Приложения дифференциального исчисления Методические

ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Методические указания
к типовому расчету
Для студентов ФИТ
Составители:
Г. А. Григорович, М. Г. Дзеранова,
А. М. Дадтеева, О. А. Соколова
Владикавказ 2014
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра математики
ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Методические указания
к типовому расчету
Для студентов ФИТ
Составители:
Г. А. Григорович, М. Г. Дзеранова,
А. М. Дадтеева, О. А. Соколова
Допущено редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического
института (государственного технологического
университета).
Протокол № 24 от 17.10.2013
Владикавказ 2014
1
УДК 517
ББК 22.161.1
Г83
Рецензент: кандидат физико.-мат. наук, доцент СКГМИ (ГТУ)
Л. Т. Вазиева
Г83
Приложения дифференциального исчисления: Методические указания для студентов ФИТ / Сост.: Г. А. Григорович,
М. Г. Дзеранова, А. М. Дадтеева, О. А. Соколова; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский
горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2013. 39 с.
Данные методические указания должны помочь студентам ФИТ выполнить типовой расчет по одной из важнейших тем математического анализа “Приложения дифференциального исчисления”. Рассматриваются
приложения производной к вычислению пределов функций, исследованию
функции и построению ее графиков, нахождению оптимальных решений
геометрических и физических задач.
Работа состоит из 2-х частей. В первой части приводятся краткие сведения из теории и решаются типовые задачи, аналогичные задачам, предлагаемым в дальнейшем для самостоятельного решения. Во второй части
даются 30 вариантов задач для самостоятельного решения.
УДК 517
ББК 22.161.1
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка: Кравчук Т. А.
 Составление. Северо-Кавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический университет),
2013
 Григорович Г. А., Дзеранова М. Г. , Дадтеева А. М., Соколова О. А.,
составление, 2013
Подписано в печать 25.10.13. Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура «Таймс». Печать на ризографе. Усл. п.л. 2,27. Тираж 50 экз. Заказ № ____.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный
технологический университет). Изд-во «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
Введение
Предлагаемые методические указания должны помочь студентам
ФИТ и ФЭТ выполнить типовой расчет по теме «Приложение производной». Этот раздел математического анализа исключительно важен
в математическом образовании инженера, так как готовит теоретическую базу для решения многих технических задач.
Методические указания содержат необходимый теоретический
материал и 30 вариантов индивидуальных заданий, каждый из которых состоит из 7 задач.
При составлении индивидуальных заданий учитывался современный взгляд на проблему и методику ее изучения. Так, например, в задании №6 студентам предлагается не только найти наибольшее и
наименьшее значения функции на данном отрезке, но и на интервале,
в некоторых случаях отрезок находится из дополнительных условий.
Кроме того, предлагаются задачи с конкретным практическим содержанием.
Методические указания предназначены для студентов ФИТ и
ФЭТ, но могут быть использованы при изучении темы «Приложение
производных» на других факультетах, если несколько сократить число
предлагаемых заданий в каждом варианте.
3
1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1.1. Вычисление пределов с помощью производных
Использование производных для вычисления пределов основано
на теореме Лопиталя.
Теорема
Если f(x) и 𝜑(x) – функции, дифференцируемые в некоторой
окрестности точки x0 (за исключением, быть может, самой точки x0) и
при x→ x0, обе эти функции одновременно стремятся к нулю или ∞,
то, если существует
f  x 
,
x  x 0   x 
lim
f  x 
f x 
= lim
.
x  x 0  x 
x  x 0   x 
то lim
С помощью этой теоремы раскрываются неопределенности вида
0

или
.
0

Пример 1.


sin 5 x  0 
sin 5 x 
5 cos 5 x
lim
    lim
 lim
 5.
x 0
x 0
x
x
1
 0  x0
Ответ: 5.
Иногда теорему Лопиталя приходится применять несколько раз.
Пример 2.
 

x2
2x   
2
 
lim x     lim x  lim x     lim x  0 .
x e
x e
   x e
   x e
x2
Ответ: 0.
С помощью теоремы Лопиталя можно раскрывать не только не0

определенности вида
и
, но и неопределенности других видов.
0

4
Для этого с помощью тождественных преобразований данная неопре0

деленность сводится к неопределенности вида
или
.
0

Пример 3.
lim
x

1
2
   lim  e ln 1 x   x  lim e
x
x

  
1
2 x
1 x
0
 
ln 1 x 2
 e x x
lim
2x
e
2
lim 1 x
x  1
e
lim
2
x  1 x 2
 
ln 1 x 2
x

  
 e   
 
2 x 
2
lim

lim

   x 1 x 2 
x  2 x
 e   e
e
 e 0 1 .

