II. вывод основных соотношений для реализации оператора

> REPLACE THIS LINE WITH YOUR PAPER IDENTIFICATION NUMBER (DOUBLE-CLICK HERE TO EDIT) <
1
Эффективная реализация оператора
дискретного прозрачного граничного
условия для двумерного параболического
уравнения
Анатолий В. Новиков, ассистент каф. радиотехнических систем ТУСУРа,
Юрий П. Акулиничев, д-р. тех. наук, профессор каф. радиотехнических систем ТУСУРа.

Аннотация—Рассматривается задача численного решения
двумерного
параболического
уравнения
(ПУ),
преобразованного к уравнению в конечных разностях в
соответствии
со
схемой
Кранка–Николсон
(К-Н).
Предполагается, что среда за границами прямоугольной
расчетной сетки однородна. Разработан и программно
реализован
полиномиальный
алгоритм
вычисления
конечной импульсной характеристики (КИХ) cs цифрового
фильтра, реализующего оператор дискретного прозрачного
граничного условия (ГУ). Методом стационарной фазы
найдена приближенная формула для cs при больших
значениях s с асимптотикой O(s–1,5). Разработан и
программно реализован алгоритм замены КИХ-фильтра
эквивалентным устойчивым фильтром с бесконечной
импульсной характеристикой (БИХ) меньшего порядка, что
позволяет уменьшить затраты времени с сохранением
заданной точности.
Ключевые слова—дискретное прозрачное граничное
условие,
схема
Кранка-Николсон,
z-преобразование,
параболическое уравнение.
I. ВВЕДЕНИЕ
Р
ассматривается задача численного расчёта волновых
полей по методу параболического уравнения (ПУ) [1–
3]. Двумерное ПУ после проведения нормировки,
основанной на теореме отсчётов, имеет вид
U ( x0 , z0 ) i  2U ( x0 , z0 ) ik0


