Определения по геометрии. 7 класс Основными

Определения по геометрии.
7 класс
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать
прописными латинскими буквами: А, В, С,.... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d,
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих
между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
Полупрямой, или лучом, называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой
прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой.
Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются
дополнительными.
Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых,
исходящих из этой точки, — сторон угла.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол
называется развернутым.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков,
попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину.
Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и
соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не
доказываются и называются аксиомами.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих
углов являются дополнительными полупрямыми.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Теорема о смежных углах
Сумма смежных углов равна 180°.
Свойство смежных углов
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°,
называется тупым.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми
сторон другого.
Теорема о вертикальных углах
Вертикальные углы равны.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит
угол пополам.
Первый признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу
между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между
ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по стороне и
прилежащим к ней углам)
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней
углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Третий признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются
боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Теорема (свойство углов при основании равнобедренного треугольника)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема (признак равнобедренного треугольника)
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр,
проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок
биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с
серединой противолежащей стороны треугольника
Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника)
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема о параллельных прямых
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей, внутренние накрест лежащие углы равны , или сумма внутренних
односторонних углов равна 180°, или соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны,
соответственные углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом
треугольника при этой вершине
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется
гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также
любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется
диаметром.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам
треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется
касательной.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Определения по геометрии.
8 класс
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно
соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а
соединяющие их отрезки не
должны пересекаться. Данные точки называются
вершинами
четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника.
Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его
сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие
противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны,
не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е.
лежат на параллельных прямых
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые
Диагонали прямоугольника равны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны
Теорема (Фалеса) Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его
стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне
и равна ее половине.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны
параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны
называются боковыми сторонами.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные
отрезки.
Теорема (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше
перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой
проекция больше.
в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к
гипотенузе.
Тангенсом угла а (обозначается tg а) называется отношение противолежащего катета к прилежащему
катету
Пусть А (х1; у1) и В (х2; у2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ, то:
;
Расстояние между точками А (х1; у1) и В (х2; у2): АВ = √(х1- х2)2 + (у1 - у2)2
Уравнение окружности с центром в точке Ао (а; b) и радиусом R: (х - а)2 + (у – b)2 = R2.
Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет
расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X' и У' другой
фигуры так, что XY = X'Y'
Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении
отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ' равный ОХ. Точка X' называется симметричной
точке X относительно точки О.
Пусть g — фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на
прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ' равный отрезку АХ. Точка
X' называется симметричной точке X относительно прямой g.
Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч,
исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении
Параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и
том же направлении на одно и то же расстояние
Любой параллельный перенос задается формулами х' = х + а, у' = у + b.
Вектор - это направленный отрезок
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего
вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается |а|.
Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
Пусть вектор а имеет началом точку А1 (х1; у1). a концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора а
будем называть числа а1 = х2 — х1 и а2 = у2 - у1
а (а1; а2) + b (b1; b2) = с (а1 + b2; а2 + b2) – cумма векторов
а (а1; а2) - b (b1; b2) = с (а1 - b2; а2 - b2) – разность векторов
Произведением вектора (а1; а 2) на число х называется вектор (ха1; ха2)
Скалярным произведением векторов а (а1; а2) и b(b1; b2) называется число a1b1 + a2b2.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла
между ними.
Cпособ построения суммы произвольных векторов а и b: Надо от конца вектора а отложить вектор b',
равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает c началом вектора а, а конец — с концом
вектора b', будет суммой двух векторов а и b («правило треугольника»)
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на
этих векторах («правило параллелограмма»)
Чтобы построить вектор, равный разности_векторов а и b, надо отложить равные им векторы а' и b' от
одной точки. Тогда вектор, начало которого совпадаете концом вектора b' а конец —_с концом вектора
а', будет разностью векторов а и b
Абсолютная величина вектора ха равна |х| |а|. Направление вектора ха при а а ≠ О совпадает с
направлением вектора а, если х > 0, и противоположно направлению вектора а, если х< О.
Определения по геометрии.
9 класс
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом
преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз
У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.
Признак подобия треугольников по двум углам (1 признак): Если два угла одного треугольника
равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (2 признак): Если две
стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы,
образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трем сторонам (3 признак):Если стороны одного треугольника
пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией
этого катета на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум
другим сторонам.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется
вписанным в окружность.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по
одну сторону от прямой АВ, равны . В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS • BS = CS • DS.
Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и
С, D соответственно, то АР • ВР = СР • DP.
Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший
угол.
Ломаной A1A2A3 ... Аn называется фигура, которая состоит из точек А1 А2, ..., Аn и соединяющих их
отрезков А1А2, А2А3, ..., An-1An. Точки А1 А2, ..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А1А2;
А2А3 ..., Аn-1Аn — звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений .
Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется
многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой . Вершины ломаной называются
вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие
несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n вершинами, а
значит, и с n сторонами называется n-угольником.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° • (n - 2).
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около
окружности.
у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных
окружностей равны.
Некоторые формулы для правильных многоугольников:
Длина окружности C = 2πR
Центральному углу в n⁰ соответствует дуга длины l =
Площадь прямоугольника со сторонами а, b вычисляется по формуле S = ab
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту
Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между
ними.
Формула Герона для площади треугольника S = √р(р - а)(р - b)(р - с), где а, b, с — длины сторон
треугольника, а р =
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника: R=
и r=
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки
не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга.
Площадь круга S = πR2
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
где R — радиус круга, а — градусная мера соответствующего центрального угла.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости.
где a — градусная мера центрального угла, который
содержит дугу этого кругового сегмента, а S∆— площадь треугольника с вершинами в центре круга
и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «-» надо брать, когда a < 180°,
а знак «+» надо брать, когда a > 180°.