олимпиада по математике 9 классx

9 класс
1) Определить несократимую дробь, которая не изменяет своей величины от прибавления
к числителю 21, а к знаменателю 28.
Ответ.
3
4
2) Дано
x
(a  с  b)( a  b  c)
b2  с2  a2
; у
.
(a  b  c)(b  c  a)
2bc
Вычислить произведение (x+1)(y+1)
Ответ.2b2+2c2-2a+2
3) Разложить на множители выражение
А=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
Ответ. (x2 + 8x +7)(x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 11)2 – 16 + 15 =
= (x2 + 8x + 11)2 – 1 = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6).
4) Найти все корни уравнения
x2 
25 х 2
74

0
2
49
(5  2 х)
5) Дано, что медианы mа , mс треугольника АBC образуют со стороной АС углы, дающие
в сумме 60 ̊ и произведение mamc=√3. Найти площадь треугольника ABC.
Ответ.3
6) Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным
квадратом.
7) Из чисел 1, 2, 3, …, 100 составлены всевозможные парные произведения. Сколько
среди полученных чисел таких, которые кратны трем?
Ответ.2739
8) Для нумерации страниц книги потребовалось 6857 цифр. Сколько страниц в книге?
Ответ. 1991 страница
9) Найти при каких значениях x и y выражение А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3 принимает
наименьшее значение.
Ответ. x= -1,y= -2
10) Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех офицеров и
семи солдат, если всего 10 офицеров и 20 солдат?
Ответ. Трех офицеров из 10 =120 .Семерых солдат из 20 =77520.
120 способов выбора трех офицеров существует 77520 способов выбора
семерых солдат, поэтому всего способов =9302400.
Ответ: 9302400.