 ( x0 , z0 )  1U ( x0 , z0 ) , (1)
x0


z0 2
где U (x0, z0) = E(x0, z0)exp(–ik0x0) – комплексная амплитуда
напряжённости поля E(x0, z0), x0 = xmax2 / и z0 = 2zmax/ –
нормированные безразмерные декартовы координаты,
k0 = 2π / max2 – нормированное волновое число,  – длина
волны, ε(x0, z0)
– относительная диэлектрическая
проницаемость среды, i – мнимая единица. Параметр max
есть модуль максимального угла между вектором
Пойнтинга и осью Ox. Для ПУ этот угол не должен
превышать 10 – 15° [1].
Manuscript received .05.2011 г.
Приближённое численное решение ПУ обычно
проводится сеточным методом, при этом для учёта
неоднородностей среды применяется метод расщепления
[1, 2, 5]. Исходя из способа нормировки уравнения (1),
размеры ячеек x и z прямоугольной сетки не должны
превышать единицы.
Одним из наиболее популярных и простых сеточных
методов является безусловно устойчивая симметричная
неявная схема, называемая обычно схемой КранкаНиколсон (К-Н) [1, 3]. По мере удаления от источника на
каждом шаге x она преобразует однородное (ε = 1)
уравнение (1) в систему линейных алгебраических
уравнений для отсчётов поля в узлах сетки
gU m, n 1  (1  2 g )U m, n  gU m, n 1 
 gU m 1, n 1  (1  2 g )U m 1, n  gU m 1, n 1
(2)
где g = ix / (2z2), g – комплексно сопряжённое g, m, n
– номера узлов по переменным x и z, 0  m  M ,
 N  n  0 . Решение этой системы проводится методом
прогонки [1, 5]. Неоднородности среды  учитываются
независимым от схемы К-Н множителем.
Для реализации метода необходимо задать начальные
значения поля на отрезке прямой m = 0 и граничные
условия при n = –N и n = 0, причём форма этих условий
определяется
электрическими
свойствами
среды,
примыкающей к области, занятой расчетной сеткой.
Для расчёта поля на приземной трассе ось Ox должна
быть горизонтальна, нижнюю границу расчётной области
(n = –N) следует совместить с плоской (хотя бы в среднем)
поверхностью земли и применить ГУ Леонтовича (ГУ
Коши) [1, 3]. Оно является локальным, т.е. граничное
значение поля на текущем шаге по дальности не зависит
от граничных значений поля на предыдущих шагах.
Свойства среды ниже и выше границы n = 0 почти не
различаются, отражения на этой границе отсутствуют,
поэтому здесь необходимо задавать нелокальное ГУ [1, 7].
Кроме трудностей нахождения оператора нелокального
ГУ, возникает проблема сокращения вычислительных
затрат при его реализации.
> REPLACE THIS LINE WITH YOUR PAPER IDENTIFICATION NUMBER (DOUBLE-CLICK HERE TO EDIT) <
Показано [6, 7], что для непрерывного ПУ (1) связь
очередного граничного значения с предыдущими
значениями задана в виде интеграла свёртки. Однако при
дискретизации этого интеграла с конечным шагом x не
всегда может быть гарантирована устойчивость
разностной схемы и не удаётся полностью исключить
отражения [6, 7]. Поэтому встаёт задача отыскания
точного ГУ непосредственно для самого разностного
уравнения. Тогда дискретный оператор прозрачного ГУ
формально задается в виде коэффициентов некоторого
цифрового КИХ-фильтра. Данная задача для уравнения
Шрёдингера (и, значит, для ПУ) решена в [7 – 9], но
только лишь для случая, когда коэффициент g разностной
схемы К-Н (2) является мнимым. В данной работе
получены аналогичные результаты для комплексного
коэффициента g, при соответствующем выборе реальной
части которого можно повысить точность схемы К-Н без
увеличения вычислительных затрат [10].
В работах [7 – 9] импульсная характеристика КИХфильтра большого порядка заменялась эквивалентным
рекурсивным БИХ-фильтром меньшего порядка с
помощью аппроксимации Паде PL–1(x) / QL(x). Однако при
численной проверке этих результатов оказалось, что в
некоторых случаях обнаруживается неустойчивость
такого БИХ-фильтра.
В данной работе показано, что оператор прозрачного
ГУ можно представить в виде суммы двух слагаемых (для
ближней и дальней зон).
Для больших значений индексов s для оператора
прозрачного ГУ получена асимптотическая формула
cs = As –1,5 + O(s –2,5). Поэтому первое слагаемое в
импульсной характеристике cs для s > 0 предложено
аппроксимировать суммой кратных дискретных экспонент
по методу Прони [11], а остаток (разность), который
существен лишь в ближней зоне, а для больших s убывает
как s–2,5 – КИХ-фильтром небольшого порядка. Показано,
что получающийся БИХ-фильтр – безусловно устойчивый.
Независимо от [9] найден точный алгоритм вычисления
коэффициентов cs фильтра, имеющий полиномиальную
сложность и основанный на рекурсии второго порядка с
операциями сложения и умножения.
II. ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ
ОПЕРАТОРА ПРОЗРАЧНОГО ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
A. Z-образ КИХ-фильтра
Система разностных уравнений (2) решается на
расчётной сетке, расположенной в области z  0,
содержащей все неоднородности диэлектрической
проницаемости. Полагаем, что остальная полуплоскость
(z > 0) – это свободное пространство ( = 1), в котором
РРВ описывается однородным ПУ (1). Мысленно продлим
эту сетку в область z > 0 и обозначим векторы
u<0> = {Um, 0}, u<1> = {Um, 1}, m = 0, 1, …
Процедура вычислений по схеме К-Н становится
2
замкнутой, если известны значения текущих элементов
вектора u<1>. Они, в свою очередь, получаются в
результате дискретной свёртки элементов вектора u<0> и
вектора c = (c1, c2, …), который формально играет роль
импульсной характеристики некоторого цифрового
фильтра. Поэтому первый шаг в решении проблемы
введения нелокального ГУ – найти эту импульсную
характеристику.
Для этого на прямой z = 0 задаём единичный источник
u<0> = (1, 0, 0, …). Затем методом z-преобразования
решаем (2), и на основании условия излучения находим
единственное решение в виде вектора u<1>. Вычисляя zпреобразование по индексу m от (2), получаем разностное
уравнение второго порядка по индексу n относительно
Un(z), решением которого будет [5]
U n ( z )  A1 p1 n  A2 p2 n
(3)
где p1 и p2 – корни уравнения p2 – 2pt + 1 = 0. Чтобы
выполнялось условие затухания поля на бесконечности
lim U n ( z )  0 , в качестве решения в (3) необходимо взять
n 
одно слагаемое, т.к. по теореме Виета p1p2 = 1. Z-образ
U0(z) вектора u<0> равен единице, поэтому U1(z) = p1, где
|p| < 1. Выбирая в качестве p требуемый корень,
окончательно получим
C ( z )  U1 ( z )  1 
1
1
2
1 1  z  1  4 g 1  qz  wz
,
2g
1  g g z 1


