Методические рекомендации для преподавателя по организации изучения дисциплин

Методические рекомендации для преподавателя
по организации изучения дисциплин
основной образовательной программы по специальности
230401.65 Прикладная математика
1.1. Общие принципы организации изучения дисциплин
Изучение дисциплин строится на сочетании: репродуктивно-алгоритмической технологии, ориентированной на освоение алгоритмов деятельности (конспектирование и самостоятельное рассмотрение учебного материала); эвристической технологии, направленной
на формирование у студентов опыта поисковой, исследовательской деятельности (преобразование учебной информации, реферирование, учебное проектирование); интерактивных
форм обучения, обеспечивающих включенность в процесс познания всех студентов группы
без исключения в индивидуальной, парной и групповой работе (проектная работа, решение
типовых задач, работа с различными источниками информации).
1.2. Методические материалы для преподавателя по подготовке занятий
в интерактивной форме
Современный подход к преподаванию заключается в построении его на технологической основе. Технологии в образовании рассматриваются как средство, с помощью которого
может быть реализована новая образовательная парадигма. Педагогическая технология представляет собой совокупность психолого-педагогических установок, определяющих выбор
форм, методов, способов, приемов, воспитательных средств. С помощью технологий достигается эффективный результат в развитии личностных свойств в процессе усвоения знаний и
выработке профессиональных компетенций. Педагогическая технология конкретно реализуется в технологических процессах (система форм и средств изучения определенной темы/модуля, организации различных типов занятий, решении различных задач). Целостность
технологии обеспечивается организационной формой, личностью/квалификацией преподавателя. Ведущими признаками педагогической технологии являются: описание цели; воспроизводимость педагогического процесса (предписание этапов, характера деятельности обучающего и обучаемых); воспроизводимость педагогических результатов. Общие принципы
технологии преподавания: педагогическая целесообразность, сотрудничество, конкретизация
целей, тематическое планирование, контроль на каждом этапе, стимулирование творческой
деятельности, разнообразие форм и методов. Образовательные технологии включают в себя
различные технологии обучения:
 технология работы с кейсом в учебном процессе (case study, «разбор конкретных
ситуаций»);
 технология «модельного обучения» (занятия в виде деловых игр);
 модульная технология (в качестве основы выделяется учебный модуль, который
включает в себя законченный блок информации);
 технология развивающего обучения (ее реализация требует, чтобы студент учился
в зоне своего ближайшего развития);
 проблемно-эвристическая технология (студенты отвечают на проблемные вопросы и решают проблемные задачи);
 информационная технология (это процесс подготовки и передачи информации
студенту, средством осуществления которой является компьютер);
 технология уровневой дифференциации (преподаватель ведет обучение на высоком уровне при этом постоянно выделяет базовый уровень обязательный компонент, а студент сам выбирает уровень освоения, который не может быть ниже базового);
 технология самооценки (она основана на рефлексии собственной деятельности
студента).
Интеракция – способ познания, осуществляемый в формах совместной деятельности
обучающихся, все участники образовательного процесса взаимодействуют друг с другом,
обмениваются информацией, решают проблемы совместно, моделируют ситуации, оценивают действия коллег и свое собственное поведение, погружаются в реальную атмосферу делового сотрудничества по разрешению проблем. Вектор интерактивного обучения: от формирования нового опыта к его теоретическому осмыслению через применение. Опыт и знания участников образовательного процесса служат источником их взаимообучения и взаимообогащения. Делясь своими знаниями и опытом деятельности, участники берут на себя
часть обучающих функций преподавателя, что повышает их мотивацию и способствует
большей продуктивности обучения.
При интерактивном обучении педагог выполняет функцию помощника в работе, одного из источников информации. Центральное место в его деятельности занимает не отдельный учащийся как индивид, а группа взаимодействующих учащихся, которые стимулируют
и активизируют друг друга.
Преподаватель должен:
 стимулировать студентов к свободному обмену мнениями при подготовке к интерактивному обучению;
 обеспечить дружескую атмосферу для студентов и проявлять положительную и
стимулирующую ответную реакцию;
 подчеркивать образовательные, а не соревновательные цели выполнения задания;
 стимулировать исследовательскую работу;
 заранее подготовить вопросы, которые можно было бы ставить на обсуждение по
ходу занятия, чтобы не дать погаснуть дискуссии, обсуждению;
 не допускать ухода за рамки обсуждаемой проблемы;
 обеспечить широкое вовлечение в разговор большего числа магистрантов;
 следить за тем, чтобы объектом критики являлось мнение, а не участник, выразивший его;
 проанализировать и оценить проведенное занятие, подвести итоги, результаты;
 показывать хорошее знание материала в рамках учебной программы;
 обладать речевой культурой, свободным и грамотным владением профессиональной терминологией.
В процессе освоения дисциплин предусматривается использование следующих интерактивных образовательных технологий:
1. Лекция-беседа, или диалог со слушателями, предполагает непосредственный контакт с аудиторией, привлечение внимания учащихся к наиболее важным вопросам темы,
определение содержания и темпа изложения с учетом специфики аудитории, расширение
круга мнений обучающихся, использование коллективного опыта и знания. Необходимо следить, чтобы задаваемые вопросы не оставались без ответов.
2. Лекция-визуализация предполагает использование форм наглядности, являющихся
носителями информации. При подготовке данной лекции учебная информация трансформируется в визуальную форму для представления студентам через технические средства обучения или вручную (схемы, рисунки, чертежи и т.п.). Лекция-визуализация способствует созданию проблемной ситуации, разрешение которой происходит на основе анализа, синтеза,
обобщения, свертывания или развертывания и перекодирования информации, т.е. с включением активной мыслительной деятельности.
4. Технологии КСО – работа в малых группах дает всем студентам возможность
участвовать в работе, практиковать навыки сотрудничества, межличностного общения: умение активно слушать, вырабатывать общее мнение, разрешать возникающие разногласия и
т.д.
5. Презентация с использованием мультимедийного оборудования как метод интерактивного обучения тесно связан с вышеописанным и является его результатом.
6. Коллективные решения творческих задач как метод интерактивного обучения
используется на семинарских занятиях при подготовке освещения отдельных вопросов малыми группами студентов, при этом микрогруппа (2-3 студента): 1) систематизирует необходимую информацию; 2) составляет ее граф-схему; 3) формулирует проблемные вопросы по
содержанию.
7. Метод моделирования / проектов. Моделирование - это исследование какого либо
объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах
используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.
Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течение тысячелетий. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая
формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между
отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое
описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.
Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы.
Основные принципы моделирования – наглядность, определенность, объективность.
Естественно, никакая модель, даже очень сложная, не может дать полного представления об
изучаемом объекте и точно предсказать его развитие или описать траекторию движения в
каком-то собственном пространстве.
Моделирование как метод научного исследования является интегративным, он позволяет объединить эмпирическое и теоретическое, т.е. сочетать эксперимент с построением логических конструкций и научных абстракций.
Моделирование обучающимися изучаемых явлений (учебного материала) выступает и
в роли учебного средства и способа обобщения учебного материала, а также представления
его в свернутом виде. Кроме того, построение семантических схем позволяет логически упорядочить и представить учебную информацию в наглядной форме.
Основные требования к использованию метода проектов: наличие значимой проблемы, требующей интегрированного знания и исследовательского поиска решения; теоретическая, практическая и познавательная значимость предполагаемых результатов; самостоятельная (индивидуальная, парная, групповая) деятельность студентов; структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов); использование исследовательских методов (определение проблемы и вытекающих из неё задач исследования, выдвижение гипотез для их решения, обсуждение методов исследования, оформление результатов, анализ полученных данных, выводы).
Основными этапами реализации метода проектов являются: организационноподготовительный, технологический, заключительный, на котором происходит представление результатов и контроль деятельности учащихся.
Роль преподавателя в ходе выполнения проектов заключается в правильном ориентировании и консультировании обучающихся в процессе целеполагания, в формировании
стремления их к саморазвитию и самосовершенствованию, выработке навыков самоорганизации образовательной деятельности. Обязательным условием является создание позитивно-
го психологического микроклимата, стимулирование уверенности обучающихся в собственных силах, самостоятельности и настойчивости в решении поставленных задач.
Таким образом, работа по выполнению проекта способствует активизации самообразования и самовоспитания. Прогрессивная роль проектной деятельности обуславливается
тем, что в процессе активизации творческой направленности у будущих дефектологов значительно расширяется сфера информационного восприятия и представления, формируются и
совершенствуются определенные познавательные способности, гармонизируются процессы
умственной деятельности и вырабатываются умения самостоятельного приобретения и применения знаний на практике.
1.3 Методические материалы для преподавателя по подготовке и проведению семинарских, практических и лабораторных занятий
Семинарские, практические и лабораторные занятия нацелены на формирование у
студентов рефлексивной позиции по отношению к научному знанию, представляющему основные положения содержания изучаемой программы. Материалом для работы служат конспекты и тексты лекций, учебники, научная литература.
Методическим документом, организующим самостоятельную работу студентов по
подготовке к семинарским занятиям, а также их ход, являются их тематические планы,
включающие: название темы и количество часов на ее изучение, вопросы для изучения и обсуждения. Количество вопросов плана семинарского занятия зависит от определенного тематическим планом курса времени на изучение данной темы. Как свидетельствует практика
учебного процесса, за 2 академических часа возможно полноценное и результативное обсуждение не более 3-4 вопросов. В практике проведения основными формами выступают: развернутая беседа, обсуждение докладов.
Семинар – форма организации обучения, при которой на этапе подготовки доминирует самостоятельная работа обучающихся с учебной литературой и другими дидактическими
средствами над серией вопросов, проблем и задач, в процессе семинара идут активное обсуждение, дискуссии и выступления, обобщающие выводы и заключения которых делаются
под руководством преподавателя.
Успех всего семинара и особенно на этапе его подготовки во многом зависит от эффективности самостоятельной работы учащихся – умения работать с несколькими источниками, осуществлять сравнение того, как один и тот же вопрос излагается различными авторами, делать собственные обобщения и выводы. Комплексность семинара определяется тем,
что в ходе его проведения сочетаются выступления обучающихся и преподавателя; положительное толкование (рассмотрение) обсуждаемой проблемы и анализ различных, часто дискуссионных позиций; обсуждение мнений обучающихся и разъяснение (консультация) преподавателя; углубленное изучение теории и приобретение навыков умения ее использовать в
практической работе.
Так как семинар предназначен для углубленного изучения дисциплины, то главная его
цель – обеспечить обучающимся возможность овладеть навыками и умениями использования теоретического знания применительно к особенностям изучаемой отрасли. Особенность
семинарского занятия – возможность равноправного и активного участия каждого обучающегося в обсуждении рассматриваемых вопросов.
По своему назначению семинарское занятие, в процессе которого обсуждается та или
иная научная проблема, способствует: углубленному изучению определенного раздела дисциплины, закреплению знаний; отработке методологии и методических приемов познания;
выработке аналитических способностей, умения обобщения и формулирования выводов;
приобретению навыков использования научных знаний в практической деятельности; выработке умения кратко, аргументировано и ясно излагать обсуждаемые вопросы; осуществлению контроля преподавателя за ходом обучения.
Итак, семинары как форма учебных занятий многофункциональны:
 стимулируют регулярное изучение студентами первоисточников и другой литературы, а также внимательное отношение к лекционному курсу;
 закрепляют знания, полученные при прослушивании лекции и в самостоятельной
работе над литературой;
 расширяют круг знаний благодаря выступлениям товарищей и преподавателя на
занятии;
 позволяют студенту проверить правильность ранее полученных знаний, вычленить в них наиболее важное, существенное;
 способствуют превращению знаний в твердые личные убеждения, рассеивают сомнения, которые могли возникнуть на лекциях и при изучении литературы, чему особенно
способствуют столкновения мнений, дискуссии;
 прививают навыки самостоятельного мышления, устного выступления по теоретическим вопросам, оттачивают мысль, приучают студентов свободно оперировать терминологией, основными понятиями и категориями;
 предоставляют возможность преподавателю систематически контролировать уровень самостоятельной работы студентов над первоисточниками, другим учебным материалом, степень их внимательности на лекциях;
 позволяют изучить мнения, интересы магистрантов;
 служат средством контроля преподавателя не только за работой студентов, но и за
своей собственной как лектора, руководителя семинара, консультанта и т.д.
Практические занятия по дисциплинам ориентированы на овладение студентами
навыками, умениями и опытом построения математических моделей, их реализации при решении конкретных задач и проверку правильности результатов.
Семинарские и практические занятия проводятся с использованием таких методов,
как работа в малых группах, дискуссия, коллективные решения творческих задач, презентация, в т.ч. с использованием мультимедийного оборудования.
Основными формами оценки результатов деятельности студентов на семинарских и
практических занятиях являются устный опрос и письменные работы (тестирование, домашние контрольные работы, рефераты, проекты) используются как вид контроля и метод оценивания уровня сформированности необходимых компетенций.
Методические рекомендации для студентов при изучении
дисциплин основной образовательной программы по специальности
230401.65 Прикладная математика
Методические рекомендации для студентов по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины
Многочисленные исследования бюджета времени студентов показывают, что для
овладения всеми дисциплинами, изучаемыми в течение семестра, студенту необходимо
самостоятельно заниматься 2-4 часа ежедневно. Особенно важно выработать свой собственный, с учетом индивидуальных особенностей, стиль в работе, установить равномерный ритм на весь семестр. Под ритмом понимается ежедневная работа приблизительно в
одни и те же часы, при целесообразности чередования ее с перерывами для отдыха.
Правильно организованный, разумный режим работы обеспечит высокую эффективность без
существенных перегрузок.
Успешное изучение курса требует от студентов посещения лекций, активной работы
на семинарах, выполнения всех учебных заданий преподавателя, ознакомления с основной и
дополнительной литературой.
2.2.1. Методические рекомендации по подготовке к лекциям и составлению конспектов
Подготовка к лекциям предполагает работу с имеющимися конспектами лекций и
чтение основной и дополнительной литературы. В процессе лекционного занятия студент
должен выделять важные моменты, выводы, анализировать основные положения. Если
при изложении материала преподавателем создана проблемная ситуация, необходимо пытаться предугадать дальнейший ход рассуждений. Это способствует лучшему усвоению материала лекции и облегчает запоминание отдельных выводов. Лекции имеют в основном обзорный характер и нацелены на освещение наиболее трудных и дискуссионных вопросов.
Предполагается также, что студенты приходят на лекции, предварительно проработав
предыдущий учебный материал по источникам, рекомендуемым программой. Для более
прочного усвоения знаний лекцию необходимо конспектировать.
Конспект – это систематическая, логически связная запись, отражающая суть текста.
В отличие от тезисов, содержащих только основные положения, конспекты при обязательной
краткости содержат факты и доказательства, примеры и иллюстрации. Общие требования ко
всем видам конспектов: системность и логичность изложения материала, краткость, убедительность и доказательность.
Конспект лекции – одна из форм активной самостоятельной работы, требующая
навыков и умения кратко, схематично, последовательно и логично фиксировать основные
положения, выводы, обобщения, формулировки. Рекомендуется:

