здесь

Математика
8 класс
Задача 1
Решить уравнение
x 2  2 x  4   x  3  2 x  1   12  3x .


Решение.
Ясно, что при x  4 решений нет, так как правая часть уравнения отрицательна. Имеем при всех
действительных x :
2
x 2  2 x  4  x  1  3  3 ; x  3  2 x  1  x  3  1  2 x  4  x .
Поскольку обе скобки в левой части строго положительны, их произведение может равняться правой
части только, если x 2  2 x  4  3 и x  3  2 x  1  4  x . Это выполнено только при x  1
Ответ: –1
Задача 2
Пусть символ [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее
x, а символ {x} – дробную часть числа x, то есть разность между числом x и его целой частью: {x}
= x – [x].
Сколько корней имеет уравнение
x x  12x 3x ?
Решение.
Пусть a  x , b  x. Тогда x  a  b , и уравнение равносильно системе
b  0, 1, a  Z
.

ab  12b  3a  b 
15b
Последнее уравнение переписывается в виде ab  3  15b или a 
. Выражение в правой части
b3
 15 
при b  0, 1 меняется в промежутке   , 0 , содержащем 8 целых чисел. , причем каждому из
 2 
этих целых a соответствует ровно одно b  0, 1 , и, следовательно, одно x  a  b . Таким образом,
исходное уравнение имеет 8 решений.
Ответ: 8
Задача 3
Найдите f (–5) и f (5), если известно, что функция f задана на всей действительной оси и
удовлетворяет условиям:
x2 1
f y 2  1 для любых действительных чисел x и y;
1) f x 2  1  2
y 1
 

f 1  y   f 1  x 
2
2)
3) f (0) = 3.
2

для любых действительных чисел x и y;
Решение.
Обозначим A  1  y 2 , B  1  x 2 . Очевидно, что A  1 , B  1 , и любые A, B   , 1 представимы
в указанном выше виде ( при некоторых x и y ). Таким образом, для любых A, B   , 1 имеем
f  A  f B . В частности, f x   f 0  f 1 для любого x  1, откуда f  5  f 0  3 и f 1  3 .
A
f B  для всех A, B  1, .
B
Положив B  1 , получим f  A  Af 1  3 A . Таким образом, f 5  15 .
График функции f состоит из двух лучей: части прямой y  3 при x  1 и, соответственно, y  3 x
при x  1.
Аналогично, положив A  x 2  1 , B  y 2  1 , получим f  A 
Ответ: f (–5) = 3, f (5) = 15
Задача 4
ABCD – квадрат, E,F, G,H – середины его сторон. Сколько различных треугольников с вершинами в
точках A,B,C,D,E,F,G,H можно составить?
Решение
В качестве вершин можно брать любые три точки, не лежащие на одной прямой. Три точки из 8
можно выбрать C83 = 56 способами, из них 4 надо отбросить, т.к. точки расположены на одной
из сторон квадрата.
Ответ 52.
Задача 5
Найдите три натуральных числа, так, чтобы одно из них было равно среднему арифметическому двух
других, а произведение этих трех чисел было в 4 раза больше их суммы. В ответе укажите
произведение этих трех чисел.
Решение.
Обозначим два числа x,y, тогда третье равно (x+y)/2. Произведение в 4 раза больше суммы –
запишем это в виде уравнения xy(x+y)/2=4(x+y+(x+y)/2). Числа натуральные, следовательно, на
(x+y) можно сократить обе части, получаем xy=12. Чтобы среднее арифметическое было целым,
числа x и y должны быть одинаковой четности. Следовательно, одно равно 2, другое 6, а их
среднее арифметическое – 4.
Ответ 48.
Задача 6
На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены две
окружности. Известно, что BM=10, CM=12, где M – точка пересечения окружностей, отличная от A.
Найдите расстояние между центрами окружностей.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90o, следовательно, M – основание высоты,
опущенной из вершины A на сторону BC. Тогда отрезок, соединяющий центры окружностей
является средней линией в треугольнике ABC и равен половине основания BC/2
=(BM+CM)/2=11.
Ответ 11.
9 класс
Задача 1
Решить уравнение
3x  1  3x  2   x  3  2x  1   12  3x .
Решение.
Перепишем уравнение в виде  3x  1  2  3x  1  2 x  x  3   3  4  x . Легко видеть, что если все
подмодульные выражения в последнем равенстве неотрицательны, то уравнение обращается в
тождество. Это значит, что все x , удовлетворяющие условиям
3x  1  0 ,
2  3x  0 ,
1  2x  0 ,
x 3  0,
 1 1
то есть все x   ,  – решения исходного уравнения. Остальные же x решениями уравнения не
 3 2
являются, так как при всех остальных x левая часть оказывается даже больше, чем модуль правой
1
части. Например, при x 
подмодульные выражения 1 2x и x  3 имеют разные знаки, значит,
2
1  2 x  x  3  1  2 x  x  3  4  x , и 3x  1  2  3x  3x  1  2  3x  3 ; значит, вся левая часть
строго больше чем 3  4  x и тем более больше правой части. Случай x  
 1
ответ: x   ,
 3
 1
Ответ:  ,
 3
1
аналогичен. Итак,
3
1
.
2 
1
2 
Задача 2
Пусть символ [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее
x, а символ {x} – дробную часть числа x, то есть разность между числом x и его целой частью: {x}
= x – [x].
Сколько корней имеет уравнение
x x  12x 3x ?
Решение.
Пусть a  x , b  x. Тогда x  a  b , и уравнение равносильно системе
b  0, 1, a  Z
.

ab  12b  3a  b 
15b
Последнее уравнение переписывается в виде ab  3  15b или a 
. Выражение в правой части
b3
 15 
при b  0, 1 меняется в промежутке   , 0 , содержащем 8 целых чисел. , причем каждому из
 2 
этих целых a соответствует ровно одно b  0, 1 , и, следовательно, одно x  a  b . Таким образом,
исходное уравнение имеет 8 решений.
Ответ: 8
Задача 3
Найдите f (–5) и f (5), если известно, что функция f задана на всей действительной оси и
удовлетворяет условиям:
x2 1
1) f x 2  1  2
f y 2  2 y  2 для любых действительных чисел x и y;
y  2y  2
 


