ОЛИМПИАДА 2013 Задача 1 Пусть В – некоторая заданная матрица размера n n. Найдите матрицу X из уравнения AX + XA = B, если известно, что A2 = 2A + 3E. Решение. Умножив уравнение для матрицы X слева и справа на матрицу A, получим A2 X AXA AB уравнения . Вычитая из первого второе и подставляя A2 2 A 3E , 2 AXA XA BA найдем AX XA 12 ( AB BA) . Сложив полученное уравнение с исходным, придем к уравнению AX 12 B 14 ( AB BA) . Переписав равенство A2 2 A 3 E в виде A( 13 A 23 E ) E заметим, что A1 13 A 23 E . Поэтому X ( 13 A 23 E )( 12 B 14 ( AB BA)) , откуда X 16 ( AB BA) 121 ( B ABA) . Заметим, что избавится в этом выражении от матрицы A невозможно, поскольку уравнение A2 2 A 3E имеет бесконечное множество решений. Ответ: X 16 ( AB BA) 121 ( B ABA) . Задача 2 x Пусть f ( x) 1 x2 fn(x) = f(f(…(f(x))…)). Решение. Заметим, что f . Найдите fn(x), если f1(x) = f(x), f2(x) = f(f(x)), … , 2 n 1 f n2 1 1 , поэтому 2 2 1 . Другими словами, функции 2 f n 1 f n 1 fn 1 образуют арифметическую прогрессию с разностью d 1 . Поэтому f ( x) 2 n x 1 1 1 x2 1 nx 2 . ( n 1) 1 ( n 1) . Окончательно: f n ( x) 2 2 2 2 fn f1 x x 1 nx 2 x . Ответ: f n ( x) 1 nx 2 Задача 3 Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: Решение. 1 (1 2 ) ( 3 6 ) 1 2 3 6 (1 2 ) ( 3 6 ) 2 2 (1 1 2 3 6 (1 2 ) ( 3 6 ) 8 2 6 1 11 7 2 5 3 6 . 46 2 3 . 6 8 2 ) ( 3 6 ) (1 2 ) ( 3 6 ) 1 2 3 6 1 2 6 8 2 6 8 2 6 Ответ: 11 7 2 5 3 6 . 46 Задача 4 Пусть |q|<1. Докажите, что предел последовательности 0 1 n xn 1 q 2 1 q 2 ... 1 q 2 существует и найдите его. Решение. Домножим xn на (1 q ) : n 1 (1 q) xn (1 q)(1 q)(1 q 2 )...(1 q 2 ) (1 q 2 )(1 q 2 )...(1 q 2 ) ... 1 q 2 . n n n 1 1 q2 1 Значит x n при n . 1 q 1 q Задача 5 Плоскости 6 x y 7 z 8 = 0 и 2 x 5 y 6 z 38 = 0 пересекаются по прямой l. Плоскости 2 x 2 y z 12 = 0 и 4 x 3 y 2 z 4 = 0 пересекаются по прямой m. А прямые l и m пересекаются? Решение. Если прямые l и m пересекаются, то их точка пересечения удовлетворяет уравнениям всех четырех плоскостей. Следовательно, прямые пересекаются тогда и только тогда, когда система уравнений, составленная из уравнений плоскостей, совместна. Имеем следующую систему уравнений: 6 x y 7 z 8 2 x 5 y 6 z 38 2 x 2 y z 12 4 x 3 y 2 z 4. Преобразуем ее методом Гаусса: 1 6 2 5 2 2 4 3 8 6 38 1 12 2 4 7 4 2 2 5 (I+IVI) 2 2 4 3 4 9 4 2 0 1 15 34 (I+IIII) 2 2 1 12 4 3 2 4 4 6 38 1 12 2 4 9 4 9 4 2 0 1 15 34 (IIIIIII) 0 2 8 8 4 3 2 4 4 2 4 9 2 I IV IV 0 1 15 34 III III 0 1 4 4 2 0 11 20 4 4 2 4 9 0 1 15 34 (II+IIIIII) (11II+IVIV) 0 0 19 38 0 11 20 4 9 2 4 0 1 15 0 0 19 0 0 185 4 34 38 370 III III 19 IV IV 185 4 2 4 9 0 1 15 34 0 0 1 2 0 0 1 2 4 2 4 9 0 1 15 34 (IIIIVIV) . 0 0 1 2 0 0 0 0 Система совместна. Следовательно, прямые l и m пересекаются. Точка пересечения: М(3; 4; -2). Задача 6 Сколько действительных корней имеет уравнение x 2013 2 x 2012 2 0 ? обосновать, не используя калькулятор и другие электронные средства. Ответ Решение. Исследуем на монотонность функцию f ( x) x 2013 2 x 2012 2 x 2012 ( x 2) 2 . Имеем: f ' ( x) 2013x 2012 2 2012 x 2011 x 20112013x 4024 . 4024 . Значения функции в критических точках: Критические точки: x1 0; x2 2013 f max f 0 2 0; 4024 2012 f min f ( 4024 ( 4024 2013 ) ( 2013 ) 2013 2) 2 2012 2 2 2013 ( 4024 2 2013 ( 23 )2012 2 2013 ) 81 503 2 2 2013 ( 16 ) 2 2013 4503 2 0 . При x, стремящемся к -∞, функция f(x) стремится к -∞; при x, стремящемся к +∞, f(x) стремится к +∞: lim x 2013 2 x 2012 2 , lim x 2013 2 x 2012 2 . x x Значит, уравнение имеет 3 действительных корня. Ответ: 3. Задача 7 Постройте пример функции двух переменных, определённой и непрерывной на R2, область значений которой совпадает с интервалом (0; 1). (Область значений не включает оба конца интервала). Функций, удовлетворяющих указанному условию, существует бесконечное множество. В качестве примера можно указать на такую: f ( x, y ) 1 1 arctg xy. 2