конспектировать только самое важное в рассматриваемой теме: формулировки определений и классификации, выводы и то, что старается выделить лектор, на чем
акцентирует внимание студентов;

отфильтровывать и сжимать подаваемый материал;

подробно записывать основную информацию и кратко – дополнительную;

в процессе лекции разбивать текст на смысловые части и заменять их содержание короткими фразами и формулировками.
Культура записи лекции – один из важнейших факторов успешного и творческого
овладения знаниями. Последующая работа над текстом лекции актуализирует в памяти ее
содержание, позволяет развивать аналитическое мышление. В ходе и в конце лекции преподаватель оставляет время (5-10 минут) для того, чтобы студенты имели возможность задать
уточняющие вопросы по изучаемому материалу.
При конспектировании лекционного материала оптимальным является тезисный конспект — сжатый, в форме кратких тезисов пересказ услышанного. Такой конспект быстро
составляется и запоминается; учит выбирать главное, четко и логично излагать мысли, дает
возможность усвоить материал еще в процессе его изучения. Он помогает, если нужно оперативно подготовить доклад, выступление. Тем не менее работать с тезисным конспектом
через некоторое время трудно, так как содержание материала плохо восстанавливается в памяти. Работа с конспектом лекций предполагает просмотр конспекта в тот же день после занятий, выделение материала конспекта, который вызывает затруднения для понимания. Попытайтесь найти ответы на затруднительные вопросы, используя рекомендуемую литературу. Если самостоятельно не удалось разобраться в материале, сформулируйте вопросы и обратитесь за помощью к преподавателю на консультации или ближайшей лекции. Регулярно
отводите время для повторения пройденного материала, проверяя свои знания, умения и
навыки по контрольным вопросам.
Опыт показывает, что только многоразовая, планомерная и целенаправленная обработка лекционного материала обеспечивает его надежное закрепление в долговременной памяти человека. Предсессионный штурм непродуктивен, материал запоминается
ненадолго. Необходим систематический труд в течение всего семестра.
Методические рекомендации по подготовке к семинарским занятиям
и самостоятельному изучению разделов
Основной формой подготовки к семинарским занятиям является самостоятельная работа магистранта, предполагающая усвоение им основных понятий и категорий в области
изучаемой темы; развитие умения выражать и обосновывать свою позицию по ее актуальным
и принципиальным проблемам. Семинарские занятия прививают студенту навыки самостоятельного мышления и устного выступления, формируют умение понимать и адекватно оце-
нивать отдельные явления и концепции, объективно и непредвзято анализировать разнообразные теории, базовые понятия, достоинства и недостатки различных подходов, находить
их взаимосвязи и противоречия, обосновывать свою позицию.
Рекомендации по работе с литературными источниками. Объем и содержание необходимой базы источников определяется целями и задачами работы. Не существует единственного открытого источника, в котором студент мог бы найти полную библиографию по
интересующей его проблеме на русском и иностранных языках. Появление новых публикаций – непрерывный процесс, за которым следует постоянно следить.
Работа над темой или вопросом семинарского занятия начинается с подбора и первичного ознакомления с необходимой литературой – учебниками, учебными пособиями, монографиями, периодикой (журналами, альманахами), нормативными источниками. Электронные публикации можно включить в число официальных источников с некоторой долей
условности. Определенный интерес могут представлять личные публикации ученых на вебстраницах; электронные журналы, содержащие материал, сходный со статьями в аналогичных печатных журналах; книги из электронных библиотек, представляющие собой аналоги
печатных трудов.
Определенные преимущества работы с электронными публикациями в том, что исследователь получает возможность ознакомиться с научным материалом до его публикации
в печати; большую роль играет также сравнительная быстрота поиска требуемой информации; особую ценность представляет материал с домашних страниц ученых. Недостатками
являются определение степени достоверности излагаемого в электронных публикациях материала, нередкие грамматические и фактические ошибки, сокращенное изложение материала первоисточника и т.д.
Как правило, за качество публикуемой в Интернете информации никто не несет ответственности, поэтому она автоматически ложится на пользователя этой информации. В
связи с этим к электронным публикациям следует относиться достаточно скептически и контролировать их количество и качество.
Для поиска литературы используются библиотечные систематические, алфавитные,
предметные каталоги, а также различные библиографические справочные издания (указатели
по отдельным темам и разделам), сноски и ссылки в учебниках и монографиях, энциклопедических словарях. Для выяснения и уточнения различных вопросов, фактов, понятий, терминов используется справочная литература, которая является составной частью справочнопоискового аппарата библиотеки.
В поисках необходимой периодической литературы следует обращаться к указателям
статей, опубликованных в течение года. Такие указатели приводятся в конце последнего номера за каждый год издания. Перечень нормативной литературы составляется по специальным периодическим изданиям министерства образования и науки РФ.
Этапы работы с литературой:
1. Первичный подбор литературы по изучаемой проблеме. Его задачей является поиск
материалов: а) излагающих теоретические основы вопроса; б) отражающих результаты проведенных соответствующих исследований.
2. Общее знакомство с содержанием источников по теме исследования. Чтобы представить и оценить состояние исследуемой проблемы рекомендуется вначале ознакомиться с
работами более общего характера (учебными пособиями), а затем с источниками, освещающими частные вопросы проблемы. Нередко целесообразнее сначала ознакомиться с последними публикациями, чтобы оценить объективно исторический аспект постановки проблемы.
В первом чтении новых книг и статей необходимо обратить внимание на их структуру, основное содержание, заключение и выводы. Обязательно обращается внимание на приводимые в этих трудах рекомендательные списки литературы и отобрать в них те источники,
что освещают последние исследования в данной области.
При знакомстве с литературой в любом случае на нее составляется библиография.
3. Углубленное изучение первоисточников на основе повторного чтения. На этом этапе: а) выделяются главные мысли и основные положения относительно изучаемой проблемы;
б) на основе их анализа они сопоставляются с данными и положениями других авторов; в)
делаются выводы об общих взглядах разных ученых на проблему или ее аспекты и о субъективных позициях каждого автора.
Подготовка студентов к практическому (семинарскому) занятию, а также самостоятельное изучение отдельных тем и параграфов предполагает выполнение письменных работ.
Рекомендации по составлению плана источника
План – это схематически записанная совокупность коротко сформулированных
мыслей-заголовков, «скелет» произведения. План значительно подробнее, чем оглавление,
передает содержание частей текста. Правильно составленный план свидетельствует об
умении анализировать текст и степени усвоения его содержания. Достоинствами плана являются:
- краткость записи, что позволяет сравнительно легко переделывать его, совершенствуя как по существу, так и по форме;
- наглядность и обозримость, проявляющиеся в возможности последовательно изложить материал;
- включенность элементов, свидетельствующих об обобщении содержания произведения, что позволит в дальнейшем развить эти положения в тезисах, конспектах, рефератах.
Составляя сложный план, объединяют часть пунктов под одним заглавием или,
наоборот, детализируют некоторые пункты, разбивая их на более мелкие. Возможны два
способа работы:
1) разрабатывают подробный простой план, а далее преобразуют его в сложный,
группируя части пунктов под общими для них заголовками (основными пунктами сложного
плана);
2) составляют краткий простой план и затем, вновь читая текст, преобразуют его в
сложный, подыскивая детализирующие пункты. Второй путь требует больших затрат времени и приемлем лишь при продолжительной, заранее запланированной работе.
При всех достоинствах плана он лишь помогает узнать, о чем рассказывает источник,
но не дает сведений о том, как изложен материал, т. е. не передает фактического содержания,