q  2 1  4 Re g  1  4 g  , w  1  4 g  1  4 g  .
(4)
При численном обращении (4) для уменьшения
количества вычислительных операций (см. разд. II.D)
важно, чтобы (4) содержало два слагаемых (единицу и
остальную часть), но не три или четыре, а числитель в (4)
был сгруппирован по степеням z–1.
B. Интегральное представление импульсной
характеристики cs
Импульсная характеристика cs КИХ-фильтра равна
обратному z-преобразованию от передаточной функции
(4). Обратное z-преобразование удобно вычислять для
небольших индексов s. Для больших индексов
используется асимптотика, которая может быть найдена из
интегрального
представления
импульсной
характеристики, которая, в свою очередь, следует из
решения
разностного
уравнения
(2)
методом
преобразования Фурье.
Для этого разместим источник поля на прямой x = 0, а
не на прямой z = 0, как это было сделано в разд. II.A.
Чтобы выполнялось условие прозрачности (4), источник
следует задать как
e = (1, , 2, …),

т.к. ei  lim C i ( z )   i , где   1  1  1  4 g
z 

2 g , а поле
на границе должно быть равно нулю, кроме начала
координат (точки источника). По сути, здесь граница
является зеркальным отражателем. Т.к. в точке (0, 0) –
> REPLACE THIS LINE WITH YOUR PAPER IDENTIFICATION NUMBER (DOUBLE-CLICK HERE TO EDIT) <
единичная амплитуда (за счёт источника), а поле на
границе должно быть равно нулю, то для использования
метода зеркальных изображений (так учитывается влияние
границы) необходимо для единичного источника решить
(2) на один шаг по индексу m. Это позволит задать
нечётным образом отсчёты источника для всех n и, тем
самым, найти его непрерывный спектр Фурье.
Коэффициент передачи по спектру на один шаг по
индексу m для (2) находится путём z-преобразования (2)
по индексу n и вычисления отношения Um+1(z) / Um(z) с
последующей заменой z на exp(2πif∆z)
K  f 0   exp  i  f 0   , f 0  f z ,
  f 0   2arctg a sin 2  f 0  1  b sin 2 f 0 
(5)
где f – пространственная частота, a = 4Im g, b = 4Re g,
Im g > 0. Коэффициент передачи (5) справедлив для
безграничной среды.
Источник e можно разделить на сумму двух частей, и
одну из них нечётно отобразить для отрицательных
значений индексов e = e<1> + e<2> =
= (…, –2, –, 0, , 2, …) + (…, 0, 0, 1, 0, 0,…).
Точным решением (2) на один шаг по m для источника
e<2> будет вектор b  ( g / g )e1 . Поэтому достаточно
найти спектр источника e<1>, а вместо e<2> использовать
вектор b, но с понижением степени у коэффициента
передачи (5) на единицу. Спектр источника e<1> (он будет
нечётным) равен
2iz sin(2f 0 )
, z  exp  2i f0  .
(6)
E1  f 0  
( z  )( z  1/ )
Таким образом, решением (2) на s шагов по индексу m
будет обратное преобразование Фурье от произведения
спектра (6) и коэффициента передачи (5)
12
cs  2i  E1  f 0  K s  f 0  sin(2f 0 )df 0 
0


(7)
12
 g g 2i  E1  f 0  K
s 1
 f 0  sin(2f 0 )df 0 , s  1, 2...
0
Интервал периодичности по f0 есть (–1/2; 1/2). Значение
ОПФ взято при z = ∆z (т.к. в (3) индекс n = 1). Формула (7)
позволяет найти асимптотику cs для больших значений
индексов s методом стационарной фазы [12].
C. Асимптотика cs для больших индексов s
Точки стационарной фазы (dФ(f0) / df = 0 в (5)) равны 0
и ½. Т.к. в (7) имеется множитель sin2(2f0), то
применение метода стационарной фазы к (7) даст нулевой
результат, поэтому (7), после подстановки в него (5) и (6)
и последующего упрощения, следует представить в виде
(8)
cs  1 4 I1  1 4 I 2  1 2 I 3 ,
что основано на тождестве
sin 2 A  1 2 1 4exp  2 Ai  1 4exp  2 Ai  .
После анализа представления (8) становится ясно, что
точки стационарной фазы f1 и f2 в одном из интегралов в
3
(8) при больших as сдвинуты относительно 0 и ½
f1  1 as , f 2  1 2  (1  b) 2  a 2  as ,
что позволяет выделить асимптотику для cs
a exp  i 4  
cs 
1  i (1  b)2  a 2 exp  2iDs 
3

