Metodika obycheniyax

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ГОРОДА КОРОЛЕВА МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20
ПРОЕКТ
По теме: «Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной»
Выполнил
учитель математики
МБОУ СОШ №20 г. Королев,
Мандрикова Н.Е.
Королев 2015
1
Содержание
Введение………………………………………………...…стр.3-4
Основная часть:
1. Средства обучения теме……………………………..стр.5
2. Неравенства с одной переменной и их решения…...стр.6
3. Схемы решения линейного неравенства……………стр.7
4. Примеры заданий для самостоятельного решения по
данной теме………………………………………...…стр.8
5. Примерная разработка урока по теме : «Решение линейных неравенств с одной переменной…… ………стр.9-15
Заключение…………………………………………………стр.16
Список литературы………………………………………...стр.17
2
Введение.
Цель урока: усвоение знаний в их системе, умение самостоятельно применять
полученные знания, осуществлять их перенос в новые условия.
Задачи:
 образовательные: обобщить и закрепить свойства числовых неравенств;
числовые промежутки; повторить алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной; рассмотреть задачи, которые сводятся к решению линейных неравенств с одной переменной;
 развивающие: развивать: математическую логику и речь; внимание;
 воспитательные: воспитать целеустремленность, организованность, ответственность, самостоятельность; побуждать учащихся к самоконтролю,
взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Актуальность темы:
 Данная тема широко применяется в изучении математики, а далее в алгебре и начале анализа.
 Входят в задания I и II частей ГИА. (8-X)/8>0 (не решили 18% , 1часть)
(2√2-5)(4X-7)>0 ( не решили 61%, 2часть)
Неравенства играют важную роль в курсе математика средней школы. Это
новая тема, которая раннее не входила в школьный курс математики, и на
данном этапе недостаточно разработана.
Учащиеся начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе,
где используются задания: «Сравнить числа», «Сравнить значение выражений», «Сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи на составление числовых неравенств, затем изучение «неравенства» постепенно углубляется и расширяется.
Помимо простых линейных неравенств изучаются еще и более сложные:
рациональные, дробные, с параметром и модулем.
В ходе изучения неравенств широко используется метод интервалов, графический метод.
Графический метод применяют, если неравенство нельзя решить аналитически. С алгоритмом решения линейных неравенств учащиеся знакомятся
в VII классе после изучения темы «уравнения» или темы «линейные функции».
Решение линейных неравенств опирается на свойства числовых неравенств. Вот основные из них:
1. Если
, то
и наоборот, если
, то
.
3
2. Если
,
, то
. Если
,
, то
.
3. Если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей неравенства отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится: если
, то
и
для любого числа .
4. Любое слагаемое одной части неравенства можно перенести в другую часть
неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.
5. Если обе части числового неравенства умножить на одно и то же положительное число, то неравенство не нарушится. Если обе части неравенства
умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится
на противоположный. Если
и
, то
. Если
и
,
то
.
6. Неравенства одинакового смысла (имеющие одинаковые знаки неравенства) можно почленно складывать: если
и
, то
.
7. Два неравенства противоположного смысла (имеющие разные знаки неравенства) можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычитаем: если
и
, то
.
8. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно
почленно умножать: если
и
, причем
,
,
,
,
то
.
9. Если
, причем
,
, то
10. Если
, причем
,
, то
– натуральное число.
,
,
– натуральное число.
Если известны числа
, для которых верны соотношения
и
, то для оценки числа употребляется запись
, которая называется двойным неравенством. Двойные неравенства обладают всеми свойствами
обычных неравенств.
Если требуется записать, что число не меньше, чем число (то
есть больше либо равно ) используют знак ≥ и пишут
. Запись
означает, что число не больше, чем число (то есть меньше либо равно ). Соотношения
,
, так же как и соотношения
и
,
называются неравенствами. Неравенства, содержащие знаки и называются строгими, а неравенства, содержащие знаки и называются нестрогими. Все свойства строгих числовых неравенств распространяются и на нестрогие неравенства.
Существуют также понятия «строгих» и «нестрогих» неравенств.
