XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция Центр дистанционного образования «Эйдос» НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА ОБЫЧНЫХ КЛЕТОК Математика, исследовательская работа. Сабитова Дарья, 7 класс , МБОУ «Комсомольская СОШ» Тукаевского района РТ, ismakaeva1997@yandex.ru/ Руководитель - Гайнеева Дилузя Фаткылкадировна , учитель математики МБОУ «Комсомольская СОШ» Тукаевского района РТ, M172172@yandex.ru www.matematik1963.jimdo.com Я выбрала эту тему, потому что с вычислениями площадей фигур буду часто сталкиваться в повседневной жизни и при сдаче ЕГЭ. Цели: Более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики –площади фигур, найти более рациональные (легкие) способы вычисления площадей фигур, нарисованных на клетчатой бумаге, создание условий для непрерывного самообразования, интеллектуального и творческого развития. Задачи: изучить теоретический материал по данной теме, изучить литературные источники, проанализировать вычисление площадей треугольников и прямоугольников старыми и новыми способами, доказать что исследованный способ подходит для всех фигур нарисованных на клетчатой бумаге. Проблема: Вычисление и измерение площадей фигур является одной из очень нужных тем в геометрии. Я думаю, что с этой проблемой буду очень часто сталкиваться в быту. Я умею вычислять площади прямоугольников и треугольников. Но ведь не все фигуры являются только треугольником, или прямоугольником. В силу своей любознательности я увидела, как старшеклассники с трудом вычисляют площади некоторых многоугольников (их они так называют). Гипотеза: Существуют формулы за пределами школьных учебников для вычисления площадей многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге. Практическая значимость: Экономия времени при вычислении площадей сложных фигур, различных многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге. Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014 www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция Содержание Возьмем клетчатую бумагу. Назовем линии идущие по сторонам клеток - сеткой, а вершины клеток – узлами. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рисунок1) и найдем его площадь. Искать ее можно по – разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить. Но это очень кропотливая и долгая работа. Я поступила так: дополнила фигуру до прямоугольника АВСД и вычла ее из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и ее площадь вычисляется без усилий. Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади мне пришлось изрядно потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника. Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рисунок 2). Обозначим через Х количество узлов (белые точки) , лежащих внутри прямоугольника ,а через У – количество узлов на его границе(черные точки). Я сместила сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. В этом случае прямоугольник можно «распределить» между узлами так: каждый из Х узлов берет целую клетку смещенной сетки, каждый из У берет на себя 4 граничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Нетрудно заметить, что площадь прямоугольника ABCD равна Х+(У-4):2 + 4*0,25(четверт) = Х+У:2-1. Таким образом, я установила формулу для прямоугольника нарисованного на клетчатой бумаге S=Х+У:2-1. Это - формула Пика. Заметим, что площадь треугольника равна 7*5=35. А теперь вычислим ее по формуле S=24+24:2-1=35. А теперь докажем что эта формула подходит для прямоугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки. Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014 www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция В С Треугольник АВС достроим до прямоугольника АВСД (рисунок 3). Для прямоугольника формула Пика верна. Так как прямоугольник состоит из равных треугольников, то площадь треугольника АВСД равна 2 умножить на площадь треугольника АВС: А Д SABCD =2*SABC Значит формула Пика верна для прямоугольного треугольника. Посмотрим, верна ли эта формула для любого треугольника! Рассматривая рисунок 4, легко понять : любой такой треугольник можно получить «отрезав» от некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки , несколько прямоугольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки . А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников , то она верна и для исходного треугольника. Вычислим площади нескольких произвольных многоугольников , применяя формулу Пика. 1. Решение: Целочисленные точки внутри многоугольника В = 21. Целочисленные точки на границе многоугольника Г = 5. Применяем формулу: 21 + 5:2 – 1 = 22,5. 2. Решение: Целочисленные точки внутри многоугольника В = 1. Целочисленные точки на границе многоугольника Г = 10. Применяем формулу: 1 + 10:2 – 1 = 5. Проведенные мной исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: я доказала, что существуют формулы для вычисления площадей многоугольников , если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки. Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014 www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru