Лекция 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ Аксиомы динамики

Лекция 6.
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
Аксиомы динамики
В динамике рассматривается движение материальных точек или тел под действием
приложенных сил; устанавливается связь между приложенными силами и вызываемым ими
движением. Динамика основывается на ряде вытекающих из опыта аксиом; некоторые из них
были рассмотрены в статике.
Если на точку действует неуравновешенная система сил, точка имеет некоторое ускорение.
Связь между действующей на точку силой и ускорением, вызываемым этой силой, устанавливается основной аксиомой динамики, которая заключается в следующем.
Ускорение
сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой
направление силы и по значению пропорционально ей (рис. 130, а)
имеет
или в скалярной форме m .a = F.
Коэффициент m, входящий в основное уравнение динамики, имеет очень важное физическое
значение. Он представляет собой массу материальной точки.
Если решить уравнение (150) относительно ускорения, получим
т.е. чем больше масса точки, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного
значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности». Из уравнения (150) находим массу
Если это уравнение применить к материальной точке, находящейся под действием силы
тяжести G, получим
где g — ускорение свободного падения.
Масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой постояную скалярную
величину, которая всегда положительна и не зависит от характера движения.
В динамике используют также аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что
при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет
таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. 130, б),
т.е.
где FΣ = F1 + F2 + F3 + ... + Fn — равнодействующая системы сил, приложенных к
рассматриваемой точке.
Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международной системе единиц (СИ) за
основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и
единицу массы — килограмм (кг). Единица силы является производной. Если в формуле F =
m . а принять m = 1 кг, а = 1 м/с2, то получим единицу силы — ньютон (Н), который способен
сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с2:
Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной системы к единицам другой
системы. Сила тяжести, пропорциональная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н),
соответственно составит
но в то же время она составляет одну килограмм-силу.
Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или
приближенно 1 Н ≈ 0,1 кгс.
На основе аксиом динамики можно решить следующие две основные задачи.
Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной
точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо
определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем
воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку
действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения
приходится использовать аксиому независимости действия сил.
Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение
точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона
ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.
Упражнение 1
1. Две материальные точки движутся по прямой с постоянными скоростями 10 и 100 м/с.
Можно ли утверждать, что к этим точкам приложены эквивалентные системы сил?
А. Нельзя.
Б. Можно.
2. К двум материальным точкам массой 5 и 15 кг приложены одинаковые силы. Сравните
численные значения ускорений этих точек.
А. Ускорения одинаковы
Б. Ускорения точки массой 15 кг в три раза меньше, чем
ускорение точки массой 5 кг.
3. Можно ли задачи динамики решать с помощью уравнений равновесия?
А. Нельзя.
Б. Можно.
4. В шахту опускается бадья с ускорением а = 4 м/с2. Сила тяжести бадьи G = 2 кН.
Определите силу натяжения каната, поддерживающего бадью.
Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении
Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению,
а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила (рис. 134, а).
За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С 1 по прямолинейной
траектории на расстояние s.
Работа W постоянной силы
при прямолинейном движении точки ее приложения равна
произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и
направлением перемещения, т. е.
Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до
180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° — отрицательна, при α = 90° работа равна
нулю.
Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой,
работа силы всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения
тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит
название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания,
трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.
Когда α = 0°, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, тогда W = F s,
так как cos 0° = 1. Произведение F cos α есть проекция силы
на направление движения
материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение
перемещения s и проекции силы на направление движения точки.
За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе
силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр:
Применяется также более крупная единица работы — килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж =
103 Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр
(кгс.м).
Мощность
Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср
силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол α, определяется по
формуле (см. § 70)
Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем
истинную мощность:
Как было указано, F cos α является проекцией силы на направление движения материальной
точки. Обозначив F cos α через Fv, получим
так как
Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу
мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,
Упражнение 2
1. Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?
А. Произведению силы тяжести на перемещение. Б. Работа силы тяжести равна нулю.
2. Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W = 10 Дж. Какой угол
составляет направление силы с направлением перемещения?
А. Острый угол.
Б. Прямой угол.
В. Тупой угол.
3. Сравните между собой численное значение работы силы тяжести, если центр тяжести тела
перемещали из положения Ct в положение С2 по траекториям /, // и /// (рис. 136).
А. Работа силы тяжести по траектории // наименьшая.
Б. Работа силы тяжести по всем трем траекториям одинакова.
Работа и мощность при вращательном движении
Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг неподвижных осей. Причиной
вращательного движения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси,
который создается парой сил или силой F (рис. 137) и определяется по формуле M = F .D/2.
При повороте тела (рис. 137) на малый угол dφ работа совершается силой F, точка приложения
которой перемещается из положения C1 в положение C2. Полное перемещение точки
приложения силы равно длине дуги d s = R dφ радиусом R.
Так как сила F все время направлена по касательной к перемещению s, то совершаемая ею
работа определится как произведение силы на перемещение
dW = F ds = FR dφ = F D/2 dφ.
Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т. е. F D/2 = M. Учитывая это,
окончательно находим dW = M dφ. Интегрируя, получим W = M φ.
(164)
Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.
Определим мощность при вращательном движении
Мощность при вращательном движении тела равна произведению вращающего момента
(момента пары) на угловую скорость.
Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной через частоту
вращения (об/мин)
, получим
откуда
При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель
способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту
вращения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения,
вращающий момент уменьшают.
Пример. Определить численные значения силы, приложенной к ободу шкива (рис. 137), если
она передает мощность Р = 4 кВт при числе оборотов п = 60 об/мин, диаметр шкива D = 0,5 м.
Решение. На основании уравнения (166) находим вращающий момент Мвр = 9,55 Р/п, кроме
того, Мвр = F D/2 Приравнивая значения моментов, находим силу F