 

Ответ: 1.
1.2. Исследование функции с помощью первой производной
С помощью первой производной дифференцируемой функции
y = f(x) можно находить:
1) промежутки возрастания и убывания функции;
2) точки максимума, минимума, а также максимальные и минимальные значения функции.
Чтобы решить эти задачи нужно:
1) найти область определения функции D(y);
2) найти производную y’= f’(x) и разложить ее на множители;
3) найти критические точки, т. е. точки, в которых f’(x) = 0 или не
существует;
4) нанести на числовую ось D(y) и критические точки функции,
принадлежащие D(y);
5) определить знак y’ на каждом из полученных интервалов;
6) определить промежутки возрастания и убывания функции по
правилу:
если при ∀ x∈(a; b) y’ >0, то f(x) возрастает на этом интервале;
если же при ∀ x∈(a; b) y’<0, то f(x) убывает на данном интервале;
5
7) найти точки экстремумов функции по правилу:
если при переходе через критическую точку x0 слева направо y’
меняет знак с “+” на “-“, то в т. x0 – максимум, если y’меняет знак с ““ на “+”, то в точке x0 – минимум, если же y’ в точке x0 не меняет знак,
то экстремума в этой точке нет;
8) если нужно, найти значения функции в точках минимума и
максимума ymax и ymin.
Замечание
Область определения функции находится по следующим правилам.
x 
определена, если определены функции 𝜑(x)
f x 
1. Функция y 
и f(x) и f(x) ≠ 0
2. Функция y  2 n f  x  определена, если определена функция
f(x) и f(x) ≥ 0
3. Функция y  log a f x  определена, если определена функция
f(x) и f(x) > 0
4. Функция y log  x  A (А > 0) определена, если определена
 x  0
функция 𝜑(x) и 
 x 1
5. Функция y = 𝜑(x)f(x) определена, если определены функции 𝜑(x)
 x  0
и f(x ) и 
 x 1
6. Функции y = arcsin f(x) и y = arcos f(x) определены, если определена функция f(x) и -1 ≤ f(x) ≤ 1.
Пример.
Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функ-


2
y  x3  2 x x  2 11x
Решение.
1. Найдем D(y )из условия x – 2 ≥ 0, т. е. x ≥ 2. Таким образом,
D(y) = [2; +∞).
2. Упростим данную функцию и найдем ее производную:
ции


2
y  x3  2 x x  2 11x
6
y  x 3  2 xx  211x
y  x 3  2 x 2  4 x 11x
y  x3  2 x 2  7 x
y  3x 2  4 x  7
3. Найдем критические
точки,
т. е.
точки,
в
которых
3x  4 x 7  0
2
D 16 84 100 10 2
x1 
4 10
 1 ;
6
x2 
4 10 14 7 1
  2 .
6
6 3 3
1
4. Нанесем на числовую ось D(y) и точку x2  2  D(y)
3
5. Разложим производную на множители
1

y   3 x  1 x  2 
3

и найдем знак y’ на каждом из полученных интервалов D(y), выбирая
произвольные значения х на каждом из полученных интервалов и
определяя знак у` в выбранной точке.
1 9
 1  1 1 
При x  2  y  3 2 1 2  2   0
4 4
 4  4 3 
При х = 3
1

y   33  1 3  2   0
3

6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции
7

Так как при x 2;

1

 2; 2  .
3

1
2 
3
y’ < 0, то функция y убывает на
 1

Так как при y’ > 0, то функция y возрастает на 2 ;    .
 3

1
7. Так как при переходе через критическую точку x2  2 слева
3
1
направо производная меняет знак с “-“ на “+”, то x2  2
— точка
3
минимума данной функции.
3
2
2
7  49  7  6  9 
 1 7
7
 7  7   7 
8. y 2      2   7      2  7   

3  3  9 
 3  3
3
 3  3   3 

498 392
14

 14 .
27
27
27
1

 1

Ответ: 1) 2; 2  – промежуток убывания; 2) 2 ;   – про3
3




14
межуток возрастания; 3) ymin  14 .
27
1.3. Исследование функции
с помощью производной второго порядка
С помощью производной второго порядка функции y = f(x)можно
найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции.
Определение 1. График функции y = f(x) называется выпуклым на
(a; b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к
нему на этом интервале.
Определение 2. График функции y = f(x)называется вогнутым на
интервале (b; c), если он расположен выше любой касательной, проведенной к нему на этом интервале.
8
Определение 3. Точка x = b, отделяющая промежуток выпуклости
от промежутка вогнутости, называется точкой перегиба графика
функции.
Правило
Чтобы найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба дважды дифференцируемой функции y = f(x) нужно:
1) Найти D(y);
2) Найти y  f x 
3) Найти y   f x 
4) Найти критические точки второго порядка, т. е. точки, в которых f  x  0 или не существует;
5) Нанести на числовую ось D(y) и критические точки второго
порядка попадающие в D(y);
6) Найти знак y на каждом из полученных интервалов;
7) Определить промежутки выпуклости и вогнутости, воспользовавшись теоремой.
Теорема 1.
Если функция y = f(x) дважды дифференцируема на (a; b) и при
всех x ∈ (a; b) f’’(x) < 0 (f’’(x) > 0),то график функции f(x) является
выпуклым (вогнутым) на (a; b).
8) Найти точки перегиба графика функции пользуясь следующей теоремой.
Теорема 2.
Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестностях
точки x0 (за исключением, быть может, самой точки x0) и при переходе
9
через эту точку слева направо y меняет знак, то x0 – точка перегиба
графика функции.
Пример. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y  1 x 2 e x /
Решение.
1) D y   ; 


2) y  1 x 2 e x  1 x 2  e x  2 xe x  1 x 2 e x  e x 1 2 x  x 2


3) y  e x 1 2 x  x 2  e x 1 2 x  x 2  e x 1 2 x  x 2  e x 2  2 x 

 
 
 e x  4 x  3
x


 
 