2
as 2 
 
(9)
при as >> (1 + b)2 + a2 > 1, где D  arctg  a 1  b   .
D. Алгоритм вычисления cs для малых значений s
Импульсная характеристика cs по определению равна
обратному z-преобразованию от (4). Основную трудность
при обращении (4) составляет отыскание обратного zпреобразования от радикала. Если будет найден ряд
Лорана для (1 + qz–1 + wz–2)–0,5, то искомая импульсная
характеристика может быть получена как свёртка
коэффициентов найденного ряда Лорана и коэффициентов
ряда Лорана для 1/ [1  ( g / g ) z 1 ] . Естественно, что перед
свёрткой числитель в (4) необходимо сгруппировать по
степеням z–1. За счёт специального вида функции
операция
свёртки
сведётся
к
1/ [1  ( g / g ) z 1 ]
рекуррентной формуле с числом операций O(M) вместо
O(M2), где M – число отсчётов импульсной
характеристики.
Используя формулу для производящей функции
полиномов Лежандра [13, стр. 771], можно получить
следующий ряд Лорана

1  qz 1  wz 2   M n z  n , z  1 ,
(10)
n 0
коэффициенты Mn которого вычисляются рекуррентно
M n  q 1 1,5 n  M n 1  w 1  3 n  M n 2 , n  2, 3, ... ,
M 0  1, M1  0,5q .
Программная
реализация
вычисления
отсчётов
импульсной характеристики cs имеет сложность O(M).
Ошибка расчёта импульсной характеристики по (10)
ограничена точностью используемых чисел. При расчётах
использовались числа с двойной точностью. Для примера
было вычислено M = 109 отсчётов cs по (9) и по (10) для
g = –0,0833 + i0,1118. Абсолютная ошибка вычисления
последнего отсчёта составила около 6∙10–16. При этом
само значение отсчёта по модулю равно около 10–14, а
евклидова норма импульсной характеристики cs
составляет 0,48. Вычисленная ошибка, в основном,
связана с ошибками округления, т.к. теоретически ошибка
расчёта по (9) для s = 109 должна быть (109)–2,5  10–22.
Время расчёта коэффициентов cs по (10) составило около
3-х минут для notebook ЦП Pentium 1,86 ГГц и около 2-х
минут – для desktop ЦП Athlon 64 2,00 ГГц.
Вид модуля первых ста коэффициентов cs для
g = -0,0833 + 0,1118i приведён на рис. 1.
> REPLACE THIS LINE WITH YOUR PAPER IDENTIFICATION NUMBER (DOUBLE-CLICK HERE TO EDIT) <
(R) = 1,239+8,835 / R. Точности для вычисления 
достаточно, т.к.  можно взять равным двум, но для
сохранения той же точности приближения (11) это
потребует большего количества слагаемых R.
Экспонента exp(–As), A > 0, определяет импульсный
отклик простейшего устойчивого БИХ-фильтра с
системной функцией
|cs|
0,1
0,01
103
104

10
100
Номер отсчёта (индекс) s
Рис. 1. Модуль импульсной характеристики cs при g = -0,0833+0,1118i
1
III. ЗАМЕНА КИХ-ФИЛЬТРА ЭКВИВАЛЕНТНЫМ
БИХ-ФИЛЬТРОМ МЕНЬШЕГО ПОРЯДКА
Число операций комплексного сложения-умножения
при вычислении свёртки, позволяющей реализовать
оператор точного прозрачного ГУ, оценивается как
M(M + 1) / 2, где M – число ячеек расчётной сетки по
координате x (дальности), которое может доходить до
десятков тысяч. Поэтому встаёт задача замены с
допустимой точностью КИХ-фильтра некоторым БИХфильтром меньшего порядка. Очевидно, что импульсную
характеристику КИХ-фильтра можно представить как
сумму двух слагаемых: характеристики (9) и некоторого
остатка (разности). Зависимость (9) – степенная функция,
которую можно сколь угодно точно заменить суммой
кратных экспонент [11]
s p  V
R