а лишь скупо, схематично фиксирует его. Поэтому планом можно пользоваться, чтобы оживить в памяти хорошо знакомый материал или слабо запомнившийся текст вскоре после составления плана. Лишь в этих случаях не потребуется вновь обращаться к источнику.
Рекомендации по составлению плана-конспекта выступлений /
докладов к семинарским занятиям
План-конспект готовится с помощью предварительно сделанного специально для конспекта плана произведения. Каждому вопросу плана в такой записи отвечает определенная
часть конспекта. Однако если пункт плана не требует дополнений и разъяснений, он не сопровождается текстом. Это одна из особенностей стройного, ясного и короткого планаконспекта. Как вариант плана-конспекта составляется схематический план-конспект, т. е.
схема, отражающая логическую структуру и взаимосвязь отдельных положений с необходимыми пояснениями.
Этапы работы: 1) составьте план прочитанного текста; 2) передайте суть каждого
пункта плана кратко и доказательно – в виде текста или схемы; 3) запишите план (схему) с
пояснениями.
Свободный (художественный) конспект – сочетание выписок, цитат, тезисов. Свободный конспект требует умения самостоятельно четко и кратко формулировать основные
положения, для чего необходимы глубокое осмысление материала, большой и активный запас слов. Само составление этого вида конспекта прекрасно развивает указанные выше качества. Над свободным конспектом приходится много работать, но затраченные усилия принесут несомненную пользу, так как такой конспект в высшей степени способствует усвоению
материала, предопределяет активное использование всех типов записей: планов, тезисов, выписок.
Этапы работы:
1) работая с источниками, изучите их и глубоко осмыслите;
2) сделайте необходимые выписки основных мыслей, цитат, составьте тезисы;
3) используя подготовленный материал, сформулируйте основные положения по теме.
Рекомендации по подготовке к промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация – форма заключительной проверки знаний, умений,
навыков, степени сформированности компетенций. Промежуточная аттестация проводится в
форме экзамена или зачета.
Студент допускается к промежуточной аттестации по дисциплине в случае выполнения им учебного плана дисциплины. В случае наличия учебной задолженности студент отрабатывает пропущенные занятия в форме, предложенной преподавателем (реферат, самостоятельное письменное рассмотрение отдельных вопросов темы, выполнение контрольной работы по пропущенной теме и др.).
Необходимо начинать готовиться к промежуточной аттестации заранее, составляя
план на каждый день подготовки. Перед началом подготовки необходимо просмотреть весь
материал и отложить тот, что хорошо знаком, а начинать учить незнакомый, новый.
К трудно запоминаемому материалу необходимо возвращаться несколько раз. Заучиваемый материал лучше разбить на смысловые части, стараясь, чтобы их количество не превышало семи. Смысловые части материала необходимо укрупнять и обобщать, выражая
главную мысль одной фразой. Текст можно сократить, представив его в виде схемы типа
«звезды», «дерева» и т.п. При этом восприятие и качество запоминания значительно улучшаются за счет большей образности записи.
Рекомендуется использовать различные приемы для лучшего понимания и запоминания материала: чертить схемы, оформлять материал в таблицы, конспектировать с выделением пунктов плана. Можно также практиковать написание вопросов в виде краткого, тезисного изложения материала. Пересказ текста своими словами приводит к лучшему его запоминанию, по сравнению с многократным чтением, поскольку это активная, организованная целью умственная работа. При подготовке к промежуточной аттестации необходимо чередовать теоретические и практические вопросы, что разнообразит деятельность, обеспечивая ей
большую эффективность. Активную интеллектуальную деятельность необходимо чередовать
также с упражнениями, способствующими снятию внутреннего напряжения, усталости, достижению расслабления.
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
«Математический анализ»
Согласно программе, проводится экзамен в 1-м, 2-м, и 3-м семестрах по разделам: 1)
Введение в анализ; 2) Дифференциальное исчисление функции одной переменной; 3) Интегральное исчисление функции одной переменной; 4) Функции нескольких переменных. В 4м и 10-м семестрах контроль знаний по разделу Теория рядов осуществляется с помощью зачета. Программой предусмотрены самостоятельные и контрольные работы (в том числе и
домашние) по основным разделам курса.
Перечень вопросов и заданий к зачету, экзамену
Вопросы к экзамену
1. Множество N натуральных чисел и его свойства. Множество Z целых чисел и его
свойства.
2. Множество Q рациональных чисел и его свойства.
3. Определение иррационального числа. Множество R действительных чисел и его
свойства.
4. Расширенные множества действительных чисел R и R .
5. Числовые промежутки (конечные и бесконечные).
6. Окрестности точки и их свойства. Окрестности бесконечностей.
7. Модуль действительного числа и его свойства.
8. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точные границы и их свойства.
9. Принцип стягивающихся сегментов Кантора.
10. Понятие отображения. Действительная функция одной действительной переменной (основные понятия, способы задания).
11. Арифметические операции над функциями. Сложная функция. Графическое представление результатов.
12. Построение графиков функций с помощью преобразований.
13. Ограниченные и неограниченные функции. Свойства ограниченных функций.
14. Четные и нечетные функции и их свойства. Монотонные функции.
15. Периодические функции и их свойства.
16. Обратимые функции. Понятие обратной функции. Свойства взаимно обратных
функций. Алгоритм нахождения обратной функции.
17. Числовая последовательность. Основные понятия, примеры, способы задания, определение предела числовой последовательности, теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей.
Геометрический смысл предела последовательности.
18. Свойства сходящихся последовательностей.
19. Теоремы о переходе к пределу под знаком неравенства.
20. Бесконечно малые последовательности. Определение и примеры. Свойства.
21. Лемма о представлении сходящейся последовательности в виде суммы значения предела
и бесконечно малой последовательности.
22. Теоремы об арифметических операциях над пределами последовательностей.
23. Бесконечно большие последовательности. Определение, примеры, свойства.
24. Теоремы К. Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
25. Число е.
26. Подпоследовательность. Теорема Б. Больцано–К. Вейерштрасса (критерий сходимости
подпоследовательности).
27. Предельные точки числового множества и их характеристическое свойство. Определение
предела функции в точке по Х. Гейне. Примеры. Доказать, что  lim sin x .
x 
28. Определения предела функции в точке по О. Коши и на языке окрестностей. Доказать,
что lim sin x  sin x0 .
x  x0
29. Теоремы о пределах функций.
30. Арифметические операции над пределами функций.
31. Первый замечательный предел.
32. Сложная функция. Теорема о пределе сложной функции.
33. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми функциями.
34. Предел функции на бесконечности. Второй замечательный предел.
35. Сравнение бесконечно малых функций. Применение эквивалентных бесконечно малых к
вычислению пределов функций.
36. Односторонние пределы функции в точке.
37. Различные определения непрерывной функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Геометрический смысл непрерывности функции в точке. Доказать непрерывность функций:
y  x, y  e x , y  sin x, y  cos x, y  a x (a  0, a  1) .
38. Точки разрыва и их классификация.
39. Арифметические операции над непрерывными функциями. Доказать непрерывность целой и дробно-рациональной функций, а также функций y  tgx и y  ctgx на областях их определения.
40. Сложная функция. Непрерывность сложной функции.
41. Свойства функций, непрерывных в точке, на отрезке.
42. Непрерывность класса элементарных функций.
Задачи
 3
lg x
 3lg 2 9 lg
x 1
.
1.
Решите уравнение:
2.
3.
Найдите множество значений функции y  17  7
.
Запишите рациональное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
а) -5; б)
9
3
2
; в) ; г)
. Представьте в виде обыкновенной дроби следующие периодические
625
7
19
x
десятичные дроби: а) 32,(9); б) 5,(21); в) 7,6(32).
4.
Найдите область определения функции:
а) f ( x)  2 x 3  3x  1;
б) g ( x)  2 x  3 ;
в) ( x)  lg x 2  4; г) f ( x) 
x2  1 ;
x 2  3x  2
д)
x3
 16  x 2 .
x2
g ( x) 
На рисунке изображена часть графика функции, про которую известно, что она периодическая с основным периодом Т и нечетная (четная). Постройте
график этой функции.
5.
Y
0
T
4
T
2
X
6.
Найдите функцию, обратную данной, и постройте
f ( x)  3  2 x ;
графики взаимно-обратных функций: а)
2 x  1, x  2,