f 2 y  y   f 1  x  для любых действительных чисел x и y;
2
2)
3) f (0) = 3.
2
Решение.
2
Рассмотрим второе соотношение. Положим A  2 y  y 2 , B  1  x 2 . Поскольку A  1  1  y  ,
числа A и B представимы в указанном виде ( при некоторых x и y ) тогда и только тогда, когда
A, B   , 1. Таким образом, второе условие для функции f x  означает, что f  A  f B при
всех A, B   , 1. Положив A  1 , B  t , получим f 1  f t  при всех t  1 . Аналогично, взяв
A  t , B  1 , будем иметь f t   f 1 при t  1 . Следовательно, f t   f 1 для t   , 1, в
частности, для t  0 . Итак, f t   f 0  f 1  3 при всех t  1 .
Аналогично рассмотрим первое соотношение. Положив A  x 2  1 , B  y 2  2 y  2   y  1  1 ,
A
получим: для любых A, B  1 f  A  f B  . Положив B  1 , A  t , получим f t   tf 1  3t .
B
1
Взяв B  t , A  1 , получим 3  f 1  f t  , откуда f t   3t при t  1 .
t
3, t  1
Таким образом, f t   
. Мы получили, что f (–5) = 3, f (5) = 15, а
3t , t  1
график функции f состоит из двух лучей: части прямой y  3 при t  1 и y  3t при t  1 .
.
2
Ответ: f (–5) = 3, f (5) = 15
Задача 4
На сторонах квадрата A1A2A3A4 выбраны точки B1, B2, …, B12, делящие каждую сторону на 4 равных
отрезка. Сколько различных треугольников с вершинами в точках B1, B2, …, B12 можно построить?
Решение
В качестве вершин можно брать любые три точки, не лежащие на одной прямой. Три точки из
12 можно выбрать C123 = 220 способами, из них 4 надо отбросить, т.к. точки расположены на
одной из сторон квадрата.
Ответ 216.
Задача 5
Найдите четырехзначное число, составленное из различных цифр, про которое известно, что сумма его
цифр равна 20, произведение первых двух цифр равно третьей, а их сумма - четвертой.
Решение
Обозначим первые две цифры x,y и запишем условие задачи в виде уравнения:
x+y+(x+y)+xy=20. Заметим, что если прибавить к обеим частям 4, то левая часть раскладывается
на множители: (x+2)(y+2)=24. Число 24 допускает разложения: 24 = 1х24=2х12=3х8=4х6 (не
ограничивая общности, считаем, что первый множитель меньше второго). Учитывая, что x и y –
цифры, получаем, что возможно только два варианта x+2=3, y+2=8 или x+2=4, y+2=6.
Первый вариант следует отбросить, т.к. в этом случае цифры будут 1676, что противоречит
условию задачи (что все цифры различные).
Ответ 4286 или 2486.
Задача 6
На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены две окружности.
Известно, что BM=11, CM=17, где M – точка пересечения окружностей, отличная от A. Найдите
расстояние между центрами окружностей.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90o, следовательно, M – основание высоты,
опущенной из вершины A на сторону BC. Тогда отрезок, соединяющий центры окружностей
является средней линией в треугольнике ABC и равен половине основания BC/2 =(BM+CM) / 2 =
14.
Ответ 14.
10 класс
Задача 1
Решить уравнение
x 2  4  x 2  1   x  3  2 x  1   12  3x .


Решение.
Переписывая уравнение в виде
4  x
2

 x 2  1   x  3  1  2 x   3  4  x  , имеем: при
неотрицательности всех подмодульных выражений последнее равенство обращается в тождество, а
при остальных значениях x левая часть строго больше модуля правой части, и , тем более, самой
правой части (более подробное рассуждение приведено в решении аналогичной задачи для 9-го
класса). Таким образом, уравнение равносильно системе
4  x 2  0
 2
x  1  0
.

x

3

0

1  2 x  0

Решением системы является промежуток [–2, –1].
Ответ: [–2, –1]
Задача 2
Пусть символ [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее
x, а символ {x} – дробную часть числа x, то есть разность между числом x и его целой частью: {x}
= x – [x].
Сколько корней имеет уравнение
x x  12x 3x ?
Решение.
Пусть a  x , b  x. Тогда x  a  b , и уравнение равносильно системе
b  0, 1, a  Z
.

ab  12b  3a  b 
15b
Последнее уравнение переписывается в виде ab  3  15b или a 
. Выражение в правой части
b3
 15 
при b  0, 1 меняется в промежутке   , 0 , содержащем 8 целых чисел. , причем каждому из
 2 
этих целых a соответствует ровно одно b  0, 1 , и, следовательно, одно x  a  b . Таким образом,
исходное уравнение имеет 8 решений.
Ответ: 8
Задача 3
При каких значениях параметра a существует функция f , заданная на всей действительной оси и
удовлетворяющая условиям:
x2 1
2
f y 2  2 y  2 для любых действительных чисел x и y;
1) f x  1  2
y  2y  2
 


f 2 y  y   f 1  x  для любых действительных чисел x и y;
2
2)
3) f (–5) = 3;
4) f (5) = a.
2
Решение.
Условия 1, 2, 3 для функции f равносильны тому, что
3, t  1
f t   
3t , t  1
(см. решение Задачи 3 для 9-го класса). Условие 4 означает, что a  15 .
Ответ: a = 15
Задача 4
На сторонах шестиугольника A1A2A3A4A5A6 выбраны точки B1, B2, …, B18, делящие каждую сторону
на 4 равных отрезка. Сколько различных треугольников с вершинами в точках B1, B2, …, B18 можно
построить?
Решение
В качестве вершин можно брать любые три точки, не лежащие на одной прямой. Три точки из
18 можно выбрать C183 = 816 способами, из них 6 надо отбросить, т.к. точки расположены на
одной из сторон квадрата.
Ответ 810.
Задача 5
Найдите четырехзначное число, про которое известно, что все 4 цифры разные, их сумма равна 20,
произведение первых двух цифр равно третьей, а их сумма - четвертой.
Решение
Обозначим первые две цифры x,y и запишем условие задачи в виде уравнения:
x+y+(x+y)+xy=20. Заметим, что если прибавить к обеим частям 4, то левая часть раскладывается
на множители: (x+2)(y+2)=24. Число 24 допускает разложения: 24 = 1х24=2х12=3х8=4х6 (не
ограничивая общности, считаем, что первый множитель меньше второго). Учитывая, что x и y –
цифры, получаем, что возможно только два варианта x+2=3, y+2=8 или x+2=4, y+2=6.
Первый вариант следует отбросить, т.к. в этом случае цифры будут 1676, что противоречит
условию задачи (что все цифры различные).
Ответ 4286 или 2486.
Задача 6
Две окружности пересекаются в точках A и B, длина хорды AB равна 12. Построены отрезки, AC=15 и
AD=20, являющиеся диаметрами первой и второй окружности, соответственно. Найдите площадь
треугольника ACD.
Решение
Воспользуемся тем, что вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой. По теореме
Пифагора BC2=AC2-AB2=225-144=81, откуда BC=9. Аналогично BD2=AD2-AB2=256,
следовательно BD = 16. Заметим, что AB является высотой, опущенной на сторону CD,
следовательно площадь равна S=½ AB x CD = ½ 12 x 25 = 150.
Ответ 150.
Физика
8 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Человек садится на велотренажер, подключенный к электрогенератору, который в свою очередь
подключен к электронагревателю. Покрутив педали время t = 1 мин., человек, сравнивая свои
ощущения с реальным движением на велосипеде, сделал вывод, что он затратил столько же энергии,
как при подъеме на гору высотой h = 20 м. Сколько времени ему придется крутить педали в таком же
темпе, чтобы вскипятить стакан воды (V = 20 мл), начальная температура которой 250С?
Массу человека с велосипедом принять равной m = 80 кг. Удельная теплоемкость воды c = 4200
Дж/(кг0С). Считать, что КПД велосипеда и велотренажера приблизительно одинаковы.
Решение:
Поднимаясь на велосипеде на высоту h, человек увеличивает свою потенциальную энергию на
величину: Eп = mgh. При этом полезная мощность человека на велосипеде равна: N 
mgh
.
t
Обозначим через t0 – время, необходимое, чтобы вскипятить воду. Если полезная мощность при такой
t
работе равна также N, то за время t0 электронагреватель сообщит воде тепло: Q  mgh 0 . Это тепло
t
0
пойдет на увеличение температуры воды до 100 С: Q = 75Vc, где  - плотность воды. Из этих
75Vc
выражений найдем ответ: t0  t
 6мин .
mgh
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Нижний конец вертикальной трубы длины L=20 м с внутренним сечением S=10-3 м2 опущен в бассейн
с водой:
Внизу трубы имеется поршень, к которому привязана нить, пропущенная через неподвижный блок.
Поршень плотно прилегает к трубе, и сила трения между поршнем и трубой равна Fтр = 10 Н. Какую
работу совершит человек, подняв поршень на всю длину трубы? Считать ускорение свободного
падения равным 10 м/с2. Весом поршня и нити пренебречь. Давление воздуха P0 равно нормальному
атмосферному давлению.
Решение:
2. Работа человека затрачивается на преодоление силы трения и на работу по подъему жидкости: A =
Aтр + Aж. Работа на преодоление сил трения равна работе сил трения: Aтр = FтрL. Работа на подъем
жидкости равна изменению потенциальной энергии жидкости. Следует учесть, что жидкость
поднимается только на высоту h0, такую, что атмосферное давление столба жидкости равно
P0
105
нормальному атмосферному давлению: h0 