k  R
kp
exp  k s , s  0
(11)
где p – степень (в нашем случае это 1,5), V –
нормировочный параметр (определяется при s = 1),  –
параметр кратности экспонент, оптимальное значение
которого зависит от R. Пример аппроксимации (11) при
p = 1,5 и R = 3 приведён на рис. 2.
k−1,5
A
B
 exp   As  z
s 1
s
 exp( A) z 1  1  exp( A) z 1  .
Подставляя (11) в (9) будем иметь импульсную
характеристику рекурсивного фильтра «3/2» в виде суммы
экспонент, что реализуется достаточно просто. Например,
при R = 21 относительная ошибка для приближения (11)
равна 10–5 при (R) = 1,66.
Разность hs между точными значениями cs и
приближёнными cs будет, для больших s, по модулю
убывать как s–2,5, что удобно аппроксимировать КИХфильтром порядка L. Величину L снизу можно оценить
как Lmin = [(1 + b)2 + a2] / (πa), т.к. в (9) при s = Lmin
начинается зависимость hs по закону s–2,5 (Lmin – граница
дальней зоны). Точные значения cs вычисляются по (10).
Т.к. формула (9) при s = 0 неприменима, положим, что
c0 = , тогда h0 = 0. Отсчёт h0 исключаем из
аппроксимации, и в дальнейшем считаем, что
hs = cs+1 – cs+1 для s = 0, 1, … , L –
(12)
импульсная характеристика КИХ-фильтра «остаток».
Коэффициенты импульсной характеристики cs (не
важно, точные или приближённые) встраиваются в схему
К-Н и метод прогонки следующим образом.
Решение ПУ по схеме К-Н проводится пошагово. На
каждом i-м шаге по дальности по предыдущему вектору
поля U<i> вычисляется следующий U<i+1>. Процедуру
прогонки (по индексу j) здесь удобно начать сверху
f j  g / g  2  1/ g Ui , j  Ui , j 1  Ui , j 1  , j  1,  N  1 ,