б) g x   4  x , x  0 ; в)  ( x)   1
 2 x  4, x  2.
2
7.
Является ли
[1; 3]; д) (1; 2); е) (1,9; 2,1)
 -окрестностью точки 2 множество: а) (–1; 3);
Решите неравенства: а)  1 
8.
4
x  x 1

б) [0;
  );
в) (0; 2); г)
1;
16
б) 0,13 х  3  0,01х  3  0,1х  1  0 ;
в) 5  9 х  7  15 х  6  25 х  0 ; г) x  2 x  8 .
9.
Решите уравнения: а) 4  7 x 2  9 ; б) x  5  5  x ;
в) 2 x  3  x 2 ; г) x  3  3x  1; д) x  2  x  1  x  3 .
10.
Определите, какие из ниже приведенных числовых множеств ограничены сверху,
ограничены снизу, ограничены, не ограничены: а) множество рациональных чисел r  p , для кото-
q
рых 0  p  q ; б) множество рациональных чисел r  p , для которых 0  q  p в) множество десяq
тичных приближений 3 по избытку; г) множество десятичных приближений 3 по недостатку.


Найдите область определения функции: ( x)  log 1 x 2  6 x  9 
11.
2
12.
Решите следующие неравенства:
а) log 13  x   2  log  x  1  2;
2 3
2 3
б) 0,5  log x 2  6 x  24   log 8 2 x  93 ;
2
в) log  log  x  2 x    0 ;
1
8
x  3 
2
2



г) log 2 x1 3x  5  log 2 x1 15  7 x  ;
д) log 4  x  12   log x 2  1 ;
x 2  2x  8 .
е) log 1, 6 x  1  1 .
x
Постройте графики функций: а) y  x ; б) y  2 x  3 ;
x
Найдите область определения сложной функции
13.
14.

