Олимпиада НГУЭУ по математике 2013

Олимпиада НГУЭУ по математике 2013-2014
Спортплощадку площадью S га, имеющую форму прямоугольника, необходимо оградить с
севера и юга деревянным забором, с востока и запада – проволочным. Установка 1 м.
деревянного забора обходится в 150 р., проволочного – в 60 р. На строительство выделено
36000 р. Достаточно ли этой суммы, если S = 0,9 га. (2 балла)
2. Функция 𝑓(𝑥) при каждом значении 𝑥 удовлетворяет равенству 𝑓(𝑥) + (𝑥 + 0,5)𝑓(1 − 𝑥) = 1.
а) Найдите 𝑓(0) и 𝑓(1). б) Найдите все такие функции 𝑓(𝑥). (2 балла)
3. При каких вещественных значения 𝑎 функция 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 + 5 возрастает на
отрезке [-6; 2]? (2 балла)
𝑥+1
𝑦−1
𝑧−5
𝑥+3
𝑦
𝑧+5
4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми: 3 = 2 = −2 и 1 = 3 = 4 . (3
балла)
5. Дано матричное уравнение 𝑋 2 + 2𝑋 = −𝐸, где 𝑋 – квадратная матрица размера 2 2 , 𝐸 –
единичная матрица размера 2 2 . Необходимо найти а) одно решение; б) два решения; в)
все решения указанного уравнения. (3 балла)
6. Доказать, что для произвольных квадратных матриц второго порядка выполнено:
A  B  A  B , где A - определитель матрицы А. (2 балла)
1.
3
2
7. Доказать, что уравнение x  x  x  9  0 имеет ровно один действительный корень.
(2 балла)
8. Построить график функции f ( x)  lim
n
9. Найдите предел
3n  x
n
3n  x
n
. (3 балла)
lim sin
sin

...
sin
 x . (2 балла)
n
n раз
10. Дан треугольник ABC. Доказать, что ( AB, BC )  ( BC , CA)  (CA, AB)  0. (2 балла)