  , KY t1 , t 2   exp  t 2  t1 .
3. X(t),
Y(t)
–
центрированные с.п.,
K X t1 , t 2   4 sin t1 sin t 2 ,
KY t1 , t 2   81sin t1 sin t 2 ,
K X ,Y t1 , t 2   18 sin t1 sin t 2 . Найти математическое ожидание mZ t  , корреляционную функцию
K Z t1 ,t 2  , дисперсию DZ t  , нормированную корреляционную функцию  Z t1 ,t 2  случайного
процесса Z t   sin 4t  e 2t X t   e  t Y t  .
4. X t   ch2t  Ush2t , U  E 0.4 , Y t   X ' t  . Найти математическое ожидание mY t  ,
корреляционную функцию KY t1 ,t 2  , дисперсию DY t  , нормированную корреляционную
Y t1 ,t 2  случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t). Найти взаимную
корреляционную функцию K X ,Y t1 , t 2  и нормированную корреляционную функцию  X ,Y t1 ,t 2  .
функцию
5. X t   1  t  t 2U  V cos 2t , где U  B10;0.2 , V  N 3;2 - некоррелированные случайные
величины, Y t   2 X t   t 2 X ' t  . Найти математическое ожидание mY t  , корреляционную
функцию KY t1 ,t 2  , дисперсию DY t  , не дифференцируя X(t).
Задачи 2
1. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0,5 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов.
Задачу начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев.
Найти вероятность события А – задача будет решена с первого раза.
2. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0,5 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов.
Задачу начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев.
Найти вероятность события А – задача будет решена с первого раза, если до момента решения
задачи прошел 1 час.
3. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0,3 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов. Задачу
начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев. Найти
вероятность события А – задача будет решена с первого раза.
4. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0,3 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов. Задачу
начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев. Найти
вероятность события А – задача будет решена с первого раза, если до момента решения задачи
прошел 1 час.
5. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0, 6 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов.
Задачу начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев.
Найти вероятность события А – задача будет решена с первого раза.
6. Интервал T между последовательными сбоями ЭВМ; устраняемыми практически мгновенно с
помощью программных средств, имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром
  0, 6 (1/час). Для решения задачи требуется работа ЭВМ без сбоев в течении двух часов.
Задачу начинают решать в произвольный момент времени t, никак не связанный с потоком сбоев.
Найти вероятность события А – задача будет решена с первого раза, если до момента решения
задачи прошел 1 час.