2


y   e x x 2  4 x  3 .
Окончательно получаем
4) Находим критические точки второго порядка, решая уравнение y’’ = 0

e x x2  4x 3 0

т. к. ex ≠ 0, то x 2  4 x  3  0
 x1  1; x2  3 .
х1 и х2 критические точки второго порядка.
Запишем y  в виде y   e x x 1x  3
5) Нанесем на числовую ось D(y) = R и точки x1 = -1 и x2 = -3
6) Определим знаки y’’ на каждом из полученных интервалов,
вычисляя значение у'' в точке соответствующего интервала
а) т. к. при x  4
-3) y’’>0.
б) т. к. при x  2
y’’ < 0.
в) т. к. при x  0
y’’ > 0.
y  4  e 4  4 1 4  3 0 , то при x ∈ (-∞;
y  2  e 2  2 1 2  3 0 , то при x ∈ (-3; -1)
y 0 e 0 0 10  3 0 , то при x ∈ (-1; +∞)
10


7) По теореме 1 график функции y  1 x 2 e x является выпуклым
на (–3; –1) и вогнутым на (–∞; -3) и (–1; +∞).
8) По теореме 2 точки x1 = -3 и x2 = –1 – точки перегиба графика
функции.
Ответ: график является выпуклым при x ∈ (–3; –1) и вогнутым
при x ∈ (–∞; –3) и (–1; +∞); точки x1 = –3 и x2 = –1 – точки перегиба.
1.4. Асимптоты графика функции
В некоторых случаях, удаляясь от начала координат, график
функции y = f(x) неограниченно приближается к некоторой прямой.
Эта прямая называется асимптотой графика функции. Асимптоты бывают вертикальными и наклонными.
a) Вертикальные асимптоты
Если x = x0 – точка бесконечного разрыва функции y = f(x), то
прямая x = x0 – вертикальная асимптота.
б) Наклонные асимптоты
Наклонные асимптоты бывают правыми и левыми. К правой
асимптоте неограниченно приближается график функции при его удалении от начала координат вправо.
К левой асимптоте график функции неограниченно приближается
при его удалении от начала координат влево.
Правая асимптота имеет уравнение
y  kx b ,
(1)
где k и b – действительные числа, которые находятся по формулам:
f x 
x
(2)
 f x  k x
(3)
k  lim
x
b  lim
x
Левая асимптота имеет уравнение
y  kx b ,
где k и b–действительные числа, которые находятся по формулам:
11
(4)
k  lim
x
b  lim
x
f x 
x
(5)
 f x  k x
(6)
Если в уравнение (1) или (4) k = 0, то соответствующая асимптота называется правой или левой горизонтальной асимптотой. Она
имеет уравнение у = b
Пример 1. Найти асимптоты графика функции y 
x 2 1
.
x
Решение
1) Вертикальная асимптота
Функция имеет разрыв в точке x = 0.
x 2 1  1 
    
x0 x
 0 
f 0  0 lim
x 2 1  1 
    
x x
0 
f 0  0 lim
Точка x = 0 – точка бесконечного разрыва.
x = 0 – вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты.
а) правая асимптота: y  kx b
k  lim
x
f x 
x 2 1
 lim
1
x x 2
x
 x 2 1 
 x 2 1 x 2 
0
b  lim  f x  kx lim 
 x   lim 
 x

x
x x
x




y = x – правая асимптота.
12
б) левая асимптота: y  kx b
k  lim
x
f x 
x 2 1
 lim
1
x x 2
x
 x 2 1 
x 2 1 x 2
b  lim  f x  k x lim 
 x   lim
0
 x
x
x x
x


y = x – левая асимптота.
Так как уравнения левой и правой асимптот совпадают, то неограниченно удаляясь влево и вправо от начала координат, график
x 2 1
функции приближается к прямой y = x. График функции y 
x
имеет вид:
1.5. Полное исследование функции и построение ее графика
Чтобы полностью исследовать функцию и построить ее график,
нужно:
1) Найти D(y) и исследовать поведение функции на границах области определения.
2) Исследовать непрерывность и найти точки разрыва функции и
исследовать их характер. Определить вертикальные асимптоты.
13
3) Найти наклонные асимптоты (см. п. 4).
4) Исследовать функцию с помощью первой производной, найти
промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции (см. п. 2)
5) Исследовать функцию с помощью второй производной
(см. п. 3). Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
6) Построить график функции. Обычно график функции строится
постепенно по мере исследования функции.
Пример.
Исследовать функцию y  3 x3  2x 2 и построить ее график.
Решение.
1) Найдем D(y),
D(y) = (–; +).
Исследуем поведение функции на границах D(y)
lim
3
lim
3
x
x
x3  2 x 2  lim
3
x 2 x  2  
x3  2 x 2  lim
3
x 2 x  2  
x
x
2) Функция непрерывна на D(y), точек разрыва нет, вертикальных
асимптот нет.
3) Найдем наклонные асимптоты:
а) правая асимптота: y  kx b .
k  lim
x
f x 
x 2x
 lim
 lim
x
x
x
x
3
3
2
x3
 2
1 
 x
1
x
b  lim  f x  kx lim  3 x3  2 x 2  x  
x
x

 lim
x 3
x3  2 x 2  x3
x  2 x   x
3
y  x
2 2
3
 lim
x3  2 x 2  x 2
x
2
правая асимптота.
3
14
2x2
2


2
 2
x 2  3 1   3 1 1 
x 
  x



2
3
б) левая асимптота находится аналогично.
Так как вычисленные выше пределы не зависят от знака переменной x, то для левой асимптоты k и b имеют те же значения. Т. е. пря2
мая y  x  является и левой асимптотой.
3
Вывод: График данной функции имеет единственную наклонную
2
асимптоту с уравнением y  x  .
3
4) Найдем промежутки возрастания, убывания и экстремумы
функции. Для этого найдем y’.
1 
2
 3
1 3
2
2 3


3

y  x 2x
 x 2x
3x 2  4 x .