 10м . Масса столба жидкости равна: m =
 g 103 10
Sh0. Середина столба жидкости находится на высоте h0/2, поэтому потенциальная энергия столба
h0  gSh02

. Таким образом, работа, совершенная человеком равна:
2
2
 gSh02
P2 S
A  Fтр L 
 Fтр L  0  700Дж .
2
2 g
жидкости равна: Eп  mg
Задача 3
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Имеется два сосуда. В первом находится 1 кг льда при температуре 0 0С, во втором 5 кг воды при той
же температуре. Необходимо получить в каждом из сосудов воду с температурой 200С. В нашем
распоряжении две электроплитки мощностью 1 кВт и 2 кВт. За какое минимальное время можно
выполнить задание, если сосуды можно в любое время переставлять с одной плитки на другую, но
переливать воду запрещено? Теплоемкостью сосудов и потерями тепла при нагревании пренебречь.
Удельная теплота плавления льда 3,4∙105 Дж/кг. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг∙0С).
Решение:
Заметим, прежде всего, что результат опыта не зависит от того, сколько раз сосуды переставляются с
одной плитки на другую. Результат зависит от суммарного времени, которое каждый из сосудов стоял
на той или иной плитке. Возможно даже, что сосуды вообще не нужно переставлять с одной плитки на
другую. Обозначим через t0 время, которое 1-й сосуд находился на плитке с мощностью 2 кВт.
Допустим, что второй сосуд то же время стоял на другой плитке. Тогда тепло, полученное сосудами за
это время равно: Q1(1)  2000t0 Дж, Q2(1)  1000t0 Дж . Вычислим теперь тепло, которое необходимо
передать сосудам для выполнения задания:
Q1 = 13,4105 + 1420020 = 4,24105 Дж.
Q2 = 4200520 = 4,2105 Дж.
Если за время t0 задание было не выполнено, то есть Q1(1)  Q1 , Q2(1)  Q2 , то после перестановки
сосудов каждый из них дополнительно должен получить тепло:
Q1(2)  Q1  Q11  (4, 24 105  2000t0 )Дж ,
Q2(2)  Q2  Q21  (4, 2 105  1000t0 )Дж .
Для выполнения задания 1-й сосуд должен простоять дополнительно на плитке мощностью 1000 Вт
время Q1(2) /1000 с, а 2-й сосуд на плитке мощностью 2000 Вт время Q2(2) / 2000 с. Полные времена,
которые сосуды будут греться, равны, соответственно:
t1  t0  Q1(2) /1000  (424  t0 ) c ,
t2  t0  Q2(2) / 2000  (210  t0 / 2) c .
Из этих формул видно, что время t1 убывает, а время t2 возрастает с ростом времени t0. Графически это
можно изобразить в виде:
Время, необходимое для выполнения
задания является максимальным из времен t1 и t2. Из графика очевидно, что наименьшим этот
максимум будет тогда, когда значения t1 и t2 совпадают. Приравнивая соответствующие выражения,
получим уравнение: 424 – t0 = 210 + t0/2. Решение этого уравнения приводит к значению t0 = 143 c, при
котором: t1 = t2 = 281 c. Это значение и является ответом задачи.
Задача 4
Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 минуту. Если человек будет идти вдвое
быстрее, то он спустится за 45 секунд. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?
Решение
Обозначим S длину эскалатора. Тогда:
S/t1 = V + U
S/t2 = 2V + U
S/t3 = U
Решая систему, получаем:
t3 = t1t2/(2t2 – t1) = 1,5 мин = 90 с.
Ответ: t3 = 1,5 мин = 90 с
Задача 5
Льдина равномерной толщины плавает, выступая на высоту h = 2 см над уровнем воды. Найти массу
льдины, если площадь ее основания S = 200 см2.
Плотность льда л = 0,9 г/см3.
Решение
Обозначим Н – высота льдины.
Условие плавания:
ρЛHSg = ρВ(H – h)Sg, откуда H = ρВ/( ρВ - ρЛ) = 10 h.
И для массы получаем:
M = 0,9∙200∙20 = 3600 г = 3,6 кг
Ответ: M = 3,6 кг
Задача 6
Какой ток течет через амперметр в схеме, показанной на рисунке?
R1 = 15 Ом, R2 = R3 = R4 = 10 Ом,  = 7,5 B.
Сопротивление амперметра и внутреннее сопротивление источника тока
пренебрежимо малы.
Решение
Поскольку RА = 0, сопротивления R3 и R4 соединены параллельно и (R3 || R4) = 5 Ом.
Сопротивление [R2 + (R3 || R4)] = 15 Ом и общее сопротивление равно 7,5 Ом, а ток через источник
равен Io = 1 А.
Заметим, что IА = I1 + I3 = Io/2 + Io/4 = 0,75 А
Ответ: IА = 0,75 А
9 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
На оси горизонтально расположенного вращающегося диска укреплена г-образная стойка высоты h,
горизонтальная часть которой направлена по радиусу диска и имеет длину r
r
l
h
К стойке на нити длины l прикреплен шарик. Нить
выдерживает удвоенный вес шарика и рвется, если сила натяжения превышает это значение. Диск со
стойкой начинают медленно раскручивать, увеличивая угловую скорость. На каком расстоянии от оси
диска упадет шарик после разрыва нити? Считать, что диск располагается вблизи горизонтальной
поверхности.
Решение:
При медленном раскручивании диска нить и ось вращения всегда лежат в одной плоскости.
Рассмотрим момент, когда нить рвется. Уравнение движения шарика имеет вид: ma = mg + T.
Модуль силы натяжения T равен 2mg. Проектируя уравнение движения на вертикальную ось и ось,
направленную к центру диска, получим систему двух уравнений:
T cos   mg ,
m 2
 T sin  ,
R
(1)
где  - угол между нитью и вертикальной осью, R – радиус окружности, по которой движется шарик, 
- скорость шарика. Первое из уравнений (1) сразу же дает значение угла =600. Из геометрических
соображений находится R: R  r  l sin   r 
3
l.
2
Второе из уравнений (1) определяет значение скорости шарика в момент отрыва:
  g ( 3r  3l / 2) .
Шарик падает с высоты:
H  h  l cos  h  l / 2
с нулевой проекцией начальной скорости на вертикальную ось. Время падения:
t
2H
2h  l