Неравенства, содержащие знак > или знак < , называются строгими, а неравенства, содержащие знак > или знак <, — нестрогими. Например, неравенства
π< 4 и 2π > 6 — строгие, а неравенства 17 > 17 и 3 < 4 — нестрогие.
4
Средства обучения теме.
Облегчение восприятия и усвоения учащимися математических знаний может
быть достигнуто разумным использованием различных средств и пособий
наглядности - моделей, таблиц (см. приложение, табл. №1,2,3), чертежей и рисунков, предназначенных для показа с помощью разнообразных проекционных
устройств, демонстрацией специальных кинофильмов и т. д.
Однако чрезмерно частое использование средств наглядности может привести к
задержке развития у школьников абстрактного мышления, затруднениям при
решении задач, требующих развитого пространственного представления, и т. д.
Естественно, невозможно дать универсальные рецепты "соблюдения меры" в
использовании тех или иных средств наглядности. В каждом отдельном случае
эта мера определяется практически.
Я считаю, что основным средством обучения по теме «Решение неравенств с
одной переменной» является учебник и ИКТ.
Содержание и построение учебника определяется задачами преподавателя математики и спецификой предмета и потому его назначение в том, чтобы:
а) содействовать формированию и развитию диалектического и логического мышления;
б) давать систематическое, научно обоснованное, доступное для учащихся данного возраста изложение основных теоретических сведений по математике.
в) включать достаточное количество разнообразных задач и упражнений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последовательности,
т.е. обеспечивать
системой
упражнений.
В силу своего назначения в системе средств обучения учебник является ядром,
вокруг которого группируются все другие учебные средства.
Использование в работе средств информационно-коммуникационных технологий дает:
- ученику: повышение мотивации учения; повышение познавательного интереса; становление активной субъектной позиции в учебной деятельности; формирование информационных, коммуникационных компетентностей; развитие
умения ставить перед собой цель, планировать свою деятельность, контролировать результат, работать по плану, оценивать свою учебную деятельность,
определять проблемы собственной учебной деятельности; формирование познавательной самостоятельности обучающихся.
- учителю: нестандартное отношение к организации образовательного процесса; возможность создания условий для индивидуального самостоятельного обучения школьников, развития информационно-коммуникативной компетентности обучающихся, познавательной деятельности, самостоятельной работы по
сбору, обработке и анализу получаемых результатов; формирование мотиваци5
онной готовности к познавательной самостоятельности не только в учебных, но
и иных ситуациях.
Неравенства с одной переменной и их решения.
Неравенством с одной переменной (неизвестным) называются два выражения с переменной (неизвестным), соединенные знаком неравенства:
>(больше), <(меньше), ≥(больше или равно; не меньше), ≤ (меньше или равно;
не больше).
Решением неравенства называется значение переменной (неизвестного),
при котором неравенство превращается в правильное числовое неравенство.
Например, число 5 является решением неравенства х2-6х<0, поскольку 52-6-5<0.
Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что
их нет,
Решениями неравенства является некоторое подмножество действительных чисел.
Некоторые подмножества действительных чисел, их обозначение, изображение на координатной прямой и запись в виде неравенства.
Название
Обозначение
Числовая прямая
Изображение
(-  ;+  ), R
-  <х< + 
х
Закрытый
промежуток (отрезок)
[а;b]
а≤х≤b
а
Открытый
Запись в виде
неравенства
промежуток
(интервал)
(а;b)
х
b
a
х
b
а<х<b
Полуоткрытый
промежуток
[а;b)
а
х
b
(а;b]
а<х≤b
a
(-  ;а]
а≤х<b
х
b
а
х≤а
х
Бесконечный промежуток (луч)
(-  ;а)
а
х< а
х
(а;+∞)
х>а
а
6
х
[а;+∞)
а
х
х≥а
Линейные неравенства с одной переменной
Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида
ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0, ах+b≤0.
Схемы решения линейного неравенства
При решении неравенств используются следующие свойства:
1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
7
Примеры заданий для самостоятельного решения по данной
теме:
№1. Укажите промежуток, содержащий три целых числа
1 .(7;10)
2. (7;9]
3. [7;10)
4. (7;9)
№2.
