Никитина Мария Владимировна Международный Банковский

Никитина Мария Владимировна
Международный Банковский Институт,
СПб филиал ГУ - Высшая Школа Экономики, г. Санкт-Петербург
Вероятность разорения страховой компании.
Деятельность страховых компаний существенно отличается от других видов
предпринимательской деятельности. Основным отличием страхового бизнеса, является
стремление страховой компании принимать на себя риски различных субъектов
хозяйствования. При этом наиболее важным аспектом ведения страхового бизнеса
является способность компании объективно оценивать и управлять рисками.
Под страхованием понимается передача риска от одного носителя (страхователя)
другому (специализированной организации – страховой компании) за определенную
плату, называемую страховой премией. Сущность страхования заключается в
перераспределении риска между многими носителями.
Страховой рынок РФ демонстрирует не только высокие темпы развития, но и
увеличение конкуренции среди страховых компаний. Одним из средств конкурентной
борьбы является корректное формирование страховой премии на основе более
совершенных методов оценки риска функционирования страховой компании. Таким
образом, задача оценки риска страховой компании является актуальной. В качестве меры
риска в страховании зачастую используется вероятность разорения компании.
Для управления работой страховой компании важную роль играют
математические модели, ставящие своей целью описание разных видов деятельности
компании. Изучение таких моделей и проведение на их основе расчетов важных
характеристик (таких как расчет страховой премии, вероятности разорения, величины
страхового резерва в выбранные моменты времени и др.), позволяет предлагать
примеры управленческих решений, из которых управляющие компанией могут делать
свой выбор.
Теория деятельности страховой компании строится на индивидуальном иске,
равном итоговой сумме выплаченных средств. Иск рассматривается как случайная
величина, принимающая нулевое значение, если по данному страховому договору не
произошло страхового случая, и страховщик не выплачивал страховых выплат
клиентам. Иск не равен нулю, если страховая компания выплатила клиенту по этому
иску некоторые суммы. В этом случае величина иска равна сумме этих страховых
выплат. Условное значение величины иска при его ненулевом значении называют
убытком.
Определение вероятности разорения и его времени наступления является одной из
важнейших задач в классической теории риска.
Одной из классических моделей теории риска является модель коллективного
риска (динамическая модель), в рамках которой рассматривается возможность
1
заключения страховых договоров в моменты времени, образующие некоторый
случайный процесс. Каждый договор имеет свою длительность действия, и в течение
периода действия договора могут наступать страховые случаи, по которым страховая
компания должна делать выплаты по искам.
Поступление взносов в компанию неслучайно и подчинено линейному закону, а
случайным является процесс страховых выплат:
R(t )  u  ct  S (t ), t  0,
N (t )
S (t )   X j ,
j 1
где
u – начальный капитал страховой компании;
c  0 – средняя величина поступающих премий;
S (t ) – величина суммарных страховых выплат до момента t ;
N (t ) – процесс восстановления, описывающий динамику поступивших исков.
{ X j } – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных
величин, определяющих размер выплат.
Под вероятностью разорения понимается вероятность того, что процесс риска
опустится ниже некоторого уровня в течение промежутка времени [0, t ] (конечного или
бесконечного):
 (t , u )  P{sup( S (t )  ct )  u} .
Вычисление вероятности разорения страховой компании требует знания закона
распределения размеров выплат клиентам. Получить явное аналитическое выражение для
вероятности разорения удается лишь для некоторых частных случаев (например, если
выплаты по искам имеют экспоненциальное распределение). Для других типов
распределений существуют различного рода оценки, полученные при определенных
ограничениях. Так, широко известная аппроксимация Крамера-Лундберга не существует
для выплат, подчиненных логнормальному закону распределения.
Такие модели следует изучать с помощью имитационного моделирования.
С помощью программного пакета Mathematica была построена сначала одномерная, а
затем многомерная модели коллективного риска. На основе построенных моделей была
вычислена вероятность разорения страховой компании в зависимости от начального
капитала u и времени наблюдения t .
Адекватность модели подтверждена аналитически двумя способами:
2
 с помощью неравенства Лундберга, на примере модели коллективного риска,
в которой размеры страховых выплат имеют экспоненциальное распределение;
 с помощью решения интегро-дифференциального уравнения для того же
частного случая.
Для сравнения, результаты, полученные с помощью имитационного моделирования
и аналитически, построены на одном графике:
 (u , t )
u
Здесь
 (t , u ) – вероятность разорения страховой компании;
u – начальный капитал компании.
Таким образом, вероятность разорения страховой компании на бесконечном
промежутке времени является верхней границей для вероятности разорения за время t.
С помощью построенной имитационной модели можно получить оценку
вероятности разорения для логнормального распределения выплат, для которого
аппроксимация Лундберга не существует.
При сравнении двух полученных моделей с разными распределениями страховых
выплат можно сделать выводы о влиянии функции распределения исков на вероятность
разорения.
Существенной особенностью классической модели коллективного риска является
предположение о том, что размер выплат имеет одно и то же распределение. В
действительности страховая компания заключает договора по различным типам
страхования.
Обобщение классической модели на случай двух типов контрактов (двумерная
модель коллективного риска) позволяет не только вычислить вероятность разорения
страховой компании, но и показать влияние зависимости между контрактами разных
типов на вероятность разорения за счет изменения коэффициента корреляции. Для этого
была построена имитационная модель для случая, когда страховой полис объединяет в
себе два контракта разных типов.
В качестве описания динамики поступления исков разных типов, обычно
рассматривают пуассоновский процесс. Тогда суммарный процесс риска R (t ) может быть
записан в виде:
R (t )  u  ct 
N10 ( t )

j 1
N 01 ( t )
Xj
(1,0)
  X j (0,1) 
j 1
N11 ( t )
X
(11)
j
,
j 1
3
где
u  u1  u2 , c  c1  c2 , X (11)
;
 X (11,1)
 X (11,2)
j
j
j
Xj
(10 )
,Xj
( 01)
– случайные величины исков только по одному из двух типов
контрактов (в условиях отсутствия другого);
X j (11) – случайные величины двумерных исков, т.е. иски по страховым событиям,
когда есть выплаты по обоим типам контрактов одновременно;
Nij (t ) – процессы поступления исков по соответствующему контракту (контрактам);
Для имитационного моделирования суммарного рискового процесса были построены
модель процесса поступления исков (на примере двух типов выплат) и модель величины
исков.
В результате была получена аппроксимацию для вероятности разорения страховой
компании (для двумерной модели коллективного риска).
 (u , t )
u
4