в) y  5  x  x  2 .
f g

f x   lg 9  8x  x , g x   2 x  1 .
2
Выясните,
15.
являются
а) f x   2 sin x  3 cos x ;
ли
следующие
б) f x   x 2  3 , где x   1;2 ;
u( x)  log 2 x , где x  0;1.
и
функции
x3
в) v x  
;
x 1
g f ,
если
ограниченными:
г) g ( x ) 
1
;
x 1
2
д)
Исследуйте функцию на четность и нечетность, пользуясь определением:
16.
x2 1
52x  1
;
2)
.



x

x 2  2x
5x
Является ли функция hx   x 2  2 x  5 ограниченной на отрезке  1; 2.
Решите уравнения: а) log 0,5 x  9  log 0,5 8  3x  2 ;
б) 2 lg x 2  lg 2  x   4 ;
1)  x  
17.
18.
в) x 2 log
25
x
2
 27 x  28  x log 1
log1 x 4
x  27 x  28  x  x ; г) x
2
2
3
 27 ; д) log 1 x  x 
2
5
1
.
2
Пусть lim xn  a . 1) Могут ли все члены последовательности  xn  быть положитель-
19.
n 
ными (отрицательными), если a  0 ? 2) Может ли последовательность  xn  иметь бесконечно много
отрицательных (равных нулю) членов, если a  0; a  0 ? 3)Докажите, что последовательность  xn 
ограничена.
20.
Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности  xn  . Следует ли из этого условия, что: 1) lim xn  a ; 2) никакая точка вне этой окрестноn 
сти не является пределом последовательности  xn  ; 3)  xn  ограничена?
21.
Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности  xn  . Следует ли из этого условия, что: 1) lim xn  a ; 2)  xn  ограничена?
n 
22.
Пусть последовательность  xn  является ограниченной (неограниченной). Следует ли
из этого условия, что она сходится (расходится)?
5  3n
 5.
n   3n  2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что lim
23.
24.
Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой. Верно ли аналогичное утверждение для бесконечно больших последовательностей? Ответ
обоснуйте.
25.
Пусть xn  yn  – бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что  xn 
и  yn  – бесконечно малые последовательности? Ответ обоснуйте.
Приведите
26.
примеры
последовательностей
lim xn  0, lim yn   , а их произведение
n 
n 
xn yn  является
xn 
и
 yn  ,
для
которых
последовательностью: 1) сходящейся;
2) расходящейся, но ограниченной; 3) бесконечно малой; 4) бесконечно большой.
27.
Найдите наименьший член последовательности  xn  , если: 1) xn  n 2  9n  100 ; 2)
xn  n 
100
.
n
28.
Вычислите lim
n 
n cos n
.
n 1
29.
30.
 1
1
1

.
Вычислите lim 

 ... 
n  1  2
23
n(n  1) 

Пусть lim xn  4 . Может ли последовательность  xn  быть: 1) сходящейся (если да,
2
n 
то чему может быть равен ее предел); 2) расходящейся?
31.
x
Дана функция f  x  
x
. Определена ли функция f (x ) в точке x  0 ? Является ли
точка x  0 предельной точкой области определения функции? Существует ли lim f ( x) ?
n
x 1
.
x 1 x  1
3 x 2
Вычислите lim
.
x 1
x 1
2
32.
33.
Вычислите lim
0, x  I ,
не имеет предела ни в одной точ1, x  Q,
34.
Докажите, что функция Дирихле Dx   
35.
Пользуясь определениями предела функции по О. Коши и Х. Гейне, докажите, что
ке.
3x  5 x  2
 7.
x2
2
lim
x2
36.
 x2 
Вычислите lim 
 .
x  2 x  3


37.
Вычислите lim 
x
38.
 x 2
 .
x  x  3


1 / ln x
Вычислите lim x 
.
39.
Исследуйте
2x
x  0
функцию
на
непрерывность
и
постройте
схему
её
графика:
функцию
на
непрерывность
и
постройте
схему
её
графика:
2, x  1,

f ( x)  1  x 2 ,1  x  1,
ln x, x  1.

40.
Исследуйте
 x, x  0,
 1, x  0,


g  x   tgx,0  x   ,
2



1, x  .
2

41.
при x  0 .
Определите значение f (0) так, чтобы функция f x  
5 x 2  3x
стала непрерывной
2x
Вопросы к экзамену
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, её геометрический и механический смысл. Дифференцируемые функции, их непрерывность.
2. Геометрический и физический смыслы производной функции. Уравнение касательной и
нормали к графику дифференцируемой функции.
3. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
4. Свойства дифференцируемых функций.
5. Дифференцирование суммы, произведения и частного.
6. Дифференцирование композиции и обратной функции.
7. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование показательно-степенной
функции.
8. Производные высших порядков.
9. Вывод формулы бинома И. Ньютона.
10. Параметрическое задание кривых на плоскости. Функции, заданные параметрически, их
дифференцирование.
11. Дифференциал функции, его свойства, геометрическое и механическое толкование.
12. Правила дифференцирования.
13. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.
14. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях.
15. Дифференциалы высших порядков.
16. Теорема П. Ферма.
17. Теорема М. Ролля.
18. Теорема Ж. Лагранжа.
19. Теорема О. Коши.
20. Правила И Бернулли–Г. Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0/0 и /  .
Раскрытие неопределенностей других типов.
21. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и
наименьшее значения функций, непрерывных на промежутке.
22. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точи
перегиба
23. Асимптоты. Исследование функции, построение графика.
24. Понятие первообразной и её свойства. Определение неопределенного интеграла и его
геометрическое толкование.
25. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод подстановки.
26. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Тригонометрические подстановки.
27. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
28. Интегрирование простейших рациональных дробей.
29. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.
30. Интегрирование некоторых иррациональных функций (дробно-линейных иррациональностей, биномиальных дифференциалов, квадратичных иррациональностей посредством подстановок
Эйлера).
31. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
32. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
33. Конструктивное определение определенного интеграла и его геометрическое толкование. Необходимое условие существования определенного интеграла. Определение определенного интеграла в школьном учебнике.
34. Суммы Дарбу и их свойства. Следствие из свойств сумм Дарбу.
35. Необходимое и достаточное условия (критерий) интегрируемости функций.
36. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора и ее следствие.
37. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами и неравенствами.
38. Теорема о среднем значении.
39. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
40. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница).
41. Замена переменной в определенном интеграле.
42. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
43. Понятие о несобственных интегралах:
а) с бесконечными пределами интегрирования;
б) от неограниченной функции.
44. Квадрируемые фигуры (аксиоматическое и конструктивное определения площади плоской фигуры).
45. Линия нулевой площади. Критерии квадрируемости. Теорема о графике функции, непрерывной на [a,b]. Примеры квадрируемых фигур.
46. Нахождение площади криволинейной трапеции в случае, когда ограничивающая её кривая задана в прямоугольных координатах.
47. Отыскание площади криволинейной трапеции в случае, когда ограничивающая её кривая
задана параметрически. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
48. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах. Пример.
49. Критерий кубируемости. Нахождение объема прямого цилиндра. Нахождение объема регулярного тела. Вычислить объем пирамиды.
50. Отыскание объема тела вращения. Вычислить объем шара. Принцип Кавальери.
51. Спрямляемые дуги. Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах. Найти длину окружности.
52. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически. Найти длину окружности.
53. Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах. Найти длину дуги
кардиоиды =1+sin.
54. Площадь поверхности вращения (аксиоматическое и конструктивное определения).
Найти площадь поверхности шара.
Задачи
1. Пользуясь определением производной, найдите производную функции y  x3 в точке
x  1.
2. Сравните на промежутке 0  t  1 мгновенные и средние скорости двух точек, прямолинейные движения которых заданы уравнениями s1  t 2 , s2  2t 4 t  0.
 x 2 sin 1/ x , x  0,
3. Найдите производную y' x  функции y  
и исследуйте, является ли
x0
0,
y' x  непрерывной в точке x  0 .
4. Найдите точку пересечения касательных к графику функции f ( x)  cos x в точках с абсциссами x1   / 6 , x2   / 2 .
5. Составьте уравнения касательных к графику функции y 
x , проходящих через точку
(2;3/2).
6. Найдите y ' ( x) , если:
1)
y  44 x3  33 x 2  2 x ;
2) y  cos 2 x3 ;