1. (-4;2)
2. (-4;2]
3. [-4;2]
4. [-4; 2)
№3. Укажите номер строки, где допущена ошибка при решении неравенства
1) 13x+8<15x+4
2) 13x-15x<4-8
3) -2x<-2
4) x<1
№4. При каких значениях х выражение
А. х=-2
Б. х=2
В. х=-3.
10 х  5
№5. При каких значениях х выражение 2 х  3
имеет, смысл?
имеет, смысл?
Задачи:
1.
Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки
183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров?
2.
Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей
он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7%?
3.
Одна сторона треугольника равна 8см, а другая – 13см. Какой
наименьшей длины может быть третья сторона?
4.
Дачники прошли от поселка до станции расстояние в 10км. Сначала они шли со скоростью 4км⁄ч, а затем увеличили скорость на 2км⁄ч. Какое
расстояние они могли идти со скоростью 4км⁄ч, чтобы успеть на поезд, который отправляется со станции через 2ч после их выхода из поселка?
8
Решение линейных неравенств с одной переменной.
Одним из важнейших направлений совершенствования процесса обучения математики является целенаправленная систематическая работа учителя по организации повторения, эффективность которого определяется следующими принципами: целенаправленности, сознательности, активности и самостоятельности,
проблемности, доступности, дифференциации и индивидуализации.
Важной задачей при повторении является обобщение и некоторое углублении
темы. Здесь учащиеся переосмысливают многие вопросы, устанавливают связь
между ними и одновременно ликвидируют имеющиеся у него проблемы в знаниях.
Учитель стремится раскрыть способности каждого ученика. Основная учебнопознавательная цель: сформировать умение решать линейные неравенства с одной переменной. Перед объяснением нового материала нужно повторить понятия числовых промежутков, знать и понимать математическую трактовку
«больше», «меньше» между числами, знать свойства числовых неравенств.
Это можно повторить с помощью устных упражнений или при выполнении математического диктанта. Так же можно вспомнить вопросы по чтению промежутков, как найти в данном промежутке наибольшее и наименьшее целое значение. Затем ввести определение линейного неравенства с одной переменной,
определение строгого и нестрогого неравенства, что значит решить неравенство, определение равносильных неравенств, разъяснить на примерах. Затем
перечислить свойства неравенств.
Алгоритм решения линейных неравенств, содержащих одну переменную, похож на решения линейных уравнений. Сложность может состоять в том, что
при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, нужно поменять знак неравенства на противоположный.
Нужно рассматривать несколько примеров и убедиться в правильности решений.
Затем решаются неравенства и показывается, что решения его на координатной
прямой изображаются в виде луча или открытого луча. Но решением неравенства может служить так же числовая прямая и пустое множество.
Для закрепления нужно прорешать на доске упражнения, содержащие простейшие неравенства.
Убедившись, что основной навык решения линейных неравенств с одной переменной сформирован, можно перейти к более сложным неравенствам.
Приобретенные учащимися умения в решении и доказательстве неравенств
находит применение при рассмотрении свойств функций.
Уроки должны быть тщательно спланированы, причем с учетом конкретного
класса. В классе, где я работаю, есть и сильные и слабые учащиеся. Я старалась
добиваться того, чтобы ученик в ходе своей деятельности с умением использо9
вал свои приобретенные навыки и осознанно умел исправлять допущенные им
ошибки, и дальше закреплял свой опыт за счет усвоенных устных и письменных форм работы.
Для слабых учащихся можно приготовить специальные карточки по теме куда
можно поместить более легкие задания.
Для сильных учащихся желательно иметь сложные задания и дополнительные
повышенной сложности. Хорошо, если в кабине математики есть интерактивная доска, можно использовать компьютерные технологии, как источник дополнительной информации по предмету. Чаще используется объяснительноиллюстративный метод, который повышает познавательную активность учащихся.
10
Тема урока: «Решение линейных неравенств с одной
переменной».
Цели урока:
1.) Образовательная:
Повторить и обобщить знания учащихся по теме : «Неравенства с одной переменной», проверка знаний алгоритма решений линейных неравенств.
