ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЕЙ КРУЧЕНИЯ И СДВИГА МЕТОДОМ

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
Методические указания к лабораторной работе № 23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЕЙ КРУЧЕНИЯ И СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
для студентов строительных специальностей
Минск 2006
УДК 531.38(076.5)
ББК 22.213.я7
062
В работе изложен экспериментальный метод определения модуля кручения и модуля сдвига упругого материала в
виде струны методом крутильных колебаний. Рассмотрены
оценки модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия исследуемого материала.
Составители:
А.А. Баранов, А.П. Каравай
Рецензенты:
И.А. Сатиков, В.Н. Кудин
© Белорусский национальный технический университет, 2006
2
Цель работы: 1. Определить методом крутильных колебаний
модули кручения и сдвига струны.
2. Получить оценки численных значений модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия
материала струны.
1. Упругие свойства твердых тел.
В теории упругости изучают действия только статических
нагрузок на твердые тела. Динамические нагрузки представляют
собой волны в телах.
Под влиянием внешних статических силовых (не температурных) воздействий тела испытывают деформацию, т.е. меняют
форму и размеры. В линейной теории упругости изучают только
малые напряжения (нагрузки).
Рассмотрим следующие виды деформаций: сжатие (растяжение), сдвиг, всестороннее сжатие, кручение.
а) Для продольных упругих деформаций изотропных твердых
тел (стержней, струн) справедлив закон Гука: относительная деформация  пропорциональна напряжению :
 = E ,
где  
(1)
F
– напряжение, т.е. внешняя сила F отнесенная к единице
S
Δl
– относиl
тельная деформация тела, т.е. отношение абсолютной деформации
Δl  (l  lo ) к начальной длине тела (стержня) l o , l – длина после
нагрузки; Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга.
площади поперечного сечения тела (стержня),  
3
Модуль Юнга Е 

– числено равен напряжению при отно
сительной деформации равной единице.
б) Сдвиг – деформа
ция, при которой все
F
l
плоские слои твердого
l
тела, параллельные некоторой
закрепленной

плоскости
(плоскости
сдвига) смещаются параллельно друг другу не
Рис. 1
искривляясь и не изменяясь в размерах. Сдвиг
происходит под действием силы F, приложенной к грани параллельной плоскости сдвига (рис.1).
Δl
Мерой деформации является угол сдвига   tg 
, измеряl
емый в радианах.
По закону Гука: относительный сдвиг  пропорционален касательному (скалывающему) напряжению   
F
, т.е.
S
   G .
(2)

численно равен касательному

напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице.
Здесь модуль сдвига G 
Δl
соl
Δd
провождается его относительным сужением (расширением)
,
d
Относительное продольное растяжение (сжатие) тела
где d – поперечный размер тела.
4
Коэффициентом Пуассона (модулем поперечного сжатия) 
называется отношение относительного поперечного сужения (расширения)
тию)
Δd
к относительному продольному удлинению (сжаd
Δl
, т.е.
l

Δd
Δl
d.
(3)
l
Из теоретических соображений [1,7] коэффициент Пуассона 
заключен в пределах
–1    0,5.
Материалы с отрицательным  неизвестны. Для большинства
твердых тел из опыта   0,25.
в) Деформация всестороннего сжатия (растяжения) – уменьшение (увеличение) объема тела без изменения его формы под влиянием равномерно распределенных по всей поверхности тела сжимающих (растягивающих) сил.
По закону Гука имеем:
K
где
ΔV
,
V
(4)
ΔV
– относительное изменение объема тела под действием
V
напряжения .
Здесь модуль всестороннего сжатия (объемной упругости)
К

численно равен напряжению при относительном измеΔV V
нении объема равном единице.
Из теории упругости [1,7] вытекают следующие связи модулей
G, E, K [1,7]
5
G
2(1  )
2G(1  2)
K
3(1  2)
E
(5)
(6)
г) Кручением называются деформация тела (струны) с одним
закрепленным концом под действием пары сил, плоскость которой
перпендикулярна к оси тела. Момент М этой пары сил называется
крутящим (вращательным) моментом.
Для цилиндрической формы (струны, стержня) по закону Гука
угол закручивания  отнесенный к длине струны L, т.е. относительная деформация

пропорциональна крутящему моменту М,
L
т.е.
MD
Модуль кручения D 

L
(7)
M
численно равен вращательному
 L
моменту при относительном угле закручивания равном единице.
Для анизотропных твердых тел напряжения и деформации являются тензорами второго ранга [4].
В декартовых координатах тензор напряжений равен
тензор деформаций
 xx
 xy
 xz
 ij   yx
 yy
 zx
 zy
 yz ,
 zz
 xx
 xy
 xz
 ij   yx
 yy
 zx
 zy
 yz .
 zz
Эти тензоры линейно связаны между собой.
6
Для анизотропных кристаллов закон Гука принимает вид
 ij  С ijkl   kl ,
где i, j, k, l = 1, 2, 3 и по повторяющимся индексам предполагается
суммирование. Число модулей упругости тензора С ijkl сводятся к
21 в виду симметрии тензора  ij и  kl [4]. В самом простейшем
изотропном случае получается только два модуля Е и G.
2. Связь модуля сдвига с модулем кручения
струны
r
B
O
 d