.
g
g
Горизонтальная составляющая скорости направлена по касательной к окружности вращения. За время t
шарик пролетит по горизонтали расстояние: S  t  (2h  l )( 3r  3l / 2) .
Расстояние от оси до точки падения равно:
S  S2  R 2
S
S
R
Подставляя выражения для S и R, получим ответ:


S  (r  3l / 2) r  3(2h  l / 2) .
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Из проволоки с площадью сечения s и удельным сопротивлением  сделали кольцо радиуса R и два
полукольца того же радиуса. Полукольца подсоединили к кольцу в точках A, B, C, D, как показано на
рис.:
K
A
B
C
D
L
Дуги AB, BC, CD и DA являются четвертями кольца. Какое сопротивление
покажет омметр, если его подключить к точкам K и L, лежащим на серединах полуколец?
Решение:
Если к точкам K и L подсоединить источник питания, то в силу симметрии задачи напряжения между
точками A и C окажется равным нулю. Это означает, что эти точки можно соединить проводником с
нулевым сопротивлением, так что сопротивление между точками K и L не изменится. Аналогично
можно соединить точки B и D:
K
A
B
C
D
L
Нарисуем эквивалентную схему, на которой каждое из сопротивлений
равно сопротивлению дуги четверти кольца:
rCD
rDL
rKA
rAB
K
L
rAD
rKC
rBL
rCB
Сопоставление каждого из сопротивлений одному из участков проволоки следует из обозначений.
Обозначим значение каждого из сопротивлений через r, тогда сопротивление между точками K и L
равно: rKL 
r r r 5
   r.
2 4 2 4
Подставляя в качестве r значение: r  
R 1
2 s
, получим ответ: rKL 
5  R
.
8 s
Задача 3
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Цилиндрический сосуд, площадь сечения которого равна S, закреплен вверх дном:
h

S
m
A
B
m1
m2
В сосуде находится жидкость, плотности ,
высота столба которой h. Снизу жидкость закрыта поршнем массы m, который может без трения
скользить по внутренней поверхности сосуда. Поршень через шток жестко связан с рычагом.
Посредине в точке A рычаг опирается на опору. К противоположному концу рычага подвешивают груз
массы m1, и посредине между точками A и B груз массы m2. При каком соотношении между массами
m1 и m2 система будет находиться в равновесии, если атмосферное давление равно p0?
Решение:
Условием равновесия является равенство сумм моментов сил, закручивающих рычаг по часовой
стрелке и против часовой стрелки. Изобразим силы, действующие на рычаг:
h

S
m
A
F1
B
F2
m1
F3
m2
Заметим, что силы F1 и F2 всегда направлены
вниз, а сила F3 может быть направлена как вниз, так и вверх. Возможное различие в направлениях
будем учитывать знаком: положительное значение силы будет означать направление вниз,
отрицательное – вверх. Условие равновесия имеет вид: M1 = M2 + M3. Моменты сил F1 и F2
1
1
M 1  lm1 g , M 2  lm2 g
2
4
вычисляются просто. Если l – длина рычага, то:
.
Для вычисления силы F3 необходимо рассмотреть условие равновесия двух тел: жидкости и поршня.
На жидкость действует сила тяжести, равная Shg. Кроме того, на жидкость сверху действует сила со
стороны дна сосуда, а снизу – сила со стороны поршня. Обозначая эти силы через F и F, получим из
условия равновесия: F + Shg = F.
На поршень также действует сила тяжести mg. Кроме того, на поршень сверху действует сила со
стороны жидкости. Эта сила равна силе, с которой поршень действует на жидкость F. Снизу на
поршень действует сила со стороны штока, которая равна силе F3, и сила атмосферного давления
равная p0S. Из условия равновесия получим: F + mg = F3 + p0S. В результате находим выражение для
силы F3: F3 = F + Shg + mg – p0S.
Из этого выражения видно, что величина F3 может быть отрицательна, что соответствует направлению
этой силы вверх. Для этого необходимо, но не достаточно, чтобы было выполнено неравенство
p
h 0
g . Высота столба жидкости должна быть такой, чтобы давление столба жидкости было меньше
атмосферного (например, для ртути h < 760 мм).
Учитывая, что момент силы F3 равен l/2, получим следующее равенство для моментов сил:
l
l
l
m1 g  m2 g  ( F   gSh  mg  p0 S )
2
4
2.
Заметим, теперь, что сила F может быть направлена только вниз. Это означает, что значение F в
приведенном выше выражении не отрицательно. Из предыдущего выражения можно найти силу F: F
=g (m1 – m2/2 - Sh – m) + p0S.
Из неравенства F  0 следует:
m1 
m2
pS
 m  Sh  0
2
g .
Это неравенство и является ответом.
Задача 4
На тело, движущееся по прямой с некоторой скоростью, начинает действовать постоянная тормозящая
сила. Через время  = 5 с от начала действия силы тело останавливается, пройдя за последнюю секунду
путь S5 = 5 м. Какой путь прошло это тело за третью секунду торможения?
Решение.
При равноускоренном движении из состояния покоя пути, пройденные телом за равные промежутки
времени, относятся как нечетные числа:
S1 : S2 : S3 : ... = 1 : 3 : 5 : ...
При торможении до полной остановки сохраняется то же соотношение в обратном порядке. В данном
случае:
S5 : S4 : S3 = 1 : 3 : 5, откуда следует, что S3 = 5 S5 = 25 м.
Ответ: S3 = 25 м.
Задача 5
Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α = 45º пущена шайба. Через некоторое
время она останавливается и соскальзывает вниз. Коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,6. Во
сколько раз время спуска шайбы t2 больше времени подъема t1?
Решение.
Записав 2-й закон Ньютона для движения шайбы сначала вверх, а потом вниз по наклонной
плоскости, получим для ускорений:
Движение вверх:
a1 = g(sinα + µcosα)
Движение вниз:
a2 = g(sinα - µcosα)
t2
a1
tg 
= 2.


t1
a2
tg  
Из полученного выражения для отношения времен следует, что при µ ≥ tgα шайба останется в верхней
точке своего подъема.
Ответ: t2/t1 = 2
Пройденный путь S = a1t12/2 = a2t22/2, откуда следует, что
Задача 6
Свинцовая пуля, подлетев к преграде со скоростью V1 = 200 м/с, пробивает ее насквозь. При этом
пуля нагревается на 75оС. С какой скоростью V2 пуля вылетела из преграды, если на ее нагревание
пошло 65% выделившегося количества теплоты?
Удельная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг∙ оС)
Решение.
Вследствие работы сил сопротивления кинетическая энергия пули при пробивании преграды
уменьшилась, и это уменьшение равно общему количеству тепла, выделившемуся в процессе:
mV12/2 – mV22/2 = Q.
В свою очередь часть η = 0,65 из этого количества тепла пошло на нагревание пули на Δt =
75oC:
ηQ = cm∙Δt.
В результате получаем:
2ct
2
V2 = V1 
= 100 м/с

Ответ: V2 = 100 м/с
10 класс
Задача 1
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
На внутренней поверхности полусферы радиуса R находится тело, которое может скользить без трения
по этой поверхности:

Телу сообщают скорость, направленную «по параллели», то есть
перпендикулярно линии, идущей перпендикулярно от тела к оси симметрии полусферы. При каком
минимальном значении скорости тело при своем движении вылетит из полусферы?
Решение:
Если начальная скорость достаточно велика, тело при своем движении будет подниматься по
поверхности полусферы. Если оно не вылетит из полусферы, то в точке с максимальной высотой будет
двигаться по параллели, то есть проекция скорости на вертикальную ось в этот момент окажется
равной нулю. Минимальное значение скорости, необходимое для вылета тела будет иметь место тогда,
когда верхняя точка траектории лежит на верхней точке полусферы («на экваторе»).
Для решения задачи следует применить закон сохранения энергии и закон сохранения момента
импульса. Обозначим через 0 и 1 скорости тела в нижней и в верхней точке траектории. Тогда закон
m02
m12
 mgR cos  
сохранения энергии дает следующее уравнение:
.
2
2
(1)
Рассмотрим момент импульса тела относительно центра полусферы. Поскольку сила реакции опоры в
этом случае является центральной силой, а момент силы тяжести относительно этой точки
перпендикулярен вертикальной оси, то проекция момента импульса на вертикальную ось остается
неизменной. Это дает уравнение: m0 R sin   m1R .
(2)
Решение этих двух уравнений дает ответ: 0 
2 gR
.
cos 
Задача 2
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
При строительных работах для выставления одинакового уровня в точках, отстоящих друг от друга на
несколько метров, используется уровень, сделанный из гибкой прозрачной трубки. В трубку
заливается вода, а ее концы располагаются вертикально в тех точках, которые необходимо выставить
на одинаковом уровне. Из закона сообщающихся сосудов следует, что даже, если сама трубка имеет
изгибы и не везде располагается горизонтально, границы жидкости на концах будут располагаться на
одном уровне, а прямая линия, соединяющая их, будет горизонтальна.
Однако это устройство работает правильно только в том случае, когда при заполнении трубки в нее не
попадают пузырьки воздуха. Оцените, какую ошибку может давать данный прибор, то есть насколько
могут различаться уровни на концах трубки от правильного значения, если трубка имеет сечение S, а
внутрь попали пузырьки воздуха общим объемом V.
Решение:
Предположим, что в некоторой наклонно расположенной части трубки имеется некоторый объем
воздуха:
h
Поскольку плотность воздуха пренебрежимо мала по сравнению с
плотностью воды, давление в верхней и нижней части воздушного цилиндра будет одинаково. Отсюда
следует, что давление столба жидкости в левом колене будет отсчитываться от верхней границы
воздушного цилиндра, а в правом колене – от нижней границы. То есть перепад уровней будет
приблизительно равен значению h. Максимальное значение перепада будет в случае, когда пузырек
воздуха располагается в участке трубки, идущем вертикально. В этом случае h  V/S.
Если пузырьков много, то они могут как компенсировать влияние друг друга, так и усилить это
влияние. Однако при расчете погрешности следует всегда руководствоваться максимально возможным
значением.
Задача 3
Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором физического факультета
СПбГУ, д.ф.-м.н., преподавателем Академической гимназии СПбГУ
Из листа бумаги сделан конус с радиусом основания R = 20 см:

R
g

Угол между осью конуса и образующей  = 450. Конус располагают,
как показано на рисунке и раскручивают до угловой скорости  = 10 с-1. На боковой поверхности
конуса посреди образующей сидит муравей. Какой коэффициент трения между ножками муравья и
поверхностью конуса должен быть для того, чтобы:
а) муравей мог доползти до вершины конуса, не соскользнув;
б) мог доползти до основания конуса, не соскользнув.
Решение:
Условие того, что муравей не скользит, сводится к неравенству Fтр < N, где Fтр – сила трения,
действующая на муравья, N – сила реакции со стороны поверхности, действующая на муравья.
Изобразим силы, действующие на муравья:
y
N
x
r
Fтр mg
Заметим, что направления сил тяжести и реакции опоры очевидны. Сила
трения может быть направлена так, как изображено на рисунке, так и в противоположном
направлении. Различие в направлении можно учесть знаком. Спроектируем уравнение, следующее из
2-го закона Ньютона: ma = mg + Fтр + N на оси, изображенные на рисунке (ось x – мгновенная ось,
направленная к оси вращения). Тогда получим систему из двух уравнений:
1
( N  Fтр ),
2
N  Fтр
0
 mg ,
2
где r – радиус окружности, по которой вращается муравей.
m 2 r 
Из этих уравнений можно выразить две неизвестные силы:
1
m( 2 r  g ),
2
1
Fтр 
m( 2 r  g ).
2
N
Из последнего равенства видно, что значение силы трения может быть отрицательным, что
соответствует направлению, противоположному тому, что изображено на рисунке.
Fтр   N   2 r  g   ( 2 r  g )
Отсутствие скольжения муравья сводится к неравенству:
. В
2
начальный момент r = 10 см и величина  r – g  0, то есть неравенство выполнено при малом
значении коэффициента трения. Далее эта величина изменяется в зависимости от направления, куда
ползет муравей.
а) муравей ползет к вершине конуса. Величина 2r – g становится отрицательной и возрастает по
модулю. Максимальное значение модуля равно g, следовательно, проскальзывания не будет при  > 1.
Сила трения при этом направлена вверх, так что при коэффициенте трения меньшем единицы муравей,
не добравшись до вершины, соскользнул бы вниз.
б) муравей ползет к основанию конуса. Величина 2r– g становится положительной и возрастает по
модулю. Эта величина достигает максимума при r = R. Неравенство, следующее из отсутствия
проскальзывания, имеет вид: 2R – g < (2R + g).