 3





 

Таким образом,
3x  4 x
2
y 
3
x  2 x 
3
2 2
 4
3 x x  
 3 .

33 x 2  x  22
4
3
y не существует при x2  0 и x3  2
3
Нанесем точки 0,
и 2 на числовую ось.
4
y   0 при x0  0 ; x1 
Получим четыре интервала.
Выбирая на каждом интервале произвольную точку и вычисляя
значение y’ в этой точке, найдем знак y” на каждом из интервалов:
а) x ;0 . Возьмем точку x  1
y1
4

1 1 
3

3
1 1 2
2
2
0
функция возрастает на интервале  ;0 
15
 4
б) x 0;  возьмем точку x 1
 3
 4
11 
3
 4
y1 
 0 функция убывает на интервале  0; 
3 2
 3
1 1 2 2
4 
в) x ;2 
3 
возьмем точку x 
9
6
9 9 4 
  
6 6 3 
9
4 
y  
 0 функция возрастает на интервале  ;2 
2
2
6
3 
9 9 
3 
   2
6 6 
г) x2;  возьмем точку x  3
Аналогично находим, что y’(3) > 0, т. е. на интервале (3; +)
функция тоже возрастает. Нанесем на последний чертеж знаки y’ на
каждом из полученных интервалов. Будем иметь следующую схему:
Так как в точке x = 0y' меняет знак с "+" на "–", в этой точке
функция имеет максимум xmax = 0.
ymax  y 0 0; M1 0;0 – точка максимума в графике функции
4
Так как в точке x  функция меняет знак с "-" на "+" , то в этой
3
4
точке минимум xmin  .
3
3
2
43  242 3 1 3
1
4  4
4
ymin  y   3    2   3
 64  482  3 64 96 
3
3
3
3
3  3
3

13
1 64  4
4
1
1
32  3
 3 


 1
3
3 2 3 2 31,28 30,32 0,96
16
4 
Точка M 2  ;1 – точка минимума графика функции.
3 
В точке x = 2 производная не меняет знак, поэтому экстремума в
этой точке нет.
yперег.  y2 0
M 3 2;0 – точка перегиба на графике функции.
5) Найдем промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба
1

графика функции. Для этого найдем y    x 3  2x 2 3  . После преобра



зований получаем, что
8
y  
3
x  25 x 4


y’’ не обращается в 0, но имеется две точки x1  0
и x2  2 , в
которых y’’ не существует. Эти точки и являются критическими точками второго порядка. Нанесем на числовую ось эти точки.
Найдем знаки y’’ на каждом из полученных интервалов.
а) x ;0
Возьмем точку х = –1, принадлежащую интервалу
8
y1 
 0 график функции вогнут на  ;0 
93 1 25 14
б) x0;2
Возьмем точку х = 1, принадлежащую интервалу
8
y1 
 0 график функции вогнут на 0;2 
93 1 2514
в) x2; 
Возьмем точку х = 1, принадлежащую интервалу
8
y3 
 0 график функции является выпуклым на 2; 
3
9 3  25 34
17
6) Построим график функции y  3 x 3  2x 2 . Для этого последовательно:
2
а) Построим на плоскости OXY асимптоту функции y  x  .
3
4 
б) Строим точки максимума M 1 0;0  и минимума M 2  ;1 , точ3 
ку перегиба M 3 2;0  .
Так как в точке x0  0 y0 не существует, то в этой точке касательная к графику функции перпендикулярна оси ОХ и имеем, так
называемый, острый максимум.
в) Соединим точки M1 и M 2 плавной линией учитывая промежутки выпуклости, вогнутости, возрастания и убывания.
Полученный график изображен на чертеже.
1.6. Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Рассмотрим функцию y = f(x) непрерывную на [a; b] и дифференцируемую на интервале (a; b). Функция, непрерывная на отрезке [a; b],
достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Эти
значения могут достигаться либо внутри отрезка, тогда они являются
точками экстремума, либо на его концах.
18
Отсюда вытекает правило нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке.
Правило
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x)
на отрезке [a; b]нужно:
1) Найти производную функции f’(x).
2) Найти критические точки функции, т. е. точки, в которых
f’(x) = 0 или не существует.
3) Выбрать критические точки принадлежащие отрезку [a; b].
4) Вычислить значение функции в этих точках.
5) Вычислить f(a) и f(b).
6) Наибольшее из всех полученных значений будет наибольшим,
а наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке.
Замечание. Иногда D(y) представляет собой отрезок [a; b] и требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции без указания отрезка. В этом случае сначала находится D(y) = [a; b], а затем
применяется правило, приведенное выше.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y  x1  x 
Решение.
1) Найдем D(y) из условия
x1 x  0
xx 1 0
или
D(y) = [0; 1].
2) Найдем y’.
y 
x  x 
2
2 x1 x 