3) y  tg 2  ctg

1 
;
x
4)
y  arcsin 2 x  arccos
5) y  ln tg
x
;
2
1
;
x
 x  1  x2
6) y  
 e ;
 x 2
2
7)
y  log 2 log 3 log 4 x  ;
e x  e x
;
e x  e x
9) y  arctg 4 x  1 ;
8) y  ln
10) y  2log4 x
11) y  xarcsin
2
;
 x 1
x
.
7.
Заменяя приращение функции её дифференциалом, найдите приближенное значение
выражения: 1) 0,98 ; 2) sin 31 ; 3) lg 11 ; 4) arctg1,1 .
   , sin 3x  2  ,  1  x   .
n
8.
Вычислите производные n-го порядка: e5 x
9.
Найти угол между параболами у  8  x 2 и y  x 2 .
n
n
Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением
s  t / 5  2 /  sin t / 8 (t– в секундах, s – в метрах). Определить скорость движения в конце второй секунды.
11.
По кубической параболе y  x3 движется точка так, что ее ордината изменяется в за10.
5
висимости от времени t по закону y  at 3 . Какова скорость изменения абсциссы в зависимости от
времени?
12.
Показать,
что
функция
удовлетворяет
уравнеy  e x  2e2 x
нию y ' ' '6 y"11y '6 y  0 .
Дана функция f ( x)  3 x  8 . Пусть a  0, b  16 . Тогда f (0)  f (16)  4 . Одна2
13.
ко производная f ' ( x)  2 / 3 x  8 не обращается в нуль ни в одной точке интервала (0;16). Противоречит ли это теореме М. Ролля?
14.
На дуге АВ кривой y  2 x  x 2 найти точку М, в которой касательная параллельна
хорде АВ, если А(1;1) и В(3;-3).
15.

6) lim x  2 x
x 

x 2  1  ln x
xn
xex / 2
x
2 cos x
Найти: 1) lim
; 2) lim x ; 3) lim
; 4) lim sin x  ; 5) lim tgx
;
x
x
x 0
x  / 2
x 1
x  x  e
x e
e e
1/ x
.
16.
Найти интервалы возрастания и убывания функции y  (2  x)( x  1) 2 .
17.
Исследовать на экстремум функцию y  x 1  x 2 .
18.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  3x  x3 на отрезке [-2;3].
19.
На оси OY найти точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом, если
А(2;0), В(8;0).
20.
Проволока длиною l согнута в прямоугольник. Каковы размеры этого прямоугольника,
если площадь его наибольшая?
21.
Найти точки перегиба кривой y  x  5
22.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой y  xex .
23.
Найдите асимптоты кривой y 
24.
Найдите асимптоты кривой y 
5/3
2.
x3 / x  2 .
x2  2x  3
.
x2
x3  4
Постройте график функции y 
.
x2
Постройте график функции y  sin 2 x .
25.
26.
a
Докажите, что если f(t) – нечетная и функция на отрезке [-a,a], то
27.
 f (t)dt  0 .
a
a
Докажите, что если f(t) – четная и функция на отрезке [-a,a], то
28.
a
 f (t)dt  2 f (t)dt .
a

2
Докажите, что
29.


2
2
0
0
f (cos x)dx   f (sin x)dx . Исходя из этого, вычислите  sin 2 x dx .
0
4.Не вычисляя интеграла, докажите, что
30.
1
2
1 x
а)  cos x  ln
dx  0 ; b)
1 x
1

2
0


8
 x

8
10
sin 9 xdx  0 .
2
Можно ли применить подстановку y=sinx в интеграле
31.
y
1  y2 dy ?
0
Вычислите среднее значение функции:
32.
1
на [1; e2 ];
x
b) y  sin 2 x на [0;  ];
a) y 
c) y  ln x на [1; e2 ].
Не вычисляя интегралов, определите какой больше:
33.
2
a)

1
2
dx
1+x

или
2
1
dx
;
x
1
b)
e
2
x
2
cos x dx
e
или
01
2
dx
1 x 3
1
dx
1
a)  2  
x
x
2

2
2
dx
1
b)  4   3
x
3x
1
.
3
1
, но 2  0 !
2
x
2

1
3
1
, но 4  0 !
8
x
Решите уравнение:
35.
x
x
2
x

ln 2
36.
x6 1
1
1
b)
dx

или
Найдите ошибку:
34.
a)
cos x dx ;
1
2
c)
x
dx
x2 1
dt
x e 1
t



2

6
;
.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=|x-1|, y=3-|x|.
x
 cos(t )dt
2
37.
Найти lim 0
x 0
x
.
1
38.
Вычислить интеграл
d 
1
 dx  arctg x  dx.
1
Вопросы к экзамену
1. Определение метрического пространства. Примеры метрических пространств. Линейные
нормированные пространства. Евклидовы n-мерные пространства.
2. Основные топологические понятия и теоремы в метрических пространствах.
3. Последовательности точек в метрических пространствах и их сходимость.
4. Функции нескольких переменных как отображения Rn в R. Линии уровня. Предел функции нескольких переменных и повторные пределы, связь между ними.
5. Непрерывность функций нескольких переменных по совокупности переменных и по одной
переменной. Свойства непрерывных функций.
6. Частные производные, их геометрический и механический смысл. Дифференцируемые
функции, необходимые условия дифференцируемости (непрерывность, существование частных производных).
7. Достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал функции нескольких переменных и его свойства.
8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения. Геометрический смысл
дифференциала функции двух переменных.
9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Оценка погрешности приближенного вычисления.
10. Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности дифференциала.
11. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
12. Формула Тейлора.
13. Экстремум функции двух переменных, его необходимые условия. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.
14. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной в замкнутой ограниченной области.
15. Неявная функция одной переменной (определение, существование, непрерывность). Дифференцирование неявной функции одной переменной.
16. Уравнения касательной и нормали к кривой F(x,y)=0. Неявные функции нескольких переменных. Дифференцирование неявной функции двух переменных.
17. Конструктивное определение двойного интеграла. Задачи о массе неоднородной плоской
пластинки и об объеме цилиндрического бруса.
18. Условия существования двойного интеграла и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной и криволинейной области.
19. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
20. Приложения двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов, площадей поверхностей.
21. Задача о работе силового поля. Конструктивное определение криволинейного интеграла.
22. Теорема о существовании криволинейного интеграла и его вычисление. Свойства криволинейных интегралов.
23.Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от
пути интегрирования.
24.Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Потенциальные поля.
25.Понятие о тройном интеграле. Задача о массе неоднородного тела. Вычисление тройных
интегралов. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Задачи
1. Найти область определения функции z 
2. Найти область определения функции u 
3. Найти полный дифференциал функции z 
(1  x )( y  4) .
4  x2
z(1  z)
 2 ln(9  y2 ) .
x  3y3
.
xy
x2 1
4. Найти d z для функции z 
.
y3
5. Найти d3z для функции u  x 3z 4  5y2z 2  1 .
2
6. Найти полные дифференциалы первого и второго порядка функции
z  f (x , y), x  4st, y  s3  2t .
7. Вычислить приближенно в точке М(-1,1) полное приращение функции z=4xy3-5x2+6y ,
пользуясь его заменой полным дифференциалом. Принять x=y=0,001.
8. В результате измерения получено: диаметр d основания конуса равен 8,3 см, высота h
равна 35,7 см; абсолютная погрешность измерений меньше 0,1 см. Вычислить объем конуса и указать
относительную погрешность подсчета.
9. Подсчитать приближенно (0,99)3,01.
10. Найти границы погрешности в вычислении объема ящика, размеры которого: 1,3м; 0,8м и
1,4м измерены с ошибкой, не превышающей 1см.
11. Найти производную первого и второго порядка неявной функции y(x), заданной уравнением xe2y-ylnx-8=0 .
12. Найти полный дифференциал первого порядка неявной функции z(x,y), заданной уравнением 4xz5+y3z2-x3z+y=0.
13. Найти при х=1 производные y', y", z', z" неявных функций y(x) и z(x), определяемых системой уравнений
8 x 2  z 3  3 y 4  0,
 3
 x  z 2  5 y  3,
Если известно, что при х=1 функции y и z принимают соответственно значения 0 и 2: y(1)=0,
z(1)=2.
14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x6+y6-3x2+6xy-3y2 в области, заданной неравенствами 2  x  y  0.
15. При каких размерах прямоугольного открытого ящика с заданным объемом 4 м3 его поверхность будет наименьшей из возможных.
16. Из всех треугольников, вписанных в данный круг, найти тот, площадь которого наибольшая (возьмите центральные углы за независимые переменные).
Вопросы к зачету
1. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Фундаментальные последовательности.
Критерий Коши сходимости последовательности.
2. Основные понятия теории числовых рядов (определения числового ряда, члена ряда, общего члена ряда, частичной суммы, сходящихся и расходящихся рядов, суммы ряда, остатка ряда, исследование геометрического и гармонического радов на сходимость).
3. Основные свойства сходящихся рядов (необходимое условие сходимости ряда, сходимость
остатка, сходимость линейной комбинации, некоторые признаки сходимости). Критерий Коши сходимости рядов.
4. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости рядов с положительными членами (критерий сходимости, первый и второй признаки сравнения, примеры их применения).
5. Признак Даламбера для рядов с положительными членами (признаки сходимости и расходимости в предельной форме; общая формулировка признака Даламбера, примеры применения признака Даламбера и примеры его неприменимости).
6. Радикальный признак Коши для рядов с положительными членами (признаки сходимости
и расходимости в предельной форме; общая формулировка признака Коши, примеры применения
признака Коши и примеры его неприменимости). Сравнение признаков Даламбера и Коши.
7. Интегральный признак Маклорена-Коши для рядов с положительными членами. Его применение для исследования сходимости обобщенного гармонического ряда. Примеры. Свойства рядов
с положительными членами (перестановка членов ряда и умножение рядов).
8. Знакочередующиеся ряды (понятие знакочередующегося ряда, признак сходимости Лейбница, ряд Лейбница, примеры и контрпримеры, оценка остатка ряда Лейбница).
9. Абсолютная и условная сходимость рядов (понятия абсолютной и условной сходимости
рядов, примеры). Свойства абсолютно сходящихся рядов: сходимость, сочетательное свойство, переместительное свойство; теорема Римана о произвольных перестановках в условно сходящемся ряде;
свойство модуля суммы, признаки абсолютной сходимости Даламбера и Коши. Умножение рядов (по
правилу треугольников и правилу квадратов, теорема об абсолютной сходимости произведения абсолютно сходящихся рядов).
Задачи
1. Найти сумму n первых членов ряда (Sn); доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; найти сумму ряда (S):
1
1
1