Отсюда получаем неравенство для коэффициента трения:
2R  g 1

2R  g 3 .
Сила трения при этом направлена вниз, так что при коэффициенте трения меньшем 1/3 муравей, не
добравшись до основания конуса, соскользнул бы вверх.
Задача 4
С вершины холма, имеющего уклон  = 30о, горизонтально бросают камень со скоростью Vo = 9 м/с.
На каком расстоянии от вершины холма упадет камень?
Решение
Запишем уравнения движения камня в проекциях на оси координат x и y:
x(t) = Vot
y(t) = gt2/2
В момент падения камня на поверхность y1 = x1tgα , откуда время полета
камня t1 = 2Votgα/g x1 = 2Vo2 tgα/g .
Дальность полета можно найти как S = x1/cosα = 2Vo2 sinα/(gcos2α).
2  81  4
S=
= 11 м
2  3  9,8
Ответ: S = 11 м
Задача 5
Моль аргона изотермически расширяется, совершая работу А = 75 Дж. Затем, после изохорного
охлаждения адиабатическим сжатием возвращается в исходное состояние. Максимальное изменение
температуры в цикле равно Т = 5 К. Найти КПД цикла.
Решение
Моль аргона совершает циклический процесс 1 – 2 – 3 – 1, при этом процесс (1 – 2) – изотерма
температура постоянна, процесс (2 – 3) – изохора, температура уменьшается на Т, и процесс (3 – 1) –
адиабата, температура повышается до начального значения.
По определению КПД цикла равен отношению:
(полная работа газа за цикл)/(полученное тепло).
Подсчитаем работу газа.
Процесс 1 – 2 → А1 = А (по условию)
Процесс 2 – 3 → А2 = 0
Процесс 3 – 1 → А3 = - ΔU, где изменение внутренней энергии газа ΔU =
3
RТ.
2
3
RТ).
2
Тепло поступает в систему на участке 1 – 2 и равно совершенной газом работе: Q = A.
3RT
3  8,3  5 1
КПД цикла η = 1 =1= ≈ 0,16
2A
2  75
6
Полная работа газа за цикл равна (А -
Ответ: η = 0,16
Задача 6
Маленькая муфта массой m, имеющая заряд q, может скользить по гладкому
непроводящему стержню АВ длиной l. Стержень расположен горизонтально.
В точке С, находящейся на расстоянии l от точек А и В, закреплен маленький
шарик с таким же зарядом q. Первоначально муфта находится в точке А.
Какую минимальную скорость нужно сообщить муфте, чтобы она достигла
точки В?
Решение
При движении заряженной муфты в поле заряда q потенциальная энергия их взаимодействия W
возрастает до тех пор, пока муфта не достигнет середины стержня. После этого потенциальная энергия
убывает. Поэтому, чтобы достичь точки В, муфта должна миновать середину стержня, а ее
кинетическая энергия должна удовлетворять условию:
mV2/2 ≥ W(l/2) – W(0),
где координата 0 соответствует точке А, а координата l/2 – середине стержня.
Запишем в явном виде потенциальную энергию и получим:
mV2/2 ≥ kq2/(lcos30o) – kq2/l.
Окончательно
q
2
Vmin =
1
2o ml
3
Ответ: Vmin =
q
2
2o ml
3
1
Химия
8 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Как получить нитрат железа(III), используя в качестве исходного сырья железные гвозди, минеральные
удобрения и отработанные аккумуляторы? Укажите условия протекания реакций.
Решение:
Из отработанных аккумуляторов извлечем серную кислоту. Тогда при взаимодействии с калийной или
аммиачной селитрой (KNO3, NH4NO3) можно получить азотную кислоту:
KNO3 тв + H2SO4 конц = HNO3↑ + KHSO4
Fe + 4HNO3 = Fe(NO3)3 + NO + 2H2O (нагревание!!!)
Принимается также вариант
Fe + 6HNO3 конц = Fe(NO3)3 + 3NO2 + 3H2O
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Смесь порошков меди и алюминия массой 3.00 г разделили на две равные части. Одну часть
обработали при н.у. концентрированной азотной кислотой. При этом выделилось 0.50 л газа. Вторую
часть обработали при тех же условиях бромоводородной кислотой. Какой объем газа при этом
выделился?
Решение:
Алюминий при низких температурах с концентрированной азотной кислотой не взаимодействует.
Следовательно, растворяться будет только медь:
Cu + 4HNO3 = Cu(NO3)2 + 2NO2↑ + 2H2O
В результате реакции выделилось 0.50/22.4 = 0.022 моль газа. Следовательно, в образце содержалось
0.011*63,5*2 = 1,40 г меди. Тогда масса алюминия составляла 3.00 – 1.40 = 1.60 г. С бромоводородной
кислотой в реакцию вступил только алюминий:
2Al + 6HBr = 2AlBr3 + 3H2
Количество выделившегося газа составляет: 3*1.60/(2*27*2) = 0.044 моль.
Объем газа: 0.044*22.4 = 0.98 л.
Задача 3
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Пользуясь Периодической системой Д.И.Менделеева, закончите и уравняйте следующие реакции;
укажите, где это необходимо, условия их протекания:
1) Sb + Br2 
2) I2 + F2 
3) Ga2O3 + Na2CO3 (сплавл.)
4) Pb + O3 
Решение:
1) 2Sb + 3Br2 = 2SbBr3 (сурьма – элемент нечетной группы, следовательно, следует ожидать нечетную
степень окисления. Бром недостаточно сильный окислитель, чтобы окислить сурьму до высшей
степени окисления)
2) I2 + 7F2 = 2IF7 (возможны варианты: IF5, IF3)
3) Ga2O3 + Na2CO3 = 2NaGaO2 + CO2 (сплавление)
4) Pb + 2O3 = PbO2 + 2O2 (или Pb3O4 + O2)
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Напишите уравнения реакций, с помощью которых можно осуществить следующие превращения
(укажите условия проведения процессов):
CaCl2  Ca(OH)2  CaCl(ClO)  Cl2  CaCl2  Ca
Если Вы не знаете, как осуществить то или иное превращение, пропустите его и запишите реакции,
соответствующие другим превращениям. Каждая стрелка подразумевает одну стадию.
Решение
  раствора

 Ca(OH)2 + H2 + Cl2
1) СаCl2 + Н2О электролиз
или
CaCl2 конц + 2KOHконц = Ca(OH)2 + 2KCl;
аждение
  СaCl(ClO) + H2O;
2) Ca(OH)2 р-р + Cl2 охл
3) CaCl(ClO) + 2HCl = CaCl2 + Cl2 + H2O (c любой кислотой);
4) Сl2 + Ca = CaCl2 (обычные усл.)
или
Cl2 + CaBr2 р-р = CaCl2 + Br2 (пропускание хлора или приливание хлорной воды);
  расплав