x1  0; x2 1
1 2 x
2 x1 x 
3) Решим уравнение y   0 , т. е. 1 2 x  0 или
ская точка.
19
x0 
1
– критиче2
Критические точки x1  0 и x2 1 , в которых y’ не существуют не рассматриваем, т. к. они являются концами отрезка и будут рассматриваться отдельно.
1
4) x0  a;1
2
1 1
 1  1 1 
5) y   1  
  0.5
4 2
 2  2 2 
6) Найдем значения функции y на отрезке [0; 1].
y 0  01 0   0
y 1 111  0
1
Ответ: yнаиб  y   0.5
2
yнаим  y 0 y 1 0 .
1.7. Наибольшее и наименьшее значение
функции f(x) на интервале
Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и дифференцируемую на (a; b), и найдем наибольшее или наименьшее значение функции на этом интервале.
Решение задачи основано на теореме: если дифференцируемая на
(a; b) функция y = f(x) имеет на (a; b) единственный экстремум, то в
случае, когда этот экстремум – максимум, ymax –наибольшее, а в случае
минимума, ymin – наименьшее значение функции на интервале (a; b).
Пример. Найти наименьшее значение функции y  5 
 1
интервале  0; 
 2
Решение.
1) Найдем y’.
20
x4 4 5
 x на
4 5
1
4

  x 4 4  5  1  x 4 4  5
4 x 3 x 1
y      x 5       x 5   x 3  4 x 4 
4
  4 5   5  4 5 
 x4 4 


55    x 5 
 4 5 
 1
4 x3  x  
 4
2) Решим уравнение y   0 или
0
4
 x4 4 5 
55    x 
 4 5 


1
4
 1
3) На интервале  0;  содержится единственная критическая
 2
1
точка x2 
4
 1
4) Построим на оси ОХ данный интервал  0;  и критическую
 2
1
точку x2 
4
Получим x1  0;
x2 
и определим знак y’ на каждом из двух полученных интервалов.
1  1
 1
а) пусть x 0;  в точке ~
x0   0; 
4
8  4


3
1
y 
8
1 1 1
4    
8 8 4
5 4
 1 1  4 1 
55        
 4 8  5 8  


4
21
1
 4 
8

1
5 
8
4
4
1
4
5 
  8  
5
 4
4
0
3
1 1
б) пусть x ;  в точке ~
x1 
8
 4 2
3
 3  3 1 
4    
3
 8   8 4  0
y 
4
8
 x4 4 5 
55    x 
 4 5 


5)
1
Так как в точке x2  y меняет знак с "-" на "+", то в точке
4
1
функция имеет минимум.
4
6) Так как этот минимум является единственным минимумом на
1
 1
интервале  0;  , то в точке x2  функция достигает наименьшего
4
 2
значения на этом интервале.
x2 
4
7)
5
5
6
1 1  4 1 
1
 1   4   1 5
y наим  y   5        5   1    
4 4  5 4 
4
 4  5  4
6
 1 5
Ответ: y наим    .
4
1.8. Применение производной к нахождению
оптимальных решений практических задач
Пусть решение некоторой практической задачи сводится к
нахождению наибольшего или наименьшего значений некоторой
функции:
Z  F x; y  ,
(1)
аргументы которой x и y связаны дополнительным условием:
Фx; y   0
22
(2)
Для решения задачи, из равенства (2) находим значение
y  x 
(3)
и подставляем его в (1). Получим функцию одной переменной
Z  f x 
(4)
Из условия задачи или по виду функции Z находим D(Z). Если
D(Z)=[a; b], то далее исследование проводится так, как в п.6. Если
D(Z)=(a; b), дальнейшее исследование проводится так, как в п.7.
Функция (1) и условие (2) составляются по условию задачи.
Замечание 1. В некоторых случаях функцию (1) сразу можно получить в виде (4) без дополнительного условия (2).
Замечание 2. Аргументы функции (1) (x; y) могут обозначаться
любыми буквами.
Пример. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписать
прямоугольник наибольшей площади, имеющий общий прямой угол.
Решение
Рассмотрим АВС , в котором С =
, CB = a; AC = b. Пусть
CMKN – вписанный прямоугольник. Найдем стороны прямоугольника
наибольшей площади.
1) Пусть MK = x; KN = y.
Тогда площадь прямоугольника S = xy.
Найдем значения x и y, при которых S
принимает наибольшее значение.
2) Найдем зависимость между x и y,
исходя из того что четырехугольник вписан
в
данный
треугольник.
Так
как
MA MK
AMK KNB, то

KN NB
MA  b  y; KN  y; MK  x; NB  a  x .
Поэтому
b y
x

y
ax
23
3) Найдем y из этого выражения. Поделим почленно левую часть
на у. Получим
b
x
b xа х
1
или 
y
ax
y
ax
b
(a – x).
а
4) Подставим в функцию S = xy полученное значение у. Будем
иметь функцию
Отсюда b(a – x) = ay или y =
S=
b
x(a – x).
а
5) Из чертежа видно, что x ∈ [0; a] и нужно найти наибольшее
значение функции S на отрезке [0; a].
6) Найдем S  
b
a  2 x 
a
7) Найдем критические точки из уравнения S' = 0 или
b
a  2 x  0 .
a
a
Отсюда x0  ; x0 0; a
2
 a  b a  a  ab
8) S   
 a  
 2  a 2 2  4
9) Найдем значения функции на концах отрезка S(0) = 0; S(a) = 0.
Ответ: вписанный прямоугольник имеет наибольшую площадь
S
ab
4
если
24
x
a
b
;y 
b
2
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Перед выполнением каждого задания студенту рекомендуется
еще раз внимательно проработать соответствующий пункт части I.
Задание 1. Вычислить следующие пределы, пользуясь теоремой
Лопиталя (см. п. 1).
1) a)
lim
x 0
 
ln(1 sin x)