 ... 
 ...
1 2 2  3
n(n  1)
2. Найти сумму n первых членов ряда (Sn); доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; найти сумму ряда (S):
1
1
1

 ... 
 ...
1 3 3  5
(2n  1)( 2n  1)
3. Найти сумму n первых членов ряда (Sn); доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; найти сумму ряда (S):
5 13
3n  2 n

 ... 
 ...
6 36
6n

4. Исследовать на сходимость ряд
1
 (2n  1)  2
n 1


5. Исследовать на сходимость ряд
 sin 2
n 1
1 n
n 1
.
2


7. Исследовать на сходимость ряд
.
n
1 n

6. Исследовать на сходимость ряд
.
2 n 1
 tg 4n .
n 1

8. Исследовать на сходимость ряд
1
 ln( n  1) .
n 1

9. Исследовать на сходимость ряд
n
n 1
2
1
.
 4n  5
1 n2
10. Исследовать на сходимость ряд  
3
n 1  1  n

ln n

11. Исследовать на сходимость ряд

n 1
4

.
n5

12. Исследовать на сходимость ряд
2

 .


n  n 1 .
n 1

13. Исследовать на сходимость ряд
1
 (2n  1)! .
n 1

14. Исследовать на сходимость ряд
n 1

15. Исследовать на сходимость ряд
n
2
n
.

 ntg 2
n 1
n 1

.
n
 n 
16. Исследовать на сходимость ряд  
 .
n 1  2 n  1 
 n 1

 
n 

17. Исследовать на сходимость ряд 
3n
n 1
n2
.
 1 n 
18. Исследовать на сходимость ряд  
.
2 
n 1  1  n 

1
n 1
ln
19. Исследовать на сходимость ряд 
.
n n 1
n2

1

20. Исследовать на сходимость ряд
 (1  n)
n 1
2
n 1
.

21. Исследовать на сходимость ряд
n
 2n  1 .
n 1

n2
.

n 1 n!

n2 1
23. Исследовать на сходимость ряд 
.
n3
n 1

2n  1
24. Исследовать на сходимость ряд 
.
3n
n 1
22. Исследовать на сходимость ряд

25. Исследовать на сходимость ряд
 arctg
n
n 1
1
.
n

26. Исследовать на сходимость ряд
2n
.

4
n 1 n

27. Исследовать на сходимость ряд
1
 (5n  4)(4n  1) .
n 1

3n
.

n
n 1 n  2

n!
29.Исследовать на сходимость ряд  n .
n 1 n
28. Исследовать на сходимость ряд
30. С помощью ряда, общим членом которого является данная функция, доказать следующее
an
соотношение lim
0.
n  n!
31. С помощью ряда, общим членом которого является данная функция, доказать следующее
nn
 0.
n  ( 2n)!
соотношение lim
32. С помощью ряда, общим членом которого является данная функция, доказать следующее
nn
 0.
n  ( n!) 2
соотношение lim
Вопросы к зачету
1.
Функциональные последовательности (понятие функциональной последовательности,
точка сходимости, область сходимости, сходимость на множестве, предельная функция, примеры).
Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности (понятия поточечной и
равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве, геометрический смысл
равномерной сходимости, критерий Коши равномерной сходимости).
2.
Функциональные ряды (понятие функционального ряда, точка сходимости, область
сходимости). Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов (понятие поточечной и
равномерной сходимости функционального ряда на множестве).
3.
Условия равномерной сходимости функционального ряда (критерий Коши, понятие
мажоранты, признак Вейерштрасса, примеры его применения, контрпример).
4.
Непрерывность предельной функции функциональной последовательности. Непрерывность суммы функционального ряда.
5.
Интегрируемость предельной функции функционального последовательности.
Почленное интегрирование функционального ряда.
6.
Дифференцирование предельной функции функциональной последовательности.
Почленное дифференцирование функционального ряда.
7.
Степенные ряды (понятие степенного ряда, теорема Абеля об области сходимости
степенного ряда, радиус и интервал сходимости, сходимость на границе, примеры исследования области сходимости степенных рядов).
8.
Свойства степенных рядов (равномерная сходимость, непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов).
9.
Разложение в степенной ряд ln(1+x) и вычисление логарифмов; arctgx и вычисление
числа .
10.
Ряды Тейлора (понятие разложимости в степенной ряд, теорема о единственности
разложения в степенной ряд, понятия ряда Тейлора и ряда Маклорена).
11.
Условия разложения функции в ряд Тейлора (необходимое и достаточное; достаточное).
12.
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (разложение функций
cosx, sinx, ex, (1+x), arcsinx).
13.
Приближенные вычисления с помощью рядов (приближенные вычисления.
14.
Ряд Фурье и его сходимость. Разложение функции, заданной на промежутке в ряд
Фурье.
Задачи
1.
Докажите, что данный ряд равномерно сходится на множестве действительных чисел

sin nx
.
n!
n 1

Докажите, что данный ряд равномерно сходится на множестве действительных чисел
2.

1
.

2
2
n 1 n (1  (nx) )
Докажите, что данный ряд равномерно сходится на множестве действительных чисел
3.

sin nx
.

2n
n 1
Докажите, что данный ряд равномерно сходится на множестве действительных чисел
4.


n 1
e
n2 x2
.
n2

5.
Показать, что ряд
2
n 1
1
n 1
1  nx
равномерно сходится на всей положительной полу-
оси (0≤x<∞). Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрицательном х можно было вычислить сумму ряда с точностью до 0,001?
ln( 1  nx)
равномерно сходится в любом интервале 1+ω≤x<∞, где
nx n
n 1

6.
Показать, что ряд

ω–любое положительное число. Убедиться, что при любом х из интервала (2≤х≤100) достаточно взять
восемь членов, чтобы получить сумму ряда с точностью до 0,01.

7.
Показать, что ряд
x
n
(1  x n ) сходится неравномерно в интервале [0,1].
n 1
8.
Функция f(x) определяется равенством

9.
10.
cos nx
.
n
n 1 10
f ( x)  
Показать, что функция f(x) определена и непрерывна при любом х. Найти
 
 
f (0), f   и f   . Убедиться в том, что для вычисления приближенных значений функции f(x)
2
3
при любом х с точностью до 0,001 достаточно взять три члена. Найти с указанной точностью f(1) и f(0,2).