а Ca + Cl2.
5) CaCl2 электролиз
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Запишите уравнения электролитической диссоциации для солей в растворе: 1) CH3COONH4;
2) KH2AsO4; 3) K3[Fe(CN)6]; 4) NH4Al(SO4)2; 5) BaOBr2.
Решение
Соли – сильные электролиты, они состоят из ионов и потому диссоциируют в растворе нацело на
катионы и анионы. В случае сложного катиона или аниона (комплексного, содержащего ионы
водорода или гидроксогруппы) далее идет обратимая и ступенчатая диссоциация этого иона.
1) СH3COONH4 = CH3COO- + NH4+;
2) KH2AsO4 = K+ + H2AsO4-;
H2AsO4H+ + HAsO42-;
HAsO42H+ + AsO43-;
3) K3[Fe(CN)6] = 3K+ + Fe(CN)63-;
Fe(CN)63Fe(CN)52- + CN-;
Fe(CN)52Fe(CN)4- + CN-;
Fe(CN)4Fe(CN)3 + CN-;
Fe(CN)3
Fe(CN)2+ + CN-;
Fe(CN)2+
FeCN2+ + CN-;
FeCN2+
Fe3+ + CN-;
4) NH4Al(SO4)2 = NH4+ + Al3+ + 2SO42-;
5) BaOBr2 = Ba2+ + Br- + OBr-.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Получите пятью различными способами селенат цезия. Напишите уравнения реакций.
Решение
Возможные реакции:
2Сs + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2 (взаимодействие металла с кислотой – ОВР)
Cs2SeO3 + H2O2 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsOH + H2SeO4 = Cs2SeO4 + 2H2O (взаимодействие основания с кислотой)
Cs2O + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие основного оксида с кислотой)
2CsOH + SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислотного оксида с основанием)
CsOH + CsHSeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислой соли с основанием)
Cs2SO3 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + SO2 + H2O (ионный обмен)
Сs2O2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 (взаимодействие пероксида с кислотой)
Cs2O2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsO2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 + O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой на холоду –
ОВР)
или 4CsO2 + 2H2SeO4 = 2Cs2SeO4 + 2H2O + 3O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой при
нагревании – ОВР)
2CsO2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O + O2 (при нагревании – ОВР)
или 2CsO2 + H2SeO3 + H2O = Cs2SeO4 + 2H2O2 (на холоду – ОВР)
(За 5 реакций ставится полный балл.)
9 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Для определения количественного состава смеси нитратов цинка и серебра навеску смеси массой 3,00
г прокалили, полученные газообразные продукты растворили в избытке раствора едкого кали, раствор
выпарили, а сухой остаток прокалили при 400 оС. Объем полученного при этом газа составил (в
пересчете на н.у.) 300 мл. Определите массовые доли компонентов в исходной смеси.
Решение:
Zn(NO3)2 = ZnO + 2NO2 + 1/2O2
2NO2 + 1/2O2 + 2КOH = 2КNO3 + H2O
AgNO3 = Ag + NO2 + 1/2O2
NO2 + КOH + 1/4O2 = КNO3 +1/2H2O
Таким образом, единственным продуктом взаимодействия газообразных продуктов разложения
нитратов со щелочью будет нитрат калия.
КNO3 = КNO2 + 1/2O2
Пусть в смеси содержалось х моль нитрата цинка и у моль нитрата серебра. Тогда:
ν (О2) = х + у/2 = 0.3/22.4 = 0.0134 моль.
m(смеси) = 189,4*х + 170*у = 3.00 г.
Отсюда х = 0.0103 моль, у = 0.0061 моль
Массовая доля нитрата цинка, ω(Zn(NO3)2), составляет ω(Zn(NO3)2) = 189.4*0.0103/3 = 65.03%;
массовая доля нитрата серебра , ω(AgNO3), составляет ω(AgNO3) = 34.97%
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Предложите не менее 10 веществ, которые можно получить в одну или несколько стадий, используя в
качестве исходных веществ воду, бромид меди(II) и бромид калия, а также любое оборудование,
исключая необходимое для ядерных превращений. Укажите условия осуществления реакций.
Пример решения:
2KBr (расплав, эл-лиз) = 2K + Br2
2KBr + 2H2O (эл-лиз) = H2 + 2KOH + Br2
(KOH) + 2H2O (эл-лиз) = 2H2 + O2
6KOH + 3Br2 = 5KBr + KBrO3 + 3H2O
а также на холоду:
2KOH + Br2 = KBr + KBrO + H2O
СuBr2 + 2KOH = Cu(OH)2 + 2KBr
А также основная соль меди
CuBr2 + KOH = CuOHBr + KBr
Cu(OH)2 (t) = CuO + H2O
K + O2 = KO2
2KO2 + 2H2O = 2KOH + H2O2 + O2
2K + H2 (t) = 2KH
Задача 3
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
К 50 мл 15% раствора фосфорной кислоты (плотность 1,12 г/мл) небольшими порциями прибавили
12,0 г поташа. Какую реакцию среды будет иметь полученный раствор?
Решение:
При сливании растворов фосфорной кислоты и поташа возможны следующие реакции:
2H3PO4 + К2CO3= 2KH2PO4 + CO2 + H2O
2KH2PO4 + К2CO3= 2K2HPO4 + CO2 + H2O
2K2HPO4 + К2CO3= 2K3PO4 + CO2 + H2O
Количество фосфорной кислоты в исходном растворе составляет:
ν(H3PO4) = 50*1,12*0,15/98 = 0,086 моль.
Количество поташа: ν(К2CO3) = 12/138 = 0,086 моль.
Таким образом, в результате реакции получится гидрофосфат калия. Такой раствор будет иметь
щелочную реакцию среды вследствие гидролиза соли:
К2HPO4 + H2O
HPO42- + H2O
KH2PO4 + KOH
H2PO4- + OH-
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Напишите уравнения реакций, с помощью которых можно осуществить следующие превращения
(укажите условия проведения процессов):
CaCl2  Ca(OH)2  CaCl(ClO)  Cl2  CaCl2  Ca
Если Вы не знаете, как осуществить то или иное превращение, пропустите его и запишите реакции,
соответствующие другим превращениям. Каждая стрелка подразумевает одну стадию.
Решение
  раствора

 Ca(OH)2 + H2 + Cl2
1) СаCl2 + Н2О электролиз
или
CaCl2 конц + 2KOHконц = Ca(OH)2 + 2KCl;
аждение
  СaCl(ClO) + H2O;
2) Ca(OH)2 р-р + Cl2 охл
3) CaCl(ClO) + 2HCl = CaCl2 + Cl2 + H2O (c любой кислотой);
4) Сl2 + Ca = CaCl2 (обычные усл.)
или
Cl2 + CaBr2 р-р = CaCl2 + Br2 (пропускание хлора или приливание хлорной воды);
  расплав