O
L
O

A'
d
A
dS

A'
Рис. 2
Рис. 3
При закручивании струны ее нижний торец испытывает сдвиг
относительно верхнего 2. Прямая ВА поворачивается, занимая
положение ВА'. Угол  является углом сдвига. По формуле (2) угол
сдвига  равен
1
(8)
   ,
G
7
где  – касательное усилие, приложенное к элементу поверхности
dS, расположенному у точки А (см. Рис.3), а G – модуль сдвига.
Из Рис.2
AA    
.
(9)


L
L
Тогда из (8) и (9) имеем

.
(10)
   G  G
L
Сила, приложенная к элементу поверхности dS, равна   dS , а ее
момент dM    dS .Элемент поверхности dS в полярных координатах ,  равен dS  dd , откуда
dM      2 dd
или с учетом (9) найдем
G 3
(11)
 dd
L
Полный момент, приложенный ко всему нижнему торцу получается интегрированием (11) по всей площади круга радиуса r:
dM 
2
r
G r 4 
G
M
 3 dd 
 .
L  0  0
2
L
 
(12)
Откуда получаем
2 1
M.
G r 4
Сравнивая (13) и (7) получаем для модуля кручения

D
2 1
,
G r 4
(13)
(14)
Из соотношения (13) угол закручивания  зависит от модуля
сдвига G и обратно пропорционален радиусу струны, взятому в
четвертой степени.
8
3. Крутильные колебания
В данной работе используется крутильный маятник, представляющий собой рамку с телом, жестко соединенную с натянутой стальной струной, закрепленной на обеих концах с установкой.
При выведении рамки с телом из положения равновесия на некоторый угол  создается возвращающий момент силы
(15)
M  2D ,
где коэффициент D – это модуль кручения, множитель 2 в соотношении (15) учитывает наличие двух струн, на которых закреплена
рамка. Знак "минус" означает, что крутящий момент возвращает
рамку в положение равновесия.
На протяжении времени в несколько периодов трением (сопротивлением) можно пренебречь и крутильные колебания будут незатухающими.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с учетом (15) примет вид
d 2
(16)
I 2  2D .
dt
Здесь I – момент инерции рамки с телом относительно оси вращения.
Уравнение (16) записывается в стандартной форме
d 2
(17)
 2   0
dt 2
где
2 
2D
.
I
(18)
Из уравнения (17) следует, что крутильные колебания в отсутствии трения будут гармоническими
   m cost   0  .
(19)
9
Амплитуда m и начальная фаза 0 определяются из начальных
условий.
Частота свободных незатухающих колебаний равна
ω
2D
.
I
(20)
Период колебаний рамки с телом с учетом (20) равен
T  2π
I
.
2D
(21)
Из соотношения (21) вытекает формула для определения модуля
кручения
D
2π 2 I
.
T2
(22)
Соотношение (22) позволяет по измеренному периоду Т колебаний и известному моменту инерции I вычислить модуль кручения
D. Из формулы (14) можно вычислить модуль сдвига G материала
струны:
2
.
(23)
G
Dr 4
4. Оценка модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия.
Формулы (5) и (6) позволяют получить численные значения модуля Юнга Е и модуля всестороннего сжатия К. Для этого необходимо знать коэффициент Пуассона . Как следует из таблицы 1
упругих свойств многих металлов и их сплавов [5] коэффициент
Пуассона в среднем равен
μ  0,32 .
(24)
10
Этот коэффициент  используется в формулах (5) и (6) при
оценке модулей Е и К.
Таблица 1.
Е, ГПа
G, ГПа

Алюминий
71
26
0,34
Германий
81
31
0,29
Дюралюминий
73
27
0,34
Константин
163
62
0,33
Латунь
98
36
0,35
Манганин
124
46
0,33
Медь
123
45,5
0,35
Серебро
79
28
0,37
Серый чугун
108
44
0,22
Сталь
206
80
0,28
Материал
ср = 0,32
Контрольные вопросы
1. Дать определение деформации растяжения, сдвига, всестороннего сжатия, кручения.
2. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?
3. Дать определения модуля всестороннего сжатия и модуля
кручения.
11
4. Что такое коэффициент Пуассона?
5. Как связаны модули кручения, сдвига, Юнга и всестороннего сжатия.
6. В чем суть экспериментального нахождения модуля кручения методом крутильных колебаний.
7. Каковы границы применимости законов Гука для различных видов деформаций?
Литература
1. Стрелков С.П. Механика. М.: наука, 1975, §81, §84.
2. Фриш С.Э. Курс общей физики. Т.1. М.: ГИТТЛ, 1953,
§84.
3. Трофимова Т.Н. Курс общей физики. М.: Высшая школа,
1985, §21.
4. Кужир П.Г., Баранов А.А., Каравай А.П., Юркевич Н.П.
Физика конденсированных сред. Мн.: Технопринт, 2002,
п.5.1,5.2.
5. Кухлинг Г. Справочник по физике. М.: Мир, 1982.
6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.:
Наука, 1964. с.267-272.
7. Ольховский Н.Н. Курс теоретической механики для физиков. М.: МГУ, 1978.
12
13