doc, 877 кб

Решения заданий по математике.
Очный тур.
10 класс
1) Решите уравнение:
Решение.
1) Найдем ОДЗ уравнения:
;
Итак, x=1.
2) Проверим, является ли x=1 корнем уравнения.
0+0=
0=0
Ответ: 1.
2) Найдите все значения параметра k, при которых разность корней
уравнения
равна 1.
Решение.
;
;
;
;
;
;
.
Ответ:
;
.
3) Числа
образуют арифметическую прогрессию. Докажите,
что числа
так же образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство:
1) Так как числа
образуют арифметическую прогрессию, то
(1)
2)
(2)
(3)
Из равенств (1), (2), (3) следует, что
, то есть числа
арифметическую прогрессию.
образуют
4) Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Известно, что
AB=BC, CD=DE, AE=6, AC=8. CE=7. Найдите радиус окружности,
вписанной в пятиугольник.
Решение.
1) Пусть M, L, K, G, F – точки касания
окружности, вписанной в пятиугольник
ABCDE; O – центр, r – радиус этой
окружности.
Обозначим AF=AM=x, MB=BL=y. Так
как AB=BC, то CK=GE=FE=x. Так как
CD=DE, то CK=GE=FE=x. Следовательно AX=2x=6 => x=3.
2) В
отрезок OF-высота и медиана =>
– равнобедренный, то
есть AO=OE.
- равнобедренный (AB=BC)
3)
– биссектриса
BR – медиана, высота =>
– равнобедренный, то есть AO=OC.
Итак, AO=OE=OC => AO=R -радиус окружности, описанной около
, где AE=6, AC=8, EC=7.
;
P= ; S=
4)
Ответ:
– прямоугольный.
5) Найдите целые положительные решения уравнения
.
Решение:
.
2x+1
-x+1
2x+112
2x+1
111
По условию
2x+1=1
2x+1=3
2x+1=37
2x+1=111
Непосредственная
проверка
удовлетворяет x=1; y=37
Ответ: (1; 37)
показывает,
что
требованию
задачи
6) По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки
времени
автобус,
мотоцикл
и
автомобиль.
Мимо
другого
наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но
в другом порядке: автобус, автомобиль, мотоцикл. Найдите
скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла
– 30 км/ч.
Решение:
Рассмотрим систему координат (s; t), приняв за начало отсчета момент
встречи автобуса с первым наблюдателем, S – расстояние между
наблюдателями
.
По условию задачи OM=MA=
. Ясно, что BC=CE= .
Пусть х км/ч – скорость автобуса. Рассчитаем момент времени OE разными
способами.
1) OE=OB+BE=
2) OE=OM+ME=
3) OE=OA+AC+CE=
Имеем систему уравнений:
Решим полученную систему:
x=40
Ответ: 40 км/ч