а Ca + Cl2.
5) CaCl2 электролиз
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Запишите уравнения электролитической диссоциации для солей в растворе: 1) CH3COONH4;
2) KH2AsO4; 3) K3[Fe(CN)6]; 4) NH4Al(SO4)2; 5) BaOBr2.
Решение
Соли – сильные электролиты, они состоят из ионов и потому диссоциируют в растворе нацело на
катионы и анионы. В случае сложного катиона или аниона (комплексного, содержащего ионы
водорода или гидроксогруппы) далее идет обратимая и ступенчатая диссоциация этого иона.
1) СH3COONH4 = CH3COO- + NH4+;
2) KH2AsO4 = K+ + H2AsO4-;
H2AsO4H+ + HAsO42-;
HAsO42H+ + AsO43-;
3) K3[Fe(CN)6] = 3K+ + Fe(CN)63-;
Fe(CN)63Fe(CN)52- + CN-;
Fe(CN)52Fe(CN)4- + CN-;
Fe(CN)4Fe(CN)3 + CN-;
Fe(CN)3
Fe(CN)2+ + CN-;
Fe(CN)2+
FeCN2+ + CN-;
FeCN2+
Fe3+ + CN-;
4) NH4Al(SO4)2 = NH4+ + Al3+ + 2SO42-;
5) BaOBr2 = Ba2+ + Br- + OBr-.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Получите пятью различными способами селенат цезия. Напишите уравнения реакций.
Решение
Возможные реакции:
2Сs + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2 (взаимодействие металла с кислотой – ОВР)
Cs2SeO3 + H2O2 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsOH + H2SeO4 = Cs2SeO4 + 2H2O (взаимодействие основания с кислотой)
Cs2O + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие основного оксида с кислотой)
2CsOH + SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислотного оксида с основанием)
CsOH + CsHSeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислой соли с основанием)
Cs2SO3 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + SO2 + H2O (ионный обмен)
Сs2O2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 (взаимодействие пероксида с кислотой)
Cs2O2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsO2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 + O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой на холоду –
ОВР)
или 4CsO2 + 2H2SeO4 = 2Cs2SeO4 + 2H2O + 3O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой при
нагревании – ОВР)
2CsO2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O + O2 (при нагревании – ОВР)
или 2CsO2 + H2SeO3 + H2O = Cs2SeO4 + 2H2O2 (на холоду – ОВР)
(За 5 реакций ставится полный балл.)
10 класс
Задача 1
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Смесь изомерных орто- и мета-алкилфенолов массой 3.24 г обработали избытком бромной воды. При
этом в реакцию вступило 12.79 г брома. Если такое же количество исходной смеси растворить в сухом
диэтиловом эфире и добавить избыток натрия, то выделится 336 мл газа (н.у.). Установите
качественный и количественный состав смеси.
Решение:
RC6H4OH + Na = RC6H4ONa + 1/2H2
По условию задачи в результате этой реакции выделилось 336 мл водорода (н.у.), следовательно, в
реакцию вступило 0,03 моль алкилфенолов. Тогда молярная масса алкилфенола составляла 3.24/0.03 =
108 г/моль. Алкильная группа – метил.
о-CH3C6H4OH + 4Br2 = CH3C6Br4ONa + 4HBr (замещение в орто- и пара-положения по отношению как
к гидроксильной, так и к метильной группе).
м-CH3C6H4OH + 2Br2 = CH3C6НBr2ONa + 2HBr (замещение атома водорода при атоме углерода между
двумя заместителями не будет происходить из-за стерических затруднений).
Пусть смесь содержала х моль орто- и у моль метапроизводного. Тогда получаем:
х + у = 0.03
4х + 2у = 0,08
х = 0.01 моль, у = 0.02 моль.
Исходная смесь содержала 0.01 моль орто-крезола и 0.02 моль мета-крезола.
Задача 2
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
При прокаливании смеси нитратов серебра и цинка получена смесь газообразных продуктов с
плотностью по азоту 1.50 (500 0С, давление 2 атм). Определите состав исходной смеси в массовых
долях.
Решение:
AgNO3 = Ag +NO2 + 0.5O2
Zn(NO3)2 = ZnO + 2NO2 + 0.5O2
Пусть в смеси содержалось х моль нитрата серебра и у моль нитрата цинка. Тогда средняя молярная
масса газообразных продуктов реакции составит:
Мср = (х * 46 + 0.5х * 32 + 2у * 46 + 0.5у * 32): (1.5х + 2.5у)
По условию средняя молярная масса составляет 1.50*28 = 42 г/моль. Тогда:
62х + 108у = 42* (1.5х + 2.5у)
х = 3у
Пусть в смеси содержится 3 моль нитрата серебра. Тогда содержание нитрата цинка – 1 моль.
Массовая доля нитрата серебра составит:
170 * 3 : (3*170 + 189) = 73%
Соответственно, массовая доля нитрата цинка – 27%.
Задача 3
Задача предложена Михаилом Юрьевичем Скрипкиным, доцентом кафедры общей и неорганической
химии СПбГУ, к.х.н., преподавателем химии Академической гимназии СПбГУ.
Рассчитайте теплоту сгорания в газообразном кислороде 5,0 г ракетного топлива, содержащего по
массе 10% монометилгидразина (CH3-NH-NH2), 85% 1,1-диметилгидразина (CH3)2N-NH2) и 5%
инертного (негорючего) наполнителя. Напишите уравнения протекающих реакций. Для справки:
стандартные теплоты образования веществ:
метилгидразин(ж)
-54,2 кДж/моль, 1,1диметилгидразин(ж) -48,9 кДж/моль, вода(г) 241,8 кДж/моль, диоксид углерода(г) 393,5 кДж/моль.
Решение:
N2H3CH3 + 2,5 O2 = N2 + CO2 + 3 H2O
N2H2(CH3)2 + 4 O2 = N2 + 2 CO2 + 4 H2O
M(N2H3CH3) = 46 г/моль
M(N2H2(CH3)2) = 60 г/моль
Q(сгорания N2H3CH3) = (0+393,5+3 · 241,8) - (-54,2) = 1172,9 кДж/моль
Или 1172,9/46 = 25,5 кДж/г
Q(сгорания N2H2(CH3)2) = (0 + 2 · 393,5 + 4 · 241,8) - (-48,9) = 1803,1 кДж/моль
Или 1803,1/60 = 30,05 кДж/г
Q (суммарное)= 5 · 0,1 · 25,5 + 5 · 0,85 · 30,05 = 140,5 кДж.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Напишите уравнения реакций, с помощью которых можно осуществить следующие превращения
(укажите условия проведения процессов):
CaCl2  Ca(OH)2  CaCl(ClO)  Cl2  CaCl2  Ca
Если Вы не знаете, как осуществить то или иное превращение, пропустите его и запишите реакции,
соответствующие другим превращениям. Каждая стрелка подразумевает одну стадию.
Решение
  раствора

 Ca(OH)2 + H2 + Cl2
1) СаCl2 + Н2О электролиз
или
CaCl2 конц + 2KOHконц = Ca(OH)2 + 2KCl;
аждение
  СaCl(ClO) + H2O;
2) Ca(OH)2 р-р + Cl2 охл
3) CaCl(ClO) + 2HCl = CaCl2 + Cl2 + H2O (c любой кислотой);
4) Сl2 + Ca = CaCl2 (обычные усл.)
или
Cl2 + CaBr2 р-р = CaCl2 + Br2 (пропускание хлора или приливание хлорной воды);
  расплав

а Ca + Cl2.
5) CaCl2 электролиз
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Запишите уравнения электролитической диссоциации для солей в растворе: 1) CH3COONH4;
2) KH2AsO4; 3) K3[Fe(CN)6]; 4) NH4Al(SO4)2; 5) BaOBr2.
Решение
Соли – сильные электролиты, они состоят из ионов и потому диссоциируют в растворе нацело на
катионы и анионы. В случае сложного катиона или аниона (комплексного, содержащего ионы
водорода или гидроксогруппы) далее идет обратимая и ступенчатая диссоциация этого иона.
1) СH3COONH4 = CH3COO- + NH4+;
2) KH2AsO4 = K+ + H2AsO4-;
H2AsO4H+ + HAsO42-;
HAsO42H+ + AsO43-;
3) K3[Fe(CN)6] = 3K+ + Fe(CN)63-;
Fe(CN)63Fe(CN)52- + CN-;
Fe(CN)52Fe(CN)4- + CN-;
Fe(CN)4Fe(CN)3 + CN-;
Fe(CN)3
Fe(CN)2+ + CN-;
Fe(CN)2+
FeCN2+ + CN-;
FeCN2+
Fe3+ + CN-;
4) NH4Al(SO4)2 = NH4+ + Al3+ + 2SO42-;
5) BaOBr2 = Ba2+ + Br- + OBr-.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ МГУ
Получите пятью различными способами селенат цезия. Напишите уравнения реакций.
Решение
Возможные реакции:
2Сs + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2 (взаимодействие металла с кислотой – ОВР)
Cs2SeO3 + H2O2 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsOH + H2SeO4 = Cs2SeO4 + 2H2O (взаимодействие основания с кислотой)
Cs2O + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие основного оксида с кислотой)
2CsOH + SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислотного оксида с основанием)
CsOH + CsHSeO4 = Cs2SeO4 + H2O (взаимодействие кислой соли с основанием)
Cs2SO3 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + SO2 + H2O (ионный обмен)
Сs2O2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 (взаимодействие пероксида с кислотой)
Cs2O2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O (ОВР)
2CsO2 + H2SeO4 = Cs2SeO4 + H2O2 + O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой на холоду –
ОВР)
или 4CsO2 + 2H2SeO4 = 2Cs2SeO4 + 2H2O + 3O2 (взаимодействие надпероксида с кислотой при
нагревании – ОВР)
2CsO2 + H2SeO3 = Cs2SeO4 + H2O + O2 (при нагревании – ОВР)
или 2CsO2 + H2SeO3 + H2O = Cs2SeO4 + 2H2O2 (на холоду – ОВР)
(За 5 реакций ставится полный балл.)