 j     j 1  f j  , j  1,  N  1 ,
U i 1, j 1  U i 1, j   j 1 , j   N ,  1 ,
0,1
где  = c0 – константа (см. раздел II.B). Из
вышеприведённых выражений видно, что для начала
вычислений требуется задать значение 0. На (i + 1)-м
шаге граничное значение поля определяется как свёртка
0,01
103
104
4
0
10
20
Номер отсчёта k
30
40
A, B – относительные ошибки аппроксимации (11) при  = 2 и  = 3,48
соответственно; k–1,5 – степенная функция (эталон).
Рис. 2. Пример аппроксимации степенной функции суммой семи
экспонент (11) для разных значений параметра 
Если, подбирая , минимизировать на некотором
интервале по s максимальную относительную ошибку
приближения (11), то можно записать значения  для
каждого R = 1, 2, …, 20 и p = 1,5
(4,6; 3,76; 3,48; 3,4; 2,44; 2,39; 2,31; 2,22; 2,15; 2,11; 2,1;
1,88; 1,87; 1,86; 1,83; 1,81; 1,79; 1,79; 1,68; 1,66),
а
для
R > 20
воспользоваться
формулой
i 1
i 1
k 0
k 1
U i 1, 0   ckU i 1 k , 1  c0U i 1, 1   ckU i 1 k , 1 ,
а из метода прогонки можно записать соотношение
U i 1, 0  U i 1, 1  0 ,
откуда однозначно определяется 0
i 1
0   ckU i 1 k , 1 .
k 1
IV. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В
качестве
подтверждения
эффективности
разработанного алгоритма реализации прозрачного ГУ
> REPLACE THIS LINE WITH YOUR PAPER IDENTIFICATION NUMBER (DOUBLE-CLICK HERE TO EDIT) <
приведём пример расчёта множителя ослабления, приняв
следующие параметры: длина трассы распространения –
15 км; высота расчётной области – 100 м; длина волны
поля – 10 см; диаграмма направленности (ДН) источника –
гауссовская шириной 2º; высота фазового центра антенны
источника над нижней плоской границей – 50 м; шаг по
дальности – 1 м; шаг по высоте – 0,25 м; порядок БИХфильтра «3/2» – R = 8; порядок КИХ-фильтра «остаток» –
L = 30. Коэффициент g = – 0,083 + i0,064.
При расчёте (по схеме К-Н) множителя ослабления над
плоской землёй наблюдается интерференция прямого и
отражённого лучей, что соответствует геометрической
оптике. Ошибка расчёта множителя ослабления в
максимумах интерференционных лепестков лежит в
пределах от 0,25 до 1 дБ. В минимумах она доходит до
10–15 дБ. Для трассы длиной в 15 км и ширины ДН
источника в 2° размер радиопятна в пункте приёма будет
составлять около 523 м, что в 5 раз больше высоты
расчётной области. Время расчёта для КИХ-фильтра
15000-го порядка составило 4,7 с, а для БИХ-фильтра 64го порядка (как 2∙(2∙R + 1) + L) – 0,6 с. При увеличении
дальности в 2 раза (до 30 км) порядок БИХ-фильтра
приходится увеличить, как минимум, до L = 70, R = 11,
чтобы ошибка расчёта множителя ослабления оставалась
той же. При этом временные затраты составили 13,8 с для
КИХ-фильтра 30000-го порядка и 1,2 с – для БИХ-фильтра
116-го порядка.
V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании проделанной работы можно сделать
вывод о том, что существует возможность эффективной (в
плане вычислительных затрат и допустимой ошибки)
реализации оператора прозрачного ГУ при численном
решении ПУ по схеме К-Н.
Получены приближенные формулы для реализации
устойчивого БИХ-фильтра, аппроксимирующего оператор
дискретного прозрачного ГУ для решения ПУ по схеме КН.
Работа проводилась при финансовой поддержке
Федерального агентства по науке и инновациям,
госконтракт № 02.740.11.0232.
REFERENCES
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Levy Mireille. Parabolic equation methods for electromagnetic wave
propagation. The Institution of Electrical Engineers, London, 2000. –
336 p.
Dockery G. Daniel. Modeling Electromagnetic Wave Propagation in the
Troposphere using Parabolic Equation // IEEE Transactions on
Antennas and Propagation, Vol. 36 (October 1988), № 10. – P. 1464–
1470.
Leontovich M.A. Solution of propagation of electromagnetic waves
along the Earth’s surface by the method of parabolic equations /
M.A. Leontovich, V.A. Fock // J. Phys. USSR,Vol. 10 (1946). – P. 13–
23.
Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь,
1988. – 440 с.
Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений. /
А.А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
5
Xavier Antoine. A Review of Transparent and Artificial Boundary
Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schrödinger
Equations / A. Xavier, A. Arnold, Chris. Besse, M. Ehrhardt and
A. Schädle // Commun. Comput. Phys. – Vol. 4 (2008), № 4: – P. 729–
796.
Ehrhardt M. Discrete transparent boundary conditions for the
Schrödinger equation: fast calculation, approximation, and stability /
M. Ehrhardt, A. Arnold, I. Sofronov // Comm. Math. Sci. –
Vol. 1 (2003), № 3. – P. 501–556.
Ehrhardt M. Solutions to the Discrete Airy Equation: Application to
Parabolic Equation Calculations / M. Ehrhardt, R.E. Mickens //
Comput. Appl. Math., Vol. 172 (2004), issue 1. – P. 183–206.
Ehrhardt M. Discrete Transparent Boundary Conditions for the
Schrödinger Equation / M. Ehrhardt, A. Arnold // Rivista di
Mathematica della Universita di Parma, Vol. 6 (2001), № 4. – P. 57–
108.
Ваулин И.Н. Способы повышения точности численного решения
параболического уравнения для прогнозирования характеристик
поля УКВ над морем : дис. ... канд. техн. наук / Ваулин Иван
Николаевич; науч. рук. Ю.П. Акулиничев; [Место защиты: Том.
гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники (ТУСУР) РАН]. – Томск,
2008. – 180 с.
Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения.
Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977. – 368 с.
Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и
инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М., 1974. – 832 с.
Акулиничев Юрий Павлович, родился в 1941 г., в 1963 г. окончил
Томский институт радиоэлектроники и электронной техники (ныне
ТУСУР). С 1963 г. по настоящее время работает в ТУСУР.
Кандидатскую диссертацию защитил в 1972 г., докторскую – в 2002 г. В
настоящее время – профессор кафедры радиотехнических систем
ТУСУР.
Сфера научных интересов – распространение радиоволн в случайнонеоднородных средах, численные методы расчёта волновых полей.
Новиков Анатолий Викторович, родился в 1983 г., в 2006 г. окончил
Томский университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).
С 2006 г. по настоящее время работает в ТУСУР. С 2010 г. и по
настоящее время – ассистент кафедры радиотехнических систем
ТУСУР.
Сфера научных интересов – численные методы расчёта волновых полей.