МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОУ СОШ № 35 Туапсинского района Краснодарского края СЦЕНАРИЙ УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА» НА ТЕМУ «Периодичность тригонометрических функций» (10 КЛАСС) Разработан учителем математики МОУ СОШ № 35 Пгт.Новомихайловский Туапсинского р-на Краснодарского края Колмаковой В.И. 2011г. Интегрированный урок по математике и информационнокоммуникационным технологиям по теме: «Периодичность тригонометрических функций». Х класс. Цели урока: демонстрация возможностей работы с интерактивной доской; повторение свойств функций; знакомство с определением периода функции; рассмотрение правил нахождения периодов тригонометрических функций; рассмотрение заданий ЕГЭ по нахождению периодов функций. Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся Учащиеся должны знать: вид тригонометрических функций и их свойства; назначение программы «Графопостроитель» и способы создания графиков функций в ней; Учащиеся должны уметь: строить графики тригонометрических функций; строить графики функций в программе «Графопостроитель»; Учащиеся должны иметь навыки: работы с компьютерами и периферийными устройствами; запуска программ в среде Windows; работы в программе «Графопостроитель»; работы с интерактивной доской. Формы организации учебной деятельности: фронтальная работа с классом; индивидуальная тестовая работа за компьютером; групповая самостоятельная работа за компьютером; индивидуальная работа с использованием интерактивной доски. Используемое программное обеспечение: Операционная система Windows; Программа «Графопостроитель» План урока: 1. Повторение свойств функций с использованием тренажера и интерактивной доски. 2. Объяснение нового материала: 2.1. определение периодической функции; 2.2. доказательство периодичности тригонометрических функций; 2.3. нахождение периодов функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций; 3. Закрепление изученного материала: 3.1. Решить №62,63,65. 3.2. Построение графиков функций в программе «Графопостроитель». 3.3. Объяснение заданий ЕГЭ. 4. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей проверкой. 5. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока. Ход урока 1. Повторение свойств функций 1.1. Устно отвечаем на вопросы, используя тренажер: называем область определения функций y sin x 3 x , y 5tgx . Среди заданных функций находим четные, нечетные. 1.2. На интерактивной доске по данному фрагменту достраиваем графики четной или нечетной функции. 1.3. На доске записана функция y 5 x . Назвать ее свойство (нечетная). Изменить ее запись с тем, чтобы она стала четной ( y 5 x ) . Аналогично для функций y tg (x) , y sin x . Можно привести несколько вариантов ответа. 2. Объяснение нового материала 2.1. В природе и технике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются по истечении некоторого промежутка времени. Периодически с периодом в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца, с периодом в 1 лунный месяц меняются фазы луны и т.д. Определение. Число Т, отличное от нуля, называется периодом функции f, если для любого х, при котором эта функция определена, выполняются равенства F ( x T ) F ( x) F ( x T ) . Периоды тригонометрических функций. (п.4.2) - прочитать и разобрать по учебнику. Записать в тетрадях: У периодической функции бесконечно много периодов: если Т – основной период, то и числа вида kТ ( k 1,2... ) также являются периодом. Период функций y sin x, y cos x равен 2 , период функций y tgx , y ctgx равен . 2.2. Доказать, что функция y cos x имеет период 2 . Учащийся доказывает у доски а) используя формулы приведения; б) используя график функции. Обобщая, формулируется правило построения периодической функции: Для построения периодической функции с периодом Т, нужно сначала построить часть графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту часть по оси х вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т.д. На интерактивной доске показывается построение периодической функции. 2.3. Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует. Наименьший положительный период для функций y sin( ax b) , y cos( ax b) равен 2 / a , а для функций y tg (ax b) , y ctg (ax b) имеем / a . Но, сумма двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, не обязательно имеет тот же период: например: F ( x) sin x и G ( x) sin x имеют одинаковый положительный период, а их сумма не имеет наименьшего положительного периода. 3. Закрепление изученного материала. 3.1. Решение у доски и в тетрадях: №62. Докажите, что число Т является периодом функции f , если: а) f ( x) sin x / 2 , T 4 . Решение. Найдем период T 2 / 0,5 4 . Следовательно, период функции равен 4 . №64 (б, в). Найдите наименьший положительный период каждой из функций: б) y 3tg1,5 x ; в) y 4 cos 2 x . Устно рассматриваем решение. №65(а). Найдите наименьший положительный период функции: y sin x cos x . Решение. а) y sin x cos x 1 / 2 2 sin x cos x 1 / 2 sin 2 x : T 2 / 2 . №65 (б, в). Устно. б) y sin x sin 4 x cos x cos 4 x ; в) y sin 2 x cos 2 x . 3.2. На ноутбуках с использованием программы «Графопостроитель» учащиеся строят графики тригонометрических функций: y sin x , y sin 2 x , y sin 1 / 2 x и по графикам сравнивают периоды функций. 3.3. Обзор заданий, составленных в виде тестов, которые могут быть предложены на ЕГЭ. Задания группы Б приготовлены на интерактивной доске таким образом, что сначала появляется задание, а затем последовательно открывается решение задачи. 1. Периодическая функция y f (x) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 10 и f (13) 7 . Найдите значение выражения 3 f (7) 5 f (23) . 2. Периодическая функция y f (x) с периодом, равным 10, определена на множестве всех действительных чисел, причем на отрезке 10;10 она совпадает с функцией y 2 x 5 . Найдите значение выражения f (27) f (35) f (3) . 3. Изобразите график периодической функции с периодом равным 3. Составьте вопросы и ответьте на них (например, найти различные значения для выражений, которые придумывают учащиеся с учетом периодичности функции.) 4. Доказать, что функция y sin x 2 не является периодической. (Объясняет учитель с использованием интерактивной доски.) Для доказательства непериодичности какой-либо функции достаточно найти «неповторимую» точку графика, т.е. найти значение х такое, что точка графика с абсциссой х обладает свойством, которым не обладает никакая другая точка графика. Для данной функции таким значением является, например, x 0 . Действительно, из свойства четности функции следует, что x 0 единственный корень уравнения sin x 2 0 , при прохождении которого функция не меняет знак. Демонстрируется график функции на интерактивной доске. 5. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей проверкой. Учащиеся выполняют работу на ноутбуках, по окончании которой выдается количество правильно решенных заданий. 1. Найдите наименьший положительный период функции y 2 sin 2 x 1) ; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) . 2 x 2. Найдите наименьший положительный период функции y 3 cos 3 1) ; 2) 3 ; 3) 6 ; 4) 0,6 . x 3. Найдите наименьший положительный период функции y sin tgx 2 1) ; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) . 2 4. Исследовать следующие функции на периодичность и найти наименьший положительный период, если он существует. 1. y tg3x 2 ; 1) не сущ.; 2) 6 ; 3) ; 4) /3. 2 2) y sin x ; 1) не сущ.; 2) ; 3) 2 ; 4) . 2 с) y 4 cos 8 x 3 cos 10 x ; 1) не сущ.; 2) ; 3) ; 4) 2 . 20 10 g) y x sin x . 1) не сущ.; 2) ; 3) 2 ; 4) . 2 6. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока. На уроке мы проделали следующую работу: познакомились с новым свойством функции – периодичность, изучили правила нахождения периодов функций и применили их для решения задач, учились строить графики функций, используя свойство периодичности, провели самостоятельную работу по тесту, контролирующему знания по нахождению периодов функций. Наиболее успешная работа отдельных учащихся на уроке была отмечена учителем. Домашнее задание: п. 4.2, №№ 66, 67, 68(а, г), построить график функции y sin x на промежутке ; . 2 2