2.) Развивающая:
Развивать навыки коллективной работы , взаимопомощи, самоконтроля, внимания, умения выделять главное , сравнивать, работать с построением чертежей и
записью решения.
3.) Воспитательная:
Воспитывать математическую речь, трудолюбие, аккуратность, самостоятельность.
Ход урока:
Постановка задачи:
Сообщение темы урока : «Решение линейных неравенств».
Свойства неравенств:
1. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же, не
равное нулю число; если это число положительно, то знак сравнения не меняется, а если это число отрицательно, то знак сравнения меняется на противоположный.
2. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства
(знак сравнения) не меняется.
Актуализация знаний.
1.Дайте определение решения неравенства с одной переменной. Что значит решить неравенство?
2.Какие неравенства называются равносильными?
3.Сформулируйте свойства равносильности неравенств, используемые при решении неравенств.
Для неравенства 5x-11>3 найти значения переменной х при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Например: х=4;100;180;1000.
Числа 2;0,5;-5 не являются решением этого неравенства.
Слайд 3.
Какие из неравенств соответствуют промежуткам:
[0;+∞)
(-∞;5)
[-3;5)
(-∞;-5]
x≥0
x<5
-3≤x<5
x≤-5
11
Слайд 4.
Изобразите геометрическую модель промежутков:
х
-2
[-2;+ ∞)
7 х
4
(4;7)
2
х
-5
х
-1
(-1;2)
(-∞;-5)
Слайд 5.
Какие неравенства соответствуют геометрическим моделям
х
-4
-1
9
х
-4
-33
х
12
х≥-4
-1<x≤9
x<-33
17 х
0
0<x<17
Cлайд 6.
Какие промежутки соответствуют геометрическим моделям
3
х
8
2,5 х
-1,5
5
-4
(3;8]
(-1,5;2,5)
х
(-∞;5)
х
[-4;+ ∞)
Cлайд 7.
Решаем неравенства.
Решить неравенство - найти значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Правила:
1) ax+b>c
ax>c-b
Слайд 8,9.
2) ax>b |:a
a>0
x=b/a
3) - ax>b |:(-a )
x<b/a
13
Слайд10.
4) ax<b |:a
a<0
При делении ( умножении ) на отрицательное число знак неравенства меняется
на противоположный.
Слайд 11.
Решаем неравенства.
1) 6x+2≤3x-7
6x-3x≤-7-2
3x≤-9
x≤-3
-3 х
Слайд 12.
Ответ: (-∞; -3]
Решить неравенство:
(2x+1)(3x-2)<x(6x+3)
6x2 - X-2 <6x2 +3x
-4x<2
x>-0,5
х
-0,5
Ответ: (-0,5;+∞)
Слайд 13.
Покажите решение на числовой прямой и запишите ответ в виде интервала-----1,5х<6
Ответ: (-4;+∞)
2,6х≥26
Ответ: [10;+∞)
х
-4
х
10
3
-2x>-6
Ответ: (-∞;3)
14
х
Слайд 14.
Решите неравенства. Запишите ответ в виде интервала
x+5>7x-7
(-∞;2)
12+9x≤x+4
(-∞;-1]
8x+3<9x-2
(5;+∞)
Слайд 15.
Запишите ответ в виде неравенства.
3(2x+1)-4≤2-3(1-3x)
х≥0
-5(1+4x)-2x>1+2(3-x)
х<-0,6
-5-4(2-3x)≤5(2x+1)-3
x≤2,5
Слайд 16.
Решаем двойное неравенство
8≤3x-7<14
8+7≤3x<21 |: 3
5≤x<7
7 х
5
Ответ: [5;7)
Слайд 17.
Решаем двойное неравенство
2<5-x<10
2-5<-x<5 |: (-1)
3>x>-5
-5<x<3
3 х
-5
Ответ: (-5;3)
Слайд 18.
Решаем двойное неравенство.
-1<
5  2x
<0
6
5 х
0,5
Ответ: (0;5,5)
15
-2,5 ≤
1  3x
≤2
2
3 х
-1
Ответ:[-1;3]
Слайд 19.
Итоги урока:
1) Что называется решением неравенства?
Является ли решением неравенства 3x-11>1 число 5, число 2?