11.
Показать,
что
ряд
x
4n2
равномерно
сходится
в
любом
интервале
n 1
 1    x  1   , где ω–любое положительное число, меньшее единицы. Интегрированием данно
x 4 n 1
го ряда найти в интервале (-1,1) сумму ряда 
.
n 1 4n  1

x 4 n 3
12.
Найти сумму ряда 
.
n 1 4n  3
13.
Функция f(x) определяется равенством f ( x) 

 n3
n 1
x n 1 . Показать, что функция
n 1
 1 1
 3 3
f(x) непрерывна в интервале   , . Вычислить ь
14.

0 ,125
0
Исходя
f ( x)dx .
из
равенства
1
 x  1, просуммировать ряды 1  2 x  3x 2  ...  nx n1  ... и
1  x  x 2 ... 
1 x
n(n  1) n 1
1  3x  ... 
x  ...
2
15.
Разложить функцию y=lnx в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.
16.
Разложить функцию y 
17.
18.
19.
x 3 в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.
Разложить функцию в ряд Маклорена y  ln( 1  e x ) .
Разложить функцию в ряд Маклорена y  e cos x .
1
Разложить функцию y  в ряд Тейлора в окрестности точки x=3.
x

20.
Найти интервал сходимости данного степенного ряда
10
n
xn .
n 1

21.
Найти интервал сходимости данного степенного ряда
22.
52 . Вычислить приближенное значение
 (1) n1
n 1
3
xn
.
n
e , взяв три члена разложения в ряд Тейлора
функции f ( x)  e , и оценить погрешность.
x
23.
Вычислить приближенное значение
3
e , взяв три члена разложения в ряд Тейлора
функции f ( x)  e , и оценить погрешность.
24.
Вычислить приближенное значение sin 18 , взяв три члена разложения в ряд Тейлора
функции f ( x)  sin x , и оценить погрешность.
x
25.
x
Вычислить площадь, ограниченную линией y 2  x 3  1, осью ординат и прямой
1
, с точностью до 0,001.
2
26.
27.
y  sin x с точностью до 0,001.
1
Фигура, ограниченная линией y  arctgx , осью абсцисс и прямой x  , вращается
2
Вычислить длину полуволны синусоиды
вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с точностью до 0, 001.
0.5
28.
Вычислить
e
0
sin x
dx с точностью до 0,0001.

6
29.
Вычислить

cos x dx с точностью до 0,001.
0

4
30.
Вычислить приближенное значение интеграла


cos x
dx , взяв 3 члена разложения
x
6
подынтегральной функции в ряд; указать погрешность.
1
4
31.
Вычислить приближенное значение интеграла
e
 x2
dx , взяв 3 члена разложения
0
подынтегральной функции в ряд; указать погрешность.
1, если    x  0,
 1, если 0  x   .
32.
Разложить в ряд Фурье функцию f x   
33.
63. Разложите функцию f ( x )  
суммы ряда.
34.
1,    x  0
0x 
2,
в ряд Фурье. Постройте график
Разложите функцию f ( x )    x , где x (0;  ) , в ряд Фурье, содержащий только сину2
сы. Постройте график суммы ряда.
35.
Разложите функцию f ( x )  1  x 2 , где x (01
; ) , в ряд Фурье, содержащий а)только сину2
сы; б) только косинусы; в) и синусы и косинусы. Постройте графики сумм каждого из получившихся
рядов. Найдите S(1), S(2).
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
«Дифференциальные уравнения»
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы
В процессе самостоятельной работы студенты должны усвоить программный материал и выполнить задания самостоятельных и контрольных работ.
Самостоятельная работа № 1
Задание 1. Докажите, что при любом значении С функция y  e2 x  C является решением уравнения yy  e2 x  0. Подберите число С так, чтобы решение удовлетворяло
начальному условию y0  2.
Задание 2. Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей
2
a  x   y 2  1.
Задание 3. Какие из следующих уравнений являются уравнениями
а) первого порядка, б) второго порядка:
2)
4)
1) x  1 y   y 2 ;
3) y  xe y ;
3
y   2 xy  x ;
tgx sin 2 ydx  cos 2 x ctgydy  0;
6)
7)
8) xdy  ydx  x 2  y 2 dx;
5) y   x;
2
2x
y   e  y;
yy    y   1;
11)
y
9)
12) x 2 y  xy  x 2  y 2 arctg .
10 x  8 y
10) ytgx  y;
x
y 
;
x 2 dy  2 xy  3dx  0;
7x  5y
Самостоятельная работа № 2
Задание. Найдите и решите уравнения с разделяющимися переменными, однородные
и приводящиеся к однородным.
1)
2)
3) ( y 2  x) y  1 ;
( y  2)dx  (2 x  y  4)dy ;
3x 2 ydx  2 4  x3 dy  0 ;
4)
2x
y 2  3x 2
dx

dy  0 ;
y3
y4
7)
y
e dx  (1  xe y )dy  0 ;
10) ( xy  x 2 ) y  y 2 ;
5)
 y

xdy
 2
 1dx  2
;
2
x  y2
x y

8)
( x  2)dy  ( x  2 y  4)dx ;
6)
y2
2 ydx  (  6 x)dy  0 ;
x
9)
2
xy dy  x 3  y 3 dx ;
y
11) dx  ( x  )dy  0 ;
x
Самостоятельная работа № 3
Задание. Решите дифференциальные уравнения:
1)
2)
3)
2
2
y  4 y  5 y  0 ;
xy  1  x ;
1   y  2 y  y ;


12) e x y dx  ydy  0 .
4)
y  2 y  0 .
Самостоятельная работа № 4
Задание. Решите дифференциальные уравнения:
1)
2)
3)
4)
1
x
2 2x
;
y  y 








y  2 y  5 y  e  cos 2 x ;
y  2 y  3y  x e ;
y  3 y  x 2  cos x .
cos x
Самостоятельная работа № 5
Задание 1. Найти решение задачи Коши в виде ряда
1
2 у  xy  10 y  x  x 2 ; y 0  ; y0  0 .
30
Задание 2. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
методом исключения
 x  3x  2 y,
x0  1, y 0  7.

 y  10 x  y,
Задание 3. Найти общее решение системы матричным способом
 x   3 x  y  z ,

 y  6 x  6 y  5 z ,
 z    x  3 y  2 z.

Примерный перечень тем курсовых работ
1. Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов.
2. Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания.
3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
4. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи обобщенных степенных рядов.
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
6. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
7. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений.
8. Операционный метод интегрирования дифференциальных уравнений и линейных
систем дифференциальных уравнений.
9. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя.
10. Устойчивость решений системы дифференциальных уравнений.
11. Применение дифференциальных уравнений в различных областях науки.
12. Особые решения дифференциальных уравнений.
13. Применение дифференциальных уравнений для решения экономических задач.
14. Применение дифференциальных уравнений для решения физических задач.
15. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго
порядка при помощи степенных рядов.
16. Применение рядов Фурье в теории дифференциальных уравнений.
Примерный перечень вопросов экзамена
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Определение дифференциального уравнения и его решения. Различные записи
дифференциального уравнения первого порядка.
3. Задача Коши для уравнения первого порядка. Общее решение, частное решение
уравнения первого порядка. Общий интеграл. Особые решения.
4. Уравнение с разделенными переменными.
5. Уравнение с разделяющимися переменными.
6. Однородные уравнения первого порядка.
7. Уравнения в полных дифференциалах.
8. Линейное уравнение первого порядка. Метод Лагранжа.
9. Линейные однородные уравнения п-го порядка. Свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.
10. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение.
11. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами для уравнения второго порядка. Случаи:
а) различных действительных корней;
б) двукратного действительного корня;
в) мнимых корней.
12. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами для уравнения второго порядка. Случай мнимых корней.
13. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
14. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
15. Метод Лагранжа для линейного уравнения второго порядка.
16. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
а) случай различных действительных корней характеристического уравнения;
б) случай кратных корней;
в) случай мнимых корней характеристического уравнения.
17. Понятие об устойчивости решения дифференциальных уравнений.