; б) lim (a 22 ) tg 
2a 
x  sin 4 x
a 
1 cos10 x
1 
 x
; б) lim


x0 e x 1
x1  x 1 ln x 
1
1 cos10 x

3) a) lim
; б) lim ctgx  
x
x0 
x0 cos 7 x  cos 2 x
1
4x
4) a) lim
; б) lim

x
x 0 cos
x0 tg ((2  x))
ln(1 x )
2
1


arcsin 2 x

x 1) 
x
(
e
5) a) lim
; б) lim

x 0
x0 2  x  2


1 

ln(1 7 x)
 2 x2 
6) a) lim
; б) lim  x e 

x 0 
x0 sin( ( x  7))


arctg2 x
7 ) a) lim
; б) lim(tx) 2 x
sin(
2

(
x

10
))

x0
2) а) lim
2
x
2
 5 
3
cos 2   tgx
2 
2 x 2 arcsinx

8) a) lim
; б) lim(1 ln(1 x ))
arcsin 2 x 2
x0
x0

9ln(1 2 x)
9) a) lim
; б) lim cos x
x0
x0 4arctg3x

1
x
1
1 3 x 1
4  sin 2 8 x

10) a) lim
б) lim 5 

cos 
x 0 cos(( x 1) / 2)
x 0 
25
3
2
sin( ( x 1))
x
11) a) lim
; б) lim  5  e arcsin x 

x 0 
x0 ln(1 2 x)
1
cos 2 x  cos x
12) a) lim
; б) lim (cos ) xsin x
1

cos
x
x 0
x0
13) a)
lim
x0
14) a) lim
e 3 x 1
1
ln
cos
x
3 x)
x 0
 

ln; б) lim tg (  x) 
3 x
4

2 1
x0 
sin 2 x  x
lim
x 0
x4
x 1
;
ln x
lim
x 1
1 cos3x
17) a) lim
sin 2 7 x
x0
ctgx
1
; б) lim(1 x sin x)
2
ln(1 x3 )
x0
2
16) a)
; б) lim (1 sin
2
arcsin 2 x
x0
15) a)
sin( 5( x  ))
б) lim ( 2  e sin x ) ctgx
x 0
1
; б) lim(cos) ln(1sin
x)
x 0
1
18) a) lim

x
4
19) a)
1 sin 2 x
(  4 x) 2
1 cosx
lim
x1
tg 2 x
; б) lim (2  e
x2
ln(1tg 2
)
x
)
3
x 0
; б) lim(2  2 cos x)
sin 2 x  tg 2 x
x 0
1
sin 2 x ln cosx
(2  3
)
; б) lim
( x  ) 4
x 0
2
cos5 x  cos3x
21) a) lim
; б) lim x 2  cos x
2
sin x
x 0
x
20) a)
lim
x
22) a) lim
sin 7 x  sin 3 x
x2 
23) a)
lim
x2
2
e x  e 42
ln( 5  2 x)
5 

; б) lim  6 

cos x 
x 0 
2 

; б) lim 3 

cos x 
10  3x  2
x 0 
26
ctg2 x
3 5 x 3  3 2 x
24) a) lim
tgx
x 1
2
2 

б) lim 2 

cos x 
x 0 
1
2
ln 2 x  ln 
25) a) lim
; б) lim (2  e x ) 1cosx
 5x 

x 0
x  sin 
 cos x
2
 2 
1
2
ln tgx
; б) lim(1 tg 2 x) ln(15 x )
26) a) lim
 cos 2 x
x 0
x
4
1
2
2
2 cos x 1
27) a) lim
; б) lim(1 ln cos x) tg x
 ln cos x
x 0
x
28) a)
2
(2 x 1) 2
lim1 e sin x  e sin x
x
29) a)
1
2
x

; б) lim1 sin 2  ln(1 tg 5 x)
2
x 0 
2
e tg 2 x  e sin 2 x
(e x  x) cosx 2
lim sin x 1 ; б) lim
x 0
x
2
( x  2) 2
5 

30) а) lim
; б) lim 6 

cos x 
x 0 
x 2  tg (cos x 1)
tg2 x
Задание 2. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
2
1) y  3 x 3 3x 28 ;
1
2) у 
;
4
ln( x  4 x 4  30)
3) y   x 2 x 2  2;
2
4) y  x 2 3 6 x  7 ;
3
27
5) y 
6) y 
4 3
9 x 1 x
1 3 x
;
45x 2
;
7) y  3 ( x 2  a 2 ) 2 ;
8) y  x ln(1 x);
9) y  x  ln(1 x 2 );
10) y  ( x  5) 2 3 ( x 1) 2
3
11) y  ( x 2  2 x) ln x  x 2  4 x;
2
12) y  x  63 x 2 ;
13) y  (7  x)3 x  5;
x
14) y 
10  x 2
15) y 
x3
x 2 6
;
16) y  ( x 2  8)e 2 ;
17) y  3 x 2 e x ;
18) y  x ln x;
x
19) y   arctgx;
2
20) y  (2 x  3)e 2( x 1) ;
21) y 
e 2( x 1)
;
2( x 1)
x
1;
x 3
23) y  (3 x)e x 2 ;
22) y  3ln
24) y 
e 2 x
;
2 x
28
x
1;
x2
26) y  ( x  2)e 2 x ;
x
27) y  33ln
x4
28) t  (2 x 1)e 2( x 1) ;
x
29) y  ln
 2;
x x
30) y  (2 x  5)e 2( x  2) ;
25) y  ln
Задание 3 .Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки
перегиба графика функции.
1) y   x 4  2 x 3 12 x 2 15  6;
2) y  3 x 5 10 x 4  30 x 3 12 x  7;
3)
y
x
x 9
2
;
4) y  x3 x 2 ( x  8) ;
x 5
;
x7
x 3 8
6) y 
;
x
7) y  5 3 x  4;
5) y 
8) y  ln( x 2  4);
9) y  xln 2 x;
10) y 
e x ex
;
2
1
11) y  2 x ;
12) y  cos x,
x


(0
;2
);
13) y  ( x  2) 6  2 x  2;
29
14) y 
x3
;
x 2 12
15) y  33 x 5;
2 x
16) y  ln ;
x 2
17) y  2  5 ( x  5) 2 ;
18) y  e arct gx ;
19) y  ( x  1) ;
20) y  x sin x,
x  (0;2 );
21) y  x 2 ln х ;
22) y 
x3
;
x 2 12
23) y  arctgx  x;
24) y  3 4 x 3 12 x ;
25) y  (1 x 2 )e 2 ;
26) y  xe  x 2 ;
27) y  ( x 1)e 3 x ;
28) y  ( x  3) 2 ( x  2) 2
29) y 
x
;
ln x
30) y  x  2  x 2 ;
Задание 4. Найти асимптоты графика функции.
1) y 
2) y 
3) y 
17  x 2
;
4x 5
x 2 1
4 x2 3
x3  4 x
3x 2  4
;
;
30
4) y 
5) y 
4x2 9
;
4x 8
4 x 3  3x 2 8 x  2
2  3x 2
x 2 3
;
6) y 
3x 2  2
;
2x2 6
;
x2
2 x3  2 x 2 3x 1
8) y 
;
24x2
x3 5x
9) y 
;
5  3x 3
x2 6x  4
;
10) y 
3x  2
2 x2
;
11) y 
2
9x 4
7) y 
12) y 
4 x 3  3x
;
4 x 2 1
3x 2  7
;
13) y 
2 x 1
x 2 16
;
14) y 
9 x 2 8
15) y 
x 3  3x 2  2 x  2
2  3x 2
21 x 2
;
16) y 
7 x 9
2 x 2 1
;
17) y 
x2 2
18) y 
;
2 x3 3x 2  2 x 1
;
13x 2
31
19) y 
20) y 
21) y 
x 2 11
;
4x 3
2 x 2 9
x 2 1
;
x 3  2 x 3  3x  2
1 x 2
x 2  2 x 1
;
22) y 
2 x 1
x 3  x 2  3x 1
23) y 
;
2x2 2
x2 6x 9
;
24) y 
x4
3x 2 10
;
25) y 
4 x 2 1
26) y 
27) y 
;
x2 2x  2
;
x 3
2 x3  2 x 2 9 x 3
x2 4
2
3 x 10
;
28) y 
3 x
 x 2  4 x 13
;
29) y 
4x 3
8  x 2
;
30) y 
x2 4
;
Задание 5. Провести полное исследование функции и построить
ее график (см. п. 5, 41).
x
3;
x4
2) y  ( x 1)e( x2) ;
1) y  2ln
32
e x1
;
x 3
x
4) y  ln
1;
x 5
5) y  (2 x  3)e 2( x2) ;
3) y 
 e2( x1)
;
2( x 1)
x 5
7) y  ln
 2;
x
8) y  ( x  4)e ( x3) ;
6) y 
e x3
;
x 3
x6
10) y  ln
1;
x
11) y  (2 x  3)e 2 ( x 1);
9) y 
e 2( x1)
;
2( x 1)
x
13) y  3ln
1;
x 3
14) y  (3  x)e x2 ;
12) y 
e 2 x
;
2 x
x
16) y  ln
1;
x2
17) y  ( x  2)e 2 x ;
15) y 
e 2( x1)
;
2( x 1)
x
19) y  3 3ln
;
x4
20) y  (2 x 1)e 2( x1) ;
18) y 
33
e 2( x2)
;
2( x  2)
x
22) y  ln
 2;
x2
23) y  (2 x  5)e 2( x2) ;
21) y 
e 3 x
;
3 x
x
25) y  2ln
1;
x 1
26) y  (4  x)e x2 ;
24) y 
e 2( x2)
;
2( x  2)
x2
28) y  2ln
 3;
x
29) y  (2 x 1)e 2(1x ) ;
27) y  
30) y  
e  ( x 2 )
;
x2
Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке (см. п. 6, 41).
  5 
1) y  3sin 2 x 1 на  ; ;
 12 12 
2) y  3 x  x 3  3lg 7 на 0;4;
3) y  sin 3x  cos3x на 0; ;
4) y  3 2 x  23 x  4 на 0;1;
  