2) Что значит решить неравенство?
Домашнее задание : Выучить свойства равносильных неравенств
№837(а-з),839,902,843.
Презентацию к уроку смотри в дополнении к приложению.
16
Заключение.
Решение линейных неравенств с одной переменной является одной из важных
тем в курсе математики. Эта тема затрагивается как в начальной, так и в старшей школе. Задания по данной теме широко используются в ГИА, поэтому требуют тщательного изучения.
При изучении могут возникнуть трудности с решением дробных, рациональных, модульных и неравенств с параметром. Но так как уровень знаний учащихся не так высок, этим неравенствам не уделяется особое внимание. Эта тема
может стать одной из тем факультативных и элективных курсов, что поможет
ученикам пополнить свои знания в области неравенств. Так же учащиеся могут
воспользоваться дополнительными ресурсами в изучении этой темы, такие как
дополнительная литература, специализированные программы, ресурсы интернета.
В зависимости от способностей учащихся эта тема дается в разной степени
сложности. Некоторым ученикам она дается с трудом, а некоторым наоборот.
Исходя из этого, самостоятельные работы состоят из нескольких частей и поразному оцениваются, в зависимости от выполненной части. При решении этих
работ дети должны опираться на свои знания и возможности. Помимо этого
имеется задание повышенной сложности, которое оценивается отдельно от самой работы. Самостоятельные работы способствуют улучшению знаний учащихся и проверки степени уровня усвоения материала. Домашние самостоятельные работы так же могут помочь учащимся в лучшем усвоении материала.
Использование различных средств обучения позволяют ученикам лучше усвоить предоставленный им материал. Основными средствами являются учебники
и применение ИКТ. Учебники позволяют ученикам самостоятельно укрепить
свои знания, помогают в изучении плохо усвоенного материала. Так же можно
использовать учебники, не предусмотренные школьной программой. Они могут
служить дополнительным ресурсом в изучении темы, помогают углубить знания учащихся, а так же помогают подготовиться к ГИА. Применение ИКТ способствует зрительному усвоению материала, участие учащихся в процессе объяснения. Существует множество программ, позволяющих проводить урок, используя компьютер, благодаря чему учащиеся лучше усваивают материал, проявляют больший интерес в ходе урока.
17
Используемая литература:
1) Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Алгебра: Учебник для 8 класса – М: Просвещение 2014
2)Ш.А. Алимов. Алгебра. Учебник для 8 классов М.Просвещение 2014г.
3) «Сборник заданий для подготовки к ГИА 9 класс».
Кузнецова Л.В, Суворова С.Б, М.Просвещение 2014г.
4)edu/ru.catalog/res/a «Решение линейных неравенств с одной переменной».
5) Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Закрепление навыков по теме «Линейные неравенства».
6) Мордкович А.Г. Алгебра : Учебник для 8 классов.
М.Мнемозина, 2014
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.К., Мишутина Т.Н.. Алгебра 8 класс: задачник
– М.Мнемозина, 2014г.
Самостоятельные работы 8 класс, под редакцией Мордковича М. Мнемозина
2014г
Сборник задач для подготовки к ГИА.
7) А.И. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова Алгебра, Геометрия самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса – М:
Илекса, - 2014
8) http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov14.htm
9) http://coolreferat.com
10) http://planeta.tspu.ru
18
Приложение.
Линейное неравенство
Решение и его геометрическое изображение
1
Х>
𝑏
Примеры
3х > 6 ; x > 2
𝑎
aх> b
1
𝑏
( ; +∞)
𝑎
2
𝑏
( 2; +∞)
1
≥
6х ≥ -2; х ≥ -
[ ; +∞ )
[ - ; +∞ )
Х
𝑎
3
ах ≥ b
𝑏
𝑎
3
Х
˂
𝑏
1
3
4х < 7; х < 1,75
𝑎
aх<b
х
𝑏
( -∞; )
𝑎
Таблица №1.
19
( -∞ ; 1,75)
Данные таблицы помогают учащимся в усвоении и запоминании
нового материала. С помощью таблиц материал воспринимается лучше и быстрее, чем в текстовой
форме.
Таблица №2.
Таблица №3.
20