5) y  2cos3x 1 на  ; ;
 12 2 
6) y  6 x  2 x 3  ln 2 на 0;1;
7) y  2 x  6 x  7 на 1;3;
8) y  x 2  x 2 ;
34
 
9) y  2cos2 x  5 на  ;;
3 
3
3
10) y  4 x  4  3ln 2 на 0;1;
11) y  2sin x  sin 2 x на 0; ;
12) y  2 x  6  x на 3;1;
13) y  3 2( x  2) 2 (8  x) 1 на 1;7 ;
 3 
14) y  cos3 x  3cos3 x  9cos x 1 на  ; ;
2 2 
 
15) y  3sin 4 x 10sin 3 x  6sin 2 x  7 на 0; ;
 3
  
16) y  4sin x  x 2  4 x cos x на  ; ;
 2 2
2x 4
17) y 
на  4;1;
x 2  5 x  8,6
18) y  2 x 2  5 x  7 на 4;5;
  
19) y  2sin 3 x  3sin 2 x 12sin x  5 на  ; ;
 2 2
2( х 2  3)
на  3;3;
х2  2х 5
21) у  х  4 х  на 1;9 ;
10 х
22) у 
на 0;3;
1 х 2
20) у 
23) у  3 2( х 1) 2 (5  х)  2 на  3;3;
108
59 на 2;4;
х
4
25) у  3 х 
на 1;2;
( х  2) 2
24) у  2 х 2 
26) у  3 2 х 2 ( х  3) на 1;6;
35
2( х 2  7 х  7)
на 1;4 ;
х2  2х  2
28) у  х  4 х  2  8 на 1;7
 2 х(2 х  3)
29) у 
на  2;1
х2  4х 5
2( х 2  2)
30) у 
на  5;1.
х2 2х 5
27) у 
Задание 7. Решить следующие задачи (см. п. п. 6, 7, 8).
1) Число 180 разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
2) Разность двух чисел равна 13. Каковы должны быть эти числа,
чтобы их произведение было наименьшим?
3) Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Найти размеры этого прямоугольника.
4) В данный полукруг радиуса R вписать прямоугольник с
наибольшим периметром.
5) Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
6) Боковая сторона равнобочной трапеции равна ее меньшему
основанию и имеет длину, равную 9 см. Какова должна быть длина
большего основания, чтобы площадь трапеции была наибольшей?
7) Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади,
вписанного в эллипс
8) Определить размеры цилиндра объемом 10 см2, имеющего
наименьшую полную поверхность.
9) Бак с квадратным основанием должен вмещать 27 л. Каковы
должны быть его размеры, чтобы его полная поверхность была
наименьшей?
10) В данный шар радиус R вписать цилиндр, имеющий
наибольшую полную поверхность.
11) Из квадратного листа жести, длина стороны которого 54 см,
вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части скле-
36
ивают открытую коробку. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?
12) В шар радиуса R вписать круговой конус с наибольшей боковой поверхностью.
13) В данный прямой круговой конус вписать цилиндр наибольшего объема.
14) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом
60 вписать прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его
сторон лежит на гипотенузе. Определить большую из сторон прямоугольника.
15) В шар вписать цилиндр наибольшего объема. Найти отношение объема шара к площади основания цилиндра, если радиус шара
равен 5 см.
16) Из всех треугольников с одинаковым основанием а и углом
при вершине α найти треугольник с наибольшим периметром.
17) Найти наименьшую сумму трех сторон параллелограмма с
острым углом α и при заданной площади S.
18) Найти наименьшее значение суммы трех сторон прямоугольника при заданной площади S.
19) В шар радиуса R вписать цилиндр, имеющий наибольшую
полную поверхность. Найти объем этого цилиндра.
20) Представить число 20 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого
была наименьшей.
21) Сумма квадратов двух положительных чисел равна 300. Подобрать эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат
другого было наибольшим.
22) Найти такое положительно число, которое будучи сложенным с обратным ему числом дает наибольшую сумму.
23) Найти число, утроенный квадрат которого, превышает его
куб на максимальное значение.
24) Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого с квадратом второго была бы наименьшей.
25) Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы
должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объем был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось S/2.
26) Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, вписанных в данный шар, найдите тот, который имеет
наибольшую площадь боковой поверхности.
37
27) Первый член арифметической прогрессии равен 1. При каком
значении разности прогрессии d величина a1a3 + a2d3 будет иметь минимальное значение?
28) В арифметической прогрессии седьмой член равен 9. При каком значении разности прогрессии d произведение a1a2a7 будет
наименьшим?
29) На графике функции y = x2 + 2x + 2 найти точку, расстояние
1
которой до точки М (3; ) будет наименьшим.
2
30) На графике функции y  2 9  x 2 найти точку, расстояние
которой до точки A(-6; 0) будет наибольшим.
38
Литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.:
Интеграл-Пресс. Т. 1, 2005.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Дрофа, 2004.
3. Письменный Д. П. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-Пресс, 2007.
4. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М.: 2000.
5. Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державец В. В., Юруть И. Е. Сборник
индивидуальных заданий по высшей математике. Минск, Высшая школа,
1990. Ч. II.
39